Neerlandia/Nederlands van Nu. Jaargang 109

[p. 29]

Nederlands van Nu
Jaargang 53 - december 2005

Correct bevonden, volgens Bartjens (2)
Gilbert De Bruycker

Het eerste deel van dit artikel las u al in Neerlandia - Nederlands van Nu 2005, nr. 4, pp. 37-39.

Vooral de handelaar moet zijn munten goed kennen. Een opgave als 6603 blancken, hoeveel guldens, stuyvers en penningen zijn dat? vereist een goede organisatie van de berekening. Oordeel zelf maar. Van de blancken moeten oortjens gemaakt worden, van de oortjens weer stuyvers en van de stuyvers weer guldens. Ten slotte worden de overblijvende oortjens in penningen omgezet. Volgens Bartjens is dat: Facit 247 gulden, 12 stuyvers, 4 penningen. In het onderdeel Reductio ofte Casse-Rekeninghe geeft hij daarbij deze uitleg: Multipliceert 6603 blancken met 3 oortjens die een blanck doen.: 't Product, welck oortjens zijn, divideert met vier oortjens tot stuyvers. [Merk op: een oortje is kennelijk 1/4 stuiver. Een oort is een kwart. We kennen een oord van een goudgulden, van een gulden en van een stuiver. Waarschijnlijk is het dat laatste oortje dat wij nog kennen in de uitdrukking zijn laatste oortje versnoept hebben.] Het tweede facit dat stuyvers zijn, divideert door 20 stuyvers, die een gulden doen, tot guldens aldus 6603 mael 3 is 19809 oortjens; deelen door 4 geeft 4952 stuyvers; deelen door 20 geeft 247 guldens, 12 stuyvers en 4 penningen.

Veel aandacht besteedde Bartjens aan de Regel van Drijen. Een voorbeeld: Als vier ellen linnen negen gulden kost, op hoeveel komt dan 16 ellen? Dat vraagstuk wordt als volgt uitgewerkt:

ellen 4		gulden 9		ellen 16
	16 maal 9		144 delen door 4 = 36 gulden

Als proef en verklaring van die werkwijze vinden we dit:

ellen 16		gulden 36		ellen 4
	36 maal 4		144 delen door 16 = 9 gulden.

Na deze ‘uitleg’ vervolgt Bartjens met een honderdtal sommen, waarin de regel kan worden toegepast. Bartjens' commentaar (omgezet in modern Nederlands) luidt als volgt: De regel van drieën wordt zo genoemd, omdat het om drie getallen gaat. Zet aan de rechterkant het getal dat gemeten

Een bladzij uit De cyfferinge van Willem Bartjes - uit:
www.science.uva.nl/faculteit/museum/bartjens.html

moet worden en aan de linkerkant het getal van dezelfde grootheid en het derde getal in het midden. Vermenigvuldig het rechtergetal met het middelste; deel vervolgens het product door het linkergetal; de uitkomst is het gevraagde.

Tot veel meer dan blinde, puur mechanistische navolging van het algoritme zal de gebruiker vast niet in staat geweest zijn. Omtrent het waarom van de procedure en de achterliggende verklaring wordt hij volledig in het ongewisse gelaten. Het gegeven algoritme in het vraagstuk kostprijs 16 ellen linnen berust op de eigenschap dat in een evenredigheid a:b = c:d de producten van midden- en buitentermen in evenwicht zijn, dus a × d = b × c. Dat het om blinde toepassing van de regel gaat, blijkt ook uit het voorbijgaan aan de oplossing dat zestien ellen gewoon het viervoud van vier ellen is, waardoor het verschuldigde bedrag op een viervoud van negen gulden dient te komen. Wel enig houvast voor correcte navolging biedt het vaste werkschema waarin de vraagstelling gegoten wordt, gevolgd door de gelijkvormige proef op de som als controle.

De opgaven zijn vaak weinig pedagogisch, maar wel levensecht. Ter illustratie: Als in 8 uren tijds 6 drinckebroers uyt drincken een Tonne Wijns, houdende 32 kannen, vraghe om 't selvighe in 3 uren uyt te drinken, hoeveel

[p. 30]

Volgens Bartjens op het internet: www.volgens-bartjens.nl

drinckaerts daer zijn moesten? (Facit 10). Zelfs met bijbelse figuren springt Bartjens familiair om. De verkoopprijs van Jozef door zijn broers (om 20 silverlingen van 5 stooters het stuck) in Genesis 37 vergelijkend met de 30 zilverlingen (ofte sichelen) waarvoor Christus werd verraden, rijst de vraag hoe menighmael meer onsen Salichmaker gegolden heeft dan Joseph.

Bartjens' redactiesommen vergden meestal meer lees- dan rekenkunst van de jeugd. Vaak waren ze een hooiberg, waarin de leerling de naalden der rekengegevens moest zien te vinden. Nu eens hadden ze de vorm van verhalend proza, dan van hakkelende poëzie. Een staaltje van beide om die mening te illustreren. Eerst de prozavorm.

Een onnoosel schaepken staende tusschen eenen grimmigen leeuw, tusschen eenen hongerigen wolf ende eenen gierigen hond, om ghegeten te worden. De Hond segt: In 5 uren kan ick 't alleen opsnappen, de Wolf segt: in 3 uren wil ick 't vernielen, de Leeuw segt: in 1 uur sal ick 't verscheuren. De vraghe is oft die wreede beesten 't bedroefde schaepken ghelijckelijck bestormden, in hoe korten tijdt sij dat op-geslokt souden hebben.

En dan de poëzievorm, bedoeld voor gevorderde leerlingen.

Een voerman nam eens aen 3 vragten 't sijner baten,
Maer door de heete koorts moest hij die voeren laten
Van een sijn goeden vrient, die hem vijf mijlen veer
360 pont, noch 7 mijlen weer
500 ponden net, en 10 mael 7 mede
Ook centenaren 6, 3 mael 3 mijlen rede,
Mits dat hij hem weer sou tot sijnen dienst eens staen,
En 900 pont, noch 26 laen,
Op sijnen wagen sterk, dat min noch meer te drijven,
Als hij 't sijn had gedaen, om vriende t'saem te blijven;
Nu seght mij, lief gesel, zoo 't bij u is bedacht,
Hoe verd' hij hem dit goet in mijlen heeft gebracht?

Ga daar als jeugdig rekenaartje maar eens aan staan!

Aan het einde van zijn boek behandelt Bartjens de Regel van valsche positiën ofte geveynsde ghetallen. U kent dat soort sommen wel: Als één achtste van de helft van een getal vermenigvuldigd met zeven, 28 oplevert, welk getal is dat dan?

Het laatste onderdeel betreft de Rekeninge Coecis ofte Virginum. Afrekenen in café of restaurant zouden wij nu zeggen. Het gaat erom aan de hand van de afrekening te achterhalen hoeveel mannen en vrouwen aan tafel waren. Een voorbeeld: Daer sijn 8 personen, so mannen als vrouwen, hebben te samen verteert 3 guldens, 4 stuyvers. Elcke man 10 stuyvers ende elcke vrouw 6 stuyvers. Vraghe, hoeveel mannen ende vrouwen daer zijn. Herkent u de methode der onderstellingen? De in hedendaags Nederlands omgezette uitleg van Bartjens bij deze som is: Drie guldens en 4 stuivers worden 64 stuivers. Trek 6 stuivers van 10 af, blijven er 4 over als deler. Vermenigvuldig 8 personen met 6, dat wordt 48. Trek die van 64 af; blijven er 16 over, die

[p. 31]

door 4 gedeeld worden. Dat levert 4 mannen op. Trek die van 8 personen af, resteren 4 vrouwen. Enigszins moderner en stapsgewijs berekend:

m/vr	bedrag in stuivers
8/0	80
7/1	76
6/2	72
5/3	68
4/4	64

In elke volgende regel van de tabel wordt het verteerde bedrag 4 minder, immers een man verteert 4 stuivers meer dan een vrouw. Dan is het niet meer zo moeilijk om de oplossing overeenkomend met het bedrag 64 te vinden.

Of nog: Iedereen eet voor t.m. 6 stuivers, dus 48 stuivers in het totaal. De 64 min 48 is 16 stuivers die overblijven zijn door de mannen gebruikt: (10 - 6 =) 4 stuivers per man. Dus waren er 16:4 = 4 mannen.

Een zaak is wel duidelijk: Willems Bartjens beschouwde het (koopmans)rekenen als een uitgebreid pakket van algoritmen, dat door de leerling gewoon geautomatiseerd moet worden. Zo goed moet dat gebeuren, dat, zoals Bartjens zelf ergens aangeeft, iemand nog in halfbeschonken toestand kan narekenen of de waard hem niet tekort heeft gedaan.

Veel van de toepassingen die Bartjens geeft, zijn nu door de ontwikkelingen van geldstelsel, matenstelsel en de uitvinding van kommagetallen achterhaald. Maar nog lang na Bartjens' dood bleef de titelpagina van rekenboeken zijn naam dragen, waarmee de bewerkers wilden aangeven dat het een goed rekenboek was. Ook in didactisch opzicht beriep men zich op de traditie in het rekenonderwijs, rekenen volgens Bartjens. Ook in zijn nadagen bleef de naam Bartjens een waarmerk voor vertrouwde degelijkheid. Juist in deze periode is de uitdrukking volgens Bartjens voor het eerst geboekstaafd. In zijn bewerking van Stoetts Spreekwoordenboek (1981) verklaart Kruyskamp deze uitspraak als volgt: ‘schertsende toevoeging aan de uitkomst van een becijfering, bepaaldelijk gebezigd als men iemand iets voorrekent dat niet al te ingewikkeld is, dus zoveel als volgens de (eerste) beginselen der rekenkunst.’

Tegenwoordig hoeft de leerling zich niet meer op zijn onderwijzer of methode te beroepen als hem een verantwoording van zijn berekening gevraagd wordt. Hij kan zijn wiskundige kennis creatief gebruiken. Maar in de Nederlandse woordenboeken leeft Willem Bartjens nog steeds. Nog steeds wordt hij erbij gehaald als het gaat om heel eenvoudige bewerkingen. ‘Volgens Bartjens is twee keer vijf nog steeds tien, kerel!’ Zo laat je enigszins ironisch merken dat het sommetje dat je net uit het hoofd voor hem of haar hebt uitgerekend, nogal gemakkelijk is, en suggereer je ook dat je twijfelt aan de snuggerheid van de andere.

De spreekwoordelijke Bartjens is geen unicum. Ook Engelse, Amerikaanse, Duitse en Franse taalgebruikers kennen een uitdrukking waarin naar de precisie van een ‘rekenmeester’ wordt verwezen. According to Cocker¹ zeggen de Engelsen om aan te geven dat iets juist berekend is. De Amerikanen zweren bij Gunter. Zij kennen de uitdrukking according to Gunter.² Nach Adam Riese³ zeggen de uitsers. Op een iets verhevener niveau werkte Bertrand Barrême⁴ zich in Frankrijk in de kijker met zijn Livre des Comptes faits. Daar zegt men d'après Barrême en van iemand die zeer gemakkelijk kan rekenen c'est un barème. Cocker, Gunter, Riese, Barrême, Bartjens verwierven zich roem als rekenmeesters en voorbeelden van accuratesse. Ze hebben zichzelf spreekwoordelijk overleefd in de woordenboeken. Veel is ondertussen veranderd, maar dat twee en twee vier is, staat nog steeds vast. Volgens Bartjens!

1 Edward Cocker (1631-1675) werd vooral bekend door zijn boek Arithmatic, dat na zijn dood door J. Hawkins in Londen in 1677 werd uitgegeven en meer dan 100 herdrukken beleefde.

2 Edmund Gunter (1581-1626) was hoogleraar in de astronomie in Londen en uitvinder van diverse meetinstrumenten, o.m. de rekenliniaal waarmee o.m. vraagstukken van de driehoeksmeting en de zeevaart kunnen worden opgelost. Hij schreef o.m. Canon Triangulorum met de eerste logaritmentafels met zeven decimalen.

3 Adam Riese (1492-1559) was belast met rekenonderricht in Erfurt (waar in 1523 zijn rekenboek verscheen) en later in Annaberg. Hij droeg veel bij om het rekenen met penningen door het schriftelijk rekenen en de Romeinse cijfers door Arabische te vervangen. Zijn rekenboek Rechnung nach der Lenge auf der Linihen und Feder (1550) was het beste en meest verspreide leerboek in de 16e eeuw.

4 Bertrand François Barrême (1638-1703) voerde de titel van expert voor de rekeningen der Parijse Rekenkamer. Hij werd vooral bekend door zijn Livre des comptes faits du grand Commerce (1670), een klein handboek van de beginselen der rekenkunde, en zijn Arithmétique ou le Livre facile pour apprendre l'Arithmétique soi-même (1677). Hij schreef ook werkjes over interestberekening, vreemde munten en geldhandel. Dr. Jan Grauls (Onze Taal, VP 19) merkt op dat de naam Barrême een zelfstandig naamwoord werd (barème met één r en met accent grave), ter aanduiding van een verzameling uitgewerkte berekeningen.