Bzzlletin. Jaargang 28

[p. 23]

J. Heymans
Les mathématiques du coeur
Enkele aantekeningen over Frida Vogels en de wiskunde

Het literaire kunstwerk De harde kern van Frida Vogels telt bijna zestienhonderd bladzijden proza en ruim driehonderd bladzij den poëzie, maar het had nog omvangrijker kunnen zijn. Met name het derde deel van de tetralogie, Met z'n drieën, bevat een veelheid aan ideeën voor artikelen en verhalen. Daaraan is het feit dat Vogels De harde kern aan de hand van haar dagboek(en) heeft geschreven, natuurlijk niet vreemd. Overigens heeft ze uiteindelijk maar een paar van die plannen gerealiseerd. In 1950 publiceerde ze bijvoorbeeld ‘Over vriendschap in de litteratuur’ in Propria Cures, een artikel over Menno ter Braak en E. du Perron, naar aanleiding waarvan iemand van het ‘Amsterdamsch studententenweekblad’ haar onmiddellijk kwam polsen voor een plaats in de redactie. Ze legde hem ‘een wiskundig-wijsgerig traktaat’ voor, het fundament van een door haar te ontwikkelen ‘mathematisch systeem van paradoxen’, en schrikte hem daarmee voldoende af. Na haar PC-artikel schreef ze, los van enkele bijdragen aan de brievenroman waartoe de dominante medestudent Joost haar had verleid, een lang gedicht ‘Voor mijn vader’ waarmee Met z'n drieën opent, een essay ‘Over Vestdijk en Emily Dickinson’ en het verhaal ‘Correspondentie’ over ‘een hectische broer-zusterrelatie waarin de abstracte spanning tussen de twee tot het breekpunt wordt opgevoerd en dat dan ook eindigt met de zelfmoord van de zuster, als mathematisch juiste conclusie uit de daarvoor uitgevoerde en aan de werkelijkheid ontleende feiten’. In februari 1954 bracht Vogels dit gedicht, essay en verhaal in een ontwerp voor een boek onder dat ze zou publiceren, als ze al iets zou publiceren. Het geheel zou ‘Resultaten’ gaan heten. Het is er niet van gekomen.

Naast deze beschouwingen en verhalen die Vogels daadwerkelijk heeft voltooid, droomde ze van allerlei verhandelingen die ze ooit nog wilde schrijven. Een voorbeeld daarvan is het verhoopte opstel ‘Eudoxus, of wiskunde uit kwader trouw’. Volgens Vogels besteedde deze leerling van Plato, een wis- en sterrenkundige uit Cnidus, zijn leven aan ‘het kunstig inpassen van afwijkende observaties in Plato's ideale theorie’. Dit is een interessante stellingname, want Eudoxus kon maar bar weinig waardering opbrengen voor Plato's analytische vermogens. Anderzijds schijnt de Atheense filosoof niet erg gelukkig te zijn geweest met het succes van Eudoxus en zijn volgelingen. Eudoxus van Cnidus ontwikkelde onder meer de theorie der verhoudingen die Euclides in het vijfde boek van zijn Elementen gebruikt, en de zogenaamde exhaustiemethode waarmee oppervlak- en inhoudsberekeningen kunnen worden behandeld zonder de paradoxen van Zeno geweld aan te doen. Zijn kinematsch model van het planetenstelsel is niet, zoals vaak wordt beweerd, door Plato geïnspireerd, maar veeleer door Pythagoras. Tegenwoordig wordt aangenomen dat Plato en Eudoxus elkaar niet of nauwelijks hebben beïnvloed. Vogels vergeleek zichzelf tijdens haar studietijd met Eudoxus. Het is jammer dat ze diens denken en doen niet verder heeft uitgewerkt, bijvoorbeeld onder de beloftevolle werktitel ‘Eudoxus, of wiskunde uit kwader trouw’. Hoogstens merkt ze hier en daar in De harde kern op dat ze ‘redeneerde als Eudoxus’.

In Met z'n drieën, een autobiografie die de eerste vierentwintig jaar van Vogels' leven beslaat, legt de schrijfster al op jonge leeftijd een grote belangstelling voor wiskunde aan de dag. Halverwege de lagere school in Laren is het voor haar een onontkoombare waarheid dat ze wiskunde zou gaan studeren. En ze heeft er inderdaad gevoel voor, getuige een opmerking over een proefwerk op het gymnasium: ‘Ik was zo knap in de wiskunde dat ik een tien kreeg voor een meetkundeproefwerk dat ik niet eens had gemaakt: ik had me ertoe beperkt een hulplijn te trekken. Schuitemaker gaf in onze klas een extra probleem op, “een mooi probleem, voor de liefhebbers,” zei hij erbij, dat hij al meer dan eens op school aangeboden had, maar niemand had er ooit raad mee geweten. Ik loste het op, maar durfde dat niet te zeggen’. In De harde kern rept

[p. 24]

Vogels herhaaldelijk van haar interesse in de wiskunde, maar dit is een van de weinige passages waaruit haar talent van ‘kennis van het zekere’ onmiskenbaar blijkt. Het stippelen van een hulplijn die een meetkundig vraagstuk onmiddellijk inzichtelijk maakt... dat tekent de ware wiskundige. Elegante bewijzen maken vaak gebruik van het principe van de hulplijn. Een eenvoudig voorbeeld is de stelling van Pythagoras waarbij de hypotenusa van een willekeurige rechthoekige driehoek tot een vierkant kan worden uitgebreid. De overige zijden van dat schuine vierkant vormen op hun beurt ook weer de hypotenusa van een identieke driehoek, opdat een omvattend vierkant ontstaat. Het oppervlak van het grote vierkant kan op twee manieren worden berekend. En daaruit volgt de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de hypothenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

Vogels wilde onder meer wiskunde gaan studeren, omdat ze hoopte dat die discipline echt moeilijk zou zijn, waardoor ze zich mogelijkerwijze als genie zou kunnen manifesteren. Deze mening en passie vond ze later terug bij Stendhal, die zomin als zij wiskunde ging studeren, ‘maar wel zolang hij daar jong genoeg voor was trouw bleef aan zijn roeping van genie’. Stendhals geestdrift voor wiskunde, waarnaar Vogels verwijst, is uitvoerig geboekstaafd in zijn autobiografie, die in 1835 onder de titel Vie de Henri Brulard het licht zag. Op de Ecole centrale van Grenoble raakte Henry Brulard - de initialen komen overeen met die van Stendhals werkelijke naam: Henri Beyle - steeds meer in de ban van de wiskunde, naarmate hij een geringere dunk van zijn leraren kreeg. Zij konden hem bijvoorbeeld niet uitleggen dat min maal min plus is, en evenmin dat twee evenwijdige lijnen elkaar snijden in het oneindige. Hij verdiepte zich in vierkants- en derdemachtsvergelijkingen. Was het oplossen daarvan voor hem aanvankelijk niet meer dan het toepassen van een ‘apothekersrecept’, weldra begreep hij het ineens. Zijn passie voor wiskunde nam al snel zo veel van zijn tijd in beslag dat hij zijn haar te lang droeg, zo jammer vond hij het van het half uur dat verloren zou gaan als hij het liet knippen.

Misschien is het nogal verwaand van me dat ik me daarnet een uitstekend wiskundige heb genoemd. Ik heb nooit iets afgeweten van differentiaal- en integraalrekening, maar in een bepaalde periode heb ik me voortdurend en met plezier beziggehouden met de kunst vergelijkingen op te stellen, met dat wat ik, als ik zo vrij mag zijn, de metafysica van de mathematica zou willen noemen. Ik heb de eerste prijs behaald (en zonder enige bevoorrechting, integendeel mijn hooghartigheid joeg de mensen tegen me in het harnas) van acht jongelui die een maand later, eind 1799, allemaal als leerling op de polytechnische school zijn toegelaten.

Enkele jaren eerder had Brulard ook al, met algemene instemming, de eerste prijs voor literatuur behaald, en een eervolle vermelding of een tweede prijs voor wiskunde. Na zijn eerste prijs lag het voor de hand dat hij aan de Ecole polytechnique in Parijs ging studeren, maar zijn voorgenomen wiskundestudie was vooral een mogelijkheid om uit Grenoble weg te komen. Hij wilde in Parijs leven en komedies schrijven.

Wat de voorliefde voor literatuur en wiskunde betreft, lijkt Stendhals geboekstaafde Werdegang tot het eind van zijn adolescentie veel op die van Vogels. Ook de schrijfster van De harde kern koesterde een al gedurig sluimerende liefde voor de literatuur - in het bijzonder de poëzie - die haar passie voor wiskunde weldra overvleugelde, toen ze eenmaal met haar studie Nederlandse taal en letterkunde was begonnen.

Nu ik in Amsterdam woonde, wou ik geen groot wiskundige meer worden, maar ‘critica’. [...] Met ‘critica’, dat bespottelijke woord, gaf moeder me op het cruciale moment juist bijtijds het parool. Ik zou me wijden aan de poëzie, maar wetenschappelijk, niet artistiek; ik zou de mensheid een stap verder helpen op de weg naar begrip. ‘De schoonheid van de wiskunde’, staat in mijn dagboek, zou het boek heten dat ik in mijn leven hoopte te schrijven. Later keerde ik dat om en wou in het spoor van Leibniz de wiskundige wetmatigheden van de poëzie onderzoeken, en nog later beriep ik me op Pascal en Stendhal en noemde mijn overpeinzingen ‘mathématiques du coeur’, een programma dat ik welbeschouwd mijn leven lang trouw gebleven ben.

In ‘Wonderen’, een van de weinige verspreid gepubliceerde beschouwingen van Vogels, legde de wiskun-

[p. 25]

de het al tegen de literatuur af. Ze publiceerde deze voor Rudy Kousbroek geschreven herinnering in Het magistrale vernuft Daarin gaat ze naar haar vijftiende levensjaar terug, ‘de leeftijd waarop de mening postvat dat men wonderen zelf kan en moet bewerkstelligen’. Ze besloot in haar jeugdige overmoed het raadsel te gaan bewijzen. Weken besteedde ze eraan. Ze schreef schriften vol met formules, totdat ze het benauwd kreeg van haar gemodder. Zo is het velen voor haar en na haar vergaan.

Pierre de Fermat, conseiller au Parlement de Toulouse, een raadsheer bij de Kamer van Petitie, hield zich in zijn vrije tijd met wiskunde bezig. Bij veel van die werkzaamheden liet hij zich inspireren door de Arithmetica van Diophantus die omstreeks 250 in Alexandrië leefde. Daarin stuitte hij op een hele reeks opmerkingen, vraagstukken en uitkomsten rond de stelling van Pythagoras x² + y² = z² en de drietallen die daaraan voldoen, zoals x = 3, y = 4 en z = 5 of x = 5, y = 12 en z = 13. ‘Starend naar de bladzij begon hij te spelen met de vergelijking van Pythagoras, op zoek naar iets wat de Grieken was ontgaan. En opeens, in een geniale flits die de prins der amateurs onsterfelijk zou maken, schiep hij een vergelijking die, hoewel zeer verwant met de vergelijking van Pythagoras, helemaal geen oplossing had’. Zo beschrijft de natuurkundige Simon Singh in zijn meer dan voortreffelijke boek Het laatste raadsel van Fermat, het ogenblik dat Fermat het naar hem genoemde vermoeden optekende. Eerst: x³ + y³ = z³ heeft geen oplossingen voor gehele getallen. En vervolgens: xⁿ + yⁿ = zⁿ heeft geen oplossingen voor n=3,4,5... In de marge van zijn exemplaar van de Arithmetica maakte Fermat omstreeks 1637 een notitie van zijn bevinding: ‘Het is niet mogelijk een kubus te schrijven als een som van twee kubussen, of een vierdemacht te schrijven als de som van twee vierdemachten of, in het algemeen, elk getal in een macht groter dan twee te schrijven als de som van twee soortgelijke machten’. Deze bewering was al ongehoord, maar wat erop volgde, was nog veel ongelooflijker: ‘Ik heb een waarlijk spectaculair bewijs voor deze stelling gevonden, maar deze marge is te smal om het te bevatten’. Daarna vertelt Singh, bijna als in een jongensboek, hoe Fermats vermoeden ‘de grootste geesten der aarde 358 jaar lang tot wanhoop dreef’. Uiteindelijk gelukte het Andrew Wiles in 1995 het intrigerende vraagstuk op te lossen, maar niet nadat zijn eerste bewijs dat hij twee jaar eerder had gepresenteerd, niet sluitend was gebleken. Het officiële bewijs van de stelling van Fermat - het was immers geen vermoeden meer - beslaat meer dan honderd bladzijden, hetgeen de vraag rechtvaardigt of de opmerking in de marge van Diophnatus' Arithmetica geen practicle joke was geweest. Het bewijs van Wiles slaat een brug tussen de meest uiteenlopende mathematische werelden, zoals die van elliptische vergelijkingen en die van modulaire vormen. Het boek van Simon Singh is daarom zo fascinerend, omdat het niet alleen laat zien wat de essentie van het wiskundig bewijs sinds Pythagoras is, maar ook - aan de hand van de stelling van Fermat - een bloedstollende geschiedenis van de wiskunde verstrekt. Met het bewijs van Wiles is de unificatie van de wiskunde een stapje dichterbij gekomen. Eeuwenoude, onopgeloste problemen in het ene domein kunnen in een ander domein opnieuw aan nauwkeurige bestudering worden onderworpen. Maar dan nog blijft er ‘een menigte onopgeloste mathematische raadsels’ over. Een bekend geval is het vermoeden van Goldbach: elk even getal is de som van twee oneven priemgetallen. De computer heeft dit vermoeden inmiddels gecontroleerd en juist bevonden voor elk even getal tot 100.000.000, maar daarmee is het natuurlijk bij lange na nog niet bewezen.

Nadat Frida Vogels er niet in was geslaagd de stelling van Fermat te bewijzen - ook zij had zich laten leiden door de marginale suggestie van Fermat dat het niet zo moeilijk was - besloot zij haar vermogens anders te beproeven. Zij wilde een geschiedenis van de wereldliteratuur schrijven. Vogels wist overigens van tevoren dat dit voornemen - evenals het bewijs van de stelling van Fermat - zou mislukken. In de inleiding van de geschiedenis behandelde ze enige algemene kwesties. Wat is taal? Wat is kunst? Wat is literatuur? Ze had zich uitgebreid gedocumenteerd - van de oude Chinezen tot Lucretius en Leibniz; van de Griekse tragici en de Gilgamesj tot de zoektocht naar de Graal - en bracht nu, met veel gezwoeg, haar eigen ideeën te berde: ‘Waarheid kan slechts begrepen worden door het doorgronden van tegenstellingen: die waarheid zoekt de dichter’. Et cetera.

Op het titelblad van de door haar nagestreefde geschiedenis van de wereldliteratuur had Vogels de drie hiërogliefen voor Waarheid, Schoonheid en Leven getekend. Ook had ze daarop een verheven motto van

[p. 26]

Jacques Perk geschreven: ‘O Schoonheid, wier naam geheiligd zij!’ De ernst en verbetenheid waarmee ze aan haar boek werkte, doet onwillekeurig denken aan de grote gedrevenheid waarmee L.E.J. Brouwer in 1905 een serie lezingen voor het gezelschap Vrije Studie van Delftse studenten heeft gehouden. De neerslag van deze voordrachten die hij als ‘een antibioticum’ tegen de daaraan voorafgaande verhandelingen van Bolland beschouwde, verscheen onder de titel Leven, Kunst en Mystiek. Frederik van Eeden stuitte in het boekje op ‘Een machtig Brouwsel’, maar Kousbroek beschouwde het als het zwarte schaap onder de publicaties van Brouwer, een van de grootste wiskundigen - zo niet de geniaalste - die Nederland in de moderne tijd heeft voortgebracht. In Kunst, Leven en Mystiek laat Brouwer zich kennen als ‘mysticus in hart en nieren’ die tegen bijna de gehele maatschappij is gericht. Hij pleit voor zelfinkeer en keert zich tegen beschaving, cultuur, kerk, moraal, vooruitgang, wereldverbetering... Bij hem is de wetenschap ‘de laatste bloem en verstarring der cultuur’, maar in tegenstelling tot Vogels trok hij daaruit niet de conclusie haar de rug toe te keren. Brouwer maakte een spectaculaire reconstructie van de wiskunde en zocht de basis daarvoor in intuïtieve constructies en niet in axioma's. Zo vrijwaarde hij de wiskunde van allerhande principes die in zijn ogen niet mathematisch waren. De intuïtionistische logica van Brouwer is in technisch opzicht uiterst ingewikkeld, maar de consequenties laten niets aan duidelijkheid te wensen over: een getal dat niet kan worden geconstrueerd, bestaat niet. Het principe van tertium non datur - iets is waar of iets is niet waar - geldt niet in het oneindige. En meer van dergelijke krachtige uitspraken. Zeker uit de vroege geschriften van Brouwer doemt, volgens zijn biograaf Dirk van Dalen, het beeld van een even introvert als ongenaakbaar mens op. Het is meer dan eens bevestigd (al liet de grote wiskundige zich in zijn latere leven ook herhaaldelijk van een andere kant zien: als causeur en lastpak). Deze kenschets herinnert een beetje aan het beeld dat de schrijfster van De harde kern van zichzelf schetst.

In tegenstelling tot Brouwer zette Vogels in 1952 een punt achter haar studie Nederlands. Daarmee keerde ze zich, naar haar gevoel, tegen de maatschappij. Ze vertrok naar Parijs om haar ‘roeping’ te volgen, het leven aan te passen aan haar eigen norm. Met betrekking hiertoe schreef ze in haar dagboek dat ze ooit de onvergetelijke titel ‘les mathématiques du coeur’ had gegeven: ‘Ik heb mijzelf nu verplicht om een genie te zijn’. En dat is ze ook gebleken. In De harde kern en in het dagboek dat daaraan ten grondslag ligt, heeft ze met welhaast mathematische precisie de wortels van haar bestaan geanalyseerd. Tussendoor schijnt ze regelmatig in de ‘hogere wiskunde’ te hebben gelezen, zoals een ander een al dan niet literair boek te hand neemt: ter ontspanning. Dit voor haar zo kenmerkende feit staat helaas nergens geboekstaafd. Niemand hoeft er overigens aan te twijfelen water was gebeurd als ze in de wiskunde zou zijn doorgegaan. Ze had ongetwijfeld iets eigenzinnigs in dat vakgebied ontdekt, mischien wel iets ‘Eudoxisch’, maar had ze deze vondst dan ook in de wetenschappelijke gemeenschap uitgedragen en verdedigd? Waarschijnlijk niet. Ze was veeleer een wiskundige in de geest van Fermat of Pythagoras geweest. Die hielden hun vondsten het liefste voor zichzelf.

J. Heymans (1954) is redacteur van Bzzlletin, maar studeerde in een vorig leven onder meer fundamentele wiskunde aan de Universiteit Twente.