Geschiedenis van de wiskunde

[p. 161]

VII. De achttiende eeuw

De scheppingskracht van de grote achttiende-eeuwse wiskundigen was in de eerste plaats gewijd aan de uitbouw van de differentiaalen integraalrekening en haar toepassing op de aardse en hemelse mechanica. We kunnen de meest vooraanstaande figuren in een soort stamboom opstellen, om daarmee hun geestelijke verwantschap aan te duiden:

Leibniz (1646-1716)

De gebroeders Bernoulli: Jakob (1654-1705) Johann (1667-1748)

Euler (1707-1783)

Lagrange (1736-1813)

Laplace (1749-1827)

Nauw verbonden met de werkzaamheid van deze mannen was die van een aantal Franse wiskundigen, van wie wij meer speciaal Clairaut, D'Alembert en Maupertuis willen noemen, en die met de filosofen van de Verlichting verbonden waren. Daarnaast staan nog, in nauwe betrekking, de Zwitserse wiskundigen Daniel Bernoulli en Johann Heinrich Lambert. De wetenschappelijke bedrijvigheid van deze periode had gewoonlijk een der grote Academies als middelpunt, vooral die van Parijs, Berlijn en St.-Petersburg. Het onderwijs aan universiteiten speelde daarbij slechts een geringe rol. Die Academies stonden vaak onder de bescherming van die monarchen, die als verlichte despoten bekend zijn, we denken aan Frederik ii van Pruisen en Catharina van Rusland, zo men wil kan men daar Lodewijk xv en xvi van Frankrijk ook bij rekenen. Deze ‘verlichte’ koningen en keizers stelden er grote prijs op bekende geleerden aan hun academies of hun hof te verbinden. Dit was niet alleen een soort van snobisme, maar ook tot op zekere hoogte een erkenning van het feit dat toegepaste wiskunde en de natuurwetenschappen een rol speelden bij de verbetering van het produktieproces en de vergroting van de strijdbaarheid van het leger of de zeemacht. Men heeft wel eens gezegd, dat de uitstekende kwaliteit van de Franse vloot ten dele berustte op het feit, dat de bouwers van de fregatten en linieschepen zich ook door wiskundige ideeën lieten leiden. Zo bevatten Eulers werken vele toepassingen op vraagstukken die voor vloot en leger van belang waren. Ook de

[p. 162]

sterrenkunde ging voort onder koninklijke en keizerlijke bescherming haar vraagstukken aan de wiskundigen voor te zetten, nu als toepassingen en uitbreidingen van Newtons leer der zwaartekracht.

2.

Bazel, in Zwitserland, reeds in 1263 een vrije Rijksstad geworden, was al lange tijd een middelpunt van wetenschappelijk leven. Wij hoeven slechts aan Erasmus te denken, die ‘grote ster’ die in Rotterdam rees, ‘en ging in Bazel onder’. Evenals in de Hollandse steden bloeiden ook in Bazel kunsten en wetenschappen onder de bescherming van rijke koopmansfamilies. Een dezer families was die der Bernoulli's, in de zeventiende eeuw uit Antwerpen overgekomen, nadat deze stad blijvend weer Spaans was geworden. Deze familie heeft vanaf de laatste jaren van de zeventiende eeuw tot op heden, in ieder geslacht opnieuw mannen van wetenschap voortgebracht. Het is moeilijk in de geschiedenis der wetenschappen nog een andere familie te vinden, die op wetenschappelijk gebied zulke hoge prestaties heeft geleverd. Misschien de Darwin-familie in Engeland.

Deze wetenschappelijke activiteit begon bij de twee broeders, Jakob en Johann. Jakob (Jacques), de oudste, begon met theologie, Johann (Jean) met medicijnen te studeren, doch toen Leibniz' artikelen in de Acta Eruditorum verschenen, besloten beiden zich op de wiskunde toe te leggen. Zo werden ze de eerste leerlingen van betekenis die Leibniz kreeg. In 1687 verkreeg Jakob aan de universiteit te Bazel de leerstoel voor wiskunde, welke hij tot zijn dood in 1705 bezette. Johann werd in 1697 professor in Groningen (op voorspraak van Huygens), maar toen zijn broeder stierf, ging hij als diens opvolger terug naar Bazel. Hier heeft hij drieënveertig jaar gedoceerd, tot aan zijn dood in 1748. In zijn latere levensjaren gold hij als de nestor van de wiskundigen van zijn tijd, kritisch en kribbig, doch bovenal trots op de prestaties van zijn leerling Euler.

Jakob begon zijn briefwisseling met Leibniz in 1687. Door een constante uitwisseling van ideeën tussen Leibniz en de twee broeders - de broeders soms in heftige rivaliteit - ontdekten deze drie wiskundigen talloze schatten die door het pionierswerk van Leibniz aan het licht gebracht waren. Het aantal hunner ontdekkingen is groot en bevat vele onderzoekingen over integralen en gewone differentiaalvergelijkingen. We kunnen hier slechts enige voorbeelden geven. Bij Jakob vinden we het gebruik van poolcoördinaten, de studie van de kettinglijn (reeds door Huygens en ande-

[p. 163]

ren besproken), de lemniscaat (1694) en de logaritmische spiraal. In 1690 ontdekte hij de zgn. isochroon, waarnaar Leibniz in 1687 had gevraagd: ze is de kromme waarlangs een massapunt met eenparige snelheid valt en bleek de semikubische parabool te zijn. Jakob schreef ook over isoperimetrische figuren (1701), die tot een vraagstuk der variatierekening voerden. Jakob had zulk een genoegen in de logaritmische spiraal, die de eigenschap bezit zichzelf bij een aantal transformaties te reproduceren (haar evoluut is een logaritmische spiraal, en eveneens haar voetpuntskromme en brandlijn ten opzichte van de pool) dat hij die spiraal op zijn grafsteen liet graveren, met de inscriptie ‘eadem mutata resurgo’.¹

Jakob Bernoulli hield zich ook bezig met de nog nieuwe waarschijnlijkheidsrekening, waarover hij zijn Ars conjectandi schreef, dat in 1713 na zijn dood verscheen. In het eerste gedeelte van dit boek vinden we Huygens' opstel over ‘spelen van geluk’; het andere gedeelte bevat een verhandeling over permutaties en combinaties, die haar hoogtepunt vindt in het meest beroemde gedeelte: het ‘theorema van Bernoulli’ over het gedrag van binomiale waarschijnlijkheidsdistributies. In dit zelfde boek vinden we een discussie over de driehoek van Pascal en treffen we ook de zgn. getallen van Bernoulli aan.

1 ‘Ofschoon veranderd, ik blijf dezelfde.’ De spiraal op de grafsteen ziet er meer als een Archimedische spiraal uit.

3.

Johann Bernoulli's werk is in zijn jongere dagen met dat van zijn dertien jaar oudere broer nauw verbonden, en het is niet altijd gemakkelijk de resultaten van beide mannen precies uit elkaar te houden. Johann wordt wel als de uitvinder van de variatierekening beschouwd omdat hij het probleem van de brachistochroon oploste, dus het probleem van de kromme waarop een massapunt in de kortst mogelijke tijd naar beneden valt van een punt A naar een punt B (B niet verticaal onder A). Dit was in 1697, doch ook Jakob gaf een oplossing en ook Leibniz werkte eveneens mee. In deze tijd ontstond ook de oplossing van het vraagstuk van de geodetische krommen op een oppervlak, dat eveneens tot de variatierekening behoort.² De oplossing van het brachistochroon probleem is de cycloïde, die ook de tautochroon is, zoals reeds Huygens had gevonden. Johann Bernoulli heeft ook, in samenwerking

2 Newton had reeds in een scholium van de Principia (Book ii, Pro. 25) het omwentelingslichaam beschouwd dat met de minste weerstand zich in een vloeistof beweegt. Hij gaf geen bewijs.

[p. 164]

met Leibniz, het probleem der orthogonale trajectoriën van een familie krommen behandeld, waartoe Newton (na door Leibniz en Bernoulli te zijn uitgedaagd) eveneens een bijdrage heeft geleverd (1716).

Onder de andere Bernoulli's, die tot de wiskunde hebben bijgedragen, vinden we twee zonen van Johann, Nikolaus en vooral Daniel.¹

Nikolaus werd naar St.-Petersburg beroepen, de stad die slechts kort te voren door tsaar Peter de Grote was gesticht; hij stierf jong. Het probleem der waarschijnlijkheidstheorie dat hij gedurende zijn verblijf in die stad ter discussie stelde, is als ‘probleem (of meer dramatisch “paradox”) van St.-Petersburg’ bekend. De andere zoon van Johann, Daniel, is oud geworden; tot 1777 was hij professor aan de universiteit van Bazel. Zijn rijke wetenschappelijke arbeid was voornamelijk aan astronomie, fysica en hydrodynamica gewijd: van de hydrodynamica was hij een der stichters, zijn boek met deze naam is van 1738. Een der stellingen van dit boek, die over de hydraulische druk in buizen, draagt zijn naam. In deze Hydrodynamica vindt men ook de eerste beginselen van de kinetische gastheorie. Met D'Alembert en Euler heeft hij de theorie van de trillende snaar opgesteld, een theorie die voor het eerst door Brook Taylor aan de orde is gesteld (1715). Men kan dit werk als het begin van de leer der partiële differentiaalvergelijkingen beschouwen. Vader en oom ontwikkelden de theorie der gewone differentiaalvergelijkingen, hun neef daarentegen maakte zich verdienstelijk met de partiële vergelijkingen. Het snaarprobleem leidde ook tot trigonometrische reeksen.

1

4.

Uit Bazel kwam ook de meest produktieve wiskundige van de achttiende eeuw - en misschien van alle tijden - Leonhard Euler. Zijn vader, een plattelandspredikant, had bij Jakob Bernoulli wis-

[p. 165]

kunde gestudeerd en Leonhard volgde zijn spoor bij Johann. Toen diens zoon Nikolaus in 1725 naar St.-Petersburg reisde, volgde hem de jonge Euler en bleef daar aan de Academie tot 1741. Van 1741 tot 1766 was Euler werkzaam aan de Academie te Berlijn die onder de speciale bescherming van Frederik de Grote stond, en daarna tot zijn dood in 1783 was Euler weer aan de Academie in St.-Petersburg, nu onder het patronaat van keizerin Catharina. Hij was tweemaal getrouwd en had dertien kinderen, van wie de oudste Johann Albrecht ook een wiskundige was. Het leven van deze typische achttiende-eeuwse academicus was bijna uitsluitend aan de verschillende gebieden der zuivere en toegepaste wiskunde gewijd. Ofschoon hij één oog in 1735 verloor en kort na zijn terugkeer in St.-Petersburg geheel blind werd, kon niets zijn enorme produktiviteit onderbreken. Met zijn fenomenaal geheugen en wiskundige intuïtie, geholpen door zijn zoon en door anderen, ging hij voort zijn ontdekkingen te dicteren. Gedurende zijn leven verschenen 560 boeken en artikelen, en na zijn dood heeft de Academie in St.-Petersburg er zevenenveertig jaar voor nodig gehad om zijn nagelaten manuscripten te publiceren. Dit verhoogt het aantal van zijn werken tot 771, maar door het onderzoek van Gustav Eneström is dit aantal tot 886 gegroeid.

Euler verrijkte met aanzienlijke bijdragen elk gebied der wiskunde dat in zijn tijd bestond. Hij publiceerde zijn resultaten niet alleen in artikelen van allerlei lengte, doch ook in een indrukwekkend aantal lijvige leerboeken, waarin hij de reeds verworven kennis van zijn tijd systematisch uiteenzette en met nieuwe schatten verrijkte. Op sommige gebieden is zijn uiteenzetting bijna definitief geworden. Een voorbeeld hiervan is onze huidige goniometrie met haar interpretatie van de sinussen en tangenten als verhoudingen en hun tegenwoordige notatie, die men beschreven vindt in Eulers Introductio in Analysin Infinitorum van 1748. Het geweldige prestige van zijn boeken maakte een eind aan veel verwarring in terminologie en notatie; Lagrange, Laplace en Gauss kenden Euler en namen zijn notatie in al hun werken over.

De Introductio van 1748 behandelt in zijn twee delen een groot aantal onderwerpen. Men vindt er een uiteenzetting over oneindige reeksen, waaronder die voor e ^x , cos x en sin x, verbonden door de betrekking e^ix = cos x + i · sin x (in verschillende vormen reeds voor Euler gevonden, o.a. door Johann Bernoulli). De betrekking tussen exponentiële en logaritmische grootheden wordt eindelijk duidelijk uiteengezet. Krommen en oppervlakken worden met behulp van hun vergelijkingen grondig onderzocht, zodat men in de

[p. 166]

De pagina's uit de Introductio van Euler waarin e ^ix = cos x + i sin x wordt behandeld.
(Uit een latere druk van de tekst uit 1748. Euler publiceerde de formule in 1743 en maakte er zelfs in brieven aan Goldbach in 1741 en 1742 reeds melding van.)

[p. 167]

[p. 168]

Introductio ook een analytische meetkunde in leerboekvorm aantreft. Met de behandeling van tweedegraadsoppervlakken komt hier ook de ruimtemeetkunde tot haar recht. Ook vindt men in de Introductio een algebraïsche eliminatietheorie. Tot de spannendste delen van het boek behoort het gedeelte over de Zètafunctie en haar betrekking tot priemgetallen, zowel als het hoofdstuk over de partitio numerorum.¹

Een ander groot en rijk tekstboek was Eulers Institutiones calculi differentialis (1755), gevolgd door drie dikke delen Institutiones calculi integralis (1768-'74). In die boeken vindt men niet alleen onze elementaire differentiaal- en integraalrekening met de differentiaalvergelijkingen systematisch uiteengezet, doch ook de stelling van Taylor met vele toepassingen, de ‘sommatie’-formule van Euler, en de integralen die we nu met B en Γ aanduiden.² Het deel over differentiaalvergelijkingen met zijn indeling in ‘lineaire’, ‘exacte’ en ‘homogene’ differentiaalvergelijkingen is nog steeds het voorbeeld voor onze elementaire leerboeken over dit onderwerp.

Eulers Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736) was het eerste leerboek waarin Newtons dynamica van het massapunt met de methode van Leibniz' differentiaal- en integraalrekening werd ontwikkeld. Dit boek werd gevolgd door de Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) met een soortgelijke behandeling van de mechanica van vaste lichamen. Hier vinden wij ‘de vergelijkingen van Euler’ voor de rotatie van een lichaam om een punt. De Vollständige Anleitung zur Algebra (1770) in het Duits geschreven en door een blinde Euler aan een dienaar gedicteerd, is het voorbeeld geweest voor vele latere boeken over de algebra. Het leidt ons tot de theorie der vergelijkingen van de derde en de vierde graad en heeft als appendix een verhandeling over onbepaalde vergelijkingen: een oud onderwerp geheel nieuw bewerkt. Hier vindt men de bewijzen van de stelling van Fermat voor n = 3 en n = 4, de stelling die zegt dat xⁿ + yⁿ = zⁿ onmogelijk is voor positieve gehele getallen behalve in de gevallen n = 1 en n = 2.

In het jaar 1744 verscheen Eulers Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Dit was de eerste

1 Zie het voorwoord tot de Introductio van A. Speiser in Euler, Opera Omnia, i, 9 (1945).

2 P.J. Davis, Leonhard Euler's integral. A historical profile of the Gamma function. Amer. Mathem. Monthly 66 (1959) 849-869.

[p. 169]

systematische uiteenzetting over de beginselen der variatierekening. Het boek bracht de ‘vergelijkingen van Euler’ met vele toepassingen, waaronder de ontdekking dat catenoïde en recht schroefoppervlak minimaaloppervlakken zijn.¹

Andere beroemde ontdekkingen van Euler zijn zijn polyederstelling, dat tussen het aantal hoekpunten H, ribben Z en zijvlakken V van een gesloten veelvlak de betrekking H + V - Z = 2 bestaat², verder de rechte van Euler in de driehoek, de krommen van constante breedte (die Euler orbiforme krommen noemde) en de constante van Euler C, die samenhangt met de manier waarop de harmonische reeks divergeert:

Enige verhandelingen zijn aan spelen en andere onderhoudende onderwerpen gewijd, zoals aan de paardesprong in het schaakspel, het bruggeprobleem van Koningsbergen, en aan tovervierkanten. Eulers bijdragen tot de getallentheorie, die hij als eerste na Fermat weer produktief aanpakt, zouden alleen al genoeg zijn om hem een nis te verschaffen in de Tempel van de Roem. Tot zijn bijdragen op dit gebied behoort de reciprociteitswet van de kwadraatresten (1772).

Euler heeft ook veel op het gebied van de sterrenkunde gepubliceerd, waar vooral de maantheorie, en het drielichamenprobleem in het algemeen, zijn aandacht had. Daarmee heeft hij bijgedragen tot de samenstelling van nauwkeurige maantabellen, die voor de lengtebepaling op zee van groot nut bleken te zijn. Inderdaad heeft, zoals gezegd, het eeuwenoude probleem van de correcte lengtebepaling eerst in de tweede helft van de achttiende eeuw een bevredigende oplossing gevonden. Een algemene hemelmechanica vindt men in Eulers Theoria motus planetarum et cometarum (1774). Ook schonk Euler reeds in zijn jongere jaren zijn aandacht aan de aantrekking van ellipsoïden (1738).

Er bestaan ook boeken van Euler over hydraulica, scheepsbouw en artillerie. In 1769-'71 verschenen drie delen Dioptrica met een theorie van de stralenbreking door een stelsel lenzen. In 1739 pu-

1 Zie het voorwoord tot de Methodus inveniendi van C. Caratheodory in Euler, Opera 1, vol. 24 (1952).

2 Ze was reeds bekend aan Descartes, maar is eerst veel later gepubliceerd, zie de Oeuvres (ed. Adam et Tannery), deel X, 257-276.

[p. 170]

bliceerde hij een muziektheorie, waarvan wel eens is gezegd dat ze te muzikaal was voor de wiskundigen, en te wiskundig voor de musici. Eulers wijsgerige beschouwingen over de belangrijkste problemen der natuurwetenschappen, in zijn Lettres à une princesse d'Allemagne, geschreven (1760-'61), zijn in vele talen, (ook Nederlands, 1785) uitgegeven en blijven nog altijd zeer leesbaar.

De ongelofelijke produktiviteit van Euler is altijd voor iedereen die met zijn werk in aanraking is gekomen, een bron van bewondering zowel als verrassing geweest. Een studie van zijn werk is niet zo moeilijk als het misschien wel lijkt, omdat Eulers Latijn heel eenvoudig is en zijn notatie bijna geheel modern - eigenlijk moeten wij zeggen dat onze moderne notatie bijna geheel die van Euler is! Men kan een lange lijst van ontdekkingen opstellen die aan Euler kunnen worden toegeschreven, en een andere, met ideeën van Euler, waar men nog best verder aan kan werken. Grote wiskundigen hebben steeds dankbaar erkend hoeveel zij aan Euler hebben te danken gehad. ‘Lisez Euler,’ placht Laplace aan jongere mathematici te zeggen, ‘lisez Euler, c'est notre maître à tous.’ En Gauss, een beetje zwaarder op de hand, drukte zich als volgt uit: ‘Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts Anderes ersetzt werden.’¹ Riemann kende Eulers werken en in enkele van zijn meest diepzinnige werken voelen wij de geest van Euler. Uitgevers konden wel slechtere dingen doen dan eens een paar van Eulers geschriften in vertaling met modern commentaar uitgeven. Intussen kan men zich via de moderne inleidingen die aan verscheidene delen van de nog steeds verschijnende Opera omnia van Euler zijn toegevoegd, vaak heel mooi in Eulers werk oriënteren. Er is heel wat over hem geschreven, o.a. in 1983 bij de herdenking van zijn dood in 1783.

1 Lees Euler, hij is ons aller meester - De studie van Eulers werken blijft de beste school in de verschillende gebieden der wiskunde en kan door niets worden vervangen.

5.

Het is wel nuttig om ook eens op een paar voor ons nogal zwakke zijden van Euler te wijzen. In zijn eeuw werd met oneindige processen nogal zorgeloos omgesprongen en er is heel wat werk, zelfs van vooraanstaande wiskundigen, dat ons nu aandoet als een avontuurlijk geëxperimenteer. Men experimenteerde met oneindige reeksen, met oneindige produkten, met integratie, met het gebruik van de symbolen 0 ent ∞, zowel als met √ - 1. Dat wij zovele

[p. 171]

resultaten uit die tijd kunnen accepteren is vooral daaraan te danken dat die vooraanstaande wiskundigen - zoals in alle tijden - een buitengewoon fijn gevoel hadden voor wat waar en wat verkeerd was. Maar soms moeten we wel eens bedenkingen hebben. We accepteren Eulers stelling dat log n een oneindig aantal waarden heeft die alle complex zijn, behalve in het geval dat n positief is, wanneer één dier waarden reëel is. Euler hield dit vol tegen D'Alembert, die had beweerd dat log (- 1) = 0 (brief van 1747). Doch we kunnen Euler niet volgen als hij 1 - 3 + 5 - 7 + ... = 0 neemt, of wanneer hij uit

concludeert dat

... + 1/n² + 1/n +1 - n - n² - ... = 0

We moeten evenwel niet te haastig zijn met onze kritiek op de manier waarop Euler met divergente reeksen omspringt, hij paste gewoonweg niet enige van de tegenwoordig gebruikelijke (meest negentiende-eeuwse) convergentiecriteria toe. Er is onder dat zorgeloze gedoe met reeksen heel wat, waaraan de moderne wiskunde een strenge grondslag heeft kunnen geven.

We kunnen ook niet al te geestdriftig worden over Eulers poging de differentiaalrekening te baseren op een theorie van nullen van verschillende orde. Een infinitesimale grootheid, schreef Euler in zijn Differentiaalrekening van 1755, is in werkelijkheid nul, zodat a ± ndx = a, dx ± (dx)ⁿ⁺¹ = dx(n > 0) en a√dx + Cdx = a√dx.¹

‘Dus bestaan er oneindig vele orden van oneindig kleine grootheden, welke, ofschoon zij alle = 0, toch van elkaar moeten worden onderscheiden, zo we aan hun betrekking denken die door een meetkundige verhouding is gegeven,’ waarmee Euler bedoelt dat 0/0 allerlei waarden kan hebben, afhankelijk van de orde dezer nullen.² Het hele gebied van de grondslagen der differentiaalreke-

1 Deze formules doen aan een verklaring van Zeno denken, overgeleverd door Simplicius: ‘Datgene wat bij additie tot iets anders het niet vergroot, en bij aftrekking het niet verkleint, is niets.’

2 De reactie van de meeste wiskundigen is wel geweest (en is het nog) dat ook de grote Euler wel eens sliep. Professor Joesjkewitsj heeft er overigens op gewezen, dat er nog wel een andere kant aan die zaak zit: ‘Euler und Lagrange über die Grundlagen der Analysis’, Euler Sammelband zum 250. Geburtstages (Berlin 1959) 224-244.

[p. 172]

ning, evenals alle vraagstukken die op oneindige processen betrekking hadden, bleven evenwel het onderwerp van gedachtenwisseling en gedachtenverschil. Men kan (met Karl Marx) deze periode de ‘mystieke’ in de geschiedenis der differentiaalrekening noemen, en deze mystiek voerde soms weer tot conclusies die veel verder gingen dan de grondleggers ooit hadden gewild. Guido Grandi, een geestelijke, die professor in Pisa was, en die bekend is gebleven door zijn studie (1723) van rodoneeën (r = sin nθ) en andere krommen die op bloemen lijken¹, beschouwde de vergelijking

½ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = (1 - 1) + (1 - 1) + + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ...

als het symbool van de Schepping uit Niets. Hij verklaarde de uitkomst ½ ook hiermee, dat wanneer een vader aan zijn twee zoons een juweel vermaakt met de bepaling dat iedere zoon op zijn beurt het juweel een jaar mag houden, iedere zoon het juweel half in zijn bezit heeft.

We mogen Eulers verklaring van de grondslagen der differentiaalrekening zwak vinden, doch moeten erkennen dat hij zijn gezichtspunt met grote scherpte uitdrukt. Een geheel andere verklaring vinden we bij D'Alembert, in sommige artikelen van de beroemde Encyclopédie, waarvan hij een der leidende geesten was. Newton had de term ‘eerste en laatste verhouding’ voor de ‘fluxie’ gebruikt, als de verhouding van twee grootheden die juist in het leven komen of juist aan het verdwijnen zijn. D'Alembert verving dit begrip door dat van een limiet. Hij noemde een grootheid de limiet van een andere, wanneer de laatste de eerste nader komt dan welke grootheid, hoe klein ook genomen. ‘De differentiatie van vergelijkingen bestaat eenvoudig in het vinden van de limieten van de verhouding van eindige verschillen (différences) van twee veranderlijken die in de vergelijking voorkomen.’ Dit was een grote stap voorwaarts, evenals D'Alemberts idee van oneindige grootheden van verschillende orde. D'Alembert liet aan het voorbeeld van een parabool zien wat hij bedoelde. Maar zijn tijdgenoten waren niet overtuigd van het belang van D'Alemberts voorstel. Kwam niet D'Alembert in botsing met de moeilijkheden die in Zeno's paradoxen opgesloten waren, als hij verklaarde dat een snijlijn een raaklijn wordt, wanneer de twee snijpunten samenvallen? Hoe kan een veranderlijke zijn limiet bereiken, als we aan Zeno's kritiek van het bewegingsprincipe denken?

1 L. Tenca, Guido Grandi, Physis 2 (1960) 84-89.

[p. 173]

Wij hebben reeds Berkeley's kritiek op Newtons fluxies vermeld. George Berkeley, eerste deken van Derry, na 1734 bisschop van Cloyne in Zuid-Ierland (Anglicaans), en die van 1729-'31 in Newport (Rhode Island, nu V.S.) verbleef, is in de eerste plaats als een uitgesproken idealistische wijsgeer bekend: esse est percipi¹ (en in de tweede plaats door zijn geloof in de geneeskracht van teerwater). Hij was ongelukkig met de steun die de theorie van Newton aan het ongeloof gaf, en zo viel hij de theorie der fluxies aan, speciaal in The Analyst van 1734. Hij maakte de oneindig kleine grootheden belachelijk als ‘geesten van overleden grootheden’²: wanneer x met o wordt vermeerderd, dan is de aanwas van xⁿ, door o gedeeld, gelijk aan

Dit resultaat is verkregen door o ongelijk aan nul te stellen. Doch de fluxie van xⁿ, nx^n-1, wordt verkregen door o gelijk aan nul te stellen. Nu, wat is die geheimzinnige o, nul of niet nul? Dit was het, ‘klaar en open sofisme’³ dat Berkeley in de differentiaalrekening ontdekte. Hij ontkende niet dat het rekenen met fluxies juiste resultaten opleverde, maar geloofde dat ze verkregen waren doordat de fouten elkaar ophieven. Fluxies waren logisch onhoudbaar. ‘Maar hij die een tweede of derde fluxie, een tweede of derde differentiaal kan slikken’, riep Berkeley uit tegen de ‘ongelovige wiskundige’ die hij toesprak (Halley), ‘zo iemand hoeft heus geen aanmerking te maken over enig punt in de godgeleerdheid’. Dit is niet de enige keer geweest dat een kritische moeilijkheid in een wetenschap is gebruikt om een idealistische filosofie te versterken.

John Landen, een autodidactische Engelse wiskundige, wiens naam is bewaard gebleven in de theorie der elliptische integralen, trachtte op zijn wijze de moeilijkheden in de grondslagen der differentiaalrekening te overwinnen. In zijn Residual Analysis (1764) kwam hij Berkeley's kritiek tegemoet door oneindig kleine grootheden geheel te vermijden. Zo verkreeg hij de afgeleide van x³ door x in x₁ te veranderen, waarna

1 Te zijn betekent waargenomen te worden.

2 Ghosts of departed quantities.

3 Manifest sophism.

[p. 174]

in 3x² overgaat als x = x₁. Bij meer ingewikkelde functies eist dit proces echter oneindige reeksen, en zo heeft Landens methode enige verwantschap met de ‘algebraïsche’ methode die Lagrange zou ontwikkelen.

6.

Ofschoon Euler buiten kijf de meest vooraanstaande wiskundige van deze periode was, gingen Franse wiskundigen door met boeken en verhandelingen van grote oorspronkelijkheid te schrijven. In Frankrijk, misschien meer dan in andere landen, werd de wiskunde beschouwd als de wetenschap die de theorie van Newton tot grotere volmaaktheid moest voeren. De zwaartekrachtleer was zeer populair bij de wijsgeren van de Verlichting, die deze leer konden gebruiken in hun strijd tegen de feodale en half-feodale machten van kerk en staat. De Katholieke Kerk had in 1664 Descartes op de Index geplaatst, doch toen de eeuw ten einde liep, behoorde het Cartesianisme zelfs in conservatieve Katholieke kringen tot de goede smaak. De strijd van het Newtonianisme tegen het Cartesianisme - b.v. gravitatietheorie tegen werveltheorie - hield een tijdlang niet alleen de brandende belangstelling van de geleerde wereld, doch werd ook druk in de salons besproken. Voltaires Lettres sur les Anglais (1734) hielp eraan mee het Franse publiek van Engeland en zijn Newton op de hoogte te stellen; Voltaires vriendin Madame Du Châtelet vertaalde zelfs de Principia in het Frans (1759). In het bijzonder streden de aanhangers van Descartes en van Newton over de vorm van de aarde. Volgens de Cartesiaanse werveltheorie moest de aarde aan de polen uitgerekt zijn, volgens de Newtonianen was ze aan de polen afgeplat. De Cartesiaanse sterrenkundigen Cassini (Jean Dominique de vader, Jacques de zoon, de vader is in de meetkunde bekend door de zgn. ovalen van Cassini, 1680) hadden een boog van de meridiaan in Frankrijk gemeten (tussen 1700-'20) en dit had volgens hen de Cartesische stelling bewezen. Na een heftig debat waarin ook vele wiskundigen zich lieten horen, besloot de Académie twee expedities uit te rusten, de ene om een graad van de meridiaan dicht bij de evenaar, de andere om haar zo noordelijk mogelijk te meten. En zo ging in 1735 een expeditie naar Peru (het huidige Ecuador)¹, en in 1736-'37 een andere naar de Tornea in Lapland (Zweden) om een lengtegraad te meten. Toen de resultaten van beide expedities

1 D.w.z. naar het Spaanse vicekoninkrijk Peru, veel groter dan de tegenwoordige staat Peru. Hoofdkwartier van de expeditie was in Quito, dat nu in Ecuador ligt.

[p. 175]

bekend werden, bleek Newton de overwinning te hebben behaald. Dit was ook een persoonlijke overwinning voor Pierre Louis Moreau de Maupertuis, de Académicien die de expeditie naar Lapland had geleid. De mi beroemde grand aplatisseur¹ werd president van de Berlijnse Academie en koesterde zich verscheidene jaren in de zon van zijn roem aan het hof van Frederik de Grote. Dit duurde tot 1750, toen hij in een heftig debat werd gewikkeld met de Zwitserse en ook in het toenmalige Nederland bekende wiskundige² Samuel König (naar wie een theorema over traagheidsmomenten is genoemd) over het zgn. principe der kleinste werking in de mechanica, en dat misschien al door Leibniz is uitgesproken. Maupertuis trachtte dit beginsel te formuleren, zoals Fermat vóór hem, en Einstein na hem hebben gedaan, in de hoop tot een alomvattend principe te geraken, een principe dat de eenheid van het heelal uitdrukt. Maupertuis' manier zijn beginsel te formuleren, was verre van duidelijk, maar hij definieerde zijn ‘actie’ als de grootheid m · v · s (m = massa, v = snelheid, s = afstand) van een stelsel massapunten, en daaraan verbond hij een bewijs van het bestaan van God. Het debat, dat aan de Berlijnse Academie woedde werd er niet vriendschappelijker op toen Voltaire met de ongelukkige president in zijn Diatribe du docteur Akakia, Médecin du pape (1752) de draak stak. Noch de allerhoogste steun van de koning, noch de wetenschappelijke steun van Euler kon Maupertuis in zijn gewonde eigenwaarde herstellen, en de ontnuchterde mathematicus stierf niet lang daarna in Bazel in het huis van de Bernoulli's.³

Euler heeft het beginsel van de kleinste werking in de betere vorm ʃm · v · ds = minimum uitgesproken, en hij deed ook niet mee aan de metafysica van Maupertuis. Zo werd het beginsel op solide basis gesteld en zo werd het dan verder uitgewerkt door Lagrange en later door Hamilton.⁴ De belangrijke rol die de zgn. Ha-

1 De grote afplatter.

2 Hij was in 1748 bibliothecaris van Stadhouder Willem iv en doceerde ook in die tijd in Franeker en Den Haag.

3 Details over deze strijd vindt men o.a. in de inleiding van J.O. Fleckenstein tot Ser 2, no. 5: Euler, Opera Omnia (1957).

4 Zie ook P.E.B. Jourdain, The Principle of Least Action (Chicago, 1913) en A. Kneser, Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Leipzig, Berlin 1928), en de uitstekende kritische geschiedenis van de 18^e eeuwse mechanica in C. Truesdell, The rational Mechanics of Flexible and Elastic Bodies 1630-1780 in Eulers Opera Omnia, 2e Ser 11 (1960).

[p. 176]

miltoniaan in de tegenwoordige mathematische fysica speelt pleit voor de belangrijkheid van Eulers bijdrage tot het debat tussen Maupertuis en König.

Onder de geleerden die met Maupertuis naar Lapland zijn gegaan, behoorde ook de jonge Alexis Claude Clairaut, die alreeds in 1731, op achttienjarige leeftijd, met zijn Recherches sur les courbes à double courbure, een eerste poging om de ruimtelijke analytische meetkunde van krommen te ontwikkelen, de aandacht op zich had gevestigd. Na zijn terugkeer uit Lapland gaf Clairaut zijn Théorie de la figure de la terre (1743) uit, een belangrijke bijdrage tot de studie van het evenwicht van vloeistoffen en de aantrekking van omwentelingsellipsoïden. Laplace heeft dit onderwerp later nauwelijks beter kunnen behandelen. Men vindt in dit boek ook de voorwaarde dat Mdx + Ndy totaal is, en het begin van een potentiaaltheorie. Later publiceerde Clairaut ook een maantheorie: Théorie de la lune (1752), die zich aansloot aan Eulers maanleer en het drielichamenprobleem. Men vindt bij Clairaut ook onderzoekingen over lijnintegralen en differentiaalvergelijkingen en hij heeft zijn naam verbonden aan een der eerste voorbeelden van een singuliere oplossing ener differentiaalvergelijking (1734). Dat voor z = f(x, y) de waarden van ∂²z/∂ x∂y en ∂²z/∂y∂x gelijk zijn, is ook door Clairaut aangetoond (1730); dit was reeds door Nikolaus i Bernoulli beweerd (1721). Men vindt de stelling ook in Eulers Introductio van 1748.

7.

De intellectuele oppositie tegen het ‘Ancien Régime’ vond na 1750 een sterke steun in de beroemde Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers (28 dln. 1751-72). Redacteur was Denis Diderot, onder wiens leiding de Encyclopédie een gedetailleerd verslag bracht van de kennis en de levensopvatting van de Verlichting. Diderot was geen onbekwaam wiskundige¹, maar D'Alembert was de leidende mathematicus van de Encyclopedisten. Jean le Rond D'Alembert, de natuurlijke zoon van een aristocratische dame, als vondeling neergelegd bij de kerk van St.-Jean Le Rond in Parijs, toonde reeds vroeg zijn hoge begaafdheid. In 1754 werd hij secrétaire perpétuel van de Académie en daarmee de invloedrijkste man van wetenschap in Frankrijk. Zijn Traité de Dynamique (1743) toonde aan hoe de dynamica van vaste lichamen op een statisch probleem kan worden teruggevoerd: dit is bekend als het beginsel van D'Alembert. Hij schreef over vele onderwerpen in de toegepaste wiskunde, vooral over hydro-dynamica, aerodynamica en het drielichamenprobleem. In 1747

1 Er bestaat een vaak herhaald vertelseltje over Euler en Diderot, waarin Euler optreedt als een tegenstander van Diderot in een openbaar debat dat in St.-Petersburg zou hebben plaatsgevonden. Euler zou hierbij de vrijdenkende Diderot in verwarring hebben gebracht door hem een algebraïsch bewijs van het bestaan van God voor te houden: ‘Mijnheer, (a + bⁿ)/n = x, dus bestaat God, wat is uw antwoord?’ Men zou dit een goed voorbeeld van een slechte historische anekdote kunnen noemen; want een goede anekdote over een historische persoon moet het een of andere trekje van zijn karakter belichten, terwijl deze anekdote slechts er toe dient het karakter van beide deelnemers te verdoezelen. Diderot kende heel wat wiskunde en heeft over involuten en over waarschijnlijkheid geschreven, en er is geen enkele reden om aan te nemen dat de gemoedelijke Euler zich op de aangegeven ezelachtige manier zou hebben aangesteld. Het verhaal schijnt van de Engelse wiskundige Augustus De Morgan (1806-73) afkomstig te zijn. Zie Isis 33 (1941) 219-231, ook L.G. Krakeur-R.L. Krueger, ib. 31 (1940) 431-432, B. Brown, Amer. Math. Monthly 49 (1944), A.M. Chouillet, Dix-huitième Siècle 10 (1978) 319-328. Het is waar dat er in de achttiende eeuw wel eens gespeeld werd met de idee het bestaan van God algebraïsch te bewijzen. Maupertuis deed eraan mee, zie Voltaires ‘Diatribe’, Oeuvres 41 (ed. van 1821) bldz. 19, 30.

[p. 177]

verscheen zijn theorie van de trillende snaar, waarbij hij een idee van Brook Taylor uitwerkte. Dit gaf aanleiding tot een lange gedachtenwisseling tussen hem, Euler en Daniel Bernoulli, die men kan aanzien als het begin van de theorie der partiële differentiaal-vergelijkingen. Waar D'Alembert en Euler de vergelijking z_u = k²z_xx oplosten door de uitdrukking z = f(x + kt) + φ(z - kt), merkt Euler op dat men ook oplossingen met behulp van trigonometrische reeksen kan krijgen. Dit leidde tot een gedachtenwisseling tussen Euler en Daniel Bernoulli over de algemeenheid van zulk een oplossing. Het karakter van die verschillende soorten van oplossing bleef tot op zekere hoogte onduidelijk. D'Alembert geloofde dat de aanvangsvorm van de snaar slechts kon worden gegeven door een enkele analytische uitdrukking, terwijl Euler geloofde dat ‘iedere’ continue kromme als aanvangskromme kon worden gebruikt. Bernoulli, die van de fysische werkelijkheid uitging, geloofde in het algemene karakter van de oplossing met trigonometrische functies, terwijl Euler daarbij reserves had. Het debat liet zien hoe veel moeilijkheden er in de achttiende eeuw in zulke begrippen als ‘analytische uitdrukking’ en ‘functie’ nog lagen. Eerst in 1824 bracht Fourier met zijn boek over de warmteleer klaarheid omtrent de mogelijkheid ‘iedere’ functie in een trigonometrische reeks te ontwikkelen; in die tijd begint ook een verheldering van het functiebegrip in verband met zulke reeksen.¹

1 Over deze gedachtenwisseling zie H. Burckhardt, Jahresb. Deutsch. Mathem. Verein. 10 (1908), ook Encycl. Math. Wiss. ii a 12. Een ander verslag bij C.A. Truesdell: Euler, Opera Omnia (2e ser.) 11² (1960). Voor de behandeling van het functiebegrip zie A.P. Joesjkewitsj, The Concept of Function up to the Middle of the 19^th century, AHES 16 (1976) 37-85. Ook A.E. Monna, ibid 9 (1972) 57-84.

[p. 178]

D'Alembert had een vlotte pen, die vele onderwerpen kon bestrijken. Hij schreef ook over de grondslagen van de wiskunde: wij hebben reeds gezien hoe hij het limietbegrip invoerde. Men heeft wel het ‘hoofdprobleem’ van de algebra naar D'Alembert genoemd, en inderdaad heeft hij in 1746 een (niet al te wel geslaagde) poging gedaan te bewijzen dat iedere algebraïsche vergelijking minstens één wortel heeft. Het werken met complexe getallen was toen nog wat stroef: men moest b.v. eerst nog bewijzen dat ‘functies’ van complexe getallen ook complex zijn. Euler heeft toen een ander, meer begrijpelijk, bewijs geleverd, doch ook hier nog vragen opengelaten, die eerst Gauss in 1799 heeft beantwoord. D'Alembert heeft tevens over de grondslagen der waarschijnlijkheid nagedacht, zij het niet altijd met succes, zoals blijkt uit de zgn. paradox van D'Alembert (is de kans om minstens één kruis te gooien als men een munt tweemaal opwerpt ¾ of ⅔?).

De waarschijnlijkheidstheorie werd in die dagen veel beoefend, ook al door de vele loterijen die gehouden werden en de opkomst van tontines en verzekeringsmaatschappijen. Daarbij volgde men het pad dat door Fermat, Pascal en Huygens was geëffend. Na de Ars Conjectandi van Bernoulli (1713) kwam de Doctrine of Chances (1716) van Abraham De Moivre, een Hugenoot die na de herroeping van het Edict van Nantes (1685) in Londen was komen wonen en daar door privaatlessen in zijn onderhoud voorzag. Men spreekt wel van het theorema van De Moivre (cos φ + i sin φ) ⁿ = cos nφ + i sin nφ, en terecht, doch in de vorm in welke wij het nu schrijven vinden we het eerst in Eulers Introductio. In een artikel van 1733 leidde De Moivre de normale waarschijnlijkheidsverdeling af als een benadering van Bernoulli's binomiale wet. Hij gaf ook een formule die met die van Stirling equivalent is. James Stirling, een Schotse wiskundige uit de school van Newton, publiceerde zijn benaderingsformule voor n! (n faculteit = 1 × 2 × ... × n)in 1730. De Moivres formule bevatte de zgn. getallen van Bernoulli.

Euler heeft ook verscheidene vraagstukken van de waarschijnlijkheidsrekening behandeld. Doch ook nieuwe gezichtspunten kwamen naar voren. Zo bracht de Comte de Buffon, beroemd als

[p. 179]

de auteur van een Histoire Naturelle in 36 prachtige delen en van een rede over de stijl (‘le style est l'homme même’)¹ in 1733, in 1777 het eerste voorbeeld van een meetkundige waarschijnlijkheid. Dat was het zogenaamde naaldprobleem, dat steeds weer verrassend werkt als blijkt dat men de waarde van π ‘experimenteel’ kan bepalen door een naald een groot aantal malen op een vlak te werpen dat met evenwijdige lijnen op gelijke afstand is bedekt en dan het aantal malen te tellen dat de naald een der lijnen treft.

Tot deze periode behoren ook de pogingen om de kansrekening toe te passen op 's mensen oordeel, door bij voorbeeld de waarschijnlijkheid te berekenen dat een rechtsgeding tot een juist oordeel kan komen zo aan iedere getuige en iedere andere deelnemer een getal kan worden toegekend dat de kans uitdrukt dat hij de waarheid òf spreekt òf herkennen kan. Deze curieuze ‘waarschijnlijkheid van oordelen’ (probabilité des jugements), waarin men iets van de filosofie van de Verlichting proeven kan, komt uit in het werk van de Marquis de Condorcet en later nog in dat van Laplace en zelfs van Poisson (1837).

1 De stijl is de mens zelf (de feiten kan hij wel van anderen verkrijgen).

8.

De Moivre, Stirling en Landen waren vertegenwoordigers van de Engels-Schotse wiskunde van de achttiende eeuw. Wij moeten nog enige andere van hun collega's noemen, al bereikten ze niet de hoogte van sommige van hun continentale tijdgenoten. De traditie van de zo diep vereerde Newton lag zwaar op de Engelse wetenschap en de fluxienotatie, onhandig vergeleken met de soepelheid van Leibniz' symboliek, maakte vooruitgang ook moeilijker. Er waren diepliggende maatschappelijke redenen waarom Engelse wiskundigen weigerden buiten de banen te gaan die Newton had aangegeven. Engeland was constant in oorlog gewikkeld met Frankrijk om markten en koloniën en ontwikkelde daarin een gevoel van intellectuele superioriteit, dat niet alleen werd aangemoedigd door de overwinningen in handel en oorlog, maar ook door de bewondering die de continentale denkers hadden voor het Engelse politieke systeem. Engeland werd zodoende een tijdlang althans in de wiskunde het slachtoffer van zijn eigen werkelijke of vermeende superioriteit. Men vindt dit wel meer in de geschiedenis. Evenals bij de algebra in de laat-Alexandrijnse periode werd hier de vooruitgang technisch gesproken door een gebrekkige notatie gehandicapt, doch de ware oorzaken lagen dieper, in de maat-

[p. 180]

schappelijke verhoudingen.

Overigens moet men niet te zeer generaliseren, de Engelse scheikunde en Schotse geneeskunde van de achttiende eeuw ontwikkelden zich wel heel goed, doch wat er was aan wetenschap was meest in handen van dissenters, niet geaccepteerd door de grote Engelse universiteiten.

De belangrijkste wiskundige van het midden der achttiende eeuw was een Schot, Colin Maclaurin, professor aan de universiteit van Edinburgh, een leerling van Newton die hij nog persoonlijk had gekend. Zijn studie en toepassing van fluxiemethoden, zijn onderzoekingen over krommen van de tweede en hogere graad, en over de aantrekking van ellipsoïden vertonen verwantschap met die van zijn tijdgenoten Clairaut en Euler. We treffen in onze theorie der vlakke krommen een aantal theorema's van Maclaurin aan, sommige ervan behoren tot de projectieve meetkunde, waarvan Maclaurin een voorloper is. In zijn Geometria Organica (1720) vinden we de opmerking die gewoonlijk de paradox van Cramer wordt genoemd (Gabriel Cramer, een Zwitser, beschreef haar in zijn boek van 1750, n.l. dat een kromme van de graad n niet altijd volledig is bepaald door ½ n (n + 3) punten, zodat er stelsels van negen punten bestaan die een derdegraads kromme niet eenduidig bepalen). In dit boek van Maclaurin vinden we ook kinematische methoden om vlakke krommen van verschillende graad te beschrijven. Maclaurins Treatise of Fluxions (2 dln. 1742) - geschreven om Newton tegen Berkeley te verdedigen - is geen gemakkelijke lectuur vanwege de ouderwetse meetkundige vorm waarin het gedeeltelijk is geschreven, in tegenstelling tot het vloeiend lopende werk van Euler. Maar Maclaurin wenste de strengheid van het Archimedische betoog te bereiken, en geeft zelfs een convergentiecriterium voor een oneindige reeks, het zgn. integraalcriterium. We vinden in dit boek ook Maclaurins onderzoekingen over de aantrekking van omwentelingsellipsoïden en zijn theorema dat twee zulke ellipsoïden, mits confocaal, een massapunt op hun as of op de evenaar aantrekken met krachten evenredig tot hun inhouden. In dit Treatise ontmoeten we ook de beroemde ‘reeks van Maclaurin’.

Deze reeks was evenwel geen nieuwe ontdekking, daar ze alreeds was ingevoerd in de Methodus incrementorum van Brook Taylor (1715), een kennis van Newton die enige tijd lang secretaris van de Royal Society was. Maclaurin gaf aan Taylor alle eer. De reeks van Taylor, die in dit boek van 1715 wordt afgeleid uit een reeks voor eindige verschillen, wordt nu gewoonlijk geschreven in de notatie van Lagrange:

[p. 181]

f(x + h)= f(x) + hf′(x) + 1/21h²f″(x) + ...

maar Taylor had geen f-notatie en gebruikte letters met stippen er boven. Hij vermeldt uitdrukkelijk het geval x = 0, dat nog steeds in leerboeken naar Maclaurin wordt genoemd. Taylor had geen convergentiecriteria, maar wilde benaderingsformules afleiden; we hebben al vermeld dat Maclaurin wel degelijk in convergentie geïnteresseerd was. Ofschoon Taylors reeks al oud was toen Taylor haar publiceerde, werd haar centrale betekenis toch eigenlijk pas erkend toen Euler haar toepaste in zijn Differentiaalrekening van 1755. Later voegde Lagrange er zijn restterm aan toe en gebruikte de reeks van Taylor als de basis van zijn functietheorie. Taylor zelf gebruikte zijn reeks om sommige differentiaalvergelijkingen op te lossen. Merkwaardig is ook, dat hij zoals reeds gezegd, in zijn boek voor het eerst de vergelijking van de trillende snaar afleidt. Hierbij is dan door D'Alembert en zijn tijdgenoten verder aangeknoopt.

10.

Joseph Louis Lagrange werd uit Italiaans-Franse ouders in Turijn geboren. Op negentienjarige leeftijd werd hij professor in de wiskunde aan de artillerieschool in Turijn (1755). In 1766, toen Frederik de Grote Euler niet meer kon terughouden van zijn wens naar St.-Petersburg terug te keren, nodigde hij op Eulers aanraden Lagrange uit om naar Berlijn te komen, met de bescheiden toevoeging dat het nodig was ‘dat de grootste wiskundige van Europa moest wonen bij de grootste der koningen’. Lagrange kwam en bleef in Berlijn tot de dood van Frederik in 1786, waarna hij naar Parijs verhuisde. Gedurende de revolutie hielp hij bij de hervorming van het stelsel van maten en gewichten, en werd professor, eerst aan de Ecole Normale (1795), daarna aan de Ecole Polytechnique (1797). De tijd voor pure académiciens was voorbij, de tijd van de docerende universiteitsprofessoren was aan het aanbreken.

Tot Lagranges eerste werken behoren zijn bijdragen tot de variatierekening. Eulers boek, de Methodus, was in 1755 verschenen en ijverig bestudeerd door de jonge professor in Turijn. Lagrange ontdekte in Eulers methode ‘niet al de eenvoud die men in een gebied van zuivere analyse verwachten mag’. En zo schreef hij zijn eigen zuiver analytische variatierekening (1760-'61), die niet alleen vele originele resultaten bevat, doch ook het historische materiaal keurig ordent en verwerkt - iets dat voor Lagrange's werk karakteristiek is. De vorm die Lagrange aan de variatierekening gegeven

[p. 182]

heeft, met zijn onderscheid tussen de variatie door δ aangegeven en de differentialen die met d worden aangeduid, is de blijvende geworden. Lagrange paste zijn leer toe op dynamische vraagstukken, waarin hij volop gebruik maakte van Eulers beginsel van de kleinste werking - bekend door de betreurenswaardige Akakiaepisode. Vele fundamentele gedachten in de latere Mécanique Analytique dateren dus reeds uit de Turijnse tijd. Lagrange droeg ook bij tot de maantheorie, die zijn wiskundige tijdgenoten zo zeer bezighield, en ontdekte de eerste bijzondere oplossingen van het drielichamenprobleem. Hier zegt het theorema van Lagrange, dat het mogelijk is drie eindige lichamen op zodanige wijze in beweging te zetten dat hun banen gelijkvormige ellipsen zijn, die in gelijke tijd worden beschreven (1772).

In 1767 verscheen zijn verhandeling over de oplossing van numerieke vergelijkingen, waarin hij methoden aangaf om de reële wortels van een algebraïsche vergelijking te scheiden en ze te benaderen met behulp van kettingbreuken. Daarna publiceerde hij in 1770 de lijvige Réflexions sur la résolution algébrique des equations, waarin hij zich afvroeg waarom de methoden die het voor n ≤ 4 mogelijk maakten om de wortels van een vergelijking van de graad n te vinden niet voor n > 4 schenen te werken. Om hierin inzicht te verwerven beschouwde Lagrange rationale functies van de wortels en hun gedrag onder de permutaties van de wortels, en ontwikkelde zo het begrip van wat we nu de resolvent van Lagrange noemen. Het belang van deze verhandeling ligt vooral hierin, dat ze later Ruffini en Abel inspireerde tot hun onderzoekingen voor het geval n > 4, en ook Galois tot zijn groepentheorie. De verhandeling was een breuk met het verleden, doch de toekomst lag nog enige generaties verder.

Lagrange heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de getallentheorie, waar hij zich bezighield met kwadraatresten en onder andere bewees dat ieder geheel getal de som van vier of minder dan vier vierkanten is.

Deze stelling brengt ons voor een ogenblik naar Engeland, waar in die zelfde tijd Edward Waring in zijn Meditationes algebricae van 1770 de stelling poneerde dat ieder geheel getal de som is van ten hoogste N machten van graad p, waar N een functie van p alleen is. Deze stelling, die, zoals Lagrange bewees, voor p = 2 de waarde N = 4 oplevert, heeft vele wiskundigen beziggehouden, tot ze eerst door Hilbert in 1909 is bewezen, doch alleen in die zin dat voor iedere p een N bestaat. De kleinste waarde voor N voor gegeven p is alleen voor enkele p bekend. Voor p = 3 is N = 9.

[p. 183]

Lagrange wijdde het tweede deel van zijn leven aan de samenstelling van zijn grote werken, de Mécanique analytique van 1788, de Théorie des fonctions analytiques van 1797 en haar voortzetting in de Leçons sur le calcul des fonctions van 1801. De twee boeken over functies waren een poging om de differentiaalrekening op algebra terug te voeren en haar op die wijze hecht te funderen. Lagrange verwierp zowel de nullen van Euler als de limieten van Newton en D'Alembert. Hij kon niet wel begrijpen wat er gebeurt als Δy/Δx zijn limiet bereikt. Om Lazare Carnot, de organisateur de la victoire in de Franse Revolutie en een goed wiskundige, die ook zijn hoofd brak over Newtons infinitesimaalmethode te citeren:

‘Die methode heeft het grote ongemak dat daarbij grootheden worden beschouwd in de toestand waarin zij, om zo te zeggen, ophouden als grootheden te bestaan; want al kunnen wij altijd de verhouding van twee grootheden goed begrijpen, zo lang zij eindig blijven, biedt die verhouding aan de geest geen klaar en helder begrip zodra haar termen beide tegelijk nul worden’.¹

Lagranges methode verschilde van die van zijn voorgangers. Hij begon met de reeksen van Taylor, die hij afleidde met hun restterm, en toonde daarbij op een naar onze smaak nogal naïeve manier aan dat ‘iedere’ functie f (x) in zulk een reeks kon worden ontwikkeld met behulp van een zuiver algebraïsch proces. Dan definieerde hij de afgeleiden f′(x), f″(x), enz. als de coëfficiënten in de reeksontwikkeling van f(x + h) naar machten van h. (De notatie f′(x), f″(x) is van Lagrange).

Ofschoon deze ‘algebraïsche’ methode om de differentiaalrekening aan vaste grondslag te helpen, onbevredigend bleek te zijn en ofschoon Lagrange te weinig aandacht schonk aan de convergentie van de reeksen, de abstracte behandeling van het functiebegrip was een grote stap vooruit. Hier verscheen voor het eerst een ‘theorie van functies van een reële veranderlijke’, met toepassingen op een groot aantal vraagstukken in algebra en meetkunde. Hier vindt men b.v. een uitgebreide theorie van het contact van krommen en oppervlakken.

Lagranges Mécanique analytique is misschien zijn meest belangrijke boek en is nog heden het bestuderen overwaard. In dit boek, een honderd jaar na Newtons Principia verschenen, wordt

1 L. Carnot, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (1797) F. Cajori, Amer. Math. Monthly 22 (1915) 148 geeft dit citaat naar de 5e druk van 1881.

[p. 184]

de volle kracht van de nog pas kort te voren ontwikkelde analyse op de mechanica van punten en vaste lichamen aangewend. De ontdekkingen van Euler, van D'Alembert en de andere wiskundigen van de achttiende eeuw worden verwerkt en systematisch verder ontwikkeld. De toepassing van Lagranges eigen variatierekening maakte een consequente behandeling van statica en dynamica vanuit één gezichtspunt mogelijk, in de statica door het beginsel van de virtuele verplaatsingen, in de dynamica door het beginsel van D'Alembert. Dit voerde langs natuurlijke weg tot algemene coördinaten (de ‘coördinaten van Lagrange’ q_i) en tot de bewegingsvergelijkingen in de vorm van ‘Lagrangiaan’:

Hier was niets meer over van Newtons Grieks-meetkundige vorm, dit boek van Lagrange was een triomf van zuivere analyse. De schrijver, in zijn voorbericht, legde er speciaal de nadruk op: ‘In dit werk zal men geen figuren vinden, alleen algebraïsche bewerkingen’.¹ Lagrange was de eerste zuivere analist.

1 ‘On ne trouvera point des figures dans cet ouvrage, seulement des operations algébriques’. Het woord ‘algebraïsch’ in plaats van ‘analytisch’ is kenmerkend voor Lagrange.

11.

Met Pierre Simon Laplace komen we tot de laatste der grote wiskundigen van de achttiende eeuw. Deze zoon van een kleine grondbezitter in Normandië ging op school in Beaumont en Caen en werd op voorspraak van D'Alembert hoogleraar in de wiskunde aan de militaire school in Parijs. Hij verkreeg verscheidene andere onderwijsposities en administratieve betrekkingen en gedurende de revolutie werkte hij mee aan de organisatie van de Ecole Normale en van de Ecole Polytechnique. Napoleon gaf hem menig bewijs van zijn hoogachting, maar Lodewijk xviii deed hetzelfde. In tegenstelling tot Monge en Carnot veranderde Laplace gemakkelijk van politieke overtuiging en hij is wel eens van snobisme beschuldigd, iets waarvan de eenvoudige Lagrange altijd verre bleef. Deze karaktertrekken maakten het evenwel voor hem mogelijk ondanks alle politieke veranderingen zijn wiskundige arbeid onverdroten voort te zetten.

De twee grote werken van Laplace die niet alleen zijn eigen werk, maar ook dat van al zijn voorgangers tot één geheel vereni-

[p. 185]

gen zijn de Théorie analytique des probabilités (1812) en de Mécanique céleste (5 dln, 1799-1825). Beide monumentale werken werden ingeleid door uitgebreide uiteenzettingen in niet-technische termen, de Essai philosophique des probabilités (1814) en de Exposition du système du monde (1796). Deze Exposition bevat de beroemde nevelhypothese, die al reeds onafhankelijk was voorgesteld door Kant in 1755 (en zelfs vóór Kant door Swedenborg in 1734). Hierbij werd voor het eerst aan het planetenstelsel een geschiedenis toegekend. De Mécanique céleste was de culminatie van het werk van Newton, Clairaut, D'Alembert, Lagrange en Laplace zelf over de vorm van de aarde, de theorie van de maan, het drielichamenprobleem, de beweging der planeten en de storingen in hun baan. Dit leidde verder tot de behandeling van het grootse probleem van de stabiliteit van ons zonnestelsel. De naam ‘vergelijking van Laplace’

herinnert aan het feit dat de potentiaaltheorie ook een deel is van de Mécanique céleste (de vergelijking zelf treedt al in 1752 bij Euler op in een verhandeling waarin hij sommige hoofdvergelijkingen van de hydrodynamica afleidt en wordt ook bij Lagrange gevonden).

Dit vijfbandige opus heeft tot menige anekdote aanleiding gegeven. Welbekend is het antwoord dat Laplace aan Napoleon moet hebben gegeven toen deze hem wilde plagen met de opmerking dat God in de boeken nergens voorkwam: ‘Sire, ik had deze hypothese niet nodig’.¹ En Nathaniel Bowditch, de Bostonse actuaris, die vier delen van Laplaces boek in het Engels vertaalde, heeft eens opgemerkt: ‘Ik ben nooit op één van Laplaces “Dus kan men gemakkelijk zien” gestoten zonder er zeker van te zijn dat het mij uren hard werk zou kosten om de gapende afgrond te dempen en te ontdekken waarom het gemakkelijk te zien was.’ Hamiltons wiskundige loopbaan begon toen hij een fout vond in de Mécanique céleste. Green, bij het bestuderen van het boek, kwam op het denkbeeld dat een wiskundige theorie der elektriciteit mogelijk was.

De Essai philosophique des probabilités is een zeer leesbare inleiding in de waarschijnlijkheidsrekening. Men vindt hier Laplaces

1 ‘Sire, je n'avais pas besoin de cette hypothèse’.

[p. 186]

‘negatieve’ of ‘subjectieve’ definitie van waarschijnlijkheden door ‘even mogelijke gebeurtenissen’ te postuleren:

‘De kansrekening bestaat in de terugvoering van alle gebeurtenissen van dezelfde soort tot een zeker aantal even mogelijke gevallen, dat zijn gevallen van dien aard dat wij over hun gebeuren gelijkelijk onzeker zijn, en de bepaling van het aantal gevallen waarin de gebeurtenis optreedt waarvan wij de waarschijnlijkheid willen weten.’

Vraagstukken over waarschijnlijkheid komen volgens Laplace op, omdat wij gedeeltelijk weten en gedeeltelijk niet weten. Dit bracht Laplace tot zijn vaak geciteerde uitspraak waarin in zekere zin het hele achttiende-eeuwse mechanische materialisme werd samengevat:

‘Een intelligentie, die op een bepaald ogenblik alle krachten, die in de natuur werkzaam zijn, kon overzien en bovendien de onderscheiden posities van alle delen waaruit ze bestaat, en die ook omvattend genoeg was om deze data aan wiskundige analyse te onderwerpen, zou in dezelfde formule de bewegingen van de grootste lichamen van het heelal en die van het lichtste atoom kunnen vatten: niets zou voor haar onzeker zijn, en de toekomst zowel als het verleden zou voor haar openliggen. De menselijke geest biedt een zwakke voorstelling van deze intelligentie door de vervolmaking welke hij aan de sterrenkunde heeft weten te geven’.

Het eigenlijke leerboek is zo rijk aan ideeën dat vele ontdekkingen in de waarschijnlijkheidsrekening van later dagen alreeds in Laplace kunnen worden gevonden.¹ Het statige werk bevat een uitgebreide discussie van kansspelen en van meetkundige waarschijnlijkheden, van het theorema van Bernoulli en de betrekking tussen dit theorema en de normale verdeling, en van de theorie der kleinste kwadraten, ontwikkeld door Legendre. Als leidend idee kunnen wij het gebruik van fonctions génératrices beschouwen, waarvoor Laplace ook de betekenis voor de oplossing van differentievergelijkingen aantoont. Hier wordt de Laplace-transformatie ingevoerd die later de sleutel werd tot de operatorenrekening van Heaviside. Laplace redde ook van de vergetelheid een theorie geschetst door Thomas Bayes, een tijdens zijn leven vrijwel onbekende Engelse geestelijke, na diens dood in 1763-'64 gepubliceerd. Laplace formuleerde die theorie opnieuw, ze is bekend als de leer der omgekeerde waarschijnlijkheden, of waarschijnlijkheden a posteriori.²

1 E.C. Molina, The Theory of Probability: Some comments on Laplace's Théorie analytique, Bulletin Amer. Mathem. Society 36 (1930) 369-392.

2 Uitvoerig behandeld in D.A. Gillies, Was Bayes a Bayesian?, HM 14 (1987)325-346.

[p. 187]

12.

Het is een merkwaardig feit dat tegen het einde der eeuw sommige leidende wiskundigen het gevoel schijnen te hebben gehad dat de wiskunde haar gebied tot op zekere hoogte had uitgeput. Het moeizame werken van een Euler, een D'Alembert, een Lagrange en van anderen had alreeds tot de belangrijkste theorema's geleid; de grote standaard tekstboeken hadden deze in hun logisch verband geordend en uiteengezet, of zouden dit spoedig doen: de weinige wiskundigen van de volgende generaties zouden alleen vraagstukken van minder belang hebben op te lossen. ‘Schijnt het u niet toe dat de sublieme wiskunde een beetje in verval aan het raken is?’ schreef Lagrange aan D'Alembert in 1772. ‘Zij heeft geen andere steun dan u en Euler’.¹ Lagrange hield zelfs een tijdlang met de wiskunde op. D'Alembert kon slechts weinig hoop bieden. Later heeft Arago, de secretaris van de Académie, in zijn Lofspraak op Laplace (1842) een gevoel uitgedrukt dat misschien deze houding kan verklaren:

‘Vijf wiskundigen - Clairaut, Euler, D'Alembert, Lagrange en Laplace - verdeelden onder elkaar de wereld waarvan Newton het bestaan had geopenbaard. Zij onderzochten haar in alle richtingen, drongen door tot ontoegankelijk gedachte gebieden, wezen een ontelbaar aantal verschijnselen in die gebieden aan die nog niet waren opgemerkt, en ten slotte brachten zij alles - en daarin ligt hun onvergankelijke roem - wat ingewikkeld en geheimzinnig in de bewegingen van de hemellichamen is, onder de beheersing van één enkel beginsel, van één enkele wet. De wiskunde bezat ook de moed uitspraken over de toekomst te doen: als de eeuwen hun loop vervolgen, zullen zij de uitspraken van de wetenschap op nauwkeurige wijze bevestigen.’

In deze fraaie bewoordingen legde Arago de nadruk op de hoofdoorzaak van het ‘fin-de-siècle’-pessimisme: de neiging om de vooruitgang in de wiskunde te zeer met die in de mechanica en astronomie te identificeren. Van de tijden van het oude Babylon af tot op die van Euler en Lagrange is het de astronomie geweest, die de wiskunde tot vele van haar schoonste ontdekkingen heeft geïnspireerd. Nu scheen die ontwikkeling haar hoogtepunt voorbij te zijn gestreefd. Doch er kwam een nieuwe generatie, die de invloed van de Franse Revolutie en van de zich ontwikkelende natuurwetenschappen had ondergaan, en die nieuwe generatie be-

1 ‘Ne vous semble-t-il pas que la haute géométrie va un peu á décadence? Elle n'a d'autre soutien que vous et M. Euler.’ Géométrie, in achttiendeeeuws Frans, staat vaak voor wiskunde in het algemeen.

[p. 188]

wees met de daad hoe ongegrond dit pessimisme was.¹ Deze verjongde wiskunde kwam slechts voor een deel uit Frankrijk, en zoals dat vaker gebeurt in de geschiedenis der wetenschappen, kwam de nieuwe inspiratie tevens uit een plaats waar nog weinig belangrijk werk was geleverd: deze keer uit Göttingen, waar Carl Friedrich Gauss zijn Olympus had geschapen.

1 In de natuurkunde heeft men dit fin de siècle-gevoel aan het einde van de negentiende eeuw kunnen constateren. Door Newtons mechanica en Maxwells elektromagnetisme was de natuur in beginsel verklaard. De ontdekking van de radioactiviteit en de quantumtheorie (ca. 1900) hebben het gehele beeld veranderd.

Literatuur

De verzamelde werken van Lagrange en Laplace bestaan in moderne uitgaven. Van die van Euler zijn al vele delen (het totaal zal 74 worden) verschenen. Enige delen van de Euler-uitgave hebben uitgebreide inleidingen, o.a. van A. Speiser, C. Truesdell en C. Caratheodory. Aan een uitgave van de werken der Bernoulli's wordt gewerkt. Verschenen zijn reeds enige delen.

Verder:

J.H. Lambert, Opera mathematica (2 dln, Berlin 1946) blz. ix-xxxi: voorwoord van A. Speiser.

J.E. Hofmann, Ueber Jakob Bernoulli's Beiträge zur Infinitesimalmathematik. Monographies Enseignement Mathém. 3 (Genève, 1957).

F. Cajori, A History of the Conception of Limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse (Chicago, 1931).

L.G. du Pasquier, Léonard Euler et ses Amis (Paris, 1927).

[Leonard Euler] Sammelband der zu Ehren seines 250. Geburtstages Leonard Euler's der deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vorgelegten Abhandlungen (Berlin, 1959). Er bestaat ook een Russische verzameling, bij de 250e verjaardag uitgegeven (Moskou, 1958). Zie ook de Russische artikelen in Istor. Matem. Issled. 7 (1954) 451-640. Ook bij de herdenking van de 200e verjaardag werd een Euler Festschrift uitgegeven: Abhandl. z. Gesch. d. Mathem. Wiss. 25 (1907).

Leonard Euler, Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkbuch des Kantons Basel-Stadt. (Birkhäuser, 1983, 555 blz.), met een biografie van Euler door E.A. Fellmann, blz. 13-98.

[p. 189]

A Tribute to Leonard Euler, Mathematics Magazine 56 (1983) 262-325.

Leonard Euler's Elastic Curves, transl. and annot. by W.A. Old-father, C.A. Ellis, D.M. Brown, Isis 20 (1933) 72-160.

C. Truesdell, Leonard Euler, Supreme Geometer, Studies in Eighteenth Century Culture 2 (1972) 51-95.

L. Euler, Algebra (Reclame, 2^e druk met levensbeschrijving door J.E. Hofmann, 1959).

H.G. Green, H.J.J. Winter, John Landen, F.R.S. (1719-1790) Mathematician. Isis 35 (1944) 6-10.

[Th. Bayes] Facsimile of Two Papers, with commentaries by E.C. Molina and W.E. Deming (Washington D.C., 1940).

C. Truesdell, Notes on the history of the general equations of hydrodynamics, Amer. Math. Monthly 60 (1953) 445-448.

G. Sarton, Montucla, Osiris 1 (1936) 519-567.

N. Nielsen, Géométres français du XVIII^e siècle (Copenhagen, Paris, 1935).

(J.A. Vollgraf, ed.) Les oeuvres de Nicolas Struyck (1687-1769)qui se rapportent au calcul des chances (Amsterdam, 1912). Nicolaas Struyck, van Amsterdam, was wel de belangrijkste Nederlandse wiskundige van zijn tijd. Behalve over kansrekening en sterftetafels schreef hij over aardrijkskunde en staartsterren. Een andere Nederlandse statisticus, tijdgenoot van Struyck, was Willem Kersseboom (1691-1771). Zie over hen M. van Haaften, Verzekeringsarchief 1924-25 en Levensverzekering 1935, 140-147. Zie ook:

M. van Haaften, Het Wiskundig Genootschap (Groningen, 1923). Dit boek behandelt ook de negentiende en een gedeelte van de twintigste eeuw.

J.G. Fleckenstein, Johann und Jakob Bernoulli, in Elemente der Mathematik, Suppl. 7 (Bazel, 1949).

J.E. Hofmann, Über Jakob Bernoulli's Beiträge zur Infinitesimalrechnung, Enseignement mathématique (2) 5 (1956) 61-171.

H. Andoyer, L'oeuvre scientifique de Laplace (Paris, 1922).

H. Auchter, Brook Taylor der Mathematiker und Philosoph (Marburg, 1937).

Uit manuscripten van Leibniz wordt aangetoond, dat Leibniz van 1694 af, reeds de reeks van Taylor bezat. Overigens was ze reeds in 1668 aan James Gregory bekend.

P. Stäckel, Zur Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten Jahrhundert, Bibliotheca mathematica 3 (1901) 111-121.

[p. 190]

L.E. Maystrov, Lomonossov, Father of Russian Mathematics, The Soviet Review 3, No. 3 (1962) 3-18. Vertaling van het artikel in Voprosy Filosofiǐ 5 (1961).

J.F. Scott, Mathematics through the Eighteenth Century, Philosof. Mag., Commemoration Number 1948, 67-90 (voornamelijk over Engeland).

I. Schneider, Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667-1754) AHES 5 (1968) 177-317.

O.B. Sheynin, R.J. Boscovitch's work on Probability, AHES 9 (1973) 306-324. (Rudjev Josip Boškovič, 1711-1787, was een Kroatische Jezuïet, bekend als een ‘polymath’).

P. Brunet, La Vie et l'Oeuvre de Clairaut, Revue d'histoire des Sciences 4 (1951) 13-40, 109-153. Ook als boek (Parijs, 1952).

C.C. Gillespie, Lazare Carnot, Savant (Princeton N.J. 1970).