Logo DBNL
Geschiedenis van de wiskunde (1990)

Geschiedenis van de wiskunde

(1990)–D.J. Struik–rechtenstatus Auteursrechtelijk beschermd

Vorige Volgende

I. Het begin

1.

Voor onze eerste voorstellingen van getal en vorm moeten wij tot ver in het verleden teruggaan, tot in het Oudere Stenen Tijdperk, het Paleolithicum. Gedurende de honderdduizenden jaren van dit tijdperk, waarin de mensen vaak in holen leefden, was er in vele opzichten weinig verschil tussen de levenswijze van de mensen en die van de hogere dieren - met één belangrijke uitzondering: zij hadden het vuur. Ze verschaften zich voedsel door jacht of visserij, of door het plukken van wilde gewassen. Ze traden met elkaar in gemeenschap en zo begon de taal zich te ontwikkelen. In de loop der millennia werd hun scheppend vermogen vergroot, en zo kunnen we nu nog hun kunstzinnige holschilderingen bewonderen. Die schilderingen van dieren en jagers, die we in Spanje en Frankrijk vinden en die ongeveer 15.000 jaar oud zijn, hadden vermoedelijk rituele betekenis; in elk geval verraden ze een merkwaardige zin voor vormen. Meer dan dat, ze vertellen ons dat er een uitstekend begrip was voor een tweedimensionale afbeelding van ruimtevormen.

De ontwikkeling van het getalbegrip en van ruimtelijke begrippen maakte grote vorderingen toen het uitsluitend vergaren van het voedsel begon plaats te maken voor de produktie van voedingsmiddelen. Dit betekent dat naast jacht en visserij ook landbouw en veeteelt werden beoefend. Dat was een wezenlijke verandering in het menselijk bestaan, een ware omwenteling, waarin de mens van een passieve tot een actieve verhouding ten aanzien van de natuur overging. Dit nieuwe tijdvak wordt met de naam Neolithicum, het Nieuwere Stenen Tijdperk, aangegeven.

Deze grote omwenteling in de geschiedenis van de mensheid begon waarschijnlijk ongeveer 10.000 tot 15.000 jaar geleden, toen het ijsdek dat gedeelten van Europa en Azië had bedekt, zich had teruggetrokken en plaats had gemaakt voor vlakten, moerassen en wouden. Er waren nomadische volkeren die ophielden al zwervend naar voedsel te zoeken, en zich ontwikkelden tot aanvankelijk primitieve boeren, die ook nog wel jaagden of visten, maar die zich zo lang de bodem vruchtbaar bleef aan één lokaliteit verbonden hadden. Ze begonnen blijvende woningen te bouwen om zich tegen het weer of de aanvallen van rovers te beschermen. Vele zul-

ke nederzettingen uit het Neolithicum zijn door opgravingen aan het licht gekomen en komen nog steeds aan het licht, ook in Nederland. Uit die opgravingen blijkt dat zich in die nederzettingen langzamerhand eenvoudige vormen van handwerk, zoals pottenbakkerij, timmermanswerk en weverij ontwikkelden. Er kwamen stapelplaatsen van koren, zodat het mogelijk was voorraden te verzamelen voor de winter of voor slechte tijden. Men bakte brood, men brouwde bier, en in latere perioden van het Neolithicum begon men koper en brons aan te wenden voor sieraden en gebruiksartikelen. Van de vele en belangrijke uitvindingen uit die tijden moeten we speciaal het wagen- en het pottenbakkerswiel vermelden. Zulke vernieuwingen traden gewoonlijk op binnen zekere gebieden, van waar ze zich dan naar andere streken verbreidden - of misschien ook niet. Zo is de kennis van het wiel, om een voorbeeld te noemen, niet vóór de komst der blanken tot de Amerikaanse bevolking gekomen, tenzij misschien als speelgoed. Men kan met zekerheid verklaren dat het tempo van de uitvindingen, vergeleken met dat van het Oudere Stenen Tijdperk, snel aan het toenemen was.

Tussen de dorpen ontstond handel, die heel omvangrijk kon worden. Men kan betrekkingen aantonen tussen gebieden die honderden kilometers van elkaar af lagen. De ontdekking van het bewerken en smelten van ertsen en de daaruit voortkomende metallurgie, eerst van koper, dan van brons, en nog later van ijzer, heeft die handelsbetrekkingen zeer in de hand gewerkt. Dit bevorderde ook de ontwikkeling van de taal. Oorspronkelijk drukten de woorden zeer concrete dingen uit, zodat er geen plaats was voor abstracties, en slechts heel eenvoudige getallen- en vormrelaties konden worden aangegeven. Men vond zulk een taalniveau bij vele Amerikaanse, Afrikaanse en Australische stammen in de periode waarin zij met de blanken in aanraking kwamen. Ook nu bestaan zulke relaties nog wel, zodat het mogelijk is een studie te maken van de wijze waarop zulke stammen in hun cultuur getallenbetrekkingen uitdrukken.

2.

Aangezien - om met Adam Smith te spreken - getallen behoren tot de meest abstracte ideeën die de menselijke geest kan vormen, kwamen speciale uitdrukkingen voor getallen slechts langzaam in gebruik. Aanvankelijk droegen die uitdrukkingen eerder een kwalitatief dan een kwantitatief karakter, omdat men slechts onderscheid maakte tussen één (of eigenlijk één man in plaats van een mán), twee en veel. Men kan die oorsprong van de getallenvoor-

stellingen nog hier en daar terugvinden in de duale vervoegingen die men in sommige talen, b.v. in het Oud-Grieks of Keltisch vindt (b.v. Grieks: anèr, man; andre, twee mannen), het getal twee is hier nog aan een onderwerp gekoppeld. Wanneer dan de behoefte ontstaat het getalbegrip uit te breiden, worden grotere getallen aanvankelijk door optelling gevormd, b.v. drie door twee en één, vier door twee en twee op te tellen.

Hier volgt een voorbeeld ontleend aan sommige Australische stammen:

 

Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval
Kamilaroi: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulanguliba, 6 = guliba-guliba1

Door de ontwikkeling van het handwerk en de handel werd deze groei van het getalbegrip sterk bevorderd. Getallen werden gerangschikt en gebundeld tot grotere eenheden, en daarbij werd vaak van de vingers van een hand of van beide handen gebruik gemaakt, iets dat bij de handel heel natuurlijk is. Zo kwam het getal vijf en daarmee ook tien als hogere eenheid in gebruik en door deze werden weer andere getallen door optelling of aftrekking verkregen, b.v. twaalf als tien plus twee, of negen als tien minus één. We vinden ook wel 20, het aantal van vingers en tenen (of van de handen tweemaal) als basis in gebruik. W.C. Eels, die 307 getalsystemen van Amerikaanse volkeren heeft onderzocht, vond 146 systemen decimaal, en 106 op 5, 10, of 20, of op combinaties daarvan, berustend.2 Het vigesimale stelsel (dus dat stelsel dat op de basis 20 berust) komt in zijn meest karakteristieke vorm voor bij de Maya's in Mexico en bij de Kelten in Europa.

Er bestonden verschillende manieren om numerieke resultaten voor te stellen: door bundelen, door strepen te kerven op een stuk hout of been, door knopen in een touw te leggen, door steentjes of schelpen in hoopjes van vijf opeen te stapelen - methoden die doen denken aan de kerfstok van een herbergier uit de oude tijd. Dit leidde weer tot de invoering van speciale symbolen voor 5, 10, 20, enz. en we vinden inderdaad in de periode, waarin de geschreven geschiedenis begint, zulke symbolen in gebruik.

Een vroeg voorbeeld van zulk een kerfstok gaat terug tot het Oudere Stenen Tijdperk. In 1937 werd bij Věstonice in Moravië de rib van een jonge wolf gevonden, ongeveer 20 cm lang, waarin 55 diepe kerven waren gesneden, de eerste 25 in groepen van 5. Dan volgt een kerf die tweemaal zo lang is en waarmee de rij van kerven eindigt; met een andere kerf, ook tweemaal zo lang als de eerste 25 kerven, begint een nieuwe reeks die tot 30 loopt.1

Men ziet dus dat het niet geheel juist is om met Jacob Grimm en anderen te zeggen dat tellen begon met vingertellen. Dit vingertellen, dat wil dus zeggen rekenen in groepen van vijf en tien, kwam eerst in gebruik nadat het tellen reeds een zekere ontwikkeling had doorgemaakt. Toen deze ontwikkeling ver genoeg was gevorderd, konden getallen worden uitgedrukt met behulp van een basis, waarin dan weer grotere getallen konden worden uitgedrukt. Zo ontstond een eenvoudige rekenkundige methode waarin b.v. 14 als 10 + 4, doch ook als 15 - 1 kon worden uitgedrukt. Vermenigvuldiging zien we daar optreden, waar 20 niet als 10 + 10, doch als 2 × 10 wordt opgevat. Zulke dyadische bewerkingen vindt men duizenden jaren lang, als een soort middenweg tussen optelling en vermenigvuldiging, in gebruik b.v. in oud Egypte en in de pre-Arische beschaving van Mohenjo-Daro aan de Indus.

Deling begon daar waar 10 werd uitgedrukt als de ‘helft van een lichaam’, of in soortgelijke gevallen, doch bewuste breukenvorming kwam weinig voor. Bij Noordamerikaanse stammen bijvoorbeeld vinden wij slechts enkele uitdrukkingen voor breuken, en in bijna alle gevallen betreft dit ½, al vindt men ook wel eens uitdrukkingen voor ⅓ of ¼.2 Ook vindt men heel vroeg een merkwaardige voorliefde voor heel hoge getallen, iets dat misschien samenhangt met een al-te-menselijke drang om de grootte van kudden of van verslagen vijanden te overdrijven; zo'n voorliefde bespeuren we ook wel in de Bijbel en in andere heilige geschriften.

3.

Men kreeg ook behoefte aan het meten van de lengte en inhoud van voorwerpen. Daarvoor moesten zekere eenheden worden ge-

kozen, die nogal onnauwkeurig waren, vaak delen van het menselijk lichaam, zoals vingers, duimen of voeten. Aan deze gewoonte worden we ook herinnerd als we woorden als el, span of vadem gebruiken1. Bij de bouw van huizen, zoals bij de landbouwende Indiërs of de paalbewoners van Centraal Europa, moesten regels worden vastgelegd waarmee men langs rechte lijnen en volgens rechte hoeken kon bouwen. Het woord ‘recht’ hangt samen met ‘rekken’, het woord ‘lijn’ met ‘linnen’, het Engelse woord ‘straight’ (recht) met het werkwoord ‘stretch’ (strekken); al deze uitdrukkingen wijzen op metingen met koorden of touwen.2 Het woord ‘linnen’ wijst op een verband met het spinnen en weven.

De neolithische mens had ook een levendig gevoel voor meetkundige patronen. Het bakken en kleuren van aardewerk, het vlechten van bindwerk en manden, het weven van doeken en later het bewerken van metalen, leidde allemaal tot een versterking van het gevoel voor vlakke en ruimte-relaties. We kunnen hier misschien ook dansfiguren aan toevoegen. Men treft in neolithische versieringen veel congruentie, symmetrie en gelijkvormigheid aan. Getalverhoudingen komen ook voor, zoals in sommige voorhistorische figuren die driehoeksgetallen voorstellen, of bij zgn. heilige nummers.

Interessante meetkundige patronen op aardewerk, op mandwerk en op geweven stoffen vinden wij op neolithische potten in Bosnië en op kunstvoorwerpen van de Ur-periode in Mesopotamië3, op Egyptisch aardewerk der voordynastische periode (4000-3500 v. C.)4, op voorwerpen gebruikt door paalhuis-bewoners bij Loebljanka (Joegoslavië) in de Hallstadt periode (Midden Europa, 1000-500 v. C.)5, en op vele andere plaatsen. Op urnen uitgegraven bij Sopron in Hongarije zien we rechthoeken waarin driehoeken en driehoeken waarin cirkels. Deze figuren vertonen een

neiging om tot driehoeksgetallen te komen, getallen die later in de wiskunde der Pythagoreeërs een belangrijke rol zullen spelen1.

Zulke versieringen zijn ook in historische tijden populair gebleven en worden nog heden met succes aangewend. Men kan mooie voorbeelden vinden op de dipylon vazen uit de Minoïsche (Kreta) en archaïsch-Griekse tijd, in Byzantijnse en Arabische mozaïeken, of op Perzische en Chinese tapijten. Oorspronkelijk zullen sommige van deze figuren wel een magisch-godsdienstige betekenis hebben gehad, maar het esthetisch element heeft op den duur wel de overhand behouden2.

De godsdiensten van het Stenen Tijdperk kunnen worden aangezien als pogingen om met de natuurkrachten te kampen. Godsdienstige ceremonies worden vaak begeleid door andere ceremonies, die men eerder magisch kan noemen, en dit magische element kan men weer terugvinden in bepaalde opvattingen omtrent getal en vorm in kunst en dagelijks leven. Voorbeelden van magische getallen zijn 3, 4, 7, 10, van magische figuren het pentagram en de swastika (links of rechtsgewonden). Sommige schrijvers hebben de godsdienstige zijde van de vroege wiskunde als het beslissende element van haar groei beschouwd3, maar al zijn ook de maatschappelijke wortels der wiskunde in moderne tijden vaak moeilijk te ontdekken, ze zijn in de vroege periode van de menselijke geschiedenis toch wel duidelijk te zien. De traditie van die getallenmystiek leeft nog voort in zo iets als de ‘moderne’ numerologie en de vrees voor het getal dertien. Er zijn hotels zonder ‘dertiende’ etage!

4.

Zelfs bij volkeren met een maatschappelijke cultuur verwijderd van onze technische beschouwing vinden we een soort tijdrekening, dus een besef van de beweging van zon, maan en sterren. Door de uitbreiding van landbouw en handel begint deze kennis een meer wetenschappelijk karakter te krijgen. Zo ontstond een maankalender, doordat de veranderingen in de groei der gewassen

en andere periodiciteiten in de natuur in verband werden gebracht met de wisselingen van de maanstanden. Daarnaast ontwikkelde zich ook een zonnekalender, maar een nauwkeurige omschrijving van het verband tussen beide kalenders wordt eerst in de historische periode gelegd; in verschillende landen op verschillende manier. Bij ‘primitieve’ volkeren vinden we ook wel belangstelling voor zonnewendingen of de opgang van de Plejaden in de ochtendschemering, omdat deze dienst deden als gids bij de scheepvaart. Overigens placht men in historische tijden aan die vroegere, prehistorische, periode wel eens een overdreven astronomische kennis toe te schrijven.

Algemeen gesproken kan men zeggen dat uit deze prehistorische studie der hemellichamen enige kennis van bol en cirkel werd verkregen. Ook kwam er enig besef van ruimtelijke richtingen.

5.

Uit deze voorbeelden blijkt wel dat de historische groei van een wetenschap niet noodzakelijkerwijze dezelfde ontwikkeling moet doormaken als die waarop we haar in het huidige onderwijs doceren. Sommige meetkundige vormen, die eerst in de tegenwoordige tijd wetenschappelijk zijn bestudeerd, zoals knopen en patronen, waren al in vroege tijden bekend. Anderzijds zijn sommige tamelijk elementaire wiskundige gebieden van betrekkelijk jonge datum; wij denken b.v. aan de grafische voorstelling of aan de beginselen der statistiek. De Züricher professor A. Speiser heeft het eens met een zekere ironie en een zekere overdrijving aldus uitgedrukt: ‘Alreeds de uitgesproken neiging om vervelend te worden, die voor de elementaire wiskunde karakteristiek schijnt te zijn, kan voor zijn late oorsprong pleiten, daar de scheppende wiskundige liever zijn aandacht besteedt aan belangwekkende en mooie vraagstukken’.1

6.

Hier is misschien een goede plaats om als overgang tot het volgende hoofdstuk iets te vermelden over de wiskunde van de Minoische-Myceense cultuur, die der Maya's en die der Inca's, culturen die nu slechts herinneringen zijn door nagelaten voorwerpen, teksten en monumenten, doch waarvan de invloed op het verdere verloop van de wiskunde op zijn best gering schijnt geweest te zijn. Toch blijft deze wiskunde voor ons interessant en leerzaam.

In de Minoïsche en Myceense ruïnes op Kreta en het Griekse vasteland zijn wiskundige symbolen voor administratieve doelein-

den gevonden. Ze zijn in het zogenaamde Lineair A en B schrift en behoren tot de periode van circa 1800 tot 1200 v. C. Evenals in Egypte worden getallen additief geschreven met symbolen voor 1, 10, 100, 1000; die symbolen zijn geheel van die in Egypte verschillend. Ook voor eenvoudige breuken bestaan symbolen, doch er zijn (nog?) geen eenheidsbreuken als bij de Egyptenaren gevonden. De schrift is op kleitafeltjes als bij de Babyloniërs, doch de klerken bakten ze niet, zodat de enige tafeltjes die over zijn komen van de laatste brand die de paleizen heeft verwoest (als b.v. het zgn. paleis van Nestor). Het is dus niet bekend hoever de wiskundige vaardigheid van deze klerken ging. Wat we weten is dat de Homerische helden dienaars hadden die schriftelijk konden rekenen.

De Maya's in Midden Amerika, speciaal in huidig Guatemala en Yucatan, bezaten een beschaving die meer dan duizend jaren heeft bestaan en haar hoogtepunt heeft bereikt in de zgn. klassieke periode, zo tussen 200 en 900 n. C. De arithmetica van deze Maya's is in hoofdzaak ontcijferd door de studie van hun gebeeldhouwde reliëfs en van sommige codices en Spaanse kronieken. Ze stond in direct verband met het kalendersysteem, en dit hing weer af van hun sterrenkunde. Het systeem was vigesimaal, dus gebaseerd op 20 als eenheid. We vinden hier stippen voor getallen van 1 tot 4, horizontale streepjes voor de vijven tot 15, en voor grotere getallen een positiestelsel waarin machten van 20 worden voorgesteld door hetzelfde symbool als 20. Er kwamen variaties voor in verband met periode en kalenderstelsel. Een positiesysteem eist een symbool voor de nul, die werd aangegeven door een soort schelp of halfgeopend oog. Deze soort arithmetica beïnvloedde die van andere volkeren - een voorbeeld is de beroemde grote, ronde kalendersteen der Azteken, nu in het Archeologische Museum in Mexico Stad - de Azteken kwamen in Mexico tegen het einde van de twaalfde eeuw (n. C.).

De Inca's beheersten een uitgestrekt rijk in het Andes-gebied, dat van het midden der 13e eeuw tot de tijd der Spaanse verovering drie eeuwen later bestond met hoofdstad Cuzco (nu in Peru). Zij waren bekwaam in administratie, hand- en kunstwerk, stedenbouw en ingenieurstechniek, en dit alles zonder een schrift. Voor hun bureaucratie gebruikten ze een rekenmethode en statistiek gebaseerd op de quipu. De eenvoudigste quipu bestaat uit een hoofdkoord van gekleurd katoen of wol, waaraan andere koorden met knopen hangen. Die knopen vormen groepjes van één knoop tot 9 knopen, en een groep van 4 knopen gevolgd door een van 9 en dan door een van 2 stelt het getal 492 voor. Hier hebben we dus

een positiestelsel met de nul hier voorgesteld door een grotere afstand tussen knopengroepjes (zie hfdst. II, sectie 4). De kleuren van de koorden kunnen voedsel, kleding, soldaten, enz. voorstellen. Er kunnen weer koorden van de vorige koorden afhangen, zodat men een tamelijk gecompliceerde statistiek kan bijhouden. Met die quipus kan ook gerekend worden, zelfs in tamelijk ingewikkelde processen in een techniek die enigszins aan de Chinese ‘matrix’-methode doet denken.

Quipu's zijn gevonden met honderden koorden, de meest gecompliceerde quipu tot nu gevonden heeft 1800 koorden; ze kan de samenstelling van een leger, een werkkracht, een opslagplaats hebben voorgesteld. De Spanjaarden plachten de quipu's als heidense instrumenten te vernielen. De ongeveer 400 quipu's die we nu hebben, zijn in graven gevonden in woestijngebieden.

Deze quipu's leren ons dat een uitgebreide bureaucratisch georganiseerde maatschappij kan bestaan zonder een schrift. Dit doet allerlei vragen opkomen. Hadden b.v. de klerken (priesters, druiden?) die in het veronderstelde ‘astronomisch laboratorium’ Stonehenge (in Z. Engeland) werkten, ook een quipu-achtige manier om informatie te bewaren en te bewerken, maar waarvan geen overblijfselen bestaan?

7.

In de laatste jaren wordt meer en meer aandacht geschonken aan de wiskundige ideeën die we aantreffen bij stammen of volksgroepen die nog geen of nauwelijks een geschreven schrift kennen. Door M. en R. Ascher is hiervoor de naam ‘ethnowiskunde’ (ethnomathematics) voorgesteld, als de studie van de wiskundige begrippen van niet-geletterde (non-literate) volken. Volken waarvoor men vaak de term ‘primitief’ gebruikt, maar wier cultuur verre van ‘primitief’ blijkt te zijn. Zulk een studie houdt zich bezig met de meet- en rekenkundige begrippen die men daar aantreft, de manier van weven, netten maken of pottenbakken, de versieringen van weefsels, potten of eigen lichaam, en de bloedverwantschappen (kinship relations) die vaak een merkwaardig wiskundig schema kunnen onthullen. Zulke volken kan men vinden in Afrika, in Poly- en Melanesië, Australië, doch het onderzoek kan zich uitstrekken tot geïsoleerde gebieden en getto's van industriële landen. Deze studie staat in nauw verband, vooral in de vroegere koloniale landen, met de wijze waarop wiskunde moet worden gedoceerd aan leerlingen die uit hun traditionele cultuur in de moderne beschaving worden gebracht, zij deze kapitalistisch of socialistisch. Het blijkt dan aanbevelenswaardig te zijn aan te knopen bij

zulke wiskundige begrippen als eigen zijn aan de traditionele cultuur, b.v. zulke ontleend aan het bouwen van hutten of gemeenschapshuizen, patronen bij textiel of keramiek, het maken en de vorm van knopen bij netten, enz. Geschiedenis, antropologie en opvoeding gaan hier hand in hand.

Literatuur

Behalve de reeds geciteerde boeken en artikelen van Conant, Eels, Smith, Lietzman en Speiser kunnen we nog noemen

K. Menninger, Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen 2e ed., I Zahlreihen und Zahlsprache 1957, II Zahlschrift und Rechnen 1958. Ook in Engelse vertaling.
D.E. Smith - v. Ginsburg, Numbers and Numerals, N.Y. Teachers College 1937.
V. Gordon Childe, What Happened in History (Pelican Book, Harmondsworth-New York, 1942) Ned. vertaling: Van Vuursteen tot Wereldrijk (Amsterdam, 1952).
D.J. Struik, Stone Age Mathematics, Scientific American, Dec. 1948.

Interessante ornamenten vindt men o.a. in het reeds geciteerde boek van Speiser en in de volgende artikelen beschreven:

L. Spier, Plains Indian Parfleche Designs, Univ. Washington Publ. in Anthropology 4 (1931) 293-322.
A.B. Deacon, Geometrical Drawings from Malekula and other Islands of the New Hebrides, Journal Royal Anthropol. Institute 64 (1934) 129-175.
M. Popova, La géométrie dans la broderie bulgare, Comptes Rendus Premier Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves (Warschau 1929) 367-369.

De wiskunde van de Amerikaanse Indianen wordt ook behandeld in:

J.E.S. Thompson, Maya Arithmetic, Contributions to Amer. Anthropology and History 36, Carnegie Inst. of Washington Publ. 528 (1941) 37-62.
E.C. Lounsbury, Maya Numeration, Computation and Calendrical Astronomy, DSB 15 (1978) 759-818 met uitvoerige bibliografie.
M. en D. Ascher, Code of the Quipus. A study in Media, Mathematics and Culture, Ann Arbor, Mich. 1981. Zie ook AHES 8 (1972) 288-320, en Visible Language, Cleveland, Ohio, 1975, 329-356.
D.J. Struik, Minoan and Mycenaean Numerals, HM 9 (1982) 54-58.
C. Zaslavsky, Africa Counts, Boston, 1973.
D.W. Crowe, The Geometry of African Art, Journal of Geometry, 1 (1971) 169-182; 2 (1975) 253-271.

Over ‘ethno-wiskunde’ raadplege men:

M. en R. Ascher, Ethnomathematics, History of Science 24 (1986) 125-144.
M. Ascher, Graphs in Culture. A Study in Ethnomathematics, HM 15 (1988)201-227.
U. D'Ambrosio, Mathematical Education in a cultural Setting, Intern. Journ. f. Educ. Sci. Techn. 16 (1985) 469-477.
P. Gerdes, On possible Roots of traditional Angolan Sand Drawings in the Mathematics Classroom. Educational Studies in Mathematics 19 (1988) 13-22. Zie ook Gerdes' proefschrift Zum erwachenden geometrischen Denken (Dresden, 1985, 2 dln.).

Over het verband tussen ritueel en wiskunde, zie de artikelen van A. Seidenberg, AHES 1 (1960-61) 480-527, 2 (1962) 1-40, 18 (1970) 301-342.

Over de ontwikkeling van wiskundige begrippen bij kinderen vindt men beschouwingen en literatuur in:

A. Riess, Number Readiness in Research (Chicago, 1947).
J. Piaget, La Genèse du Nombre chez l'enfant (Neuchâtel 1941) en Le développement des Quantités chez l'enfant (ib. 1941).
L.N.H. Bunt, The Development of the Ideas of Numbers and Quantity according to Piaget (Groningen, 1951).
Over ‘megalitische’ sterrenkunde en wiskunde:
G.S. Hawkins, Beyond Stonehenge, Londen, 1973.
D.C. Haggie, Megalithic Science, Londen, 1981.

Interessant is ook:

U. Seibt, ‘Zahlbegriffe und Zahlenverhältnisse bei Tieren’, Zeitschrift für Tierpsychologie 60 (1982), 325-341.

Vorige Volgende