Wisconstighe gedachtenissen. Deel 3: van de deursichtighe

Vande cortheden en sekerheden opt werck der Verschaevwing.

Inde boveschreven voorstellen blijckt wel de manier om te vinden de schaeu van alle ghegheven verschaeulick punt, waer me openbaer is de ghemeene reghel der verschaeuwing van alle ghegheven verschaeulicke form, als te sien is int 11 voorstel. Maer wanttet in groote wercken moeyelick soude vallen, de schaeuwen van alle verschaeulicke punten en linien op sulcke manier te vinden, soo sullen wy nu ses verscheyden^* leden beschrijven, vande cortheden en sekerheden dieder na gheleghentheydt der omstandighen int werck connen vallen.

* Articulos.

[p. 40]

1 Lidt.

Tis oirboir datmen int verschaeuwen eens verschaeulicker forms, sich inr ghegheven altijt voorstelt, dattet glas streckt deur het voorste deel als plat, lini, of punt, der verschaeulicke form, om dattet selve dan gheen moeyte van verschaeuwing en behouft, overmidts het voor sijn selfs schaeu verstreckt deur de 2 begheerte. Maer want ymant nu dencken mocht, dattet inde dadelicke verschaeuwing dickwils t'onpas soude commen, het plat van een verschaeulicke form, als van een groot gesticht, voor sijn schaeu te nemen, overmidts de schaeu veel te groot soude vallen om op papier gheteyckent te worden, soo sullen wy daer op wat breeder verclaring doen. Laet by voorbeelt te verschaeuwen sijn eenich ghesticht diens voorgevel 100 palmen hooch is, en den siender daer af wesende 300 palmen, stelt voor sich een wesentlick glas drie palmen vant oogh, alsoo dattet evewijdich is mette voorschreven ghevel diemen deur t'glas siet, waer in de schaeu moet vallen van een palm hooch. Dit het ghegheven sijnde, en begheert wesende een schaeu even en ghelijck mette schaeu die int glas ghesien wort, soo souden de linien van 100 en 300 palmen, dieder sijn vant oogh totte verschaeulicke form te lanck sijn, mocht ymant segghen, om met bequaemheyt op papier dadelick ghetrocken te worden: Hoe salmen dan hier me leven? Aldus: Men beelt sich selfs in, al oftmen voor sich had een cleene lichamelicke bots, diens voorghevel int glas staende, hooch waer de voorschreven een palm, en de rest na den eysch, welcke bots ghenomen voor verschaeulicke form, en daer af^* grontteyckening met stantteyckening ghemaeckt, en daer me int verschaeuwen de reghel ghevolght, men heeft t'begheerde, sonder datmen moeyte behouft te doen om die voorghevel te verschaeuwen, wantmen die verteyckent even soo groot en ghelijckse daer comt.

* Ichnographia cum Ortographiâ.

2 Lidt.

Wanter cortheyt valt int vinden der schaeuwen van ettelicke rechte linien die mette vloer^* evewijdich sijn, soo sullen wy daer af eenige voorbeelden stellen. T'eerste van een lini inde vloer, diens een uyterste int glas comt, t'ander uyterste daer buyten. Het tweede van een lini inde vloer diens twee uytersten beyde buyten t'glas commen. Het derde van een lini boven de vloer, diens een uyterste int glas comt, t'andet daer buyten. Het vierde van een lini boven de vloer, diens twee uytersten beyde buyten t'glas commen.

* Parallelae.

1 Voorbeelt.

Laet ten eersten A B een verschaeulicke rechte lini sijn inde vloer, gherakende mettet punt B, de glasgront C D, diens glas rechthouckich op de vloer, E de voet, waer op verdocht wort een sienderlijn te staen rechthouckich op de vloer, en even ande siendermaet E F. Om hier af de schaeu te vinden, ick treck de vloerlijn E G evewijdeghe met B A, doch valter te gedencken (t'welck hem verstaen sal soo wet op de drie volghende voorbeelden deses lidts als op dit) dat de drie ghegheven punten E B A in gheen rechte lini en meughen staen, om totte cortheyt te commen die

[p. 41]

wy int werck begheeren, wantmen dan deur het trecken van E G evewijdeghe met B A, tot gheen besluyt en soude gheraken, als verclaert is int merck des 5 voorstels: Daer na G H rechthouckich op C D, en even met E F, voort H B en A E, snyende C D in I, en I K rechthouckich op C D, gherakende H B in K: T'welck soo sijnde, K B is de begheerde schaeu van A B: Want B int glas, is sijn selfs schaeu, deur de tweede begheerte, en K schaeu van A deur her 5 voorstel, en daerom de lini K B schaeu van A B deur het I voorstel. De cortheyt hier uyt volghende, is dat deur E G evewijdeghere trecken met A B, soo blijft het deel der saemlijn van B tot K de begeerde schaeu, daermen anders doende noch een nieu lini voor schaeu moet trecken.

2 Voorbeelt.

Laet ten tweeden A B een verschaenlicke rechte lini sijn inde vloer, niet gerakende de glasgrondt C D, diens glas rechthouckich op de vloer, E de voet, waer op verdocht wort een sienderlijn te staen rechthouckich op de vloer, en even ande siendermaet E F. Om hier af de schaeu te vinden, ick treck A B voorwaert tot inde glasgrondt an G, daer na de vloerlijn E H evewijdeghe met G A: Voort H I rechthouckich op C D, en even met E F, daer na I G, en A E snyende C D in K, en K L rechthouckich op C D, gherakende I G in L, voort B E snyende C D in M, en M N rechthouckich op C D, gherakende I G in N: T'welck soo sijnde, L N is openbaerlick de begheerde schaeu van A B. De cortheyt hier uyt is, datmen met A B voort te trecken tot G, en de rest als boven, de twee punten A, B, verschaeut met een vloerlijn E H, een siendermaet H I, en een saemlijn I G, daermen anders elck punt A, B int besonder verschaeuwende, van elck twee sulcke linien soude trecken.

3 Voorbeelt.

Laet ten derden A, B, twee punten sijn inde vloer, en noch twee punten elck soo hooch daer boven als C D lanck is commende t'een punt boven B int glas, en de lini tusschen die twee punten die evewijdich vande vloer moet wesen, sy de ghegheven verschaeulicke lini, voort is t'glas rechthouckich op de vloer, sijn glasgrondt sy E B F, en G de voet, waer op deur t'ghedacht ghenomen wort een sienderlijn te staen rechthouckich op de vloer, en even ande siendermaet G H. Om hier af de schaeu te vinden, ick treck B I rechthouckich op E F, en even an C D, daer na G K evewijdeghe met B A; en van t'vloerlijnraecksel K, de siendermaet K L rechthouckich op E F, en even an G H, voort L I en A G snyende E F in M, daer na M N rechthouckich op E F, gherakende de saemlijn I L in N. T'welck soo sijnde I N is de begheerde schaeu: Want t'punt I is int glas sijn eyghen schaeu deur de tweede begheerte, en t'punt N schaeu van t'punt boven A deur het 6 voorstel, daerom de lini tusschen beyden als N I, is deur het eerste voorstel schaeu vande lini boven A B. De cort-

[p. 42]

heydt hier uyt volghende is, datmen deur G K evewijdeghe te trecken met B A, soo blijft het deel der saemlijn van I tot N de begheerde schaeu, daermen anders doende een nieuwe lijn voor schaeu moet trecken, boven dien noch een lini als B I, en een ander als B A.

4 Voorbeelt.

Laet ten vierden A en B twee punten sijn inde vloer, elck soo hooch daer boven als C D lanck is, commende beyde buyten t'glas, en de lini tusschen die twee punten die evewijdich vande vloer moet wesen, sy de ghegeven verschaeulicke lini: Voort is t'glas rechthouckich op de vloer, sijn glasgront sy E F, en G de voet, waer op verdocht wort een sienderlijn te staen rechthouckich op de vloer, en even ande siendermaet G H. Om hier af de schaeu te vinden, ick treck A B voorwaert tot datse de glasgront gheraeckt in I: Daer na I K rechthouckich op E F, en even an C D, voort G L evewijdeghe met I A, en van t'vloerlijn raecksel L, de siendermaet L M rechthouckich op E F, en even an G H: Daer na M K en A G, snyende E F in N, voort N O rechthouckich op E F, en gherakende M K in O; Daer na B G snyende E F in P, voort P Q rechthouckich op E F, en gherakende M K in Q. T'welck soo sijnde, O Q is de begheerde sckaeu: Want O is schaeu van t'verschaeulickpunt boven A, en Q van t'verschaeulickpunt boven B deur het 6 voorstel, en O Q lini tusschen beyden die punten, moet sijn de schaeu vande verschaeulicke A B deur het 1 voorstel. De cortheyt hier uyt volghende, wort bemerckt alsmen int langhe elck verschaeulickpunt alleen verschaeut na de manier des 6 voorstels, sonder A B voort te trecken, noch G L daer me evewijdeghe.

3 Lidt.

Daer valt cortheyt en sekerheyt int werck met te ghedencken dat verschaeulicke evewijdeghe linien die mettet glas evewijdich sijn, hun schaeuwen oock evewijdich hebben deur het 3 voorstel: Maer verschaeulicke evewijdeghe die mettet glas onevewijdich sijn, datse haer schaeuwen oock onevewijdich hebben, en voortgetrocken sijnde in een punt versamen deur het 3 voorstel D'oirsaeck dier cortheyt is om datmen int soucken der schaeuwen vande ghegheven verschaeulicke punten, niet altijt en behouft te vervolghen al de ses leden der wercking des 5 voorstels, of de seven leden des 6 voortstels, maer allenelick twee of drie van dien; ja somwijlen niet een.

1 Voorbeelt.

Om dese cortheden by voorbeelt te verclaren, laet A B C D een verschaeulicke evewijdeghe vierhouck sijn inde vloer, deur wiens sijde D C deglasgront

[p. 43]

E F streckt, G is de voet, waer op deur t'ghedacht een sienderlijn staet even ande liendermaet G H, en rechthouckich op de vloer.

Om hier of te verclaren de cortheden dieder vallen int vinden der schaeu, wy sullen eerst het heel werck beschrijven als volght: Ick treck voor al de vloerlijn G I evewijdeghe met D A, en van het vloerlijnraecksel I, de siendermaet I K, even an G H, en rechthouckich op de glasgront E F, daer na de linien K D, K C, en A G snyende E F in L, voorts L M rechthouckich op E F, en gherakende K D in M, daer na M N evewijdeghe met D C, en gherakende K C in N. Dit soo sijnde de vierhouck M N C D is openbaerlick de begheerde schaeu van A B C D. De cortheyt hier in gheleghen, is onder anderen, datmen niet gesocht en heeft de schaeu N des verschaeulickpunts B na de manier des 5 voorstels, want treckende M N tot datse K C ontmoet als in N, soo moest N de schaeu sijn van B, en de lini M N schaeu van A B, om dese reden: K D, K C saemlijnen wesende, en t'punt M schaeu van A deur het 5 voorstel, en dat boven dien de schaeu M N alsoo evewijdeghe moet sijn mette schaeu D C, ghelijck de verschaeulicke A B mette verschaeulicke D C deur het 2 voorstel, soo moet M N schaeu sijn van A B, en N van B.

2 Voorbeelt.

Noch veel merckelicker cortheden vallender, als de verschaeulicke evewijdeghe vierhouck in haer heeft veel evewijdege linien mette afgaendè sijden. Laet by voorbeelt M N C D hier wederom schaeu van A B C D sijn, K saempunt,



en de rest alsvooren, uytgenomen dat de verschaeulicke vierhouck A B C D, nu in haer hebbe drie evewijdeghe linien met A D, als O P, Q R, S T.

[p. 44]

Om der selve linien schaeuwen te vinden men heeft niet te doen dan te trecken K P, K R, K T, snyende M N inde drie punten V, X, Y; Want de drie linien begrepen inden vierhouck M N C D, als V P, X R, Y T, sijn openbaerlick de begheerde schaeuwen, te weten V P van O P, en X R van Q R, en Y T van S T.

3 Voorbeelt.

Maer om oock voorbeelt te stellen als het glas streckt buyten een sijde des evewijdeghen vierhoucx, evewijdich mette sijde, soo laet A B C D weerom een verschaeulicke evewijdeghe vierhouck sijn inde vloer, wiens sijde D C evewijdich is mette glasgront E F, en G is de voet, waer op deur t'ghedacht een sienderlijn staet, even ande siender maet G H. Om hier af met cortheyt de schaeu te vinden, ick treck A D en B C voorwaert, tot datse de glasgront gheraken in I en K: Vinde daer na de schaeu des vierhoucx A B K I, ghelijckse hier vooren ghevonden wiert van A B C D, welcke schaeu (nemende L voor saempunt) sy M N K I. Nu ghelijck hier gevonden is de schaeu M N der verschaeulicke A B, alsoo salmen oock vinden de schaeu der verschaeulicke D C; dat is, ick treck D G snyende E F in O, daet na O P rechthouckich op E F, en gherakende L I in P, voort P Q evewijdeghe met M N, en gherakende L K in Q: T'welck soo sijnde den vierhouck M N Q P, is open baerlick de begheerde schaeu der verschaeulicke A B C D.

4 Voorbeelt.

Maer soo de verschaeulicke form evewijdeghe linien hadde mette afgaende sijden, de cortheyt des wercx dieder dan op valt is dusdanich: Laet M N Q P hier onder weerom de schaeu van A B C D sijn, L saempunt, en de rest alsvooren, uytghenomen dat de verschaeulicke vierhouck A B C D nu in haer hebbe drie evewijdeghe linien met A D, als R S, T V, X Y. Om der selver linien schaeu te vinden, men heeft niet te doen dan die selve drie linien voort te trecken tot inde glasgront E F, als R S Z, en soo met d'ander twee: Daer na drie linien vant saempunt L, tot die drie gheraeckselen inde glasgrondt, want de drie linien alsdan begrepen inden vierhouck M N Q P, sijn openbaerlick de begheerde schaeuwen der verschaeulicke R S, T V, X Y.

[p. 45]

5 Voorbeelt.

Hoe wel ons voornemen was uyt verscheyden manieren van wercking maer een te verkiesen, te weten die ons cortst en bequaemst docht, soo sullen wy nochtans totte vier boveschreven voorbeelden dit vijfde vervoughen, met wat verandering inde manier des wercx, deur dien wy in des Anhangs 3 hooftstick daer af wat sullen segghen.

Om dan tot de saeck te commen, sullen hier stellen vier formẽ, d'eerste met een ghegeven verschaeulick viercant, de tweede met een verschaeulicke rechthouck op d'een sijde langer, de derde met een evewijdege scheefhouckighe vierhouck, en alle drie mettet glas rechthouckich op de vloer deur een sijde der verschaeulicke vierhouck: De vierde form mettet glas scheefhouckich op de vloer, tot welcke vier formen een selve beschrijving dienen sal. Laet dan A B C D een verschaeulicke evewijdeghe vierhouck sijn inde vloer, deur wiens sijde D C de glasgront E F streckt, G is de voet, waer op deur t'ghedacht een sienderlijn staet, even ande siendermaet G H, en rechthouckich op de vloer, voort sy ghetrocken de vloerlijn G I, evewijdeghe met D A, en van het vloerlijnraecksel I, de siendermaet I K, even an G H, en rechthouckich op de glasgront E F, daer na de saemlijnen D K, C K. Tot hier toe is t'werck ghedaen als in t'beghin van het 1 voorbeelt deses 3 lidts; Maer om nu de schaeu van A B op ons voorghenomen manier te vinden, ick teycken inde glasgront E F t'punt F, alsoo dat C F even is ande lini dieder valt van G rechthouckich op E F, t'welck in d'eerste, en tweede form is G I, inde 3 en 4 form wortse bedocht: Daer na F L, even en evewijdeghe met I K, voort teycken ick inde glasgrondt E F t'punt E, alsoo dat C E even is ande lini dieder van C rechthouckich valt op A B, of op haer verlangde, t'welck in d'eerste en tweede form is C B, inde 3 en 4 form wortse bedocht: Daer na C M, makende op E F een houck even anden houck diemen neemt het glas op de vloer te maken; Ick treck daer na L E, snyende C M in N, neem daer na de langde C N, vervough die inde lini I K, van I tot O, en treck deur O de lini P Q evewijdeghe met A B, te weten Pinde saemlijn D K, en Q inde saemlijn C K. Dit soo sijnde, ick segh de lini P Q te wesen de schaeu van A B, en P Q C D de schaeu des vierhoucx A B C D. Tbereytsel. Laet inde eerste en tweede form gheteyckent worden t'punt R, als ghemeene sne van I K, of haer verlangde, en A B of haer verlangde.

Tbewys.

Anghesien in d'eerste en tweede form C F even is ande lini I G, en C E an C B, dats oock an I R, soo is E F even met G R, en F L is even ande sienderlijn die opt punt G staet rechthouckich op de vloer, waer deur den driehouck E F L recht sijnde an F, even en ghelijck is anden verdochten driehouck begrepen tus-

[p. 46]

schen het oogh, R, en G, recht sijnde an G; Voort anghesien I G even is an C F, soo moet L E, de lini C M snyen in N, soo hooch boven C, als het strael van t'oogh tot R het glas deurboort boven I, daerom C N is de ware langde dieder moet sijn van D C totte schaeu van A B, maer de selve langde is tusschen D C en P Q deur t'werck, daerom P Q is in haer behoorlicke verheyt van D C: Haer uytersten P Q sijn oock inde saemlijnen D K, C K; Daerom P Q is de ware schaeu van A B.

Deur t'ghene hier bewesen is inde eerste en tweede form, machmen claerlick ghenouch verstaen de nootsakelickheyt van derghelijcke inde derde en vierde form, want soomen treckt een lini van G rechthouckich op A B, of op haer ver-

[p. 47]

langde, sy sal even sijn met E F, waer uyt men ghenouch siet t'vervolgh vande rest.

Merckt.

Maer sooder te vinden waren de schaeuwen van ettelicke ander verschaeulicke linien evewijdich met A B, dat can met cortheyt aldus gheschien: Laet tusschen A B en D C deur t'ghedacht noch twee verschaeulicke linien sijn, even en evewijdich met A B, en streckende deur de punten S, T, die gheteyckent sijn in A D. Om der selve linien schaeuwen te vinden, ick teycken in C E de twee punten V, X, alsoo dat C V even is mette lini van S tot op E F rechthouckich, en C X even mette lini van T rechthouckich op E F, treck daer na L V, en L X, snyende M C in Y en Z; Teycken daer na inde vierhouck P Q C D de lini a b, so hooch boven D C, als van Y tot C, schelijcx de lini c d soo hooch boven D C, als van Z tot C, en heb openbaerlick t'begheerde.

Tot hier toe sijn voorbeelden beschreven alwaer t'glas streckt deur een sijde des verschaeulicken vierhoucx, maer om oock voorbeelt te stellen daert buyten een sijde streckt evewijdich mette selve, soo laet inde twee eerste rechthouckighe verschaeulicke vierhoucken A B T e een verschaeulicke vierhouck sijn, streckende t'glas deur E F evewijdich met A B, en de rest van t'ghegheven sy alsvooren.

Om nu de schaeu van A B te vinden, men sal A T en haer tegenoversijde B e voorwaert trecken, tot datse E F gheraken, als in C en D: Ansiende daer na A B C D al ofse de ghegheven verschaeulicke form waer, men vint P Q schaeu van A B alsvooren; En ansiende daer na andermael T e C D, al ofse de ghegheven verschaeulicke form waer, men vint op de selve voughe de schaeu vande verdochte T e, en men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is.

6 Voorbeelt.

Nu sullen wy segghen vande cortheyt dieder valt, als t'glas streckt onevewijdich met elcke der vier sijden. Laet tot dien eynde A B C D een verschaeulicke evewijdeghe vierhouck sijn, E F de glasgront onevewijdich met elcke der vier sijden, en t'glas rechthouckich op de vloer, streckende deur een der punten, als deur C, en G is de voet, waer op deur t'ghedacht een sienderlijn staet even ande siendermaet G H. Om vande selve vierhouck A B C D de schaeu te crijghen; men soude meughen vinden de schaeu van elck der punten A, B, D, na de ghemeene reghel des 5 voorstels, treckende daer na linien van t'een punt tottet ander, maer men canse deur een corter wech crijghen als volght: Ick treck de vloetlijn G I evewijdich met C B, en K I rechthouckich op E F, en even an G H; Daerna de vloerlijn G L evewijdeghe met C D, en op E F de siendermaet L M even an G H, treck daer na A D voorwaert tot inde glasgrondt an N, en A B tot inde selve glasgront an O; Daer na K N, K C, en M C snyende K N in P, voorts M O snyende K N in Q, en K C in R. T'welck soo sijnde, de vierhouck Q R C P is de begheerde schaeu vande verschaeulicke A B C D, want M O, M C sijn saemlijnen der schaeuwen van A B D C en K N, K C der schaeuwen van A D;

[p. 48]

B C, daerom de schaeuwen van A B en D C sijn inde saemlijnen M O, M C, en de schaeuwen van A D, B C inde saemlijnen K N, K C waer deur Q R en P C schaeuwen sijn van A B, D C, en Q P, R C schaeuwen van A D, B C, en vervolgens de vierhouck Q R C P schaeu des verschaeulicken vierhoucx A B C D.

[p. 49]

7 Voorbeelt.

Maer soo in de verschaeulicke evewijdeghe vierhouck, linien waren evewijdich mette sijden, haer schaeuwen worden oock met cortheyt ghevonden. Laet by voorbeelt inden verschaeulicken vierhouck A B C D, drie linien sijn evewijdich met A B, en drie ander linien evewijdich met A D: Dit soo sijnde, men doet de wercking alsvooren, en daerenboven treckmen noch de ghegeven evewijdeghen voorwaert, tot datse de glasgront E F gheraken, als tusschen C en O inde drie punten S, T, V, maer tusschen C en N inde drie punten X, Y, Z, ende is dan de form als hier onder.

[p. 50]

Daer na treck ick de ses linien M S, M T, M V, K X, K Y, K Z; en de linien dan begrepen inden vierhouck Q R C P (welcken vierhouck wy meerder claerheyts halven hier andermael verteyckenen, sonder de ghegheven verschaeulicke vierhoucks sijn de begheerde schaeuwen der verschaeulicke evewijdeghe inden vierhouck A B C D.

[p. 51]

8 Voorbeelt.

Laet nu den glasgront E F strecken buyten den verschaeulicken evewijdegen vierhouck A B C D, sonder dien te gheraken, als hier onder, alwaer G de voet is, G H siendermaet, die ghelijck oock t'glas rechthouckich op de vloer is. Hier me mette punten I, K, L, M, N, O, de wercking vervolght alsvooren, daer na B C, en C D voorwaert ghetrocken, tot datse de glasgront E F, gheraken in P en Q, en ghetrocken M O, M Q, K N, K P, soo is de vierhouck begrepen tusschen die binnenste deelen, van die vier linien, als R S T V, de begheerde schaeu; waer af t'bewijs openbaer is deur t'voorgaende.

[p. 52]

9 Voorbeelt.

Maer soo den verschaeulicken vierhouck A B C D, evewijdege linien hadde met d'een en d'ander sijde, men soude om haer schaeuwé met lichticheyt te vinden, doen alsvooren, te weten die linien voorttrecken totte glasgrondt E F, daer na linien van M tot sulcke gheraeckselen tusschen Q en O vallende, en van K tot soodanighe gheraeckselen tusschen P en N vallende; want dier linien deelen inden vierhouck R S T V begrepen, souden om de voorgaende redenen de begheerde schaeuwen sijn.

10 Voorbeelt.

Ons can oock cortheyt ontmoeten int verschaeuwen der lichamelicke rechthoucken. Om van t'welck by voorbeelt te spreken, laet A B C D sijn de grontteyckening van een lichamelicke rechthouck, diens hooghde E F, en t'glas strecke deur t'voorste plat diens grondt D C, de voet sy G, waer op deur t'ghedacht staet een sienderlijn rechthouckich op de vloer, en even ande siendermaet H I. Om nu t'werck te doen ick teycken op een ander glas (om de schaeu mette ghegeven grontteyckening niet te vermengen) K L, M N, als schaeu des vierhoucx die int glas comt, te weten diens gront N M even is met D C, en hooghde N K, evẽ an E F. Voort vinde ick deur het 5 of 6 voorstel t'saempunt O, van t'selve trec ick O M, O N, O K, O L, als saemlijnen vande voortghetrocken schaeuwen der verschaeulicke gelijck sijn D A, C B, en dieder boven commen. Om nu de rest der begheerde schaeu te volmaken, ick en behouf niet dan te soucken de schaeu des punts ghelijck A is, welcke schaeu P sy, diemen nu vint alleenelick deur de twee laetste leden der wercking vant 5 voorstel: Daer na treckmen P Q evewijdeghe met N K, tot datse gheraeckt de saemlijn O K: Daer na Q R, evewijdege met N M, tot datse gheraeckt de saemlijn O L, voorts R S, evewijdeghe met L M, tot datse gheraeckt de saemlijn O M, Ten laetsten S P, welcke soo int handtwerck niet ghemist en is, nootsakelick moet vallen evewijdich met N M, deur het 2 voorstel: En om de redenen int selve 2 voorstel bewesen, moesten P Q, en R S, evewijdeghe sijn met N K, L M, en Q R, met N M, sulcx dat K L M N P Q R S de begheerde schaeu is.

Maer want dese schaeu gheteyckent is van een lichamelicken rechthouck als van deurluchtighe stof sijnde, sulcx datmen de achterste linien als P Q, P S, P N, sien can, soo is te weten dat alsmen sich voorstelt dattet lichaem niet deurluchtich en is, men mach de selve drie linien onghetrocken laten, en in sulcken gevalle soudemen in plaets des punts P, hebben meughen vinden t'punt Q, en voort de rest vervolghen na t'behooren.

11 Voorbeelt.

Maer sooder achter den ghegheven verschaeulicken lichamelicken rechthouck, stonden meer ander lichamelicke rechthoucken, even en ghelijck mette selve, als diens grontteyckeninghen de viercanten T, V, soo dat de twee sijden T en V waren inde rechte lini van D deur A streckende, de vinding van haer schaeuwen is oock heel licht, want ghevonden t'punt X, ghelijck boven gheseyt is van Q en daer mealsoo voortghevaren, men heeft de begheerde schaeu an X: En sghelijcx vintmen oock de schaeu an Y.

[p. 53]

12 Voorbeelt.

Maer soo inden boveschreven verschaeulicken lichamelicken rechthouck, meer ander linien waren evewijdich mette sijden, haer schaeuwen souden met cortheyt meughen ghetrocken worden: Als by voorbeelt, ghenomen datter inde cortste sijden gheteyckent waren drie punten, van welcke evewijdege linien ghetrocken waren mette langste sijden: S'ghelijcx inde langste sijden seven punten, van welcke evewijdeghe ghetrocken waren mette cortste sijden.

Om der selver evewijdeghen schaeuwen te vinden, men heeft niet an-

[p. 54]

ders te doen, dan die linien uyt O te trecken totte voorschreven punten, en voort al d'ander ghelijck de volghende form anwijst, welverstaende dat de evewijdeghe met K L, inden vierhouck K R ghevonden worden als hier vooren in dit 3 lidt gheseyt is, en dat van dier linien uyterste punten in L R, ghetrocken sijn evewijdeghe linien met R S.

13 Voorbeelt.

Soo t'glas niet en waer evewijdich met des lichamelicken rechthoucx plat alsvooren, maer onevewijdich, daer vallen oock merckelicke cortheden in. Laet by voorbeelt A B C D een rechthouck sijn, ick neem een viercant als grontteyckening inde vloer, waer op verdocht wort een lichamelicke rechthouck te commen, soo hooch als een der sijden lanck is, te weten een^* teerlinck en deur den houck C streckt het glas E F rechthouckich op de vloer, voort is G de voet, waer op verdocht wort een sienderlijn te staen rechthouckich op de selve vloer, en even ande siendermaet G H. Om van desen teerlinck de schaeu te teyckenen, ick vinde eerst alsvooren de schaeu des gronts, of der drie sienlicke punten B, C, D, welcke sijn, neem ick, als inde volghende tweede form I, K, L: En K I M d'een saemlijn, diens saempunt M: D'ander saemlijn is K L N, diens saempunt N, en opt punt K dat int glas comt, treck ick de sijde des teerlincx die int glas staet, als K O, even an A B, daer na vant saempunt M de saemlijn M O, en N O daer na I P, en L Q evewijdeghe met K O, commende P in M O, en Q in N O: Daer na M Q, en N P snyende M Q in R: T'welck soo sijnde, de form R P I K L Q O is de begheerde schaeu des ghegheven teerlincx.

* Cubus.

14 Voorbeelt.

Maer soo den ghegheven teerlinck op elck viercant evewijdeghe linien hadde, evewijdich mette sijden, de schaeuwen der selve connen oock met cortheyt ghevonden worden. Laet by voorbeelt de uyterste punten dier evewijdeghe linien in K O, sijn S, T, en d'uyterste punten der schaeuwen van sulcke linien in K L gevonden inden gront na de manier alsvooren sijn V X en in K I sijn Y Z, daer na treck ick de linien van V en X evewijdeghe met K O, tot in Q O, en van

[p. 55]

daer voort tot M: Daer na van Y en Z evewijdeghe met K O, tot in M O, en van daer voort tot N: Daer na N S, N T, M S, M T. T'welck soo sijnde de linien begrepen inde drie vierhoucken sijn openbaerlick de begeerde schaeuwen der gegheven verschaeulicke evewijdeghe linien op de viercanten des teerlincx.

Men soude beneven de boveschreven voorbeelden met lichamelicke rechthoucken, noch meughen stellen ander voorbeelden van groote ghestichten, maer achtende dat hier deur de meyning ghenouch verstaen is vande cortheydt vallende in sulcke evewijdeghen, te weten die mette vloer of mettet glas evewijdich sijn, sullent daer by laten, te meer dat een die hem int dadelick verschaeuwẽ oeffent veel cortheden merckt die geen mondelicke onderrichting en behouvẽ.

[p. 56]

4 Lidt.

Ons ontmoet oock cortheyt int verschaeuwen van verschaeulicke evewijdeghe linien die onevewijdich sijn mette vloer, en oock mettet glas. Om vat t'welck voorbeelt te stellen, laet A B C D sijn de grondtteyckening van een huys, diens stantteyckening als voorghevel of achterghevel sy E F G H I, sulcx dat I H even is en overcomt met C B, en t'glas comme op de vloer rechthouckich deur D C: Hier toe noch ghegheven sijnde de voet en sienderlijn, en de verschaeuwing ghedaen wesende na t'behooren, soo is daer uyt ghecommen, neem ick, de schaeu waer af het dack sy den vierhouck K L M N: Dit plat des dack en is inde verschaeulicke form evewijdich noch mette vloer, noch mettet glas: Van t'selve verschaeulick dack commen neem ick vijf evewijdeghe linien, evewijdich mette uyterste, beteyckenende het onderscheyt van barders, loot, pannen, of dierghelijcke daermen de huysen me deckt, de eynden van sulcke linien commen inde lini M N, als ter plaetsen vande punten P, Q, R, S, T. Om nu dier linien schaeuwen met lichticheyt te vinden ick treck N K en M L voorwaert tot datse malcander ontmoeten an Vals saempunt; Daer na treck ick V P, V Q, V R, V S, V T, die altemael K L deursnyen moeten. Dit soo sijnde, ick segh dat de vijf linien vallende inden vierhouck K L M N, de begeerde schaeuwen sijn, waer af t'bewijs openbaer is.

5 Lidt.

Ons can cortheyt ontmoeten met te ghedencken het inhoudt des 1 voorstels, te weten dat de rechte lini tusschen twee schaeuwen van verschaeulicke punten, schaeu is der verschaeulicke rechte lini tusschen de selve twee verschaeulicke punten. Om van t'welck voorbeelt te beschrijven, soo laet A B C D sijn een verschaeulicke vierhouckige rechthouck, diens ghevonden schaeu sy E F G H. Hier benevens begheertmen noch de schaeu des middelpunts I van A B C D. Om dit met cortheyt te doen, ick treck de twee rechte linien E G, F H, en daerse malcander deursnyen als in K, is de begheerde schaeu des verschaeulick punts I: Want deur het boveschreven 1 voorstel soo is E G schaeu vande

[p. 57]

verdochte A C, en F H vande verdochte B D, maer de gemeene sne van die twee verdochte linien ghebeurt in I; daerom des vierhoucx A B C D middelpunt is inde verdochte A C, en oock inde verdochte B D, waer deur sijn schaeu oock moet sijn in E G, en oock in F H, en daerom is K de begheerde schaeu.

Ons can noch een ander ghedaente van cortheyt ontmoeten die wy aldus verclaren sullen: Laet A B C D een verschaeulicke evewijdeghe vierhouck wesen, deur welcke ter eender sijde ghetrocken sijn soo veel linien evewijdich met A D, alsser ter ander sijde ghetrocken sijn evewijdich met A B, t'welck hier is op elcke sijde seven linien, op elcke sijde al even verre van malcander, en t'glas strecke deur D C als glasgront. Van desen verschaeulicken vierhouck A B C D, sy E F G H de ghevonden schaeu, sulcx dat G H ghedeelt is in seven even deelen als D C: Daer na H E, en G F voortghetrocken wesende, sy vergaren in I, als saempunt van t'welck ghetrocken sijn seven linien totte boveschreven seven punten tusschen G H, sulcx dat derselve linien deelen begrepẽ inden vierhouck E F G H, sijn schaeuwẽ der verschaeulicke linien die inden vierhouck A B C D van boven neerwaert commen. Maer om nu met cortheyt te vinden de schaeuwen der seven verschaeulicke linien tusschen A B en D C evewijdich mette selve, ick treck E G snyende de seven linien dieder ghetrocken sijn van I tot inde lini G H, en deur haer ghemeene sneen treck ick seven evewijdeghen met G H eyndende op d'een sijde in E H, op d'ander sijde in F G, welcke seven linien alsoo met cortheyt ghevonden, ick segh de begheerde schaeuwen te sijn. Om t'welck te bethoonen, soo laet eerst ghetrocken worden de rechte lini A C, waer af E G deur het 1 voorstel schaeu moet sijn, overmidis t'punt G schaeu is van C, en E van A; En al de ghemeene sneen der selve E G, en der linien van I tot in G H, moeten deur t'boveschrevẽ 1 voorstel schaeuwen sijn der ghemeene verschaeulicke sneen van A C, en de linien die van boven neerwaert commen. Maer want deur de selve ghemeene verschaeulicke sneen, d'ander verschaeulicke evewijdeghe strecken, soo moeten der selver schaeuwen oock strecken deur de ghemeene sneen in E G, en vervolgens soo sijn de linien deur de selve de begheerde schaeuwen.

6 Lidt.

Int verschaeuwen van ettelicke verschaeulicke ronden can oock cortheydt vallen, want het verschaeulickrondt evewijdich sijnde mettet glas, sijn schaeu is oock een rondt deur het 2 voorstel: Daerom ghevonden sijnde de schaeu der verschaeulicke middellijn, en daer op een rondt beschreven, men heeft de begheerde schaeu.

Maer t'verschaeulickrondt mettet glas onevewijdich sijnde, de schaeu can na

[p. 58]

gheleghentheyt van t'ghegheven oock een rondt sijn. Om hier af de reden te verclaren, soo neem ick voor al den^* keghelhandel voor bekent, of immers soo verre bekent als hier noodich valt, en segh aldus. Laet A B C een^* lanckrondighe keghel sijn, diens grondts cleynste middellijn B C, cleynste driehouck A B C, as A D: Dese keghel wort ghesneen met een plat E F G, rechthouckich op den cleensten driehouck A B C, en deur den^* as in F: De selve keghelsne E F G can sijn een^* lanckrondt ghelijck mette grondt, of lanckworpigher, of cortworpigher, of oock een volcommen rondt, en dat na de lanckheyt vande grootste^* middellijn des grondts. Nu ghenomen de selve sne een rondt te welsen, soo sy ghetrocken sijn teghensne E H I, diemen heeft als den houck A H I, even is an den houck A F E, en alsoo dese teghensne altijt ghelijck is met d'ander, sy moet oock een rondt sijn: Sulcx dat dese lanckrondighe keghel twee sneen heeft ronden sijnde, als E F G en haer teghensne E H I. Laet ons nu nemen het rondt E F G een verschaeulick rondt te sijn, overcant ghesien, A het oogh, en deur E H I een plat als glas tusschen beyden, in welck glas oock sulcken rondt wesende, soo cant ghebeuren, ghelijck wy gheseyt hebben, dattet verschaeulick rondt mettet glas onevewijdich sijnde, nochtans de schaeu een rondt sy. Om nu te commen tot voorbeelt van sulcke verschaeuwing, ick treck



G E ghenouch voorwaert, als tot K, en daer op A L, evewijdeghe met I E, alsoo dat A L sienderlijn beteyckent, en t'punt L de voet: Dit soo sijnde, ick treck op een ander plat de lini M N, even met G L, en daer in t'punt O, alsoo dat M O, even sy met G E, beschrijf daer op als middellijn het rondt M O, treck daer na N P, even an L A, stel voorts in O M, t'punt Q, alsoo dat O Q, even sy an E I, beschrijf daer op het rondt O Q: T'welck alsoo met sulcke cortheyt ghevonden, ick segh de begheerde schaeu te sijn des rondts O M. Om van t'welck wat breeder verclating te doen, laet deur O ghetrocken worden de lini R S, rechthouckich op M N als glasgrondt. Dit soo sijnde ick segh aldus: Blijvende het rondt O M inde vloer, maer t'glas daer O Q in is draeyende op R S als as, sy op waert ghebrocht soo dattet op den vloer een houck maeck even an A L G, sghelijcx draeyende N P op N, tot datse als sienderlijn evewijdeghe is mette middellijn

* Tractatus Conicorum.

* Conus cuius basis ellipsis.

* Axim.

* Ellipsis.

* Diametro.

[p. 59]

O Q, soo sal de schaeu, te weten het rondt O Q, vant oogh ghesien worden te overcommen mettet verschaeulick rondt O M: Waer af wy t'bewijs en d'oirsaeck int voorgaende verclaert hebben. Oock is kennelick deur het 7 voorstel, dattet selve rondt O Q, schaeu blijft van t'rondt O M op alle houck die t'glas op de vloer maeckt, midts dat de sienderlijn altijt evewijdeghe sy mette middellijn O Q.

Maer soo ymant hier af eenighe werckelicke proef wilde sien, soude het verschaeulickrondt als M O, meughen in een viercant stellen als hier onder, en des selven viercants schaeu ghevonden sijnde, als neem ick T V S R, de vier sijden gheraken het rondt inde punten O, X, Q, Y, t'welck teycken is van sekerheyt. En wilmẽ noch voorder ondersoucken, men mach trecken des verschaeulick rondts middellijn Z a, rechthouckich op O M, De schaeu der selve ghevonden sy X Y, welcke vallende tusschen de twee voorschreven punten des raecksels, sy versekeren my dat de twee verschaeulicke punten des raecksels Z, a, inde rondeschaeu O Q vallen, tot haer behoirlicke plaets. En steltmen een ander punt soot comt, int verschaeulick ronts omtreck, en soomen sijn schaeu altijt bevint te vallen inden omtreck (datmen bevinden moet soo het handtwerck niet en mist) men siet daer deur t'ghene voorgenomen was verclaert te worden.

By aldienmen de voorschreven schaeu stelt over d'ander sijde van S R, als hier nevens, tis kennclick dat die twee vierhoucken mette ronden daer in, schaeu sijn van een verschaeulicke teerlinck, hebbende op elcke sijde een rondt beschreven, vande welcke men (het oogh ter behoirlicke plaets gestelt) twee sijden sier.

Inde boveschreven voorbeelden heeft het glas gheraeckt het verschaeulick rondt: Maer om nu voorbeelt te stellen daer sulck raecksel niet en gheschiet, soo laet inde voorgaende^* keghel ghetrocken worden de lini b c d e, evewijdich met I H E, als glas overcant ghesien, snyende de keghel van b tot d, en den as in c, en de vloer K G in e, welck glas nu het rondt E G niet en raeckt. Dit soo sijnde, de sne b d, is ghelijck I E of E G, een rondt: Om welck rondt te verschaeuwen, men soude de glasgront als R S dan soo verre trecken van t'punt O, als van E tot e, en vinden de schaeu als van O M, die even sal moeten vallen an b d, en daer op een rondt gheteyckent, tis openbaer dattet de begheerde schaeu sal sijn.

Maer soo de^* keghelsne niet en waer evewijdich met I E, noch met E G, als neem ick, de sne E g: Tis kennelick dattet een lini of lanckrondt moet sijn, diens grootste of cleenste middellijn E g.

* Cone.

* Conisectio.

[p. 60]

Tis oock te ghedencken dat desen vierhouck T V S R de schaeu beteyckenende, die ghedaente heeft, dattet onmeughelick is daer in een lanckront te beschrijven de vier sijden gherakende, maer moet nootsakelick een heel volcommen rondt wesen.

Hier uyt is kennelick, dat wanneer soodanighe vierhouckighe schaeu van een verschaeulick viercant met een rondt daer in beschreven, sulcx is, datmen inde selve vierhouckighe schaeu een rondt can beschrijven de vier sijden gherakende, dattet selve rondt de schaeu van sijn verschaeulick rondt moet sijn. Oock me dat wanneer soodanighe vierhouckighe van een verschaeulicke rechthouck met een lanckrondt daer in beschreven, sulcx is, datmen inde selve vierhouckige schaeu een rondt can beschrijven de vier sijden ghetakende, dattet selve rondt de schaeu is van sijn verschaeulick lanckrondt.