Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 388]

III. Le développement du ‘Numerus impossibilis’¹⁾ (π) en série par Leibniz.
[1674]

Leibnitzij quadratura²⁾. quadratum est ad circulum sibi inscriptum ut

1 ad 1/1 - ⅓ + ⅕ - 1/7 + 1/9 - 1/11 &c in infinitum.

1 ad ⅔ + 2/35 + 2/99 + 2/195 minor terminus

1 ad 1 - 2/15 - 2/63 - 2/143 major terminus

Si major terminus auferatur ab unitate, hoc est si circulus auferatur a circumscripto quadrato, et residuum addatur minori termino, fiet rursus quadratum circumscriptum hoc est unitas.

1 ∞ ⅔ + 2/15 + 2/35 + 2/63 + 2/99 &c.

ergo ½ ∞ ⅓ + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 &c.

Ayant appris de Leibniz cette ‘quadrature arithmétique’ Huygens écrivit le 7 novembre 1674 (T. VII, p. 394): il ne paroistra pas impossible de donner la somme de cette progression ni par consequent la quadrature du cercle. Une des méthodes par lesquelles Archimède avait déterminé la surface d'un secteur de parabole, n'avait-elle pas été la sommation des termes d'une série?

Voyez encore sur le manuscrit de Leibniz ‘de quadratura arithmetica circuli, ellipseos et hyperbolae etc.’ datant du temps de son séjour à Paris, plus précisément de 1675, la p. 214 (note 6) du T. VIII, ainsi que la p. 160 (note 15) du T. X. Leibniz déclare en 1691 ne pas avoir montré ce manuscrit à Huygens: voyez la note 34 de la p. 375 qui précède.

Le théorème fut publié par Leibniz en 1682 dans le T. I des ‘Acta Eruditorum’ dans son article ‘De vera proportione Circuli ad Quadratum circumscriptum in Numeris rationalibus’. Il en avait fait part à Oldenburg déjà en 1674.

Voyez aussi sur cette quadrature de Leibniz la Pièce V qui suit.

1) Voyez sur ce terme la l. 4 de la p. 373 qui précède.

2) La Pièce est empruntée à la f. 27 des Chartae mathematicae; voyez aussi sur cette feuille la p. 149 (note 12 de la p. 147) du T. XIX où nous avons déterminé sa date. On trouve d'ailleurs au verso l'adresse de Leibniz séjournant en 1674 à Paris: Libnitz [comparez la p. 605 du T. XVIII], Hostel des Romains, rue S. Marguerite. Notons encore qu'à la p. 440 du Manuscrit D se trouve la notice: 1673, 30 Dec. prestè a Libnitz mon livre De Circuli Magnitudine et Gregorius de Vera Circuli quadratura.