Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 323]

Appendice V
À la pièce VI de la p. 259 (Insuffisance de la démonstration de Gregory de l'impossibilite de la quadrature du cercle, 1668).

Ce n'est pas seulement à la quadrature du cercle que se rapportaient les publications de Gregory, c'est aussi à celle de l'hyperbole. Or, dans sa critique du 2 juillet 1668, mentionnée au début de notre Appendice I, Huygens ne disait rien de l'hyperbole. Dans le projet d'une réplique qui constitue notre Appendice II il se contentait également de dire (premier alinéa) qu'il demeure encore incertain si le cercle et le quarré de son diamètre ne sont pas commensurables, c'est a dire s'ils ne sont pas entre eux en raison de nombre a nombre (le mot ‘nombre’ étant pris dans le sens de nombre entier ou sourd; comparez la p. 188 qui précède). Mais dans sa réplique imprimée il ajoute (T. VI, p. 273, l. 7-9): et de mesme en ce qui est d'une portion determinée de l'hyperbole, et de sa figure rectiligne inscrite. Et à la p. 274: je trouve que cette approximation¹⁾ n'est pas vraye dans le cercle, quoy qu'elle le soit dans l'hyperbole; et que comme dans celle-cy il prend la plus grande des quatre moyennes arithmétiques, il faut prendre la plus petite pour l'approximation du cercle¹⁾.

C'est aux p. 54-55 et 60 du Manuscrit D que Huygens considère la quadrature approchée de l'hyperbole, la comparant avec celle du cercle. P. 54 du Manuscrit (on trouve d'ailleurs les mêmes ‘termini minor et major’ du cercle déjà à la p. 311 qui précède²⁾:

1) A la p. 43 du Manuscrit D Huygens écrit, après un long calcul numérique, en parlant des 4 proportionnelles arithmétiques intercalées par Gregory entre un ‘terminus major’ et un ‘terminus minor’ (il s'agissait de trouver un nouveau ‘terminus’ plus rapproché - ‘terminus major’ plus petit dans le cas du cercle -, voyez sur cette question l'alinéa ‘D'après Huygens etc.’ de la p. 312 de l'Appendice III qui précède): non ergo maxima sed minima 4 mediarum arithmetice proportionalium inter inventos terminos Gregorio sumenda erat, in Circulo et Ellipsi saltem (dans la ‘Vera circuli et hyperbolae quadratura’ de Gregory il est aussi question de l'ellipse).

1) A la p. 43 du Manuscrit D Huygens écrit, après un long calcul numérique, en parlant des 4 proportionnelles arithmétiques intercalées par Gregory entre un ‘terminus major’ et un ‘terminus minor’ (il s'agissait de trouver un nouveau ‘terminus’ plus rapproché - ‘terminus major’ plus petit dans le cas du cercle -, voyez sur cette question l'alinéa ‘D'après Huygens etc.’ de la p. 312 de l'Appendice III qui précède): non ergo maxima sed minima 4 mediarum arithmetice proportionalium inter inventos termines Gregorio sumenda erat, in Circulo et Ellipsi saltem (dans la ‘Vera circuli et hyperbolae quadratura’ de Gregory il est aussi question de l'ellipse).

2) Il est vrai que le c et le a du présent Appendice ne sont pas les mêmes que le c et le a de l'Appendice III, mais ils leur sont proportionnels (nous parlons toujours du cercle) dans le rapport de la corde au rayon; c'est pourquoi l'on trouve ici, avec les nouveaux c et a, formellement les mêmes ‘termini’ pour le secteur divisé par la demi-corde que dans l'Appendice III pour l'arc.

[p. 324]

In circulo [Fig. 37]	In hyperb. [Fig. 38]
c - a [= PR, flèche]	a - c [= PR, flèche]
4/3c - 4/3a [multipl. par HE/2 <] ⌓ HPE	4/3a - 4/3c [multipl. par - HE/2 >] ⌓ HPE.
ceci en vertu du Th. III. Prop. III de ‘De Circuli magnitudine inventa’ de 1654 (T. XII, p. 123).	ce qui ressort (voyez la note 3) du Th. VI des ‘Theoremata de quadratura hyperboles etc.’ (T. XI, p. 304).
[Fig. 37].	[Fig. 38].

Huygens commet ici une erreur dans le cas de l'hyperbole. En retranchant 4/3a - 4/3c de a (multipliés l'un et l'autre par HE/2) on obtient (4/3c - 1/3a) - < donc, comme dans le cas du cercle, un ‘terminus minor’.³⁾

3) D'après le Th. VI des ‘Theoremata de quadratura hyperboles etc.’ on a ⌓ HPE: ⊿ HPE = ⅔ (2TP + PR) : TV, V étant le centre de gravité du segment HPE. En d'autres termes ¾ ⊿ HPE 2TP + PR/2TV = ⌓ HPE, où 2TP + PR/2TV = c + a/2TV, ce qui est inférieur â l'unité, puisque VR < PV. Donc 4/3 ⊿ HPE > ⌓ HPE.

[p. 325]

⁴⁾

Ici aussi il y a chez Huygens erreur dans le cas de l'hyperbole. Il s'agit, comme dans le cas du cercle, d'un ‘terminus major’⁵⁾.

4) Comparez la note 6 qui suit.

5) C'est ce qu'on peut démontrer directement comme suit. Soit l'équation de l'hyperbole HPE [Fig. 39] en coördonnées rectangulaires . Le segment HPER est . On a

de x supérieure à c.
Pour x = c, les deux membres s'annulent. Il suffit donc de faire voir que les accroissements du premier membre sont toujours inférieurs aux accroissements correspondants du deuxième, c.à.d. que (après réduction)



L'expression ⅔ cc/a + ⅓a est donc un ‘terminus major’. C.Q.F.D.

[p. 326]

⁶⁾⁷⁾

Comme nous l'avons dit plus haut la première expression correspond au ‘terminus minor’ et la deuxième au ‘terminus major’. On voit tout de suite que la deuxième est supérieure à la première puisque .

6) Comme nous l'avons dit à la p. 311, les deux expressions sont, dans le cas du cercle, à la fois des ‘termini Hugenii’ et des ‘termini Gregorii’; où toutefois Huygens a la priorité. Ici Huygens parle de l'hyperbole, de sorte que l'expression ‘termini Gregorii’ semble préférable.

7) Huygens écrit à la même p. 54: minor terminus in hyperb. lequel peut aussis s'écrire Comparez sur ce calcul la note 3 qui précède. Seulement Huygens prend ici pour V le centre de gravité d'un segment de parabole au lieu du segment hyperbolique considéré, comme il le faisait aussi en d'autres occasions (voyez les p. 432 et 454 du T. XIV). Il n'obtient donc pas la valeur exacte de la surface du segment hyperbolique HPE, mais la valeur approchée , d'où se tire pour le la valeur approchée . Pour reconnaître s'il s'agit d'un ‘terminus major’ ou bien d'un ‘terminus minor’, il peut sembler qu'il faille savoir d'ailleurs si le centre de gravité du segment hyperbolique se trouve, oui ou non, plus prês de la base que celui du segment parabolique également symétrique de même base et de même hauteur. En réalité cela n'est nullement nécessaire: on voit que la formule pour s'annule non seulement pour HE = 0 (segment évanouissant), ce qui est évident a priori, mais aussi pour a = c (3 + √19), où le a, comme toujours, une valeur positive; nous avons donc affaire à un ‘terminus minor’.
La valeur , elle, est donc supérieure à la vraie valeur du segment hyperbolique, de sorte qu'on peut conclure ici en passant (ce que Huygens ne fait pas) que le centre de gravité du segment hyperbolique est plus prés de la base que celui du segment parabolique. Nous avons admis tacitement que s'il en est ainsi pour les centres de gravité de deux segments symétriques de même base et de même hauteur, il en est aussi de même pour toute autre paire de pareils segments (l'un hyperbolique, l'autre parabolique) de même base et de même hauteur, ce qui peut être justifié par des considérations géométriques.

[p. 327]

C'est au contraire un ‘terminus major’. L'addition ne donne donc pas, comme Huygens le pense, le terminus minor + ⅘ (t. major - t. minor), mais le t. minor + ⅕ de cette différence.

16/15c + 2/15 cc/a - 3/15 a approximatio Gregorij [c'est donc là l'approximation que Huygens appelle ‘approximatio Gregorij’ et dont il disait dans les paroles citées plus haut qu'elle est vraye ... dans l'hyperbole] quae erit minor terminus quippe minor etiam meo termino hic invento [voyez la note 7], ut constabit simili demonstratione ac pag. 4 [nos p. 312-316, démonstration se terminant par les mots: Et cum mea sit major vero et minor quam ipsius, erit et ipsius major vero] observando quod hic a major quam c [de sorte que (c - a)³ est négatif]. On voit en effet que la ‘demonstratio’ est ‘similis’ puisque l'approximation trouvée par Huygens (note 7) a exactement la même forme pour l'hyperbole que pour le cercle avec cette différence que cette expression constitue un ‘terminus major’ pour le cas du cercle, mais un ‘terminus minor’ pour celui de l'hyperbole. Il importe peu que c et a soient ici, tant pour la formule 16/15 c + 2/15 cc/a - 3/15 a que pour la formule , d'autres grandeurs que dans les formules identiques de la p. 312 (comparez la note 2 de la p. 323). L'‘approximatio Gregorii’ est donc en effet, comme Huygens le dit, un ‘terminus minor’.