Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 272]

Construction de l'hyperbole d'après son équation au moyen de ses asymptotes.
[1670?]

Lorsque, dans l'équation qui correspond à une hyperbole, aucune des deux lignes indéterminées (c.à.d. des variables) n'est multipliée par elle-même, p.e. lorsque l'équation est xy = bb ou xy = cx ± b² - où les lettres x et y désignent les lignes droites indéterminées AB et BC [Fig. 19], coördonnées entre elles sous un angle

[p. 273]

IX. Constructio loci ad hyperbolam per asymptotos.
[1670?]¹⁾

In aequatione loci ad hyperbolam, si neutra indeterminatarum linearum in seipsam ducta inveniatur, velut si sit xy = bb; vel xy = cx.bb²⁾; (literis x et y lineas indeterminatas AB, BC [Fig. 19] significantibus, quae in dato angulo sibi mutuò sint applicatae,

[Fig 19]

1) Nous empruntons cette Pièce aux ‘Divers ouvrages’ de 1693. Le manuscrit de Huygens qui porte la date du 30 Jan. 1669, fait partie des Chartae mathematicae ( f. 161-162). Les deux textes, ainsi que les figures, s'accordent parfaitement. Nous avons dit dans l'Avertissement (p. 207, note 57) qu'il nous paraît fort vraisemblable que cette Pièce ait été presentée à l'Académie, quoique cela ne soit pas dit expressément. Quant à la date de la présentation qui doit être 1670 au plus tôt et 1674 au plus tard, nous supposons qu'elle est plutôt 1670. Le Manuscrit D renferme déjà une page (p. 135), où Huygens désigne soncalcul comme bon qui contient les principales équations de la Pièce IX, tandis que les p. 136-138 contiennent, outre des calculs du même genre, une Pièce, plus courte que celle du texte, intitulée ‘Constructio loci ad hyperbolam’, commençant par les mots: ‘Proposita aequatione hujusmodi, - voyez la note suivante - quae relationem denotet inter se rectarum indeterminatarum x et y seu AB.BC....’ et se terminant par la phrase ‘Unde jam hyperbola data erit, ac describi poterit’. Or, les p. 118 et 145 du Manuscrit D portent respectivement les dates 1669 et 1 Febr. 1669.

2) Le. doit désigner ici notre signe ±. Il en est évidemment de même dans l'équation de Huygens du Manuscrit D reproduite dans la note précédente.

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donné, dont l'une, p.e. AB, est donnée en position, tandis que le point A de cette droite est également donné - la construction se fait aisément par la recherche des asymptotes, comme Fl. de Beaune l'a fait voir dans ses Notes sur la Géométrie de Descartes³⁾. Nous ferons voir ici que lorsque x² et y² se trouvent dans l'équation, la construction peut néanmoins être effectuée au moyen des asymptotes, et que ceci est plus court que de rechercher le diamètre ainsi que le latus rectum et le latus transversum.

Supposons l'équation réduite à la forme . En effet, elle peut toujours être réduite à ces termes, de sorte que d'un côté de l'équation il n'y ait rien que y, l'une des deux lignes indéterminées, ordonnée par rapport à l'autre qui est donnée en position, et de l'autre côté un nombre de termes qui n'est pas supérieur à celui de ceux écrits ici; il est vrai que souvent il peut y en avoir moins, puisque seule la présence de + p²x²/g² et de l'un des deux autres, m² ou ox, est nécessaire.

L'angle ABC étant donné, il faut mener par le point A la ligne XY parallèle à la droite BC et y prendre AI égale à l, du côté BC s'il y a + l dans l'équation, du côté opposé s'il y a - l. Il faut après cela mener IK parallèlement à AB. Mais s'il n'y a pas de l du tout, la droite IK doit être censée coïncider avec AB.

Ensuite comme z est à n, rapport donné, ainsi soit la longueur arbitraire IK à KL; laquelle doit être menée parallèlement à AI de telle manière que les points K et L soient situés dans le même ordre que A et I s'il y a + nx/z dans l'équation, mais inversement s'il y a - nx/z. Il saut ensuite tirer la droite IL; mais si nx/z fait défaut, IL est identique à IK.

3) Voyez l'‘Observatio Quinta’ des ‘Notae breves’ de Florimond de Beaune, se trouvant dans le recueil de 1659 de F.v. Schooten (‘Geometria à Renato des Cartes etc.’)

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quarumque altera, ut AB, positione data intelligitur, & in ea datum punctum A) constructio per asymptotorum inventionem facilè absolvitur, ut ostensum est à Fl. de Beaune in Notis ad Geometriam Cartesii³⁾. Cum verò habetur xx vel yy in aequatione, vel utrumque, nihilominus ad asymptotos rem deduci posse, & quidem breviùs quàm ad diametri laterumque recti & transversi inventionem, ostendemus hoc modo.

Sit aequatio ejusmodi reducta, ⁴⁾; semper enim ad hos terminos reduci potest, nempe ut y altera linearum indeterminatarum, quae applicata est ad positione⁵⁾ datam, sola ab una parte aequationis habeatur, ab altera verò non plures termini quàm hîc inveniantur; nam saepe pauciores etiam esse possunt, cùm soli necessarii sint + ppxx/gg cum alterutro horum mm vel ox.

Quum angulus ABC datus sit, ducatur per A punctum linea XY quae sit rectae BC parallela, & in ea accipiatur AI aequalis l, idque ad partes BC, si habeatur + l in aequatione, in contrarias verò si habeatur - l, & agatur IK parallela AB. Si verò non habeatur omnino l, recta IK in AB incidere intelligenda est.

Deinde sicut z ad n, quae est ratio data, ita sit IK ad libitum sumpta, ad KL; quae ipsi AI parallela ducenda est, sumendaque hoc pacto, ut puncta KL sita sint quo ordine AI, si habeatur + nx/z, at contrà si habeatur - nx/z, & ducatur recta per IL; si verò desit nx/z, eadem est IL & IK.

3) Voyez l'‘Observatio Quinta’ des ‘Notae breves’ de Florimond de Beaune, se trouvant dans le recueil de 1659 de F.v. Schooten (‘Geometria à Renato des Cartes etc.’)

4) Nous avons restitué les. (désignant ±, comme plus haut), là où le copiste, ou l'imprimeur, les avait omis.

5) Dans les ‘Opera Varia’ de 1724, où la Pièce est reproduite d'après le texte de 1693, on a imprimé par erreur ‘positionem’.

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Maintenant comme p est à g, ainsi soit ½o à chacune des longueurs IX et IY lesquelles il faut prendre dans la droite AI. Ainsi soit aussi IX à IV laquelle il faut prendre sur IK du côté AB s'il y a - ox, mais du côté opposé s'il y a + ox. Et soit VM parallèle à AI et puisse-t-elle couper la droite IL en M. Ce point M sera le centre de l'hyperbole cherchée; et les droites MX et MY seront les asymptotes.

Mais s'il n'y a pas de ox dans l'équation, I sera le centre de l'hyperbole. Il faut alors prendre des longueurs quelconques, égales entr'elles, IX et IY, et après que les points V et M ont été trouvés comme précédemment, on peut mener par I, parallèlement à elles, les asymptotes MX et MY.

On trouvera ensuite, s'il y a + m², les points S et R par lesquels doivent passer ou bien l'hyperbole ou bien les sections opposées: ils seront déterminés en prenant sur la droite AI, à partir du point I, IS et IR, l'une et l'autre égale à m. Alors l'hyperbole sera donnée et pourra être tracée. BC y sera l'ordonnée correspondant au diamètre lorsque ½og/p > m; mais lorsque ½og/p < m, BC sera parallèle au diamètre de l'hyperbole sur laquelle se trouve le point C comme ici dans le deuxième cas [Fig. 19 II]. Si par hasard le point S tombe en X, le lieu du point C sera donné par les asymptotes elles-mêmes. Et s'il n'y a pas de terme m², I sera lui-même un point de l'hyperbole cherchée.

Mais s'il y a - m² dans l'équation, il faut placer dans l'angle XMI la droite GN parallèle à IX, telle que , ou bien telle que GN = IS s'il n'y a pas de - ox; N sera alors un point de l'hyperbole cherchée qui sera donc de nouveau donnée. Prenant dans le premier cas AB = x, longueur arbitraire, et lui appliquant l'ordonnée BC sous un angle donné, laquelle se termine à l'hyperbole construite, il faut démontrer

Démonstration. Puisse BC, prolongée de part et d'autre s'il en est besoin, rencontrer les asymptotes en O et Q. D'après la construction IX ou IY = ½og/p et IV = ½og²/p². Or, le rapport IK : KL est égal à z : n. Et l'angle IKL est également donné. Donc aussi le rapport IK : IL qui soit égal à z : a. Par conséquent, comme IK : IL = IV : IM, on aura IM = ½aog²/zp². Or, comme IM est à IX, c.à.d. comme ½aog²/zp² est à ½go/p, ou bien comme ag est à pz, ainsi est ML, ou MI - IL, c.à.d. ½aog²/zp² - ax/z à LO ou LQ; cette dernière sera donc ½og/p - px/g. Ensuite, puisque BK = l et LK =

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Porro ut p ad g, ita sit ½o ad singulas IX, IY sumendas in recta AI; atque ita quoque IX ad IV sumendam in IK ad partes AB si habeatur - ox, aut in contrarias si habeatur + ox; & sit VM parallela AI, occurratque rectae IL in M: erit jam M centrum hyperbolae quaesitae; asymptoti vero, rectae per MX, MY ductae.

Si verò non habeatur ox in aequatione, erit I centrum hyperbolae; sumptisque IX, IY ad libitum sed inter se aequalibus, inventisque inde punctis V & M, ut ante, ducentur asymptoti per I parallelae ipsis MX, MY.

Jam porro si habeatur + mm, puncta S & R, per quae hyperbola vel oppositae sectiones transire debent, invenientur sumendo in recta AI à puncto I, singulas IS, IR aequales m: unde jam hyperbola data erit ac describi poterit, in qua BC erit ordinatim applicata ad diametrum, si ½og/p major quàm m; sin verò ½og/p minor quàm m, erit BC parallela diametro hyperbolae ad quam est C punctum, ut hîc casu secundo. Quòd si forte punctum S incidat in X, locus puncti C, erunt ipsae asymptoti. Si verò non habeatur mm, erit ipsum I punctum in hyperbola quaesita.

At si habeatur - mm, accommodanda est intra angulum XMI recta GN parallela IX, quaeque possit quadrata ab IX et IS⁶⁾, vel tantum ipsi IS aequalis, si non habeatur ox; eritque punctum N in hyperbola quaesita, quae proinde rursus data erit.

Sumpta enim in casu primo AB = x ad arbitrium, eique applicata BC = y in angulo dato, quae ad hyperbolam inventam terminetur, ostendendum sit quòd

6) Le copiste avait écrit par erreur: IX vel IS.

Demonstratio.

Occurrat BC utrinque si opus sit producta, asymptotis in O & Q. Ex constructione est IX vel IY = ½og/p, IV = ½ogg/pp. Ratio verò data IK ad KL, eadem nempe quae z ad n. Sed & angulus IKL datus est. Ergo & ratio IK ad IL, quae sit ea quae z ad a. Ergo quia ut IK ad IL ita IV ad IM, erit IM = ½aogg/2pp. Ut autum IM ad IX, hoc est ut ½aogg/zpp ad ½go/p, sive ut ag ad pz, ita ML, sive MI minùs IL, hoc est ½aogg/zpp - ax/z ad LO vel LQ; quae itaque erit ½og/p - px/g. Porro quia BK = l, & LK = nx/z, erit BL

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nx/z, on aura ; et en retranchant cette dernière de BC = y, on trouve . Mais d'après une propriété de l'hyperbole le rectangle QCO sera égal au rectangle YSX. D'autre part le rectangle QCO est égal à LO² - LC², c.à.d. au carré de ½go/p - px/g diminué du carré de y - l + nx/z; la différence de ces carrés est

¼g²o²/p² - ox + p²x²/g² - y² + 2ly - l² + 2nxy/z + 2lnx/z - n²x²/z².

C'est donc cette expression qui est égale au rectangle YSX, c.à.d. à IX² - IS² ou ½g²o²/p² - m², puisque IX = ½go/p et IS = m. En supprimant ¼g²o²/p² de part et d'autre dans cette équation, on trouvera



ce qu'il fallait obtenir.

Dans le deuxième cas le rectangle QCO est égal à LC² - LO², et le rectangle YSX à IS² - IX². D'où l'on calcule la même valeur pour y que dans le premier cas.

Mais le troisième cas est celui où l'on a - m², l'équation étant



Puisse GN prolongée rencontrer l'autre asymptote en D. Ici il apparaîtra de la même manière que plus haut, que LO ou LQ est égale à ½go/p + px/g et . Et d'après une propriété de l'hyperbole on aura: rectangle QCO = rectangle DNG ou NG², c.à.d. ¼g²o²/p² + m², puisque XI = ½go/p et IS = m, à la somme des carrés desquelles nous avons rendu égal le carré GN² par construction. Or, le rectangle QCO est égal à LO² - LC², c.à.d. à

¼g²o²/p² + ox + p²x²/g² - y² - 2nxy/z - n²x²/z² + 2ly + 2nlx/z - l².

Cette expression est donc égale à ½g²o²/p² + m². En supprimant ¼go²/p² de part et d'autre dans cette équation on obtient

Et la marche de la démonstration est la même dans le quatrième cas et dans tous les autres, en tenant toujours compte des signes + et -.

S'il n'y a pas de nx/z dans l'équation, les points M et V coïncident. Si dans ce cas p

[p. 279]

= l - nx/z; quâ ablatâ à BC = y, fit . Propter hyperbolam verò erit rectangulum QCO aequale rectangulo YSX. Sed rectangulum QCO aequale est quadrato LO minus quadrato LC, hoc est quadrato ab ½go/p - px/g minùs quadrato ab ; quorum quadratorum differentia est ¼ggoo/pp - ox + ppxx/gg - yy + 2ly - ll + 2nxy/z + 2lnx/z - nnxx/zz. Ergo haec aequatur rectangulo YSX, hoc est quadrato IX minùs quadrato IS, hoc est ¼ggoo/pp - mm; quia IX = ½go/p & IS = m. In qua aequatione deleto utrinque ¼ggoo/pp, invenietur , ut oportebat.

In secundo casu rectangulum QCO aequatur quadrato LC minus quadrato LO; & rectangulum YSX quadrato IS minus quadrato IX. Unde rursus valor y idem qui casu primo invenietur.

Sit tertius casus quo habeatur - mm, sitque aequatio



producta GN occurrat alteri asymptoto in D. Hìc jam eadem ratione qua prius, apparebit LO vel LQ esse ½go/p + px/g, & . Et propter hyperbolam erit rectangulum QCO = rectangulo DNG seu quadrato NG, hoc est ¼ggoo/pp + mm, quia XI = ½go/p, & IS = m, quorum quadratis aequale fecimus quadratum GN. Rectangulum autem QCO aequatur quadrato LO minus quadrato LC, hoc est ¼ggoo/pp + ox + ppxx/gg - yy 2nxy/z - nnxx/zz + 2ly + 2nlx/z - ll. Ergo hoc aequale ¼ggoo/pp + mm. In qua aequatione deleto utrinque ¼ggoo/pp, invenitur

Eademque est demonstrandi ratio in casu quarto, & aliis quibusvis, habita ratione signorum + & -.

Cum non habetur nx/z in aequatione, puncta M & V unum sunt, tunc verò si p = g,

[p. 280]

= g, c.à.d. si l'on a x² au lieu de p²x²/g², les asymptotes seront toujours à angles droits, puisque nous avons fait que comme p est à g, ainsi est ½o à IX et à IY, et aussi IX à IV; ici on aura donc IX = IY = IV = ½o, de sorte que le point V se trouve sur une demie circonférence de cercle construite sur XY et que l'angle XVY est donc droit. Il paraît en outre, puisque IM = ½aog²/zp², que lorsque ag = zp, c.à.d. g : p = z : a, on aura IM = ½og/p: cette longueur sera donc égale à IX et IY qui avaient aussi la valeur ½og/p. Par conséquent dans ce cas les asymptotes seront à angles droits, puisque cette fois le point M se trouvera sur une circonférence de cercle décrite sur XY du centre I.

[p. 281]

hoc est si habeatur + xx pro ppxx/gg, erunt semper asymptoti sibi mutuò ad angulos rectos, quia ut p ad g, ita fecimus ½o ad IX & ad IY, & ita IX ad IV; fiunt enim jam aequales IX, IY, IV & singulae = ½o, unde punctum V est in semicirculo super XY & proinde angulus XVY rectus. Item quia IM = ½aogg/zpp, patet quod si ag = zp, hoc est

[Fig. 19].

si g ad p ut z ad a, tunc erit IM = ½og/p, ac proinde aequalis ipsi IX & IY quae etiam erant ½og/p. Adeoque hoc casu erunt asymptoti sibi mutuo ad angulos rectos; cum rursus punctum M fit futurum in circumferentia circuli descripti super XY centro I.