Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 282]

X. Sur les lieux plans d'apollonios.
1678.

Registres, T. VII, f. 196 v et f. 251 v. Samedy 13^e d'Aoust [1678] M^r. Hugens a donné une demonstration des lieux plans d'Apollonius, et de tous ceux ou le lieu du point que l'on cherche est une circonference de cercle dont suit la coppie.

Construction des lieux plans d'Apollonius, et de tous ceux où le lieu du point que l'on cherche est une Circonference de cercle.

[Fig. 20].

A [Fig. 20] estant un point donné dans la ligne AB donnée de position; et le point que l'on cherche pour la solution du probleme D. Duquel soit menée sur AB la perpendiculaire DC. Si l'indeterminee longueur AC est appellée x et CD aussy indeterminee y, et que l'on trouue une equation¹⁾ dans laquelle d'un costé il y ait yy seul et parmyles termes de l'autre costé - xx sans qu'il y ait xy, comme si de l'autre costé il y a by . cc . ax - xx (estant a, b, c des lignes données) ou seulement - xx avec un ou deux des trois autres termes. Alors le lieu du point D sera tousjours une circonference de cercle duquel on trouvera le centre, et le diametre de cette façon.

1) Dans l'équation qui suit le. équivaut apparemment à notre signe ± (comme dans la Pièce IX qui précède). Il en est de même dans les équations suivantes. Le signe (vers la fin de la Pièce) a la même signification. Nous avons dû apporter plusieurs petites corrections aux équations, le copiste ayant omis le. ou écrit x au lieu de ∞ etc.
Comparez sur le. la p. 230 du T. XIV.

[p. 283]

Si le terme by se trouve l'on reduira premierement l'equation a la maniere accoustumée, et l'on aura . mais si le terme by n'y estoit point on auroit sans reduction ensuitte si le terme ax se trouue on adjoutera aux termes de ax - xx un autre terme en sorte que le composé des trois fasse un quarré lequel autre terme sera necessairement - ¼aa soit qu'il y ait + ax ou - ax. mais affin de conserver l'égalité aux deux costés de l'equation on adjoutera + ¼aa aux termes de ¼bb . cc de sorte qu'il y aura



ou il paroist que - ¼aa . ax - xx est un quarré soustrait des quantités connues ayant la racine ½a . x. Que si au lieu de ¼bb . cc + ¼aa l'on escrit pp l'on aura



et la construction sera comme s'ensuit.

Du point A dans la ligne AC l'on prendra AE esgale a ½a sçavoir vers le mesme costé ou l'on a supposé AC si dans l'équation il y a + ax mais du costé contraire s'il y a - ax.

Ensuitte du point E on menera EF perpendiculaire sur AB et esgale a ½b, et cela du costé ou l'on a supposé la perpendiculaire CD s'il y a + ½b, ou du contraire s'il y a - ½b; et si ½b ne s'y trouve point le point F sera le mesme que E. Ce point F sera le centre de la circonference dans laquelle le point D que l'on cherche se trouue partout, et le demy diametre se doit prendre egal à la ligne p.

Que si dans l'equation donnee du commencement le terme ax ne se fut point trouué, l'effection du quarré en adjoutant ¼aa n'eust point eu lieu, et l'equation reduitte auroit esté et alors le point C est le mesme que A. La demonstration de la construction est facile car si par exemple l'equation est et que l'on ait trouvé la circonference DG suivant ce qui vient d'estre dit; en prenant dans elle quelque point D d'ou l'on tire DC perpendiculaire sur AB, et DH perpendiculaire sur FE, alors EC ou DH sera x - ½a ou ½a - x et FH ½b - y ou y - ½b et les quarrés de FH et HD ensemble ¼bb - by + yy + xx - ax + ¼aa egaux au quarré de FD ∞ pp et par consequent yy ∞ pp + by - ¼bb - ¼aa + ax - xx, laquelle equation estant reduitte vient qui est la mesme qui a esté donnée. Et dans tous les autres cas la demonstration est la mesme, ou plus facile quand quelques termes manquent dans l'equation, seulement les lignes + et - se changent en differentes manieres. D'icy l'on peut tirer la regle generale pour ces constructions sçavoir quand l'equation reduitte est sans auoir la peine de former le quarré auec

[p. 284]

.ax - xx, il faut seulement trouver les points C et F. comme a esté dit en prenant AE ∞ ½a et EF ∞ ½b, et le demi diametre FD sera egal a qq + ¼aa.

Cette Regle comprend toutes les equations par les quelles le lieu du point qu'on cherche est une circonference d'un cercle hormis une dont parle Descartes, dans laquelle aam est egal a pzz, ou le lieu en un certain cas peut estre une circonference de cercle mais ce cas est tout a fait singulier²⁾.

2) Il s'agit ici du problème de Pappos discuté par Descartes dans le premier et dans le second livre de ‘La Géométrie’. A propos du lieu géométrique cherché Descartes dit, dans le second livre, que ‘c'est [parfois] une ellipse, excepté seulement si la quantité aam est égale à pzz et que l'angle ILC soit droit, auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse’. L'endroit se trouve à la p. 29 de l'édition de F.v. Schooten de 1683, et les p. 188-189 contiennent le commentaire de v. Schooten sur ce cas particulier.
Dans la Pièce originale, telle qu'elle se trouve au Manuscrit E (p. 130-131), cette remarque finale fait défaut. A-t-elle été ajoutée à la suite d'une discussion à l'Académie?