Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Appendice II
Aux pièces sur le cycle harmonique: tableau comparatif de 11¹⁾ ou 30 moyennes proportionnelles d'après différents calculateurs.

A. 11 moyennes proportionnelles (division de l'octave en 12 intervalles égaux).

	Nombres véritables	D'après Stevin^2)	D'après Mersenne^3)	D'après Beaugrand^4)	D'après Boulliau^5)	D'après Gallé^6)	Nombres véritables
1	10000	10000	1000	10000	10000	10000	10000
2	9439	9440	941	9438,55	9431	9438,7431198	9438,74
3	8909	8911	891	8908,6	8905	8909,1418365	8908,99
4	8409	8408	842	8408,95	8410	8408,9641454	8408,96
5	7937	7937	794	7937,05	7922	7937,0052622	7937,01
6	7492	7493	750	7491,5	7481	7491,5353818	7491,54
7	7071	7071	708	7071,1	7069	7071,0678109	7071,07
8	6674	6675	668	6674,05	6670	6674,1992715	6674,20
9	6300	6301	630	6299,65	6300	6299,6052457	6299,61
10	5946	5945	599	5946,05	5940	5946,0355690	5946,04
11	5612	5612	562	5612,3	5620	5612,3102370	5612,31
12	5297	5298	532	5297,3	5300	5297,3154575	5297,32
13	5000	5000	500	5000	5000	5000	5000

1) Zarlino, dans le Cap. XXX du Livre IV de ses ‘Sopplimenti Musicali’ de 1588 (‘Come si possa dirittamente diuidere la Diapason in Dodici parti ò Semituoni equali & proportionali’) parle de la construction de ‘Dodici parti proportionali, assegnando ò ritrouando Vndeci linee mezane proportionali’; il renvoye aussi à ses ‘Istituzioni’ II, Cap. 25 et à ses ‘Dimostrazioni’ III, Prop. II; mais il ne donne pas de table numérique.

2) ‘Vande Spiegeling der Singconst’, éd. D. Bierens de Haan, 1884, p. 29.

3) ‘Harmonie Universelle’, Premiere Preface generale au lecteur.

4) Cité par Mersenne; voyez la p. 34 qui précède (note). Nous avons divisé les nombres de Beaugrand par 20. On voit que ces nombres, encore meilleurs que ceux de Stevin, présentent cependant (voyez le 2^ième, le 3^ième et le 8^ième) de petits écarts, qui font penser qu'ils n'ont pas été calculés à l'aide de logarithmes.
Voyez encore sur Mersenne et les logarithmes les p. 199 etc. qui suivent.

5) Cité par Mersenne; voyez la p. 34 qui précède (note). Nous avons réduit au système décimal les nombres du système sexagésimal de Boulliau; ils se sont montrés moins exacts que Mersenne ne les croyait. Boulliau ne s'est certainement pas servi de logarithmes.

6) Cité par Mersenne (même endroit). D'après C. Lepaige ‘Notes pour servir à l'histoire des mathématiques dans l'ancien pays de Liège’ (Bulletin de l'Institut archéologique liégeois, T. XXI, 1889), p. 502 et suiv. Jean Gallé publia en 1616 à Liège son ‘Nouveau Epitome d'arithmetique’, où, sans décrire sa méthode, il se vante de ‘revoquer l'Arithmetique en sa premiere simplicité .... par dix petits bastons etc.’ Ce sont, peut- on dire, les baguettes de Neper. ‘D'autres’, dit l'auteur (sans nommer Neper) ‘en ont voulu faire le coup d'essai ... Ie l'ay seul mis en sa derniere perfection’. Un deuxième livre, intitulé ‘Nouvelle invention d'apprendre l'arithmétique par le moyen de dix petits batons, avec l'unzième servant à l'extraction des racines quarrées et cubes, par le seigneur J. Gallé, mathématicien Liégeois’ parut à Paris en 1635. Il paraît donc que Gallé (architecte ou ingénieur, que Mersenne cite sous le nom de Galeus dans sa ‘Ballistica’ de 1644) ne s'est pas servi de logarithmes, mais a trouvé la douzième racine de 2 par l'extraction de racines carrées et cubiques. Il a certainement pris trop de décimales: tandis que le quotient de ses deux premiers nombres est 0,94387431198, celui des deux derniers est 0,94387431523. Dans le troisième nombre il a apparemment fait une faute de calcul.

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B. 30 moyennes proportionnelles (division de l'octave en 31 intervalles égaux) d'après Huygens; et 30 moyennes non proportionnelles (division de l'espace 14000-7200 en 31 intervalles) d'après Mersenne.

Nombres corrects de Huygens		Division de l'espace 14000-7200 en 31 intervalles égaux	Division de l'espace 14000-7200 en 31 intervalles d'après Mersenne^7)
1	100000	14000	14000
2	97789	13703	13824
3	Etc.	13412	13500
4		13127	12960
5		12849	12300^8)
6		12576	12288^9)
7	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	12309	12150
8	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	12048	12000
9	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	11792	11664
10	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	11542	11520
11	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	11297	11059,2
12	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	11057	10930
13	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	10823	10800
14	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	10593	10368
15	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	10368	10240
16	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	10148	10125
17	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	9933	10000
18	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	9722	9710
19	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	9516	9600
20	Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.	9314	9216
21		9116	9110,5
22		8932	9000
23		8733	8793
24		8548	8640
25		8367	8294,4
26		8189	8192
27		8015	8100
28		7845	8000
29		7679	7776
30		7516	7680
31		7356	7372,2
32	50000	7200	7200^+

7) Voyez la p. 142 qui précède.

8) Nous avons corrigé le nombre 11300 en 12300.

9) Nous avons corrigé le nombre 10288 en 12288. Il s'agit évidemment ici de fautes d'impression. Il peut y en avoir d'autres moins apparentes; mais il nous semble néanmoins abondamment prouvé que Mersenne - nous l'avons déjà dit à la p. 142 - n'a pas voulu donner une table de 30 moyennes correspondant à des intervalles égaux. Il mérite aussi d'être remarqué qu'il ne divise pas l'‘octave’ 14000-7000, mais l'intervalle 14000-7200.

+ Voyez les tables des p. 148-150 qui précèdent.