Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Huygens et Euclide.

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Avertissement.

Les vers de Théocrite par lesquels débute ce Tome montrent l'intérêt de Huygens non seulement pour les règles de l'art musical - lesquelles formèrent, de même que celles de l'optique¹⁾, un sujet d'études pour Euclide²⁾ - mais plus généralement pour la considération objective, tant artistique que scientifique, de la nature. Nous ne croyons pas méfaire en reproduisant ici à ce propos un de ses dessins représentant une ferme, non pas sicilienne sans doute, mais néerlandaise³⁾.

Ce qui domine chez Théocrite, tel que le font connaître les endroits cités, c'est assurément la ἰδέα τῆς ἁρμονίας laquelle distingue les grecs des barbares⁴⁾.

1) Voyez la l. 9 de la p. 791 du T. XIII.

2) Voyez cependant la note 1 de la p. 12 qui précède. L'observation de Tannery se rapporte tant à la Εἰσαγωγὴ ἁρμονιϰή qu'à la Κατατομὴ ϰανόνος (cette dernière étant jugée authentique par J.L. Heiberg, p. 53 de ses ‘Litterargeschichtliche Studien über Euklid’, Leipzig, Teubner, 1882; et aussi par R.C. Archibald, article cité à la p. 7 qui précède). C'est depuis longtemps qu'on a douté de l'authenticité des deux traités: voyez la ‘Praefatio’ des ‘Euclidis quae supersunt omnia’, ex recensioné Davidis Gregorii, Oxoniae, E Theatro Sheldoniano, 1703. Le début de notre Avertissement de la p. 5 met du moins hors de doute qu' Euclide s'intéressait aux écrits des musicologues. En somme ce problème historique - on a également émis des doutes sur l'authenticité des écrits optiques - nous importe fort peu pour le moment, puisque Huygens ne paraît pas s'y intéresser.

3) Le dessin est emprunté au Manuscrit 14 comme celui de Schéveningue (datant de la même année 1658) publié dans le T. XVII. Il doit s'agir d'une ferme située près de la Haye. Les mots buyten 't bosch peuvent signifier ‘hors du bois’ (sens probable) ou ‘hors de la ville; le bois’.

4) Théon de Smyrne s'exprime comme suit (p. 73 de l'ouvrage cité dans la note 19 qui suit): ἐν λόγῳ μἓν ἀλήϑεια, ἐν βίῳ δὲ εὐδαιμονία, ἐν δὲ τῇ φύσει ἁρμονία. On peut en outre consulter p.e. le Chap. XI du T. I - ‘La musique et les philosophes antiques [chinois et grecs]’ - de l'ouvrage de J. Combarieu ‘Histoire de la Musique des origines au début du XX^e siècle’ (Paris, A. Colin, 1920). Voyez aussi la note 3 de la p. 86 qui précède.

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L'hellénisme qui a eu sur Huygens l'influence la plus directe est, nous semble-t-il, celui de l'époque classique à laquelle appartiennent Euclide, Théocrite et son compatriote et contemporain cadet Archimède. Nous n'entendons évidemment nullement affirmer que la conception du monde - s'il est permis d'employer le singulier - des grands hommes de cette époque classique soit absolument conforme à celle de Huygens. N'oublions pas qu'ils étaient partisans du système géocentrique et que (malgré Aristote qui nie expressément la musique des sphères⁵⁾ le poète, géographe, astronome et mathématicien Ératosthène, à qui Archimède dédia sa Méthode, ‘motu stellarum sonos musicos edi consentit’⁶⁾. Le sentiment d'Euclide sur ce sujet nous est inconnu. Nous ne croyons cependant pas nous tromper⁷⁾ en disant que c'est surtout à une époque postérieure que les savants - Ptolémée était du nombre - s'inspirant d'idées anciennes, en sont venus à préciser d'une manière fantaisiste les rapports entre la musique, le monde des astres, et la vie humaine. Huygens, cherchant en géomètre, astronome et physicien les lois générales qui régissent les phénomènes - en laissant de côté un phénomène périodique étrange: il n'a jamais parlé de l'influence prépondérante, anciennement découverte⁸⁾, de la lune sur les marées⁹⁾ - n'a nullement subi comme

5) De coelo (περὶ οὐρανοῦ), lib. II.

6) D'après Chalcidius et d'autres. Voyez la p. 39 de ‘Eratosthenis carminum reliquiae’, disposuit et explicavit Ed. Hiller, Lipsiae, Teubner, 1872.

7) Chez Archimède, comme chez Euclide et Apollonios, on ne trouve aucune trace d'astrologie. Aucun des trois mathématiciens nommés ne se prononce sur la question de la relation entre la musique et le cours des astres.

8) On peut consulter le Chap. XXXV (‘le problème et la théorie des marées dans l'antiquité’) de l' ‘Histoire des Sciences. Antiquité’ de 1935 de P. Brunet et A. Mieli. Dans la Méditerranée le niveau de l'eau varie fort peu, il est donc possible que certains peuples antiques, tels que les Phéniciens, n'aient pas remarqué l'influence de la lune (ni à plus forte raison celle du soleil); d'autre part il paraît presqu' impossible d'admettre que cette influence n'aurait pas été constatée ailleurs depuis les temps les plus reculés.

9) Dans un de ses programmes pour l'Académie (T. XIX, p. 271) Huygens mentionne les ‘aestus maris’ sans avoir, paraît-il, l'intention de s'occuper lui-même de ce problème. Voyez les p. 190 du T. IX et 58 du T. X; en ce dernier endroit il est question de l'explication donnée par Descartes. A la p. 538 du T. IX (en 1690) Huygens désapprouve l'explication par attraction. Mais on ne trouve rien sur les marées dans le ‘Discours de la Pesanteur’ ni dans le ‘Cosmotheoros’. Voyez encore sur ce sujet la note 4 de la p. 55 du T. XVII où il est question (en 1655) d'un manuscrit de Galilée. Suivant Galilée les marées proviennent de la rotation de la terre dont leur existence fournirait une preuve remarquable (‘Dialogo intorno ai due massimi sistemi del mondo’, quatrième journée). Il est certain que Huygens n'a pas été de cet avis puisqu'il considère la diminution de la longueur du pendule à secondes lorsqu'on se rapproche de l'équateur comme le seul effet observable de la rotation du globe terrestre. En effet, il écrit à la p. 316 du Manuscrit F, à propos de l'expédition de 1686-1687 - voyez le troisième alinéa de la p. 514 du T. XVIII -: Te gelyck de Lengden gevonden en een bewijs van 't draeyen der aerde. 'T eenigh waernemelijk effect van dit draeijen. En somme, Huygens ne se prononce en aucune façon sur les marées, si ce n'est pour désapprouver les explications d'autres savants. Il y voit une ‘summa difficultas’ (T. IX, p. 124).

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Plutarque¹⁰⁾, Kepler¹¹⁾ et plusieurs de ses propres contemporains¹²⁾ le charme de ces vues semi-orientales.

Sur l'influence directe ou indirecte¹³⁾ de Démocrite - pour qui, soit dit en passant, la terre était plate - et d'Epicure on peut consulter le T. XIX¹⁴⁾. Nous rappelons que Démocrite (comme Aristote) est antérieur à Euclide, tandis qu'Epicure est son contemporain.

Pour Huygens ce qui constitue l'univers matériel ce sont en premier lieu les corps, entités bien définies¹⁵⁾. La géométrie est la science qui traite des ‘corps, surfaces et lignes’¹⁶⁾ de formes déterminées, ainsi que des rayons de lumière¹⁷⁾, possédant tous

10) Voyez le dernier chapitre de la ‘Musica’ (περὶ μουσιϰῆς) de Plutarque.

11) Voyez la p. 356 du T. XIX.

12) Boulliau, auteur de l'ouvrage astronomique comprenant e.a. les Tables Philolaiques (1645; T. XIX, p. 261), était astrologue tout en admettant (de même que Kepler) le système copernicain. Voyez sur Boulliau et les horoscopes les p. 524 (lettre de Huygens de 1659) et 530 du T. II. Cassini abandonna l'astrologie déjà dans sa jeunesse.
Mersenne, dans ses ‘Questions harmoniques etc.’ de 1633, écrivait (p. 46): ‘Pour la proportion des Cieux, il suffit qu'il s'y rencontre quelque raison harmonique, soit dans leurs grandeurs, & distances, ou dans leurs mouuemens, afin d'establir une espece d'harmonie raisonnable... Et si [les Pythagoriciens et les Platoniciens] n'ont pas eu un fondement assez ferme pour establir leurs pensées, nous pouuons l'asseurer, & l'affermir dauantage, car il est aysé d'ajoûter à leurs inuentions’. Notons aussi, pour compléter la note 9 qui précède, que dans ses ‘Questions inouyes ou recreation des scauans’ de la même année Mersenne parle (p. 36) de la difficulté ‘de trouuer la vraye cause des mouuemens de la mer’, disant qu'on doit peutêtre attribuer une ‘vertu de l'aymant’ à la lune; mais conformément à son habitude de ne rejeter aucune explication avec légèreté, il admet aussi [avec Galilée] qu'on ‘establisse le mouuement de la terre pour donner le bransle à la mer’.

13) S'exerçant à travers les oeuvres de Lucrèce, de Gassendi, de Descartes etc.

14) Dans les l. 9-12 de la p. 791 du T. XIII, et ailleurs, Huygens contredit Démocrite et Epicure.

15) Voyez p.e. la p. 325 du T. XIX et la l. 15 de la p. 230 du T. XVI.

16) Voyez la première ligne de la Pièce I qui suit.

17) T. XIII.

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une existence objective¹⁸⁾. Pas plus qu'Euclide ou Archimède il n'a cru devoir, ou pouvoir, formuler une théorie de la connaissance. Nous ne voyons pas qu'il se soit intéressé à la publication par Boulliau en 1663¹⁹⁾ du ‘Tractatus de judicandi facultate et animi principatu’ de Ptolémée²⁰⁾, auquel Boulliau avait ajouté un long commentaire et une ‘nota brevis ad subtilissimi philosophi Renati Cartesii de animae specie intellectui impressa opinionem’. Nous ne voulons pas dire que pour Huygens le degré d'objectivité de toutes les entités qui se présentent à notre esprit soit le même. Les forces, ainsi que les rayons de lumière, ne sont pas existantes pour lui au même titre que les figures et les mouvements²¹⁾. La nature des mouvements eux-mêmes dépend du point de vue des spectateurs: il n'y a pas d'espace absolu²²⁾. Mais il ne faut pas chercher chez lui de discussion générale sur la nature réelle ou idéelle des entités qu'il considère. Il croit avoir une certitude entière de l'infinité de l'espace²³⁾; c'est aussi intuitivement (comparez la note 9 qui précède) qu'il exclut de la nature les ‘qualitez attractives et expulsives’²⁴⁾. Ce sont bien les corps²⁵⁾, particules ou assemblages²⁶⁾ de particules indéformables, séparées les unes des autres par le vide (à moins qu'elles ne se touchent), qui suivant lui méritent en premier lieu notre attention: ils constituent la base ferme et inébranlable de toute théorie physique et géométrique. La géométrie euclidienne a une valeur absolue. Notons encore qu'il n'y a pas d'ambiguité dans

18) Comparez la p. 31 du T. XVIII. Voyez aussi sur les rayons de lumière la l.9 d'en bas de la p. 163 du T. VI.

19) D'après un manuscrit (ou plutôt deux manuscrits) de la Bibliothèque Royale à Paris. Huygens possédait ce livre suivant le catalogue mentionné à la p. 389 du T. XIX ainsi qu'à la p. 46 qui précède. Notons que Boulliau avait publié en 1644, également d'après un manuscrit et en y ajoutant un commentaire, les remarques de Théon de Smyrne sur l'arithmétique et la musique (Theo Smyrnaeus Platonicus, ‘Eorum quae in mathematicis ad Platonis lectionem utilia sunt expositio’. Nous avons donné le titre grec plus haut dans la note 3 de la p. 11).

20) ΚΛΑϒΔΙΟϒ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟϒ ΠΕΡΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟϒ ΚΑΙ ΗΓΕΜΟΝΙΑΣ. On peut comparer avec ce traité les opinions générales exprimées par Ptolémée dans ses ‘Harmonika’. Voyez la p. 355 du T. XIX.

21) Voyez sur les forces les p. 6-7 du T. XIX, ainsi que les premières lignes de la p. 247 du T. XVI; pour la théorie de la lumière on peut également consulter le T. XIX.

22) Voyez la p. 659 du T. XVIII.

23) Voyez la l. 6 de la p. 230 du T. XVI. Comparez aussi la note 8 de la p. 191 du même Tome (opinion d'Epicure et de Lucrèce).

24) Voyez le dernier alinéa de la p. 642 du T. XIX.

25) C'est aux corps qu'il applique le terme ‘substantiae’ dans la l. 17 de la p. 230 du T. XVI. Comparez la fin de la note 4 de la p. 341 du T. XVI et le dernier alinéa de la p. 316 du T. XIX.

26) Voyez le T. XIX sur la question de la cohésion.

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le concept du temps; Huygens s'en sert sans le discuter²⁷⁾: le temps, qu'il considère apparemment (tout aussi bien que l'espace) comme une grandeur continue, est le même pour nous tous²⁸⁾.

Or, puisque pour toute série de démonstrations il faut partir de certaines définitions et de certains axiomes²⁹⁾, il s'agit de les bien choisir. Ce choix, en effet, est équivoque, et c'est ici que se manifestent le bon sens et l'art du physicien géomètre. Voyez la p. 10 du T. XVI sur le choix des axiomes dans le cas de la collision centrale de sphères dures homogènes; sujet bien important puisque toute la physique d'après Huygens doit finalement reposer sur la collision des corps durs³⁰⁾. Quant à la géométrie pure, c'est dans la Pièce I sur Euclide qui suit, datant sans doute de 1672 ou 1673, qu'il nous donne son opinion sur la manière de parvenir au meilleur choix des axiomes, sans toutefois tâcher d'exécuter lui-même le programme qu'il ébauche. Personnellement - quoique partisan d'une certaine rigueur³¹⁾ - il n'a donc pas éprouvé la nécessité de serrer toutes ses pensées dans un étau rigide. Cette Pièce fait voir que pour Huygens nos connaissances géométriques sont empiriques; les propositions d'Euclide expriment des vérités de fait.

27) Huygens ne dira donc pas avec Aristote (Physica, IV): ὁ χρόνος ἀριθμὸς ϰινήσεως ϰατα τὸ πρότερον ϰαι ὕστερον. La continuité du temps chez Aristote ressort e.a., outre du livre cité et du liv. VI de la Physique, des paroles suivantes (Meteorologica I): ὅ τε χρόνος οὐχ ὑπολείπει ϰαὶ τὸ ὅλον ἀίδιον. Comparez la note 2 de la p. 188.

28) Voyez sur la question de la continuité du temps la l. 8 d'en bas de la p. 82 du T. XIX.

29) T. XIX, p. 81.

30) Comparez les notes 2 et 3 de la p. 8 du T. XIX. Provisoirement il fallait sans doute laisser délibérément de côté les phénomènes inabordables: voyez la note p de la p. 178 qui précède (question des marées) et ce que nous avons dit à la p. 334 du T. XIX sur les phénomènes capillaires.

31) Comparez la fin de la note 2 de la p. 185 et la note 104 de la p. 215. Nous avons publié à la p. 338 du T. XIV sa ‘description schématique de la méthode de démonstration archimédienne’ qui date d'avant 1666, plus précisément de 1659. Au ‘Lemma’ des p. 283-284 du même Tome, ayant pour but d'éviter la considération de l'infiniment petit dans certaines figures géométriques, nous avons donné par hypothèse la date 1657. Le rédacteur de la présente page croit toutefois devoir lui donner la date 1667: voyez la p. 256 qui suit.
Consultez sur l'adoption par Huygens des postulats d'Archimède les p. 237 (note 5) et 255 (note 5) du T. XIV, se rapportant à un écrit de 1657. Ailleurs (p. 337 et note 14 de la p. 191 du même Tome) Huygens admet (en 1659) que, pour éviter les longueurs, il est généralement préférable de ne pas donner une ‘démonstration formelle’, mais seulement ‘le fondement d'une telle démonstration’, ‘ceux qui s'y connaissent’ ne pouvant alors ‘douter de la possibilité d'une démonstration rigoureuse’. Il est question de démonstrations suivant la méthode d'Archimède.

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Quant aux axiomes additionnels de la géométrie, également euclidienne, d'Archimède, Huygens s'en sert sans les critiquer. A l'instar du prince des géomètres grecs il est d'avis que l'infiniment grand et l'infiniment petit ne doivent pas entrer dans une démonstration formelle³¹⁾.

31) Comparez la fin de la note 2 de la p. 185 et la note 104 de la p. 215. Nous avons publié à la p. 338 du T. XIV sa ‘description schématique de la méthode de démonstration archimédienne’ qui date d'avant 1666, plus précisément de 1659. Au ‘Lemma’ des p. 283-284 du même Tome, ayant pour but d'éviter la considération de l'infiniment petit dans certaines figures géométriques, nous avons donné par hypothèse la date 1657. Le rédacteur de la présente page croit toutefois devoir lui donner la date 1667: voyez la p. 256 qui suit.
Consultez sur l'adoption par Huygens des postulats d'Archimède les p. 237 (note 5) et 255 (note 5) du T. XIV, se rapportant à un écrit de 1657. Ailleurs (p. 337 et note 14 de la p. 191 du même Tome) Huygens admet (en 1659) que, pour éviter les longueurs, il est généralement préférable de ne pas donner une ‘démonstration formelle’, mais seulement ‘le fondement d'une telle démonstration’, ‘ceux qui s'y connaissent’ ne pouvant alors ‘douter de la possibilité d'une démonstration rigoureuse’. Il est question de démonstrations suivant la méthode d'Archimède.