Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 59]

Appendice
À la pièce C (divisio monochordi II)¹⁾.
1676.

Tonus meus U, R, minor est tono majore veteri qui est 9 ad 8, dimidio commate. Nam U est a, R est 2xx/a. sed .

Ergo 2xx/a ∞ √⅘aa ∞ R. Sed ratio 8/9 a ad √⅘aa duplicata, facit rationem 80 ad 81. quae est commatis. Ergo ratio 8/9 a ad √⅘aa est ½ comma.

Quod R sit √⅘aa facilius etiam hinc constare poterat, quod inter U ∞ a et M ∞ ⅘ a, medium proportionale est R. nam in systemate indeterminato 2xx/a est medium proportionale inter a et 4x⁴/a³.

Semitonium majus meum M, F, semitonio majore veteri nempe 16 ad 15 majus est ¼ commatis. Est enim M ∞ ⅘a; F ∞ aa/2x, quorum ratio eadem quae 8x ad 5a. sed si esset ut 16 ad 15, esset ut 8x ad 15/2 x. Ergo ostendendum quod 15/2 x major est quam 5a quarta parte commatis, hoc est, rationem 15/2 x ad 5a, hoc est 3x ad 2a, quadruplicatam efficere rationem 81 ad 80. x est sed ratio ad 2a quadruplicata facit rationem 81/5 a⁴ ad 16a⁴ sive 81 ad 80, quod erat ostendendum.

Diapente S^♯R^2♯ sola major est caeteris, quas superat parte toni quam constituit ratio 128 ad 125. Nam S^♯ est 16/25 a à quo ad R^2♯, ⅝x non est diapente, sed ad R²* ∞ 16/25 x. Est autem 16/25 x ad ⅝x ut 128 ad 125. quod proxime facit duo commata. Ergo S^♯R^2♯ duobus commatis superat circiter diapente quae est ex temperamento. Veram vero diapente superabit 7/4 commatis.

Quarta diminuta quales S^♯U,F^♯♭, est exacte ut 32 ad 25, hoc est fere ut 9 ad 7 à qua proportione deficit paulo plus quam ⅓ commatis.

1) Portefeuille ‘Musica’, f. 48. Dans cette Pièce Huygens calcule la grandeur de différents intervalles dans le système du ton moyen. En marge la date 1676.

[p. 60]

Ergo quinta exuperans US^♯, et reliquae, exacte ut 25 ad 16. et fere ut 14 ad 9, quam proportionem superant paulo plus quam 1/3 commatis.

Sexta exuperans C^♭ S^♯, est proxime ut 7 ad 4 (pauxillo minor) in systemate temperato, et videtur consonantia. nam et gratum auribus sonum edit, et non tremulum, ut sexta diminuta S^♯M^♭. differentia logarithmorum C^♭ et S^♯ est 24228. Et differentia logarithmorum 7 et 4 est 24304. Ita autem ratio C^♭ ad S^♯ ad rationem 7 ad 4 ut hae differentiae inter se.