Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

C. Divisio monochordi II¹⁾.
[1661]

Longitudo chordae totius VP, quae sonat Ut, vocatur a. Pars SP vero, quae sonat Sol, dicitur x.

La corde est représentée par Huygens par une droite verticale. Pour trouver dans notre tableau la position du point P il faut doubler la longueur VV², toutes les distances, de V à V^♯, de V^♯ à R etc. étant supposées égales.

1) La Pièce est empruntée à la p. 51 du Manuscrit 13. Elle contient une nouvelle déduction du système du ton moyen. La colonne 1 contient les longueurs des cordes suivant le tempérament pythagoricien, où la longueur de la corde de la quinte du ton fondamental est de nouveau laissée provisoirement indéterminée (systema indeterminatum). Dans la colonne 2 x est une grandeur déterminée, dont la valeur est fixée par la condition de la justesse de la tierce majeure, c.à.d. par l'équation 4x⁴/a³ = 4/5 a.

[p. 57]

V	a	a	100000
V^♯	16x^7/a^6	16aa/25x	95702
R	2xx/a	2xx/a	89443
R^♯	a^4/4x^3	5/4x	83592
M	4x^4/a^3	⅘a	80000
F	aa/2x	aa/2x	74767
F^♯	8x^6/a^5	8xx/5a	71554
S	x	x	66874
S^♯	16x^8/a^7	16/25 a	64000
L	2x^3/aa	⅖aa/x	59814
C^♭	a^3/4xx	5/4 xx/a	55902
C	4x^5/a^4	⅘x	53499
V^2	½a	½a	50000
V^2♯	8x^7/a^6	8/25 aa/x	47851
R^2	xx/a	xx/a	44721
R^2♯	a^4/8x^3	⅝x	41796
M^2	2x^4/a^3	⅖a	40000
F^2	aa/4x	aa/4x	37384

Demonstratur per terminos Algebraicos systematis indeterminati, Quintas similes esse V, S:S, R²:R, L:L, M²:M, C:V^♯, S^♯:R^♯, C^♭:C, F^2♯:L^♯, F² : F, V²:F^♯, V^2♯. omnes enim ut a ad x²⁾. dissimilis ergo tantum una S^♯, R^2♯3). Hinc et omnes quartas similes esse constat praeter unam R^♯, S^♯. omnes autem similes ut 2x ad a. Tertiae majores similes ac perfectae sunt V, M:R, F^♯:M, S^♯:L, V^2♯:C^♭, R²: R^♯, S:F, L:S, C: omnes enim ut a⁴ ad 4x⁴. Harum complementa sunt totidem sextae minores similes ac perfectae. Tertiae minores similes sunt V, R^♯:V^♯, M:R, F:M, S:F^♯, L:S, C^♭:S^♯, C : L, V² : C, R². Quarum complementa sunt totidem sextae majores similes.

← Proportiones longitudinum chordae ejusdem quae tonis singulis conveniunt⁵⁾

Systema indeterminatum

Systema idem determinatum per 4x/a³ ∞ ⅘a⁴⁾. hoc est in quo tertiae

2) Cette remarque, ainsi que celles qui suivent, ne s'applique qu'à la première colonne.

3) Voyez l'Appendice qui suit.

5) Les nombres de la quatrième colonne se tirent des colonnes 1 ou 2 en y substituant x/a = ∜ 1/5.

4) La déduction suit donc une marche inverse par rapport à la Pièce I de juillet 1661 (p. 49). Là il fut postulé que les quintes seraient inférieures d'autant que les sixtes majeures seraient supérieures à leurs vraies valeurs, d'où suivait la justesse des tierces. Ici Huygens demande que l'intervalle VN (c-e) soit une tierce majeure naturelle (5:4): ce postulat conduit à l'équation 4x⁴/a³ = 4/5 a, d'où encore une fois x = a ∜ 1/5.
Pour cette valeur de x toutes les valeurs de la colonne 1 se changent dans les valeurs correspondantes de la colonne 2.

[p. 58]

majores perfectae sunt, quintae vero a perfectis tantundem deficiunt atque sextae majores excedunt, nempe ¼ commatis. Dico S nostrum ab S perfecto sive ⅔a distare ¼ commatis. Ratio enim x sive ad ⅔a, quadruplicata facit rationem ⅕a⁴ ad 16/81 a⁴, hoc est, rationem 81 ad 80, quae est commatis. similiter ratio L sive ⅖ aa/x hoc est ad ⅗a quadruplicata facit rationem 80 ad 81.

L'article de Land de 1891 que nous avons mentionné dans la note 4 de la p. 44 qui précède contient, nous l'avons dit, la reproduction d'une partie de la f. 3v du portefeuille ‘Musica’ dont le contenu diffère peu de celle de la page ici publiée du Manuscrit 13. Seulement cette f. 3v contient en plus que la page du Manuscrit 13 les notes

V* ... a^6/8x^5 ... 5aa/8x ... 93459

R* ... 32x^9/a^8 ... 32/25 x ... 85599

F* ... a^7/16x^6 ... 15xx/16a ... 69879

S* ... a^5/8x^4 ... 5/8 a ... 62500

V* ... a^6/16x^5 ... 5 aa/16x ... 46730

R* ... 16x^9/a^8 ... 16/25 x ... 42799

les nombres faisant voir où ces notes doivent être intercalées dans la table publiée dans le texte. En outre la table de la f. 3v va jusqu'à V³ ... ¼ a ... ¼ a ... 25000. Comparez ce que nous disons à la p. 56 sur la longueur VP (c.à.d. la distance de V à V³).