Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 49]

B¹⁾. Divisio monochordi I.
1661.

V	a	L	2x^3/aa
V^♯	16x^7/a^6	♭	a^3/4xx
R	2xx/a	C	4x^5/a^4
M^♭	a^4/4x^3	V^2	½ a
M	4x^4/a^3	V^2♯	8x^7/a^6
F	aa/2x	R^2	xx/a
F^♯	8x^6/a^5	R^2♯	a^4/8x^3
S	x	M^2	2x^4/a^3
S^♯	16x^8/a^7	F^2	aa/4x
a^5/8x^4^3)

8 Jul. 1661.

§ 1. Sit tota chorda VP partium a²⁾. SP putetur sonare diapente ad VP, et esse SP partium x. huic alia similis diapente putetur SR². Ergo ut a ad x ita x ad xx/a ∞ R² hoc est R²P. Ergo R diapason R² erit 2xx/a. huic rursus fiat similis diapente RL, ergo ut a ad x ita 2xx/a ad 2x³/aa ∞ L. huic rursus similis diapente sit LM². Ergo ut a ad x, ita 2x³/aa ad 2x⁴/a³ ∞ M². Unde M diapason M² erit 4x⁴/a³. huic rursus diapente sit MC. Ergo ut a ad x ita 4x⁴/a³ ad 4x⁵/a⁴ ∞ C. Iam quia SV² est diatessaron sumatur ei similis diatessaron VF. Nempe ut x ad ½a ita sit a ad aa/2x ∞ F. ab F ad ^♭ sumatur similis item diatessaron, fit ^♭ ∞ a³/4xx. Porro tertiae majori VM sumatur similis tertia

1) Portefeuille ‘Musica’, f. 7-8. Huygens intitule cette Pièce ‘Divisio Monochordi’.

3) Ici as est déterminé comme le ton formant une tierce avec le ton plus haut .

2) Partant d'une corde de longueur a Huygens calcule les longueurs des cordes dont les tons forment avec le ton fondamental les intervalles du système pythagoricien. Il pose x pour la longueur de la corde correspondant à la quinte du ton fondamental, de sorte que le rapport x/a de l'intervalle fondamental de la construction pythagoricienne reste momentanément indéterminé.
Soit en notations modernes V (c) le ton de la corde fondamentale. Comme nous l'avons dit, Huygens prend pour le ton S (g) une corde de longueur x. Pour R² () il en déduit x²/a en montant d'une quinte (diapente), et pour R (d) 2 x²/a en descendant ensuite d'une octave (diapason). De la même manière L (a) et M² (e) se dérivent de ce dernier ton en montant chaque fois d'une quinte, ensuite M (e) en descendant d'une octave. La quinte de M donne C (b). Puisque l'intervalle SV² (g-) est une quarte, le rapport des longueurs des cordes correspondantes est apparemment a/2x. Ensuite F (f) se tire de V (c); en montant de nouveau d'une quarte on trouve ♭ (bes). L'intervalle VM (c-e) est une tierce majeure pythagoricienne, à laquelle correspond le rapport des longueurs 4(x/a)⁴. Le même intervalle sépare R (d) de F^♯ (fis), M (e) de S^♯ (gis), L (a) de V^2♯ (cis), d'où suit V^♯ (cis). ♭ (bes) est calculé une deuxième fois en descendant d'une tierce majeure à partir de R² (). M (es) provient de S (g) de la méme manière.
Tous les tons du système ont donc été déduits du ton fondamental par des sauts de quintes et de tierces avec réductions d'octaves; la relation de chacun d'eux avec la tonique est donnée dans le tableau suivant, où T indique un saut de tierce, Q un saut de quinte et O un saut d'octave, chaque symbole placé dans le numérateur désignant une ascension, dans le dénominateur, une descente.

V	V♯	R	R♯(M♭)	M	F	F♯	S		S♯		L
	3QT/2O	2Q/O	Q/T	4Q/2O = T	O/Q	2QT/O	Q		2T		3Q/O
	C♭	C	V2	V2♯	R2	R2♯(M2♭)		M2		F2
	2O/2Q = 2Q/T	TQ	O	3QT/O	2Q	QO/T		4Q/O		2O/Q

[p. 50]

RF^♯. fit F^♯ ∞ 8x⁶/a⁵. item similis istis MS^♯ fit S^♯ 16x⁸/a⁷. Item LV^2♯. fit V^2♯ ∞ 8x⁷/a⁶. unde diapason ejus nempe V^♯ ∞ 16x⁷/a⁶. Rursus ab R² sumatur tertia major deorsum R^2♭, fit ♭ ∞ a³/4xx. Similiter tertia major SM^♭; fit M^♭ ∞ a⁴/4x³. atque ita omnes toni ac semitoni reperti sunt⁴⁾.

4) Nous remarquons que Huygens, pour obtenir une gamme chromatique pythagoricienne juste de 12 intervalles, emprunte les tons destinés à compléter la gamme diatonique en partie (savoir cis, fis et gis) à la partie ascendante, en partie (savoir es et bes) à la partie descendante de la série des quintes. En poursuivant la marche ascensionnelle, il aurait trouvé 32x⁹/a⁸ pour dis et 32x¹⁰/a⁹ pour ais. Dans l'octave qui commence par V², M^♭2 a été remplacé par R^♯ (lisez R^2♯).

[p. 51]

Erunt autem ex constructione diapente similes VS, SR², RL, LM², MC. sed et similis illis V^♯S^♯. item M^♭C^♭5), CF^2♭, item ♭F². Item FV², F^♯V^2♯. omnes enim uti a ad x. sunt ergo 11; quare dissimilis 1, S^♯M^♭6).

Diatessaron similes sunt ex constructione SV², VF, F^♭; siunt autem similes et istae V^♯F^♯, RS, ML, F^♯ C, S^♯V^2♯, LR², C^♭M^♭2, CM. omnes enim ut x ad ½a, five 2x ad a. Sunt ergo 11; et dissimilis 1⁷⁾. Tertiae majores similes ex constructione VM, RF^♯, MS^♯, LV^2♯, ♭R², R^♯S⁸⁾. fiunt autem et istae FL,SC. omnes enim ut a⁴ ad 4x⁴. Sunt ergo 8, et dissimiles 4.⁹⁾.

Tertiae minores similes fiunt VR^♯, V^♯M, RF, MS, F^♯L,S^♭, S^♯C, LV², CR². Sunt ergo 9 et dissimiles 3¹⁰⁾.

Sextae majores similes sunt VL,RC,R^♯V²¹¹⁾, MV^2♯,FR²,SM²,LF^2♯,♭S², CS^♯2. Nempe sunt complementa tertiarum minorum. Ergo 9 similes, et 3 dissimiles¹²⁾.

Sextae minores similes sunt V^♯L,R♭,MV², F^♯R², SR^2♯, S^♯M²,LF²,CS², nempe 8, complementa tertiarum majorum. Reliquae dissimiles 4¹³⁾.

§ 2. Horum omnium intervallorum indeterminata est hactenus magnitudo, nam

5) Appelé plus haut ♭ [bes].

6) Il faut entendre S^♯M^♭2; permutation enharmonique de et de .

7) Savoir M^♭S^♯, de nouveau en vertu d'une substitution enharmonique.

8) Ou plutôt M^♭S.

9) Savoir V^♯F, F^♯♭, S^♯V², CM^♭2 (chez Huygens CR^♯2).

10) Savoir M^♭F^♯, FS^♯, ♭V^2♯.

11) Lisez M^♭V².

12) Savoir V^♯♭, F^♯M^2♭, S^♯F².

13) Savoir VS^♯, M^♭C, FV^2♯ et ♭F^2♯.

[p. 52]

qualiscunque adsumatur x, similitudo dicta ubique locum habebit. (En marge: omnes toni aequales VR; RM; FS; SL; LC. item MF^♯; F^♯S^♯; CV^♯). Videamus ergo quanta convenientissime possit statui x. Sane si ponatur x ∞ ⅔a, constat quintas omnes ac proinde et quartas perfectas fore. Verum tunc fit VL ∞ 2x³/aa ∞ 16/27 a. Sed ut sit perfecta sexta major VL, deberet esse L ∞ ⅗ a, quod majus est quam 16/27 a. Ergo ratio LP ad VP minor est vera ad efficiendam sextam majorem, quamobrem sexta haec major erit justo. atque ita omnes reliquae sextae majores supra enumeratae, quia omnes inter se sunt similes. Hinc vero et tertiae minores omnes supradictae, quae sunt complementa sextarum majorum erunt minores justo¹⁴⁾. Differentia autem erit 1/80¹⁵⁾ id quod comma vocant, nam 16/27 est ad ⅗ ut 80 ad 81. quae valde est notabilis, ita ut facile imperfectio ejusmodi tertiarum ac sextarum aure percipiatur. Est enim comma 1/9 toni proxime¹⁶⁾.

Sed et tertia major VM ex illa positione, nempe si x sit ∞ ⅔a, major vera contingit, est enim M ∞ 4x⁴/a³ ∞ 64/81 a, cum debeat esse ⅘a ad faciendam consonantiam tertiae majoris. Estque 64/81 ad ⅘ ut 80 ad 81. quae rursus notabilis est commatis differentia, qua etiam sextae minores à veris deficient, quippe tertiarum majorum complementa. Praestat igitur quintam VS paulo minorem vero sumere, hoc est x paulo majorem quam ⅔a. hinc enim video sextam majorem VL et omnes similes minorem factum iri quam prius, crescente nempe L quae erat 2x³/aa. videoque simul tertiam majorem VM decrescere sicut requiritur, nam etiam 4x⁴/a³ major efficitur dum major ponitur x. quanto igitur majorem sumimus x quam ⅔a? Optimum videtur ut ita comparetur si fieri possit, ut quintae tanto minores evadant perfectis quanto sextae majores veras excedent.

14) Il appert donc ici qu'on ne peut faire accorder la construction de la gamme par sauts de quintes et réductions d'octaves avec les rapports des intervalles consonants suivant le tempérament harmonique naturel.

15) C'est à dire pour obtenir la vraie sixte majeure, la corde LP devrait être allongée de 1/80 (ou bien la corde VP raccourcie de 1/81).

16) Le ton entier VR (c-d) acquiert la valeur 8:9. Pour monter d'un ton entier, il faut donc diminuer la longueur de la corde de 1/9, c.à.d. 9 fois d'avantage que pour passer de la vraie sixte majeure à celle figurant dans la construction pythagoricienne. C'est ce qu'on peut exprimer en disant qu'un comma (savoir un comma syntonique) est environ 1/9 d'un ton. Il s'agit en somme de l'approximation (80/81)⁹ = (1 - 1/81)⁹ ≈ 1 - 1/9.

[p. 53]

differentia ergo est 1/480 proximè totius chordae¹⁷⁾ qua x sive SP debet major sumi quam ⅔a. quae differentia est valde exigua.

Omnes igitur tertiae majores et sextae minores similes, sunt perfectae in hoc systemate. Quintae vero et tertiae minores pauxillo minores sunt veris, aequali defectu¹⁸⁾. nam chordae partes quae sonant quintas vel tertias minores contra tonum aliquem graviorem excedunt veras proximè 1/320 sui parte¹⁹⁾; accurate autem quartâ parte commatis. Quartae autem, et sextae majores tantundem veras superant²⁰⁾.

En marge: dico id quo S nostrum temperatum distat ab S vero sive ⅔a esse accurate ¼ commatis, nam ratio sive x ad ⅔a quadruplicata facit rationem ⅕a⁴ ad 16/81 a⁴ hoc est ut 81 ad 80, quae est commatis.

Notandum etiam tonos omnes istos aequales esse VR,RM,M^♭F, MF^♯, FS, F^♯S^♯, SL, LC,C^♭V²,CV^2♯. Dissimiles tantum V^♯R^♯,S^♯C^♭21).Semitonia majora similia V^♯R, RM^♭,MF,F^♯S,S^♯L,LC^♭,CV². Reliqua quinque minora etiam inter se similia VV^♯, M^♭M,FF^♯,SS^♯,C^♭C.

17) En effet, 208/100000 ≈ 1/480.

18) La longueur de la corde devient pour la tierce mineure 5¾/4 a = 3/2.5¼ · 5/6 a. Son intervalle avec la véritable tierce mineure est donc égal à celui de la quinte tempérée avec la quinte véritable: en effet, ∜1/5 a⁴ = 3/2.5¼ · 2/3 a.

19) En effet, 1/480 a = 1/320 · 2/3 a.

20) D'après l'hypothese initiale pour la sixte; pour la quarte on trouve a²/2x = a.5^¼/2 = 2.5^¼/3 · 3/4 a.

21) Comme plus haut, ceci résulte d'une substitution enharmonique. On trouve les mêmes intervalles que dans les cas énumérés, lorsqu'on prend 32x⁹/a⁸ pour R♯ et qu'on remplace C (bes) par ais (32x¹⁰/a⁹).

[p. 54]

§ 4. Si velimus ut tertiae minores majoresque, et sextae majores minoresque aeque multum a veris distent

At ex priori systemate erat 1/320. Ergo hic perexigua differentia est, sed tamen quintae paulo adhuc minores. et quartae majores.

Porro fit LP sive 2x³/aa ∞ 59893 7/10 quae subducta a vera sextae majoris longitudine quae est 60000, relinquit tantum 105²²⁾, hoc est 1/1000 fere tantum totius chordae, quae fecit 1/563 chordae LP. at ex priori systemate erat 1/320, quantum nempe quintae longitudo veram superabat. Ergo hic jam sextae majores, simulque tertiae minores meliores fiunt quam in systemate praecedenti²³⁾. Tertiae autem majores et sextae minores jam a veris recedunt tantundem praecise quantum tertiae majores et sextae minores²⁴⁾. fit enim MP ∞ 80142 quae debebat esse 80000, differentia est 142, quae etiam est 1/563 chordae MP²⁵⁾.

22) Lisez 106.

23) Le système trouvé dans ce § est connu sous le nom de tempérament de Zarlino; voyez l'Avertissement (p. 46).

24) Lisez: quantum sextae majores et tertiae minores.

25) Ceci résulte de la condition imposée aux tierces et sixtes majeures. La validité de la thèse pour les tierces et sixtes mineures résulte de ce que la condition
a⁴/4x³ : 5/6 a = 5/8 a : a⁵/8x⁴
(voyez la note 3 de la p. 51) conduit elle aussi précisément à la valeur de x dont il vient d'être question dans le texte.

[p. 55]

Hic igitur tertiae majores et tertiae minores aequaliter à veris deficiunt, nempe accurate 1/7 commatis²⁶⁾, quae differentia auribus nescio an percipi possit. Sextae vero majores et minores tantundem veras superant. Quintae deficiunt a veris duplo tanto nempe 2/7 commatis²⁷⁾, accuratè, ac tantundem quartae veras superant.

§5. Ostendit autem experientia melius gratiusque auribus esse prius systema, necmirum cum in illo nulla consonantia tantum a vera recedat quam hîc. nam hîc jam sensibilius fit, etsi exiguo quintarum et quartarum vitium. deinde et tertiae majores, licet tantum 1/7 commatis deficiant, minus gratum sonum edunt quam cum perfectae sunt, ut in priori illo systemate, frequentissime autem occurrunt. Sed et facilius harum adjumento chordae omnes clavicymbali val fistulae organi ad suum quaeque tonum componuntur. Omnino igitur priori systemate uti praestat.

Modus autem quo secundùm illud chordae in ordinem rediguntur sive accordandi ut vocant clavecymbali vel organi est iste²⁸⁾. Primo fiat

VM tertia major perfecta. et deinde MM², diapason perfecta ut omnes.

Quo autem certius accipi possit 3^a major perfecta, fiat primum diapason VV². deinde inter has S quod sonet 5 tam perfectam ad V: et 4tam ad V². tunc inter V et S ponatur M utrique perfectè consonans, alteri per 3^am majorem, alteri per minorem. Postea relicto M perfecto, parum remittatur S, ut sit

VS quinta exiguo minor vera.

SR² quinta similis. et R²R diapason.

RL quinta similis. Si jam LM² inveniatur esse quinta prioribus similis recte se habent

26) On trouve pour la tierce majeure la longueur de corde 4(3/50)^4/7a, c.à.d. 5(3/50)^4/7 · 4/5a. Lorsque l'intervalle avec la tierce majeure naturelle est septuplé, on obtient 5⁷(3/50)⁴ = 81/80, c.à.d. le comma syntonique.

27) En effet, la longueur de corde de la quinte devient

28) Le Manuscrit 13 contient (f. 52) une note sur le même sujet sous le titre: Chordas Clavicymbali in ordinem redigemus hoc modo. Cette Pièce se distingue de notre texte par le remplacement de M^♭ par R^♯ et par quelques changements et compléments que nous indiquons dans les notes qui suivent.

[p. 56]

hactenus omnia, sin minus tres tantum illae S, R², L corrigendae sunt, usquedum LM² inveniatur, ut dictum est, quinta deficiens similis. Hinc reliquae per tertias majores perfectas deducuntur LF, SC,LV^2♯, MS^♯, RF^♯, R²L^♯; SM^♭. Ita omnes habentur, unde reliquae per diapafon sursum ac deorsum²⁹⁾.

Si ad semitonos S^♯, V^♯, M^♭ alij semitoni superaddantur, poterit quisque tonus diatonicus infra ac supra habere consonantes secundum omnes consonantias. Ponendo V²S* tertiam majorem perfectam, ut et CR²*, FV*. fit ergo S* ∞ a⁵/8x⁴. R²* ∞ 16x⁹/a⁸, V* ∞ a⁶/8x⁵³⁰⁾.

Falsae quartae sive tritoni similes³¹⁾ sunt VF^♯, RS^♯, M^♭L,FC,SV^2♯C^♭ M². suntque paulo minores quam 7 ad 5, nempe 1/571³²⁾, hoc est minus quam 1/7 commatis. ac fortasse et haec consonantia censenda est. quintae falsae sive quintae minores similes sunt V^♯S, M♭. F^♯V²,S^♯R, LR^2♯, CF²; tantundem superant rationem 10 ad 7. vocentur hae tritoni majores³³⁾.

29) Manuscrit 13: nec nisi per octavos sursum ac deorsum procedere est opus.

30) Cet alinéa fait défaut dans le Manuscrit 13.

31) Dans le Manuscrit 13 seulement: Tritoni minores similes.

32) Pour x = a ∜ 1/5 on obtient F^♯ = 8x⁶/a⁵ = 8(1/5)^3/2 · a. Pour a = 100000 ceci devient 71554, ce qui surpasse 5/7. 100000 ou 71429 de 125, c.à.d. de 1/571. 71429.

33) Dans le Manuscrit 13 la phrase ‘Quintae falsae... tritoni majores’ à été remplacée par Horum complementa sive tritoni majores similes sunt F^♯, V² : S^♯, R² : L,R^2♯ : C,F² : V^♯, S : M,L^♯ : quae tantundem superant rationem 10 ad 7. ideoque omnino majores sunt tritonis minoribus cum jam ratio 10 ad 7 sit major quam 7 ad 5. Fortasse autem et horum uterque consonantijs accensendus est.