Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 8]

I¹⁾. Critique du Livre de 1655 de M. Meibomius ‘De Proportionibus Dialogus’²⁾.

Huygens avait vu le ‘Dialogus’ en France en 1655²⁾. En avril 1656 Fr. v. Schooten demanda son opinion sur ce livre ce qui l'amena à ‘pervolvere’ le volume de nouveau et à écrire: Homo plane ineptus est, totaque disputatio contra definitionem 7mam libri 5 Elementorum (quae Clavio 8^a est) huic enim nititur propositio 8^a ejusdem libri. Quid autem magis frivolum quam de definitionibus altercari? cum liberum sit aut certe parum referat quo nomine quidque designetur³⁾. Comparez toutefois la Pièce sur Euclide à la p. 184 qui suit, ainsi que celle de la p. 190, où Huygens - à un âge plus avancé - n'approuve pas également toutes les définitions anciennes.

Pag. 103. v. 8.⁴⁾ Rationem aequalitatis nihili rationem seu nullam appellat.

Voyez à propos de cette première proposition de Meibomius une sentence analogue de Mersenne de 1644, citée dans la note 98 de la p. 214 qui suit.

Pag. 104 in fine. Rationem duplam subduplae aequalem dicit (licet non eadem sit), quoniam idem est inter utriusque terminos intervallum. Attamen rationem subduplam dupla superat ratione quadrupla. Pag. 124 in med. Eodem modo pag. 106 in fine aequales dicit rationes 6 ad 4 et 4 ad 6. quia una tantum excedat quantum altera deficit à nihili ratione.

Pag. 118. Quantitas rationis in duarum magnitudinum inter se distantia spectatur. Ideo ratio aequalitatis ratio quidem est sed nullius quantitatis.

Ces définitions de Meibomius, éditeur des ‘Antiquae Musicae Auctores septem’, 1652⁵⁾ s'expliquent par le fait qu'il considère les rapports en musicien. La ‘quantitas rationis’ étant censée dépendre de la ‘distantia’, il est évident que la ‘ratio 6 ad 4’ est à peu près identique avec la ‘ratio 4 ad 6’. Il ne fait aucune mention de logarithmes, qu'il semble ne pas connaître. Néanmoins, on peut dire qu'il considère les rapports à un point de vue logarithmique: le logarithme du rapport des longueurs égales de deux cordes rendant le même son est nul et les logarithmes des rapports ‘6

1) Chartae mathematicae, f. 11. Le texte qui suit fait voir que cette feuille date de 1656.

2) Nous avons mentionné ce livre dans la note 5 de la p. 409 du T. I; en voici le titre complet: M. Meibomii, Consiliarii Regii, De Proportionibus Dialogus. Ad Serenissimum Principem, Fridericum III, Daniae, Norvegiae, Vandalorum, Gotthorumque Regem, &c. ΞϒΝ Τ ΘΕ ΑΕΙ ΓΕΩΜΕΤΡΟϒΝΤΙ ΠΑΣ ΣΟΦΟΣ ΑΕΙ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ. Hafniae, Typis Melchioris Martzani, MDCLV.

2) Nous avons mentionné ce livre dans la note 5 de la p. 409 du T. I; en voici le titre complet: M. Meibomii, Consiliarii Regii, De Proportionibus Dialogus. Ad Serenissimum Principem, Fridericum III, Daniae, Norvegiae, Vandalorum, Gotthorumque Regem, &c. ΞϒΝ Τ ΘΕ ΑΕΙ ΓΕΩΜΕΤΡΟϒΝΤΙ ΠΑΣ ΣΟΦΟΣ ΑΕΙ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ. Hafniae, Typis Melchioris Martzani, MDCLV.

3) T. I, p. 413. Van Schooten approuve cette sentence (T. I, p. 422).

4) Toutes les citations se trouvent en effet aux endroits indiqués par Huygens.

5) Nous avons fait mention de ce recueil - contenant e.a. ‘Euclidis liber de Canonis Sectione’ - à la p. 362 du T. XIX.
Comme la note 4 de la p. 138 du T. I ne donne que peu de détails biographiques sur Meibomius (1630-1711), nous ajoutons, sans être complets, qu'il avait publié déjà en 1649 à Amsterdam ses ‘Observationes ad loca quaedam librorum decem M. Vitruvii Pollionis de Architectura’. Son ‘Dialogus’ ayant été attaqué e.a. par W. Lange - ‘Epistola ad Meibomium’, Hafniae 1656 - il répliqua en 1657 (‘Responsio ad Langii epistolam’, Hafniae). En 1671 il publia à Amsterdam son ‘De fabrica triremium’.

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ad 4’ et ‘4 ad 6’ sont égaux (aux signes près) comme il convient, puisque les cordes de longueurs 6 et 4 produisent le même intervalle soit qu'on frappe premièrement l'une ou l'autre.

[Pag. 118]. Quaecumque autem alia [ratio], magna aut parva unitatis loco accipi potest.

Si l'on voulait considérer p.e. le rapport a/b comme ‘unitas’, les rapports également distants p/q et a²q/b²p pourraient être censés égaux.

Pag. 125 in fine gloriatio.

Le dialogue a lieu dans les champs Elysées. Les ombres d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius Pergaesus, de Pappus, d'Eutocius et de Theo (Alexandrinus?) y prennent part. Un certain Hermotimus, visiteur du séjour des morts, développe devant eux le nouveau système qu'il attribue à son ami Euthymius. A la p. 125 Hermotimus dit: ‘Atque ex his principiis omnia Euthymii dogmata, tàm quae vestra, illustres Geometrae, principia convellunt, & falsitatis convincunt, quàm quae recentiorum hallucinationes ostendunt, deducuntur’. En parlant des ‘recentiores’ Meibomius songe surtout à Grégoire de Saint Vincent dans le livre duquel - l'‘Opus geometricum’ de 1647, où il prétendait avoir trouvé la quadrature du cercle; voyez la note 6 de la p. 53 du T. I, et consultez les T. XI et XII - il est constamment fait usage de compositions ou additions de rapports⁶⁾.

Pag. seq. falsa igitur est 8^a propositio lib. 5 Elem. et 10, et multae aliae quae ab his pendent. &c.

Comme Huygens le dit fort bien - début et fin de la présente Pièce - il ne s'agit en somme que d'une dispute (pour employer ce terme) sur les définitions.

D'après la prop. 8 du livre 5 des Eléments d'Euclide - dont la prop. 10 est l'inverse - on doit dire, lorsque a > b, que le rapport a/c est toujours supérieur au rapport b/c.

Pag. 127. dicit 16 ad 24 majorem habere rationem quam 21 ad 31. Quia enim est ut 16 ad 24, ita 21 ad 31 ½ major est distantia inter 21 et 31 ½ hoc est 16 ad 24 quam inter 21 et 31. Ego vero sic dicam. Quia enim est ut 16 ad 24 ita 8 ad 12, minor est distantia inter 8 et 12, hoc est 16 et 24 quam inter 21 et 31.

6) Fr. X. Aynscom dans l'ouvrage de 1656 (‘Expositio et deductio geometrica’) cité dans la note 6 de la p. 210 du T. I, et dont nous avons reproduit une partie aux p. 248-261 du T. XII, défend Grégoire de Saint Vincent à la fois contre Meibomius et contre Huygens.

[p. 10]

Ici la critique de Huygens est apparemment sans valeur. Il n'y a aucune indétermination ou contradiction logique puisque chez Meibomius le mot ‘distantia’ désigne un rapport, et non pas une différence.

Dans le T. XVI¹⁾ nous avons relevé que dans un cas spécial Huygens dit, probablement en cette même année 1656, qu'une grandeur Q₁ ‘recedit’ autant qu'une autre Q₂ d'une grandeur donnée intermédiaire Q lorsqu'on a Q₁/Q = Q/Q₂. En cet endroit il adopte, peut-on dire, la manière de parler de Meibomius soutenant que les ‘rationes’ ou ‘distantiae’ de Q₁ à Q et de Q₂ à Q sont égales. Observons en passant que, autrement que Meibomius, Eratosthène et Théon de Smyrne font sous ce rapport une distinction entre le λόγος, ratio, d'une part et le διάστημα, intervallum ou distantia, d'autre part²⁾.

Pag. 129. Falsum vero [suivant Meibomius] 4 ad 5 majorem rationem habere quam 4 ad 7. Falsum 4 ad 6 majorem rationem habere quam 3 ad 6.

Falsum 4 ad 3 majorem habere rationem quam 2 ad 3, quod diversi generis rationes excessiva et defectiva inter se comparari nequeant. Quasi dicas falsum esse cubum quadrato esse majorem.

Pag. eadem 129 bene Euclides respondet.

Voici la réponse d'Euclide laquelle montre que Meibomius comprend fort bien la manière ordinaire d'envisager les choses. ‘Si quae unquam ineptiae, & olim, cum inter mortales degerem, & ex quo hac beatâ quiete mihi frui licuit, fando ad aures meas pervenere, inter illas certe has Euthymii tui, o Hermotime, primo loco censere possum. Ut enim illud nunc praeteream, inconcusso fundamento, septima nimirum ejusdem libri definitione, niti hanc nostram propositionem, faciliori adhuc viâ eandem veritatem hic demonstratam dabo. Sint enim eaedem lineae, iidem numeri, quos tu ante proferebas. Dico (numeros solos adcommodans, ut brevius me expediam) non tantùm 7 ad 4 majorem rationem habere quàm 5 ad 4; quod etiam concessit Euthymius; sed & revertendo: quod ejusdem propositionis secundo membro volo; 4 ad 5 majorem rationem habere quàm 4 ad 7. Quis enim mortalium, exceptis Euthymio & Hermotimo, dubitat, vel unquam dubitavit, aut venientibus seculis dubitaturus est, quin, uti verum est, septem partes quartas majores esse quinque partibus quartis, sic immotae veritatis sit, quatuor partes quintas majores esse quàm quatuor partes septimas?’. Tandis que les autres ombres approuvent hautement les paroles d'Euclide, seul Archimède parle comme suit: ‘Fateor & me hac sententiâ olim fuisse imbutum; sed ex iis, quae principiorum loco ante retulit Hermotimus, jam aliter video haec esse concipienda’.

Pag. 143 in fine. Quid enim [suivant Meibomius] clarius docetur quid concinnius, quam quod rationum omnium quasi centrum sit ratio nihili. Pag. 144. rationem sesquialteram excessivam superare rationem sesquialteram defectivam, ratione bis sesquialtera. Pag. 148. Propositio Meibomij quam pro 8^a 5^ti substituit ridicula.

La nouvelle proposition est formulée par Meibomius comme suit: ‘Duarum inaequalium magnitudinum illa, ad eandem, utrâque aut majorem aut minorem, aut alteruti aequalem, majorem rationem habet, quae longius ab hac distat: & vicissim’.

Gloriatio. Jactatio pag. 204.

1) P. 154, note 2 et p. 155, note 5.

2) Le cap. 30 du livre cité dans la note suivante est intitulé Τίνι διαφέρει διάστημα ϰαὶ λόγος (Quomodo differant interuallum & ratio). Il y est dit que les intervalles 6/3 et 3/6 sont identiques, mais que les λὀγοι 6/3 et 3/6 sont l'inverse l'un de l'autre.

[p. 11]

La p. 204 est la dernière page du livre où, à l'exemple d'Archimède, tous les mathématiciens se déclarent convaincus.

Disputatio tota est contra definitionem 7 lib. 5. Quid autem stultius?

Cette définition est la suivante: Ὅταν δὲ τῶν ἰσἁϰις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρἰτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλἀσίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μεἰζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.

Pour éviter tout malentendu, il convient d'ajouter qu'en rejetant la 7ième définition pour les raisons susdites, Meibomius ne désapprouve aucunement le sentiment d'Euclide - sentiment qui donna lieu à cette définition justement célèbre; le lecteur hollandais pourra consulter l'ouvrage d'un de nous de 1930 ‘De Elementen van Euclides’^*; voyez le titre complet à la p. 584 qui suit - savoir qu'un rapport est tout autre chose qu'un nombre. Après la ‘réponse d'Euclide’ citée dans le texte Meibomius, par la bouche d'Hermotimus, s'étend longuement sur ce sujet.

Aux p. 78 et suiv. Meibomius avait déjà discuté la définition 5 du livre 6 d'Euclide qui lui fait évidemment de la peine³⁾: Λόγος ἐϰ λόγων συγϰεῖσϑαι λέγεται, ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλιϰότητες [ἐφ᾽ ἑαυτάς, suivant Eutokios] πολλαπλασιασϑεῖσαι ποιῶσί τινα. Cette définition qui ne se trouve pas dans tous les manuscrits, correspond apparemment mal avec les sentiments du véritable Euclide; on peut la considérer comme apocryphe (‘De Elementen van Euclides’ II, p. 102, note 91).

Les considérations de N. Mercator sur les intervalles musicaux dans sa ‘Logarithmo-technia’ de 1667 (voyez la p. 214 qui suit) sont conformes à celles de Meibomius. Mercator écrit (p. 175 de l'édition de Maseres; voyez la p. 261 qui suit): ‘certe eadem est utrobique quantitas intervalli Musici (atque idem numerus ratiuncularum intercedentium), licèt ab unisono (vel ab aequalitatis ratione, tanquam nihilo) in diversas planè partes abeat. Unde si moles sola, aut quantitas rationis aestimetur, dissimulando utram in partem (majorisne, an minoris inaequalitatis) vergat ab aequalitate; nihilo major est ratio ternarii ad binarium, quam binarii ad ternarium’. Il ajoute que ce qui est vrai ‘in Musicis’ l'est aussi ‘in hac nostra logarithmo-technia’. Avec Euclide (voyez la citation grecque à la p. 5 qui précède) il appelle (p. 169) la ‘ratio’ non pas un nombre mais une ‘habitudo mutua’. Sa définition du logarithme (ibid.) est: ‘Est enim logarithmus nihil aliud, quàm numerus ratiuncularum contentarum in ratione quam absolutus quisque [numerus] ad unitatem obtinet’. Les ‘ratiunculae’ de Mercator, de même que celles de Briggs - Neper considérait des puissances de rapports un peu inférieures à 1/1 -, ne diffèrent évidemment pas infiniment peu de la valeur 1/1: le rapport 10/1 (p. 189) en contient dix millions.

* P. Noordhoff, Groningen.

3) A propos du mot πηλιϰότης il cite (à la p. 83) le passage suivant de Theo Smyrnaeus qui fait voir en outre que celui-ci donne également une place éminente au rapport de deux grandeurs égales: Τοῦ μὲν ποσοῦ στοιχεῖον ἡ μονάς· τοῦ δὲ πηλίϰου, στιγμή· λόγου δὲ ϰαὶ ἀναλογίας ἰσότης. οὔτε γὰρ μονάδα ἔτι διελεῖν ἐστιν εἰς τὸ ποσόν· οὔτε στιγμὴν εἰς τὸ πηλίϰον· οὔτε ἰσότητα, εἰς πλείους λόγους. On trouve ce passage à la p. 130 de l'édition de 1644 de Boulliau, mentionnée dans la note 19 de la p. 180 qui suit, de l'ouvrage de Théon Τῶν ϰατὰ μαθηματιϰὴν χρησίμων εἰς τὴν τοῦ ΠΛΑΤΩΝΟΣ διάγνωσιν.