Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Musique et Mathématique.

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Avertissement.

Dans le T. XIX¹⁾ nous avons dit que la théorie des rapports provient de la considération des accords musicaux. C'est ce qu'on voit clairement en comparant la définition du λόγος musical donnée par Aristoxène, cité par Porphyre²⁾:

δύο φϑόγγων ἀνομοίων ἡ ϰατὰ πηλιϰότητα ποιὰ σχέσις, ὅ ἐστι λόγος³⁾

avec celle, également vague, du λόγος de deux grandeurs de même nature donnée ou insérée un peu plus tard par Euclide dans ses Éléments⁴⁾:

λόγος ἐστι δύο μεγεϑῶν ὁμογενῶν ἡ ϰατὰ πηλιϰότητα πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις.

L'une et l'autre définition sont citées par Meibomius dans son ‘Dialogus’ de 1655⁵⁾ auquel se rapporte la Pièce I qui suit.

1) P. 356.

2) ΠΟΡΦϒΡΙΟϒ ΕΙΣ ΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟϒ ϒΠΟΜΝΗΜΑ, Chap. 13; p. 139 de ‘Porphyrios' Kommentar zur Harmonielehre des Ptolemaios’ éd. I. Düring, Göteborg, Wettergren et Kerber, 1932.

3) Il nes'agit apparemment pas ici des rapports des longueurs des cordes d'un instrument de musique, mais des rapports quantitatifs de deux sons c.à.d. de leurs hauteurs respectives, de quelque manière qu'ils soient produits. Le mot πηλιϰότνς a donc en ce temps un sens fort général.
Voyez encore sur ce mot grec la note 2 de la p. 11 qui suit: Theo Smyrnaeus, plusieurs siècles plus tard, considère le πηλίϰον comme une grandeur géométrique continue. Asklepios, commentant l'Arithmétique de Nicomaque, avait dit également: τὀ πηλίϰον μέγεϑός ἐστι συνεχές (p. 83 du ‘Dialogus’ de Meibomius).

4) Troisième définition du livre 5.

5) P. 83 et 85.

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On a sans doute compris de temps immémorial que les longueurs des cordes vibrantes des instruments de musique rendent les πηλιϰότητες des sons, pour ainsi dire, mesurables.

‘Nous sommes aujourd'hui habitués’ dit P. Tannery dans son article de 1902 ‘Du rôle de la musique grecque dans le développement de la mathématique pure’ - il y parle brièvement du quadrivium des Universités au moyen âge - ‘à considérer la notion du logarithme comme dérivant directement de celle des progressions des puissances entières’¹⁾ quoique ‘la forme sous laquelle [Neper] a présenté son invention en masque la première origine’. Nous ne savons pas en vérité ce qui fut chez Neper la première origine de l'invention: rien, si ce n'est, comme l'observe Tannery, le mot logarithme créé par lui²⁾, n'indique que la considération des deux progressions, arithmétique et géométrique, partant aussi celle de l'échelle musicale, y soit pour quelque chose³⁾. Mais si, selon toute probabilité, la musique n'a joué ici qu'un rôle nul ou extrêmement effacé, il eût certes pu en avoir été autrement. Meibomius, lui, pense en musicien; il semble ne pas connaître les logarithmes de Neper, de Bürgi ou de Briggs, mais sa ‘Tabula rationis superoctagesimae - quam commatis rationem⁴⁾ recentiores faciunt - centiesduodecies sibi superadditae: quâ, tanquam communi mensurâ, caeterarum rationum magnitudinem deinceps explorabimus’⁵⁾ fait voir qu'il considère,

1) L'article de Tannery se trouve dans le ‘3. Band, 3. Folge’ de 1902 de la ‘Bibliotheca mathematica, Zeitschrift für Geschichte der math. Wissenschaften’ publié par G. Eneström (Leipzig, Teubner): il est réimprimé dans ‘Paul Tannery, Mémoires scientifiques’, publié par J.L. Heiberg et H.G. Zeuthen III, 1915 (Toulouse, E. Privat et Paris, Gauthier-Villars).

2) La Prop. I du Cap. II de la ‘Descriptio mirifici logarithmorum canonis’ de 1614 est la suivante: ‘Proportionalium numerorum aut quantitatum aequidifferentes sunt logarithmi’.

3) Voyez ‘The law of exponents in the works of the sixteenth century’ par D.E. Smith, et d'autres articles contenus dans le ‘Napier Tercentenary Memorial Volume’ publié par Cargill Gilston Knott (Royal Soc. of Edinburgh, Longmans, Green & Co., London 1915). Le lecteur hollandais peut consulter aussi N.L.W.A. Gravelaar ‘John Napier's Werken’ (Verhandelingen der Kon. Akademie van Wetenschappen, Eerste Sectie, Deel VI, Amsterdam, J. Müller, 1899).

4) Comparez le premier alinéa de la p. 45 qui suit.

5) ‘Dialogus’, p. 70-71. Il conclut de sa table, contenant les puissances de 81/80 depuis la première jusqu'à la 112^ième: ‘Ratio 2/1} major est commatis 55, minor commatis 56’, c.à.d. 2/1 est compris entre (81/80) ⁵⁵ et (81/80) ⁵⁶. De même 3/1, 4/1 et 3/2 sont respectivement compris entre les puissances 88 et 89, 111 et 112, 32 et 33^ième. Comparez la fin de la note 11 de la p. 46 qui suit.

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comme Briggs, et aussi comme N. Mercator écrivant en 1667 (voyez la p. 11), comme une chose importante d'exprimer approximativement les nombres comme les puissances d'une quantité fort peu supérieure à l'unité⁶⁾. Or, la lecture du ‘Dialogus’ peut avoir fortement contribué à amener Huygens à considérer simultanément - Pièce II quisuit, datant de 1661 - ‘la division du monochorde’ et ‘les logarithmes .... ces merveilleux nombres’. Nous sommes d'autant plus autorisés à croire à l'influence de Meibomius, que la critique de 1656 de Huygens de la pensée de cet auteur - voyez dans la Pièce I ses remarques sur la p. 127 de M. - n'est pas bien fondée, ce qu'il a dû reconnaître bientôt après, comme notre observation en cet endroit le fait voir.

Voyez cependant aussi ce que nous disons aux p. 203-204 qui suivent sur le ‘Cours Mathematique’ de P. Hérigone, connu à Huygens au moins depuis 1652.

R.C. Archibald⁷⁾ remarque dans un mémoire de 1924 que, même en 1691 lorsque Huygens publia le ‘Nouveau cycle harmonique’⁸⁾, aucun autre que lui, semble-t-il, n'avait encore calculé des intervalles musicaux en se servant d'une table de logarithmes (et pourtant en 1661, ainsi que dans les années suivantes⁹⁾, Huygens n'avait nullement fait un mystère de sa trouvaille). F.J. Fétis, ainsi que K.W.J.H. Riemann, ne connaissant apparemment pas l'écrit de Huygens, émettaient bien à tort l'hypothèse que l'application des logarithmes à la musique n'aurait eu lieu qu'au dix-huitième siècle; ce qu'on lit encore dans une édition du ‘Musik-Lexikon’ de Riemann postérieure à 1924¹⁰⁾.

La Pièce III de 1662 fait voir que Huygens, d'accord avec Aristoxène et Euclide, ne partage pas la ‘multorum sententia’, en particulier celle de J. Wallis, d'après laquelle les ‘quantitates rationum’ seraient des nombres.

6) Nous mentionnons cette ‘Tabula’ de Meibomius aussi dans la note 2 de la p. 155 qui suit.

7) R.C. Archibald ‘Mathematicians and Music’, The American Math. Monthly, Vol. XXXI, No. 1, Jan. 1924. C'est un ‘presidential address’ delivered before the mathematical association of America, Sept. 6, 1923.

8) Notre T. X, p. 169-174 et p. 164 du présent Tome.

9) On peut voir à la p. 368 de notre T. VII qu'en 1673(?), dans une Pièce qui n'a pas été conservée, Huygens donnait au musicologue Cousin le conseil de se servir de logarithmes.

10) Voyez la note 12 de la p. 145 qui suit. Ailleurs - note de la p. 359 de sa ‘Geschichte der Musiktheorie’ - Riemann fait pourtant preuve de connaître le ‘Nouveau cycle harmonique’: consultez la note 14 de la p. 158 qui suit (où l'on voit aussi que Riemann y découvre une erreur imaginaire).