Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695
(1937)–Christiaan Huygens–
Auteursrecht onbekendChap. VI. Des figures des corps diaphanes qui servent à la Refraction, & à la Reflexion.Apres avoir expliqué comment les proprietez de la reflexion, & de la refraction s'ensuiventGa naar margenoot+ de ce que nous avons||posé touchant la nature de la lumiere, & des corps opaques, & diaphanes; je feray voir icy une maniere fort aisée & naturelle, pour deduire des mesmes principes, les veritables figures qui servent, ou par reflexion, ou par refraction, à assembler, ou à disperser les rayons de lumiere, selon que l'on desire. Car encore que je ne voye pas qu'il y ait moyen de se servir de ces figures en ce qui est de la Refraction; tant à cause de la difficulté de former selon elles les verres de Lunette dans la justesse requise, que parce qu'il y a dans la refraction mesme une proprieté qui empesche le parfait concours des rayons, comme Mr. Neuton a fort bien prouvé par les experiences; je ne laisseray pas d'en reporter l'invention, puis qu'elle s'offre, pour ainsi dire, d'elle mesme, & qu'elle confirme encore nostre Theorie de la refraction, par la con- | |
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venance qui se trouve icy entre le rayon rompu, & reflechi. Outre qu'il se peut faire qu'on y decouvre à l'avenir des utilitez que l'on ne voit pas presentement. Pour venir donc à ces figures, posons premierement que l'on veuille trouver une surface CDE, qui assemble les rayons, venans d'un point A, à un autre point B: & que le sommet de la surface soit le point D, donné dans la droite AB. Je dis que, soit par reflexion, ou par refraction, il faut seulement faire cette surface telle, que le chemin de la lumiere, depuis le point A jusqu' à tous les points de la ligne courbe CDE, & de ceux cy au point du concours; comme est icy le chemin par les droites AC, CB, par AL, LB, & par AD, DB; se fasse par tout dans des temps egaux: par où l'invention de ces courbes devient fort aisée [Fig. 216]. Car pour ce qui est de la surface reflechissante, puisque la somme des lignes AC, CB [Fig. 217] doit estre egale à celle des AD, DB, il paroit que DCE doit estre une ellipse; & pour la refraction, ayant supposé la proportion des vitesses des ondes de lumiere, dans les diaphanes A & B, connue, par ex. de 3 à 2 (qui est la|mesme, comme nousGa naar margenoot+ avons montré, que la proportion des Sinus, dans la refraction) il faut seulement mettre [Fig. 216.]
 [Fig. 217.]
DH egale aux 3/2 de DB, & ayant apres cela decrit du centre A quelque arc FC, qui coupe DB en F, en faire un autre du centre B, avec le demidiametre BX egal à ⅔ de FH; & l'intersection C des deux arcs sera un des points requis, par où la courbe doit passer. Car ce point estant trouvé de la sorte, il est aisé premierement de faire voir que le temps par AC, CB, sera egal au temps par AB, DB. [Fig. 216]. Car prenant que la ligne AD represente le temps qu'employe la lumiere à passer cette mesme AD dans l'air; il est evident que DH, egale à 3/2 de DB, representera le temps de lumiere par DB dans le diaphane, parce qu'il luy faut icy d'autant plus de | |
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Ga naar margenoot+ temps, que son mouvement est plus lent. Partant toute la AH | sera le temps par AD, DB. De mesme la ligne AC, ou AF, representera le temps par AC; & FH estant par la construction egale à 3/2 de CB, elle representera le temps par CB dans le diaphane; & par consequent toute la AH sera aussi le temps par AC, CB. D'ou il paroit que le temps par AC, CB, est egal au temps par AD, DB. Et l'on fera voir de mesme, si L & K sont d'autres points dans la courbe CDE, que les temps par AL, LB, & par AK, KB sont tousjours representez par la ligne AH, & partant egaux au dit temps par AD, DB. Pour demonstrer ensuite que les surfaces, que ces courbes feront par leur circonvolution, dirigeront tous les rayons qui viennent sur elles du point A, en sorte qu'ils tendent vers B; soit supposé le point K dans la courbe, plus loin de D que n'est C;Ga naar margenoot+ mais en sorte que la droite AK tombe sur la courbe, qui sert | à la refraction, en dehors; & du centre B soit decrit l'arc KS, coupant BD en S, & la droite CB en R; & du centre A l'arc DN, rencontrant AK en N. Puisque les sommes des temps par AK, KB, & par AC, CB sont egales; si de la premiere somme l'on oste le temps par KB, & de l'autre le temps par RB; il restera le temps par AK egal au temps par ces deux, AC, CR. Partant dans le temps que la lumiere est venue par AK, elle sera aussi venue par AC, en de plus il se sera fait une onde spherique particuliere dans le diaphane, du centre C, & dont le demidiametre sera egal à CR; laquelle onde touchera necessairement la circonference KS en R, puisque CB coupe cette circonference à angles droits. De mesme ayant pris quelqu'autre point L dans la courbe, l'on montrera que dans le mesme temps du passage de la lumiere par AK, elle sera aussi venue par AL, & que de plus il se sera fait une onde particuliere du centre L, qui touchera la mesme circonference KS. Et ainsi de tous les autres points de la courbe CDE. Donc, au moment que la lumiere sera arrivée en K, l'arc KRS terminera le mouvement qui s'est repandu de A sur DCK. Et ainsi ce mesme arc sera, dans le diaphane, la propagation de l'onde emanée du point A; laquelle onde on se peut representer par l'arc DN, ou par quelqu'autre plus prez du centre A. Mais tous les endroits de l'arc KRS sont en suite etendus suivant des droites qui luy sont perpendiculaires, c'est-à-dire qui tendent au centre B (car cela se demontre de mesme que nous avons prouvé cy dessus que les endroits des ondes spheriques s'etendent suivant des droites qui vienent de leur centre) & ces progrez des endroits des ondes sont les rayons mesmes de lumiere. Il paroit donc que tous ces rayons tendent icy au point B. On pourroit aussi trouver le point C & tous les autres, dans cette courbe qui sert à la refraction, en divisant DA en G en sorte que DG soit ⅔ de DA, & decrivant duGa naar margenoot+ centre B quel | qu'arc CX qui coupe BD en X, & un autre du centre A avec le demidiametre AF egal à 3/2 de GX: ou bien ayant decrit, comme auparavant, l'arc CX, il ne falloit que faire DF egale à 3/2 de DX, & du centre A tracer l'arc FC: car ces deux constructions, comme l'on peut facilement connoitre, revienent à la premiere qu'on a veuë cy devant. Et il est encore manifeste par la derniere, que cette courbe est la | |
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mesme que celle que Mr. Des Cartes a donnée dans sa Geometrie, & qu'il nomme la premiere de ses Ovales. Il n'y a qu'une partie de cette ovale qui sert à la refraction; sçavoir, si AK est supposée la tangente, ce sera la partie DK, dont le terme est K. Quant à l'autre partie, Des Cartes a remarqué qu'elle serviroit aux refractions, s'il y avoit quelque matiere de miroir de telle nature, que par elle la force des rayons (nous dirons la vitesse de la lumiere, ce qu'il n'a pû dire parce qu'il veut que le mouvement s'en fasse dans un instant) fust augmentée dans la proportion de 3 à 2. Mais nous avons montré que, dans nostre maniere d'expliquer la reflexion, cela ne peut provenir de la matiere du miroir, & qu'il est entierement impossible. De ce qui a esté demontré de cette ovale, il sera aisé de trouver la figure qui sert à assembler vers un point les rayons incidens paralleles. Car en supposant toute la mesme construction, mais le point A infiniment distant, ce qui donne des rayons paralleles, nostre ovale devient une vraye Ellipse; dont la construction ne differe en rien de celle de l'ovale, sinon que FC est icy une ligne droite, perpendiculaire à DB, qui auparavant estoit un arc de cercle. Car l'onde de lumiere DN, estant de mesme representée par une ligne droite, l'on fera voir que tous les points de cette onde, s'etendant jusqu' à la surface KD par des paralleles à DB, s'avanceront ensuite vers le point B, & y arriveront en mesme temps. Pour l'Ellipse qui servoit à la reflexion, il est manifeste qu'elle devient icy une parabole, puis | qu'on considere son foyer AGa naar margenoot+ [Fig. 218] infiniment distant de l'autre B; qui est icy le foyer de la parabole, auquel tendent toutes les reflexions des rayons paralleles à AB. Et la demonstration de ces effets est toute la mesme que la precedente.  [Fig. 218.]
Mais que cette ligne courbe CDE, qui sert à la refraction, est une Ellipse, & telle dont le grand diametre est à la distance de ses foyers comme 3 à 2, qui est la proportion de la refraction, on le trouve facilement par le calcul d'Algebre. Car DB, qui est donnée, estant nommée a; sa perpendiculaire DT indeterminée x; & TC, y; FB sera  . Mais la nature de la courbe est telle, que ⅔
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 [Fig. 219.]
 [Fig. 221.]
Ga naar margenoot+ TC avec CB est egale | à DB, comme il a esté dit dans la derniere construction: donc l'equation sera entre  & a, qui estant reduite, vient 6/5 ay-yy egal à 9/5 xx: c'est à dire qu'ayant fait DO egale à 6/5 DB, le rectangle DFO est egal à 9/5 du quarré de FC. D'où l'on voit que DC est une ellipse, dont l'axe DO est au parametre comme 9 à 5; & partant le quarré de DO au quarré de la distance des foyers, comme 9 à 9-5, c'est à dire 4; & enfin la ligne DO [Fig. 218] à cette distance comme 3 à 2.
 [Fig. 220.]
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Derechef, si l'on suppose le point B infiniment loin, au lieu de nostre premiere ovale, nous trouverons que CDE est la veritable Hyperbole; qui fera que les rayons, qui vienent du point A, deviendront paralleles. Et par consequent aussi, que ceux qui sont paralleles dans le corps transparent, s'assembleront au dehors au point A. Or il faut remarquer que CX & KS devienent des lignes droites perpendiculaires à BA, parce qu'elles representent des arcs de cercles dont le centre B est infiniment distant. Et que l'intersection de la perpendiculaire CX & de l'arc FC donnera le point C, un de ceux par où la courbe | doit passer. Qui fera ensorte que toutes les parties de l'ondeGa naar margenoot+ de lumiere DN, venant à rencontrer la surface KDE, s'avanceront de la par des paralleles à KS, & arriveront à cette droite en mesme temps; dont la demonstration est encore la mesme que celle qui a serui dans la premiere ovale. Au reste on trouve, par un calcul aussi aisé que le precedent, que CDE est icy une hyperbole dont l'axe DO est ⅘ de AD, & le parametre egal à AD. D'où l'on demontre facilement que DO [Fig. 219] est à la distance des foyers comme 3 à 2. Ce sont icy les deux cas ou les sections Coniques servent à la refraction; & les mesmes qu'explique Des Cartes dans sa Dioptrique: qui a trouvé le premier l'usage de ces lignes en ce qui est de la refraction, comme aussi celuy des Ovales dont nous avons deja mis la premiere. L'autre est celle qui sert aux rayons qui tendent à un point donné; dans laquelle ovale si le sommet | qui reçoit les rayons est D, il arrivera, selonGa naar margenoot+ que la raison de AD à DB [Fig. 220 et 221] est donnée plus ou moins grande, que l'autre sommet passera entre BA, ou au dela de A. Et dans ce dernier cas elle est la mesme avec celle que Des Cartes nomme la 3e. Or l'invention & la construction de cette seconde ovale est la mesme que celle de la premiere, & la demonstration de son effet aussi. Mais il est digne de remarque qu'en un cas cette ovale devient un cercle parfait; sçavoir quand la raison de AD à DB est la mesme qui mesure les refractions, comme icy de 3 à 2, ce que j'avois observé il y a fort long temps. La 4e. ne servant qu'aux reflexions impossibles, il n'est pas besoin de la mettre. Pour ce qui est de la maniere dont M. Des Cartes a trouvé ces lignes, puisqu'il ne l'a point expliquée, ni personne du depuis que je sçache, je diray icy, en passant, quelle il me semble qu'elle doit avoir esté. Soit proposé à trouver la surface faite par la circonvolution de la courbe KDE, qui, recevant les rayons incidens qui viennent sur elle du point A, les detourne vers le point B. Considerant donc cette courbe comme deja connue, & que son sommet soit D | dans la droite AB; divisons la commeGa naar margenoot+ en une infinité de petites parcelles par les point G, C, F: & ayant mené, de chacun de ces points, des lignes droites vers A, [Fig. 222] qui representent les rayons incidens, & d'autres droites vers B; soient de plus du centre A decrits les arcs de cercle GL, CM, FN, DO, coupans les rayons, qui vienent de A, en L, M, N, O, & des points K, G, C, F soient decrits les arcs KQ, GR, CS, FT, coupans les rayons, tirez vers B, en Q, R, S, T, & posons que la droite HKZ coupe la courbe en K à angles droits. | |
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 [Fig. 222.]Ga naar voetnoot1)
Estant donc AK un rayon incident, & sa refraction au dedans du diaphane KB, il falloit suivant la loy des refractions, qui estoit connue à Mr. Des Cartes, que le sinus de l'angle ZKA, au sinus de l'angle HKB, fust comme 3 à 2; supposant que c'est la proportion de la refraction du verre; ou bien, que le sinus de l'angle KGL eust cette mesme raison au sinus de l'angle GKQ, en considerant KG, GL, KQ comme desGa naar margenoot+ lignes droites, à cause de leur petitesse. Mais ces sinus sont les lignes KL & GQ, en | prenant GK pour rayon du cercle. Donc LK à GQ devoit estre comme 3 à 2; & par la mesme raison MG à CR, NC à FS, OF à DT. Donc aussi la somme de toutes les antecedentes à toutes les consequentes estoit comme 3 à 2. Or en prolongeant l'arc DO, jusqu'à ce qu'il rencontre AK en X, KX est la somme des antecedentes. Et prolongeant l'arc KQ, jusqu'à ce qu'il rencontre AD en Y, la somme des consequentes est DY. Donc KX à DY devoit estre comme 3 à 2. D'ou paroissoit que la courbe KDE estoit de telle nature, qu'ayant mené de quelque point qu'on y eut pris, comme K, les droites KA, KB, l'excez dont AK surpasse AD, est à l'excez de DB sur KB, comme 3 à 2. Car on peut demontrer de mesme, en prenant dans la courbe quelqu'autre point, comme G, que l'excez de AG sur AD, sçavoir VG, à l'excez de BD sur DG, sçavoir DP, est dans cette mesme raison de 3 à 2. Et suivant cette proprieté Mr. Des Cartes a construit ces courbes dans sa Geometrie, & il a facilement reconnu que, dans les cas des rayons paralleles, ces courbes devenoient des Hyperboles, & des Ellipses. Ga naar margenoot+ Revenons maintenant à nostre maniere, & voyons comment elle conduit sans peine à trouver les lignes que requiert un costé du verre, lorsque l'autre est d'une figure donnée; non seulement plane ou spherique, ou faite par quelqu'une des sections Coniques (qui est la restriction avec laquelle Des Cartes a proposé ce probleme, laissant la solution à ceux qui viendroient aprés luy) mais generalement quelconque: c'est-à- | |
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 [Fig. 223.]
dire qui soit faite par la revolution de quelque ligne courbe donnée, à laquelle seulement on sçache mener des lignes droites tangentes. Soit la figure donnée faite par la conversion de quelque telle courbe AK autour de l'axe AV, & que ce costé du verre reçoive des rayons venans du point L. Que de plus l'epaisseur AB, du millieu du verre, soit donnée, & le point F auquel on veut que les rayons soient tous parfaitement reünis; quelle qu'ait esté la premiere refraction, faite à la surface AK [Fig. 223]. Je dis que pour cela il faut seulement que la ligne BDK, qui fait l'autre surface, soit telle, que le chemin de la lumiere, depuis le point L jusqu'a la surface AK, & de là à la surface BDK, & de là au point F, se fasse par tout en des temps egaux, & chacun egal au temps que la lumiere employe à passer la droite LF, de laquelle la partie AB est dans le verre. Soit LG un rayon tombant sur l'arc AK. Sa refraction GV sera donnée par le moyen de la tangente qu'on menera au point G. Maintenant il faut trouver dans GV le point D, en sorte que FD avec 3/2 de DG & la droite GL, soient egales à FB avec 3/2 de BA & la droite AL; qui comme il paroit, font une longueur donnée. Ou bien, en ostant de part & d'autre la longueur de LG, qui est aussi donnée, il faut seulement mener FD sur la droite VG, en sorte que FD avec 3/2 DG soit egale à une ligne donnée; qui est un probleme plan fort aisé: & le point D sera un de ceux par où la courbe BDK doit passer. Et de mesme, ayant mené un autre rayon LM, & trouvé sa refrac- | |
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Ga naar margenoot+tion MO, on trou|vera dans cette ligne le point N; & ainsi tant qu'on en voudra. Pour demonstrer l'effet de la courbe, soit du centre L decrit l'arc de cercle AH, coupant LG en H, & du centre F l'arc BP; & soit dans AB prises AS egale & ⅔ HG, & SE egale à GD. Considerant donc AH comme une onde de lumiere, sortie du point L, il est certain que pendant que son endroit H sera arrivé en G, l'endroit A ne sera avancé dans le corps diaphane que par AS; car je suppose, comme dessus, la proportion de la refraction comme 3 à 2. Or nous sçavons que l'endroit d'onde qui est tombéGa naar margenoot+ sur G, s'avance de là par la ligne GD, puisque GV | est la refraction du rayon LG. Donc dans le temps que cet endroit d'onde est venu de G en D, l'autre qui estoit en S est arrivé en E, puisque GD, SE sont egales. Mais pendant que celuicy avancera de E en B, l'endroit d'onde, qui estoit en D, aura repandu dans l'air son onde particuliere, dont le demidiametre DC (supposant que cette onde coupe en C la droite DF) sera 3/2 de EB, puisque la vitesse de la lumiere hors du diaphane est à celle de dedans comme 3 à 2. Or il est aisé de montrer que cette onde touchera dans ce point C l'arc BP. Car puisque, par la construction, FD+3/2 DG+GL, sont egales à FB+3/2 BA+AL; en ostant les egales LH, LA, il restera FD+3/2 DG+GH, egales à FB+ 3/2 BA. Et derechef, ostant d'un costé GH, & de l'autre costé 3/2 AS, qui sont egales, il restera FD avec 3/2 G, egale à FB avec 3/2 de BS. mais 3/2 de DG sont egales à 3/2 de ES; donc FD est egale à FB avec 3/2 de BE. Mais DC estoit egale à 3/2 de EB; donc ostant de costé & d'autre ces longueurs egales, restera CF egale à FB; & ainsi il paroit que l'onde, dont le demidiametre est DC, touche l'arc BP au moment que la lumiere, venue du point L, est arrivée en B par la droite LB. L'on demonstrera de mesme, que dans ce mesme moment, la lumiere, venue par tout autre rayon, comme LM, MN, aura repandu du mouvement qui est terminé par l'arc BP. D'où s'ensuit, comme il a esté dit souvent, que la propagation de l'onde AH, aprés avoir passé l'epaisseur du verre, sera l'onde spherique BP: de laquelle tous les endroits doivent s'avancer par des lignes droites, qui sont les rayons de lumiere, au centre F. Ce qu'il faloit demonstrer. On trouvera de mesme ces lignes courbes dans tous les cas que l'on peut proposer, comme on verra assez par un ou deux exemples que j'adjouteray. Soit donnée la surface du verre AK, faite par la revolution de la ligne AK, courbe ou droite, autour de l'axe BA. Soit aussi donné dans l'axe le point L, & BA l'epaisseurGa naar margenoot+ du verre; & qu'il | faille trouver l'autre surface KDB, qui recevant des rayons paralleles à BA les dirige en sorte, qu'aprés estre derechef rompus à la surface donnée AK, ils s'assemblent tous au point L. Soit du point L menée, à quelque point de la ligne donnée AK [Fig. 224], la droite LG; qui estant considerée comme un rayon de lumiere, on trouvera sa refraction GD, qui d'un costé ou d'autre rencontrera, estant prolongée, la droite BL, comme icy en V. Soit ensuite erigée sur AB la perpendiculaire BC, qui representera une onde de lumiere venant du point F infiniment distant, par ce que nous avons supposé des rayons paralleles. Il faut donc que toutes les parties de cette onde BC arrivent en mesme temps au point L; ou bien que toutes les parties d'une onde, émanée du point | |
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 [Fig. 224.]
 [Fig. 225.]
L, arrivent en mesme temps à la droite BC. Et pour cela il faut trouver, dans la ligne VGD, le point D, en sorte qu'ayant mené DC parallele à AB, la somme de CD & 3/2 de DG & GL soit egale à 3/2 AB avec AL: ou bien, en ostant d'un costé & d'autre GL qui est donnée, il faut que CD avec 3/2 de DG soit egale à une ligne donnée: qui est un probleme encore plus aisé que celuy de la construction precedente. Le point D, ainsi trouvé, sera un de ceux où la courbe doit passer; & la demonstra|tionGa naar margenoot+ sera la mesme qu'auparavant. Par laquelle on prouvera que les ondes, qui vienent du point L, apres avoir passé le verre KAKB, prendont la forme de lignes droites, comme BC; qui est la mesme chose que de dire que les rayons devienent paralleles. D'où s'ensuit reciproquement, que tombant paralleles sur la surface KDB, ils s'assembleront au point LGa naar voetnoot1). Soit encore donnée la surface AK, telle qu'on voudra, faite par revolution sur l'axe AB; & l'épaisseur du milieu du verre AB. Soit aussi donné dans l'axe le point L derriere le verre, au quel point on suppose que tendent les rayons qui tombent sur la surface AK; & qu'il faille trouver la surface BD, qui, au sortir du verre, les detourne comme s'ils venoient du point F, qui est devant le verre. Ayant pris quelque point G dans la ligne AK [Fig. 225], & menant la droite IGL, | |
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sa partie GI representera un des rayons incidens, duquel se trouvera la refraction GV; & c'est dans elle qu'il faut trouver le point D, un de ceux par où la courbe DB doit passer. Posons qu'il soit trouvé, & du centre L soit decrit l'arc de cercle GT, coupant la droite AB en T, en cas que LG soit plus grande que LA; car autrement il faut decrire du mesme centre l'arc AH, qui coupe la droite LG en H. Cet arc GT, (ou dans l'autre cas AH) representera une onde de la lumiere incidente, dont les rayons tendent vers L. Pareillement du centre F soit decrit l'arc de cercle DQ, qui representera une onde qui sort du point F. Ga naar margenoot+ Il faut donc que l'onde TG, après avoir passé le verre, forme l'onde QD; & pour cela je vois que le temps de la lumiere par GD au dedans du verre, doit estre egal à celuy par ces trois TA, AB, & BQ, dont la seule BA est aussi dans le verre. Ou bien, ayant pris AS egale à ⅔ AT, je vois que 3/2 GD doivent estre egales à 3/2 SB+BQ; &, en ostant l'un & l'autre de FD ou FQ, que FD moins 3/2 GD, doit estre egale à FB moins 3/2 SB. Laquelle derniere difference est une longueur donnée: & il ne faut que, du point donné F, mener la droite FD sur VG, en sorte que cela se trouve ainsi. Qui est un probleme tout semblable à celuy qui sert à la premiere de ces constructions, où FD+3/2 GD devoit estre egale à une longueur donnée. Dans la demonstration il y a à observer que, l'arc BC tombant au dedans du verre, il faut concevoir un arc qui luy soit concentrique RX, au dela de QD; & aprés qu'on aura montré que l'endroit G de l'onde GT arrive en mesme temps en D, que l'endroit T arrive en Q, ce qui se deduit facilement de la construction, il sera évident ensuite, que l'onde particuliere, engendrée du point D, touchera l'arc RX, au moment que l'endroit Q sera venu en R, & qu'ainsi cet arc terminera en mesme instant le mouvement qui vient de l'onde TG; d'où se conclud le reste. Ayant montré l'invention de ces lignes courbes qui servent au parfait concours desGa naar margenoot+ rayons, il reste à expliquer une cho|se notable touchant la refraction inordonnée des surfaces spheriques, planes, & autres; laquelle, estant ignorée, pourroit causer quelque doute touchant ce que nous avons dit plusieurs fois, que les rayons de lumiere sont des lignes droites, qui coupent les ondes, qui s'en repandent, à angles droits. Car les rayons qui tombent paralleles, par exemple, sur une surface spherique AFE [Fig. 226], s'entre coupant, apres leur refraction, en des points differents, comme represente cette figure, quelles pourront estre les ondes de lumiere dans ce diaphane, qui soient coupées à angles droits par les rayons convergents? car elles ne sçauroient estre spheriques; & que deviendront ces ondes apres que lesdits rayons commencent à s'entre couper? L'on verra, dans la solution de cette difficulté, qu'il se passe en cecy quelque chose de fort remarquable, & que les ondes ne laissent pas de subsister tousjours; quoy qu'elles ne passent pas entieres, comme à travers les verres composez, dont nous venons de voir la construction. Ga naar margenoot+ Selon ce qui a esté montré cy dessus, la droite AD, qui du sommet de la sphere est menée perpendiculaire à son axe auquel les rayons vienent paralleles, represente l'onde de lumiere; & dans le temps que son endroit D sera parvenu à la surface spherique | |
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 [Fig. 226.]
AGE en E, ses autres parties auront rencontré la mesme surface en F, G, H &c. & auront encore formé des ondes spheriques particulieres, dont ces points sont les centres. Et la surface EK, que toutes ces ondes toucheront, sera la propagation de l'onde AD dans la sphere, au moment que l'endroit D est venu en E. Or la ligne EK n'est pas un arc de cercle, mais c'est une ligne courbe faite par l'Evolution d'une autre courbe ENC, qui touche tous les rayons HL, GM, FO, &c. qui sont les refractions des rayons paralleles; en imaginant qu'il y ait un fil couché sur la convexité ENC, qui se developpant decrive, avec le bout E, ladite courbe EK. Car supposant que cette courbe est ainsi decrite, nous demontrerons que les dites ondes formées des centres F, G, H, &c. la toucheront toutes. Il est certain que la courbe EK, & toutes les autres, decrites par l'evolution de la courbe ENC, avec des differentes longueurs du fil, couperont tous les rayons HL, GM, FO &c. à angles droits, & en sorte que leurs parties, interceptées entre deux telles courbes, seront toutes egales, car cela s'ensuit de ce qui a esté demontré dans nostre traité de Motu PendulorumGa naar voetnoot1). Or imaginant les rayons incidents comme infiniment proches les uns des autres, si l'on en considere deux, comme RG, TF, & qu'on mene GQ perpendiculaire sur RG, et que la courbe FS, qui coupe GM en P, soit decrite par l'evolution de la courbe NC, en commençant par F, jusqu'où je suppose que le fil s'etend; on peut prendre sa particule FP pour une droite perpendiculaire sur le rayon GM, & de mesme l'arc GF comme une ligne droite. Mais GM estant la refraction du rayon RG, & FP estant perpendiculaire sur elle, il faut que QF soit à GP | comme 3 à 2, c'est-à-dire dans la proportion de la refraction; comme il a esté montréGa naar margenoot+ cy dessus en expliquant l'invention de Des Cartes. Et la mesme chose arrive dans tous les petits arcs GH, HA, &c. Sçavoir que, dans les quadrilateres qui les enferment, le costé parallele à l'axe est à son opposé comme 3 à 2. Donc aussi comme 3 à | |
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2, ainsi sera la somme des uns à la somme des autres, c'est-à-dire TF à AS, & DE à AK, & BE à SK on FV, en supposant que V est l'intersection de la courbe EK & du rayon FO. Mais, faisant FB perp. sur DE, comme 3 à 2 ainsi est encore BE au demidiametre de l'onde spherique emanée du point F, pendant que la lumiere hors du diaphane a passé l'espace BE; donc il paroit que cette onde coupera le rayon FM au mesme point V, où il est coupé à angles droits par la courbe EK, & que partant l'onde touchera cette courbe. L'on prouvera de la mesme maniere qu'il en est ainsi de toutes les autres ondes susdites, nées des points G, H, &c. sçavoir qu'elles toucheront la courbe EK,Ga naar margenoot+ dans le mo|ment que l'endroit D de l'onde ED sera parvenu en E. Pour dire maintenant ce que devienent ces ondes, apres que les rayons commencent à se croiser: c'est que de là elles se replient, & sont composées de deux parties qui tienent ensemble, l'une estant une courbe faite par l'evolution de la courbe ENC en un sens, & l'autre par l'evolution de la mesme dans l'autre sens. Ainsi l'onde KE, en avançant vers le concours, devient abc, dont la partie ab se fait par l'evolution de bC, portion de la courbe ENC, pendant que le bout C demeure attaché; & la partie bc par l'evolution de la portion bE, pendant que le bout E demeure attaché. Ensuite la mesme onde devient def; puis ghk; & à la sin CY; d'où elle s'etend ensuite sans aucun repli, mais tousjours par des lignes courbes, qui se font de l'evolution de la courbe ENC, augmentée de quelque ligne droite du costé C. Il y a mesme, dans cette courbe icy, une partie EN qui est droite, estant N le point où tombe la perpendiculaire du centre de la sphere X, sur la refraction du rayon DE, que je suppose maintenant qu'il touche la sphere. Et c'est depuis le point N, que commence le repli des ondes de lumiere, jusqu'à l'extremité de la courbe C; qui se trouve en faisant que AC à CX soit dans la proportion de la refraction, comme icy de 3 à 2. L'on trouve aussi tant d'autres points qu'on veut de la courbe NC par un Theoreme qu'a demonsté Mr. Barrow dans la 12. de ses Leçons Optiques, quoyqu'à autre finGa naar voetnoot1). Et il est à remarquer qu'on peut donner une ligne droite egale à cette courbe. Car puis qu'ensemble avec la droite NE, elle est egale à la droite CK, qui est connue, parce que DE à AK est dans la proportion de la refraction: il paroit qu'en ostant EN de CK, le reste sera egal à la courbe NC. Ga naar margenoot+ L'on trouvera de mesme des ondes repliées dans la reflexion | d'un miroir concave spherique. Soit ABC [Fig. 227] la section par l'axe d'un hemisphere creux, dont le centre est D, l'axe DB, auquel je suppose que les rayons de lumiere vienent paralleles. Toutes les reflexions de ces rayons, qui tombent sur le quart de cercle AB, toucheront une ligne courbe AFE, dont le bout E est au foyer de l'hemisphere, c'est-à-dire | |
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 [Fig. 227.]
au point qui divise le demidiametre BD en deux parties egales: & les points, par où cette courbe doit passer, se trouvent en prenant depuis A quelque arc AO, & luy faisant double l'arc OP; dont il faut diviser la soutendente en F, en sorte que la partie FP soit triple de FO; car alors F est un des points requis. Et comme les rayons paralleles ne sont que les perpendiculaires des ondes qui tombent sur la surface concave, lesquelles ondes sont paralleles à AD, l'on trouvera qu'a mesure qu'elles vienent rencontrer la surface AB, elles forment, en se reflechissant, des ondes repliées, composées de deux courbes qui naissent de deux evolutions opposées des parties de la courbe AFE. Ainsi, en prenant AD pour une onde incidente, lorsque la partie AG aura rencontré la surface AI, c'est-à-dire que l'endroit G sera parvenu en I, ce seront les courbes HF, FI, nées des evolutions des courbes FA, FE, commencées toutes deux par F, qui feront ensemble la propagation de la partie AG. & un peu apres, quand la partie AK aura rencontré la surface AM, estant | l'endroitGa naar margenoot+ K en M, alors les courbes LN, NM feront ensemble la propagation de cette partie. Et ainsi cette onde repliée avancera tousjours, jusqu'à ce que la pointe N soit parvenue au foyer E. La courbe AFE se voit dans la fumée, ou dans la poussiere qui vole, lorsqu'un miroir concave est opposé au soleil; & il faut sçavoir qu'elle n'est autre chose, que celle qui se decrit par le point E de la circonference du cercle EB, lorsqu'on fait rouler ce cercle sur un autre dont le demidiametre est ED, & le centre D. De sorte que c'est une maniere de Cycloide, mais de laquelle les points se peuvent trouver geometriquement. Sa longueur est egale precisement aux ¾ du diametre de la sphere: ce qui se trouve, & se demonstre par le moyen de ces ondes, à peu pres de mesme que la mesure de la courbe precedente: quoyqu'il se pourroit encore demonstrer par d'autres manieres, que je laisse, parce que cela est hors du sujetGa naar voetnoot1). L'espace AOBEFA, compris de l'arc du quart de cercle, de la droite BE, & de la courbe EFA, est egal à la quatrieme partie du quart de cercle DABGa naar voetnoot2).
FIN. |
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