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Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695 (1937)

Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695

(1937)–Christiaan Huygens–rechtenstatus Auteursrecht onbekend

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Chap. V. De l'estrange refraction du cristal d'islande.

1. L'on apporte d'Islande, qui est une Isle de la Mer Septentrionale, à la hauteur de 66 degrez, une espece de Cristal, ou pierre transparente, fort remarquable par sa figure, & autres qualitez, mais sur tout par celle de ses estranges refractions. Dont les causes m'ont semblé d'autant plus dignes d'estre curieusement recherchées, que parmy les corps diaphanes celuy cy seul, à l'egard des rayons de la lumiere, ne suit pas les regles ordinaires. J'ay mesme eu quelque necessité de faire cette recherche, parce que les refractions de ce Cristal sembloient renverser nostre explication precedente+ de la refraction re|guliere; laquelle, au contraire, l'on verra qu'elles confirment beaucoup, apres estre reduites au mesme principe. C'est dans l'Islande qu'on trouve de gros morceaux de ce Cristal, dont j'en ay veu de 4 ou 5 livres. Mais il en croit aussi en d'autres pays: car j'en ay eu de la mesme espece qu'on avoit trouvé en France prés de la ville de Troyes en Champagne, & d'autre qui venoit de l'Isle de Corse, quoique l'un & l'autre moins clair, & seulement en petits morceaux, à peine capables de faire remarquer quelque effet de la refraction.

2. La premiere connoissance, qu'en a eu le public, est deuë à Mr. Erasme Bartholin, qui a donné la description du cristal d'Islande avec celle de ses principaux phenomenes1). Mais je ne laisseray pas de donner icy la mienne, tant pour l'instruction de ceux qui n'auront pas vû son livre, que parce que dans quelques uns de ces phenomenes il y a un peu de difference entre ses observations & celles que j'ay faites: m'estant appliqué avec beaucoup d'exactitude à examiner ces proprietez de la refraction, afin d'en estre bien seur devant que d'entreprendre d'en éclaircir les causes.

3. Si l'on regarde à la dureté de cette pierre, & à la qualité qu'elle a de pouvoir



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[Fig. 190.]


estre facilement fenduë, il faut plûtost l'estimer estre une espece de Talc, que non pas du Cristal. Car une pointe de fer l'entame aussi facilement que d'autre Talc, ou que de l'Albâtre, dont il égale la pesanteur.

4. Les morceaux qu'on en trouve sont de la figure d'un parallelepipede oblique; chacune des six faces estant un parallelogramme; & il souffre d'estre fendu selon toutes les trois dimensions, parallelement à deux de ces faces opposées. Mesme tellement, si l'on veut, que toutes les six faces soient des rhombes égaux & semblables. La figure icy ajoutée represente un morceau de ce Cristal. Les angles obtus de tous les parallelogrammes, comme icy les angles C, D, sont de 101 degrés, 52 minutes, & | par consequent les aigus, comme A & B, de 78 degrez, 8 min. [Fig. 190.]1)+

5. Des angles solides il y en a deux opposez, comme C, E, qui sont chacun composez de trois angles plans obtus & égaux. Les autres six sont composez de deux angles aigus, & d'un obtus. Tout ce que je viens de dire a esté remarqué de mesme par Mr. Bartholin, dans le traitté susdit, si ce n'est que nous differons quelque peu dans la quantité des angles. Il rapporte encore quelques autres proprietez de ce Cristal, sçavoir qu'estant frotté contre du drap, il attire des brins de paille & autres choses legeres, ainsi que font l'ambre, le diamant, le verre & la cire d'Espagne. Qu'un morceau estant couvert d'eau pendant un jour ou d'avantage, sa surface perd son poli naturel. Et que quand on y verse de l'eau forte dessus, elle fait ebullition; sur tout, à ce que j'ay trouvé, si l'on met le Cristal en poudre. J'ay aussi experimenté qu'on le peut rougir au feu, sans qu'il en soit aucunement alteré, ny rendu moins diaphane; mais qu'un feu fort violent pourtant le calcine. Sa transparence n'est guere moindre que celle de l'eau ou du Cristal de roche, & sans aucune couleur. Mais les rayons de lumiere y passent d'une autre façon, et produisent ces merveilleuses refractions, dont je vay tacher maintenant d'expliquer les causes; remettant à la fin de ce Traité de dire mes conjectures touchant la formation & la figure extraordinaire de ce Cristal.

6. Dans tous les autres corps transparens que nous connoissons, il n'y a qu'une seule & simple refraction, mais | dans celuy cy il y en a deux differentes. Ce qui fait que les+ objets que l'on voit à travers, sur tout ceux qui sont appliquez tout contre, paroissent doubles; & qu'un rayon du soleil, tombant sur une de ses surfaces, se partage en deux, & traverse ainsi le Cristal.

7. C'est encore une loy generale dans tous les autres corps transparens, que le rayon, qui tombe perpendiculairement sur leur surface, passe tout droit sans souffrir



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[Fig. 191.]


de refraction; & que le rayon oblique se rompt tousjours. Mais dans ce Cristal le rayon perpendiculaire souffre refraction, & il y a des rayons obliques qui le passent tout droit.

8. Mais pour expliquer plus particulierement ces phenomenes, soit derechef un+ morceau du mesme Cristal ABFE, [Fig. 191] & soit | divisé l'angle obtus ACB, l'un des trois qui font l'angle solide équilateral C, en deux parties égales par la droite CG, & que l'on conçoive que le Cristal soit coupé par un plan qui passe par cette ligne & par le costé CF, lequel plan sera necessairement perpendiculaire à la surface AB, & sa section dans le Cristal fera un parallelogramme GCFH. Nous apellerons cette section la section principale du Cristal.

9. Or si l'on couvre la surface AB, en y laissant seulement une petite ouverture au point K, pris dans la droite CG; & qu'on l'expose au soleil, en sorte que ses rayons donnent dessus perpendiculairement; le rayon IK se divisera au point K en deux, dont l'un continuera d'aller droit par KL, & l'autre s'écartera par la droite KM qui est+ dans le plan CGHF, & qui | fait avec KL un angle d'environ 6 degrez, 40 minutes, tendant du costé de l'angle solide C, & en sortant de l'autre costé du cristal, il se remettra en MZ parallele à IK. Et comme par cette refraction extraordinaire le point M est veu par le rayon rompu MKI, que je suppose aller à l'oeil I, il faut que le point L, par cette mesme refraction, soit vû par le rayon rompu LRI, en sorte que LR soit comme parallele à MK, si la distance de l'oeil KI est supposée fort grande. Le point L paroit donc comme estant dans la droite IRS; mais le mesme point par la refraction ordinaire paroit aussi dans la droite IK; donc il est necessairement jugé double. Et de

mesme si L est un petit trou, dans une feuille de papier ou d'autre matiere qu'on aura appliquée contre le cristal, il paroistra, en le tournant contre le jour, comme s'il y avoit deux trous; qui seront d'autant plus distans l'un de l'autre que le cristal aura plus d'épaisseur.

10. Derechef si l'on tourne le Cristal en sorte qu'un rayon incident du soleil, NO, que je suppose estre dans le plan continué de GCFH, fasse sur CG un angle de 73 degrez & 20 min. & qu'il soit par consequent presque parallele1) au costé CF, qui fait sur FH un angle de 70 degrez, 57 min. suivant le calcul que je mettray à la fin; il se partagera en deux rayons au point O, desquels l'un continuera par OP en ligne droite avec NO, & sortira de mesme de l'autre costé du cristal sans se rompre aucunement, mais l'autre se rompra & ira par OQ. Et il faut noter qu'il est particulier au plan par GCF, & à ceux qui luy sont paralleles, que tous les rayons incidens qui sont dans un de ces plans, continuent d'y estre aprés qu'ils sont entrez dans le cristal & devenus doubles; car il en est autrement dans les rayons de tous les autres plans qui coupent le cristal, comme nous ferons voir aprés.

11. J'ay reconnu d'abord par ces experiences & par quelques autres, que des deux refractions differentes que le rayon souffre dans ce cristal, il y en a une qui suit les regles ordi|naires; & que c'est elle à qui appartienent les rayons KL, & OQ. C'est+ pourquoy j'ay distingué cette refraction ordinaire d'avec l'autre, & l'ayant mesurée pas des observations exactes, j'ay trouvé que sa proportion, considerée dans les Sinus des angles que fait le rayon incident & rompu avec la perpendiculaire, estoit assez precisement celle de 5 à 3, comme elle a aussi esté trouvée par Mr. Bartholin; & par consequent bien plus grande que celle du cristal de Roche, ou du verre, qui est à peu prés de 3 à 2.

12. La maniere de faire exactement ces observations est telle. Il faut tracer sur un papier, attaché sur une table bien unie, une ligne noire AB, & deux autres qui la coupent à angles droits CED, KML, plus ou moins distantes l'une de l'autre selon qu'on veut examiner un rayon plus ou moins oblique: & poser le cristal sur l'intersection E, en sorte que la ligne AB convienne à celle qui divise également l'angle obtus de la surface d'en bas, ou à quelque ligne parallele. Alors en plaçant l'oeil directement au dessus de la ligne AB, elle ne paroitra que simple, & l'on verra que sa partie veuë à travers le cristal, avec les parties qui paroissent au dehors, se rencontreront en ligne droite; mais la ligne CD paroitra double, & l'on distinguera l'image qui vient de la refraction reguliere, de ce qu'elle paroit plus elevée que l'autre lorsqu'on regarde avec les deux yeux, ou bien de ce qu'en tournant le cristal sur le papier, elle demeure ferme, au lieu que l'autre image remuë & tourne tout autour [Fig. 192].

L'on placera ensuite l'oeil en I (demeurant tousjours dans le plan perpendiculaire par AB) en sorte qu'il voye l'image de la ligne CD, qui vient de la refraction reguliere, faire une ligne droite avec le reste de cette ligne, qui est dehors le cristal. Et marquant alors sur la surface du cristal le point H, où paroit l'intersection E, ce point sera directement au dessus de E. Puis on retirera l'oeil vers O, tousjours dans le plan perpendiculaire+ | par AB, [Fig. 192], en sorte que l'image de la ligne CD, qui se fait par la refraction ordinaire, paroisse en ligne droite avec la ligne KL vuë sans refraction; l'on marquera sur le cristal le point N, où paroit le point d'intersection E.

13. L'on connoitra donc la longueur & la position des lignes NH, EM, & HE qui est l'épaisseur du cristal; lesquelles lignes estant tracées à part sur un plan, & joignant

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[Fig. 192.]




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[Fig. 193.]


alors NE, & NM qui coupe HE en P, la proportion de la refraction sera celle de EN, à NP, parce que ces lignes sont entre elles comme les sinus des angles NPH, NEP, qui sont égaux à ceux que le rayon incident ON, & sa refraction NE font avec la perpendiculaire à la surface. Cette proportion, comme j'ay dit, est assez precisement comme de 5 à 3, & tousjours la mesme dans toutes les inclinaisons du rayon incident.

+ 14. La mesme maniere d'observer m'a aussi servi à exami|ner la refraction extraordinaire, ou irreguliere de ce cristal. Car le point H estant trouvé, & marqué, comme il a esté dit, directement au dessus du point E, j'ay regardé l'apparence de la ligne CD, qui se fait par la refraction extraordinaire; & ayant placé l'oeil en Q en sorte, que cette apparence fist une ligne droite avec la ligne KL vuë sans refraction, j'ay connu les triangles REH, RES, & partant les angles RSH, RES, que le rayon incident, & le rompu font avec la perpendiculaire.

15. Mais j'ay trouvé dans cette refraction, que la raison de ER à RS n'estoit pas constante, comme dans la refraction ordinaire; mais qu'elle varioit suivant la differente inclinaison du rayon incident.

16. Je trouvay aussi, que quand QRE faisoit une ligne droite, c'est à dire que le rayon incident entroit dans le cristal sans se rompre (ce que je reconnus de ce que alors le point E, vû par | la refraction extraordinaire, paroissoit dans la ligne CD vuë+ sans refraction) je trouvay dis-je alors que l'angle QRG estoit de 73 degrez, 20 minutes, comme il a esté desja remarqué, & qu'ainsi ce n'est pas le rayon parallele au costé du cristal, qui le traverse en droite ligne sans se rompre, comme a crû Mr. Bartholin; puisque son inclinaison n'est que de 70 degrez 57 minutes, comme il a esté dit cy dessus. Ce qui est à noter, asin qu'on ne cherche pas en vain la cause de la proprieté singuliere de ce rayon, dans son parallelisme auxdits costez.

17. Enfin continuant mes observations pour découvrir la nature de cette refraction, j'apris qu'elle gardoit cette regle remarquable qui s'ensuit. Soit tracé à part le parallelogramme GCFH [Fig. 193], fait par la section principale du cristal cy devant determinée. Je trouvay donc que tousjours, quand les inclinaisons de deux rayons qui vienent de costez opposez, comme icy VK, SK, sont égales, leurs refractions KX & KT rencontrent la droite du fond HF en sorte, que les points X & T sont également distans du point M, où tombe la refraction du rayon perpendiculaire IK; ce qui a aussi lieu dans les refractions des autres sections de ce cristal. Mais devant que de parler de celles-là, qui ont | encore d'autres proprietez particulieres, nous rechercherons les+ causes des phenomenes que j'ay desja raportez.

Ce fut après avoir expliqué la refraction des corps transparens ordinaires, par le moyen des émanations spheriques de la lumiere, ainsi que dessus, que je repris l'examen de la nature de ce Cristal, ou je n'avois rien pu decouvrir auparavant.

18. Comme il y avoit deux refractions differentes, je conçus qu'il y avoit aussi deux differentes emanations d'ondes de lumiere, & que l'une se pouvoit faire dans la matiere étherée repandue dans le corps du cristal. Laquelle matiere estant en beaucoup plus grande quantité que n'est celle des particules qui le composent, estoit seule capable de causer la transparence, suivant ce qui a esté expliqué cy devant. J'attribuay à cette émanation d'ondes la refraction reguliere qu'on observe dans cette pierre; en supposant ces ondes de forme spherique à l'ordinaire, & d'une extension plus lente au dedans du cristal qu'elles ne sont au dehors: d'où j'ay fait voir que procede la refraction.

19. Quant à l'autre émanation qui devoit produire la refraction irreguliere, je voulus essaier ce que feroient des ondes Elliptiques, ou pour mieux dire spheroïdes1); lesquelles je supposay qu'elles s'estendoient indifferemment, tant dans la matiere

étherée repandue dans le cristal, que dans les particules dont il est composé; suivant la derniere maniere dont j'ay expliqué la transparence. Il me sembloit que la disposition, ou arrangement regulier de ces particules, pouvoit contribuer à former les ondes spheroïdes, (n'estant requis pour cela si non que le mouvement successif de la lumiere s'étendît un peu plus viste en un sens qu'en l'autre), & je ne doutay presque point qu'il n'y eust dans ce cristal un tel arrangement de particules égales & semblables, à+ cause de sa figure & de ses angles d'une mesure | certaine & invariable. Touchant lesquelles particules, & leur forme & disposition, je proposeray sur la fin de ce Traité mes conjectures, & quelques experiences qui les confirment.

20. La double émanation d'ondes de lumiere, que je m'estois imaginée, me devint plus probable apres certain phenomene que j'observay dans le cristal ordinaire qui croit en forme hexagone, & qui, à cause de cette regularité, semble aussi estre composé de particules de certaine figure & rangées avec ordre. C'estoit que ce cristal a une double refraction, aussi bien que celuy d'Islande, quoyque moins évidente. Car en ayant fait tailler des Prismes bien polis, par des sections differentes, je remarquay dans tous, en regardant la flame de la chandelle à travers, ou le plomb des vitres qui sont aux fenétres, que tout paroissoit double, quoyqu'avec des images peu distantes entre elles. D'où je compris la raison pourquoy ce corps si transparent est inutile aux Lunettes d'approche, quand elles ont tant soit peu de longueur.

21. Or cette double refraction, suivant ma Theorie cy dessus établie, sembloit demander une double émanation d'ondes de lumiere, toutes deux spheriques (car les deux refractions sont regulieres) et les unes seulement un peu plus lentes que les autres. Car par là ce phenomene s'explique fort naturellement, en supposant les matieres, qui servent de vehicule à ces ondes, de mesme que j'ay fait dans le cristal d'Islande. J'eus donc moins de peine après cela à admettre deux émanations d'ondes dans un mesme corps. Et pour ce que l'on pouvoit m'objecter qu'en composant ces deux cristaux de particules égales de certaine figure, & entassées regulierement, à peine les interstices que ces particules laissent & qui contienent la matiere étherée, suffiroient pour transmettre les ondes de lumiere que j'y ay placées; j'ostay cette difficulté en considerant ces particules comme estant d'un tissu fort rare, ou bien composées+ | d'autres particules beaucoup plus petites, entre lesquelles la matiere etherée passe sort librement. Ce qui d'ailleurs s'ensuit necessairement de ce qui a esté demontré cy devant, touchant le peu de matiere dont les corps sont assemblez.

22. Supposant donc ces ondes spheroides outre les spheriques, je commençay a examiner si elles pouvoient servir à expliquer les phenomenes de la refraction irreguliere, & comment par ces phenomenes mesmes je pourrois determiner la figure, & la position des spheroïdes: en quoy j'obtins à la fin le succés desiré, en procedant comme s'ensuit.

23. Je consideray premierement l'effet des ondes ainsi formées, à l'égard du rayon qui tombe perpendiculairement sur la surface platte d'un corps transparent, dans lequel elles s'estendroient de cette maniere. Je posay AB [Fig. 194] pour l'endroit



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[Fig. 194.]


decouvert de la surface. Et puisqu'un rayon perpendiculaire sur un plan, & venant d'une lumiere fort distante, n'est autre chose, par la Theorie precedente, que l'incidence d'une parcelle d'onde parallele à ce plan; je supposay la droite RC, parallele & égale à AB, estre une portion d'onde de lumiere, dont les points infinis RHhC viennent rencontrer la surface AB aux points AKkB. Donc au lieu des ondes particulieres hemispheriques, qui dans un corps de refraction ordinaire se devoient étendre de chacun de ces derniers points; ainsi que nous avons expliqué cy dessus en traittant de la refraction; ce devoient estre icy des hemispheroïdes, desquels je supposay que les axes ou bien les grands diametres estoient | obliques au plan AB, ainsi que l'est+ AV, ½ axe ou ½ grand diametre du spheroïde SVT, qui represente l'onde particuliere venant du point A, apres que l'onde RC est venue en AB. Je dis ou axe ou grand diametre; parce que la mesme ellipse SVT peut estre considerée comme section d'un spheroïde dont l'axe est AZ, perpendiculaire à AV. Mais pour le present sans determiner encore l'un ou l'autre, nous considererons ces spheroïdes seulement dans leurs sections qui font les ellipses dans le plan de cette figure. Or prenant un certain espace de temps pendant lequel, du point A, s'est estendue l'onde SVT; il faloit que de tous les autres points KkB il se fist, dans le mesme temps, des ondes pareilles & semblablement posées que SVT. Et la commune tangente NQ de toutes ces demi-ellipses, estoit la propagation de l'onde RC dans le corps transparent proposé, par la Theorie de cy dessus. Parce que cette ligne est celle qui termine, dans un mesme instant, le mouvement qui a esté causé par l'onde RC en tombant sur AB; & où ce mouvement se trouve en beaucoup plus grande quantité que par tout ailleurs, comme estant faite des arcs infinis d'ellipses, dont les centres sont le long de la ligne AB.

24. Or il paroissoit que cette tangente commune NQ estoit parallele à AB, & de mesme longueur, mais qu'elle ne luy estoit pas opposée directement, puisqu'elle estoit comprise des lignes AN, BQ, qui sont les diametres conjuguez des ellipses qui ont A & B pour centres, à l'égard des diametres qui sont dans la droite AB. Et c'est ainsi que j'ay compris, ce qui m'avoit paru fort difficile, comment un rayon perpendiculaire à une surface pouvait souffrir refraction en entrant dans le corps transparent; voyant que l'onde RC, estant venue à l'ouverture AB, continuoit de là en avant à s'étendre entre les paralleles AN, BQ demeurant pourtant elle mesme tousiours parallele à AB, de sorte qu'icy la lumiere ne s'étend pas par des lignes | perpendiculaires à ses ondes,+ comme dans la refraction ordinaire, mais ces lignes coupent les ondes obliquement.

25. Cherchant ensuite quelle pouvoit estre la situation, & forme de ces spheroides dans le cristal, je consideray que toutes les six faces produisoient precisement les mesmes refractions. Reprenant donc le parallelepipede AFB, [Fig. 195], dont l'angle solide obtus, compris de trois angles plans égaux, est C, & y concevant les trois sections principales, dont l'une est perpendiculaire à la face DC, & passe par le costé CF, l'autre perpendiculaire à la face BF, passant par le costé CA, & la troisiéme perpendiculaire

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[Fig. 195.]




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[Fig. 196.]


à la face AF, passant par le costé BC; je sçavois que les refractions des rayons incidens, apartenans à ces trois plans, estoient toutes pareilles. Mais il ne pouvoit y avoir de position de spheroide qui eut un mesme rapport à ces trois sections sinon de celuy dont l'axe fût aussi l'axe de l'angle solide C. Partant je vis que l'axe de cet angle, c'est-à-dire la droite qui du point C traversoit le cristal avec inclinaison égale aux costez, CF, CA, CB, estoit la ligne qui determinoit la position des axes de toutes les ondes spheroides qu'on s'imaginoit naistre de quelque point, pris au dedans ou à la surface du cristal, puisque tous ces spheroides devoient estre semblables, & avoir leurs axes paralleles entre eux.

26. Considerant apres cela le plan de l'une de ces trois sections, sçavoir de celle par GCF, dont l'angle C est de 109 degr. 3 min. puis que l'angle F estoit cy dessus de 70. degr. 57. min. & imaginant une onde spheroïde autour du centre C; je sçavois, par ce que je viens d'expliquer, que son axe devoit estre dans ce mesme plan, du quel+ axe je marquay la moitié par CS dans cette | autre figure, & cherchant par le calcul (qui sera raporté avec les autres à la fin de ce discours) l'angle GCS, je le trouvay de 45 deg. 20 min.

27. Pour connoitre apres cela la forme de ce spheroïde, c'est-à-dire la proportion des demidiametres CS, CP [Fig. 196], de sa section elliptique, qui sont l'un à l'autre perpendiculaires, je consideray que le point M, où l'Ellipse est touchée par la droite FH, parallele à CG, devoit estre tellement située, que CM avec la perpendiculaire CL fist un angle de 6 degrez, 40. minutes. Parce que, cela estant, cette ellipse satis-

faisoit à ce qui a esté dit de la refraction du rayon perpendiculaire à la surface CG, lequel s'écarte de la perpendiculaire CL par ce mesme angle. Ce qui estant donc ainsi posé, & saisant CM de 100000 parties, je trouvay par le calcul, qui sera mis à la sin, le demi grand diametre CP de 105032, & le demi axe CS de 93410, dont la raison est fort prés comme de 9 à 8. de sorte que le spheroide estoit de ceux qui ressemblent à une sphere comprimée, estant produit par la circulation d'une ellipse à l'entour de son petit diametre. Je trouvay aussi CG, demidiametre parallele à la tangente ML, de 98779.

28. Or passant à la recherche des refractions que les rayons incidens obliques devoient faire, suivant l'hypothese de ces ondes spheroides, je vis que ces refractions dependoient de la | proportion de la vitesse qui est entre le mouvement de la lumiere+ hors du cristal dans l'éther, & le mouvement au dedans du mesme. Car supposant par exemple que cette proportion fût telle que, pendant que la lumiere dans le cristal fait le spheroide GSP, [Fig. 197], tel que je viens de dire, elle fasse au dehors une sphere dont le demidiametre soit égal à la ligne N, laquelle sera determinée cy apres; voicy la maniere de trouver la refraction des rayons incidens. Soit un tel rayon RC, qui tombe sur la surface CK. Il faut faire CO perpendiculaire à RC, & dans l'angle KCO ajuster OK, qui soit égale à N, & perpendiculaire à CO; puis mener KI qui touche l'Ellipse GSP, & du point de contact I joindre IC, qui sera la refraction requise du rayon RC. Dont on verra que la demonstration est tout à fait semblable à celle dont nous nous sommes servis en expliquant la refraction ordinaire. Car la refraction du rayon RC n'est autre chose que le progrés | de l'endroit C de l'onde CO, continuée+

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[Fig. 197.]


dans le cristal. Or les endroits H de cette onde, pendant le temps que O est venu en K, seront arrivez à la surface CK par les droites Hx, & auront de plus produit, dans le cristal, des ondes particulieres hemispheroides des centres x, semblables & semblablement posées avec l'hemispheroide GSPg; & dont les grands & les petits diametres auront mesme raison aux lignes xv (continuations des Hx jusqu'à KB, parallele à CO) que les diametres du spheroide GSP ont à la ligne CB, ou N. Et il est bien aisé de voir que la commune tangente de tous ces spheroides, qui sont icy representez par des Ellipses, sera la droite IK: qui pour cela sera la propagation de l'onde CO, & le point I celle du point C, conformement à ce qui a esté demonstré dans la refraction ordinaire.

Pour ce qui est de l'invention du point de contact I, l'on sçait qu'il faut trouver aux lignes CK, CG la troisiéme proportionelle CD, & tirer DI parallele à CM, determinée cydevant, qui est le diametre conjugué à CG; car alors, en menant KI, elle touche l'Ellipse en I.

29. Or de mesme que nous avons trouvé CI la refraction du rayon RC, l'on trouvera aussi Ci celle du rayon rC, qui vient du costé opposé, en faisant Co perpendiculaire à rC, & poursuivant le reste de la construction ainsi qu'auparavant.

Où l'on voit que si le rayon rC est également incliné avec RC, la ligne Cd sera necessairement egale à CD, parce que Ck est égale à CK, & Cg à CG. Et que par consequent Ii sera coupée en E en parties égales par la ligne CM, à laquelle DI, di sont paralleles. Et parce que CM est le diametre conjugué à CG, il s'ensuit que iI sera parallele à gG. Partant si on prolonge les refractions CI, Ci, jusqu' à ce qu'elles rencontrent la tangente ML en T&t, les distances MT, Mt seront aussi égales. Et+ ainsi s'explique parfaitement, par nostre hypothese, le phe|nomene cy dessus raporté; sçavoir que quand il y a deux rayons également inclinez, mais venant de costez opposez, comme icy les rayons RC, rC, leurs refractions s'écartent également de la ligne qui suit la refraction du rayon perpendiculaire, en confiderant ces escarts dans la parallele à la surface du cristal.

30. Pour trouver la longueur de la ligne N, à proportion des CP, CS, CG, c'est par les observations de la refraction irreguliere qui se fait dans cette section du cristal, qu'elle se doit determiner; & je trouve par là que la raison de N à GC est tant soit peu moindre que de 8 à 5. Et ayant encore égard à d'autres observations & phenomenes, dont il sera parlé apres, je mets N de 156962 parties, desquelles le demidiametre CG est trouvé en contenir 98779; ce qui fait cette raison de 8 à 5 1/29. Or cette proportion, qui est entre la ligne N & CG, se peut appeler la Proportion de la Refraction; de mesme que dans le verre celle de 3 à 2; comme il sera manifeste aprés que j'auray expliqué icy un abregé de la maniere precedente pour trouver les refractions irregulieres.

31. Supposé donc, dans cette autre figure, comme auparavant, la surface du cristal gG, l'Ellipse GPg, & la ligne N; & CM la refraction du rayon perpendiculaire FC, duquel elle s'écarte de 6 degrez, 40 minutes, soit maintenant quelqu'autre rayon RC, dont il faille trouver la refraction.

Du centre C, avec le demidiametre CG, soit decrite la circonference gRG, coupant le rayon RC en R; & soit RV perpendiculaire sur CG. Puis tousjours, comme la ligne N à CG ainsi soit CV à CD, & soit menée DI parallele à CM, coupant l'Ellipse gMG en I; alors joignant CI, ce sera la refraction requise du rayon RC. Ce qui se demonstre ainsi.

Soit CO perpendiculaire à CR [Fig. 198], & dans l'angle OCG soit ajustée OK égale à N, & perpendiculaire à CO, et menée la | droite KI, laquelle si elle est demontrée+ touchante de l'Ellipse en I; il sera evident, par les choses cy devant expliquées, que CI est la refraction du rayon RC. Or puisque l'angle RCO est droit, il est aisé de voir que les triangles rectangles RCV, KCO sont semblables. Comme donc CK à KO ainsi RC à CV. Mais KO est égale à N, & RC à CG: donc comme CK à N ainsi sera CG à CV. Mais comme N à CG ainsi est, par la construction, CV à CD. Donc comme CK à CG ainsi CG à CD. Et parce que DI est parallele à CM, diametre conjugué de CG, il s'ensuit que KI touche l'Ellipse en I; ce qui restoit à demonstrer.

32. L'on voit donc que comme il y a, dans la refraction des diaphanes ordinaires, une certaine proportion constante entre | les Sinus des angles que font le rayon incident,+ & rompu, avec la perpendiculaire, il y a icy une telle proportion entre CV & CD, ou IE; c'est à dire, entre le Sinus de l'angle que fait le rayon incident avec la perpendiculaire, & l'appliquée dans l'Ellipse, interceptée entre la refraction de ce rayon, & le diametre CM. Car la raison de CV à CD, comme il a esté dit, est tousjours la mesme que de N au demidiametre CG.



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[Fig. 198.]




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[Fig. 199.]




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[Fig. 200.]


33. J'adjouteray icy, devant que de passer outre, qu'en comparant ensemble la refraction reguliere, & irreguliere de ce cristal, il y a cela de remarquable que, si ABPS [Fig. 199] est le spheroide par lequel s'estend la lumiere dans le Cristal dans un certain espace de temps; laquelle extension, comme il a esté dit, sert à la refraction irreguliere; alors la sphere inscrite BVST est l'étendue, dans ce mesme espace de temps, de la lumiere qui sert à la refraction reguliere.

Car nous avons dit cy devant, que, la ligne N estant le rayon d'une onde spherique de lumiere dans l'air, pendant que dans le cristal elle s'estendoit par le spheroide ABPS, la raison de N à CS estoit de 156962 à 93410. Mais il a aussi esté dit que la proportion de la refraction reguliere estoit de 5 à 3; c'est à dire que, N estant le rayon d'une onde spherique de lumiere dans l'air, son extension dans le cristal faisoit, en mesme espace de temps, une sphere dont le rayon estoit à N, comme 3 à 5. Or 156962 est à 93410 comme 5 à 3 moins 1/41. De sorte que c'est assez prés, & peut estre exactement, la sphere BVST que fait la lumiere pour la refraction reguliere dans le+ cristal, pendant qu'elle y fait le spheroide BPSA | pour la refraction irreguliere, & pendant qu'elle fait la sphere au rayon N en l'air, hors du cristal.

Quoyqu'il y ait donc, selon ce que nous avons posé, deux differentes extensions de la lumiere dans ce cristal, il paroit que c'est seulement dans le sens des perpendiculaires à l'axe BS du spheroide, que l'une des extensions est plus vîte que l'autre; mais qu' elles sont d'égale vitesse en l'autre sens, sçavoir en celuy des paralleles au mesme axe BS, qui est aussi l'axe de l'angle obtus du cristal.

34. Je montreray maintenant que, la proportion de la refraction estant telle que l'on vient de voir, il faut qu'il s'ensuive de là cette proprieté notable du rayon qui, tom-

bant obliquement sur la surface du cristal, le passe sans souffrir de la refraction. Car supposant les mesmes choses que devant, & que le rayon RC [Fig. 200] fasse sur la surface gG l'angle RCG de 73 degrez, 20 min. penchant du mesme costé que le cristal, duquel rayon il a esté parlé dessus1): si l'on cherche, par la maniere cy devant expliquée, sa refraction CI; l'on trouvera qu'el | le fait justement une droite avec RC,+ & qu' ainsi ce rayon ne se detourne point du tout, conformement à l'experience. Ce qui se prouve ainsi par le calcul.

CG ou CR estant, comme dessus, 98779; CM 100000, & l'angle RCV de 73 degr. 20 min.; CV sera 28330. Mais parce que CI est la refraction du rayon RC, la proportion de CV à CD est celle de 156962 à 98779, sçavoir de N à CG: donc CD est 17828. Or comme le quarré de CG au quarré de CM, ainsi le rectangle gDG au quarré DI; donc DI, ou CE sera 98353. Mais comme CE à EI, ainsi CM à MT; qui sera donc 18127. Et estant adjoutée à ML, qui est 11609 (sçavoir le sinus de l'angle LCM de 6 degrez, 40 min. en supposant CM 100000 pour rayon) vient LT 27936; qui est à LC 99324, comme CV à VR, c'est-à-dire comme 29938, tangente du complement de l'angle RCV de 73 degr. 20 min. au rayon des Tables. D'où il paroit que RCIT est une ligne droite: ce qu'il faloit prouver.

35. L'on verra de plus que le rayon CI, en sortant par la sur|face opposée du+ cristal, doit encore passer tout droit, par la demonstration suivante; qui prouve que la reciprocation des refractions s'observe dans ce cristal de mesme que dans les autres corps diaphanes, c'est-à-dire que si un rayon RC, en rencontrant la surface du cristal CG, se rompt en CI; le rayon CI, sortant par la surface opposée & parallele du cristal,

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[Fig. 201.]


que je suppose estre IB, aura sa refraction IA parallele au rayon RC.

Soient posées les mesmes choses qu'auparavant, c'est-à-dire que CO [Fig. 201], perpendiculaire à CR, represente une portion d'onde dont la continuation dans le cristal soit IK, de sorte que l'endroit C se sera continué par la droite CI, pendant que O est venu en K. Que si l'on prend maintenant un second temps égal aupremier, l'endroit K de l'onde IK, dans ce second temps, sera avancé par la droite KB, égale

& parallele à CI; parce que tout endroit de l'onde CO, en arrivant à la surface CK, doit continuer dans le cristal de mesme que l'endroit C; & dans ce mesme temps il se fera du point I, dans l'air, une onde spherique particuliere ayant le demidiametre IA égal à KO, puisque KO a esté parcouruë dans un temps égal. De mesme si l'on considere+ quelqu' autre point de l'onde IK, comme | h, il ira par hm, parallele à CI, rencontrer la surface IB, pendant que le point K parcourt Kl égale à hm: & pendant que celuy cy acheve le reste lB, il se sera fait du point m une onde particuliere, dont le demidiametre mn, aura telle raison à lB que IA à KB. D'où il est évident que cette onde du demidiametre mn, & l'autre du demidiametre IA, auront la mesme tangente BA. Et de mesme toutes les ondes particulieres spheriques qui se seront faites hors du cristal par l'impulsion de tous les points de l'onde IK contre la surface de l'Ether IB. C'est donc precisement la tangente BA qui sera, hors du cristal, la continuation de l'onde IK, lorsque l'endroit K est venu en B. Et par consequent IA, qui est perpendiculaire à BA, sera la refraction du rayon CI, en sortant du cristal. Or il est clair que IA est parallele au rayon incident RC, puisque IB est égale à CK,

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[Fig. 202.]


& IA égale à KO, & les angles A & O droits.

L'on voit donc que, suivant nostre hypothese, la reciprocation des refractions a lieu dans ce cristal, aussi bien que dans les corps transparens ordinaires; ce qui se trouve ainsi en effet par les observations.

+ 36. Je passe maintenant à la consideration des autres sections | du cristal, & des refractions qui s'y produisent, desquelles, comme l'on verra, dependent d'autres phenomenes fort remarquables.

Soit le parallelepipede du cristal ABH [Fig. 202], & la surface d'en haut AEHF un rombe parfait, dont les angles obtus soient divisez également par la droite EF, & les angles aigus par la droite AH, perpendiculaire à FE.

La section, que nous avons considerée jusqu'icy, est celle qui passe par les lignes EF, EB, & qui en mesme temps coupe le plan AEHF à angles droits; de laquelle les refractions ont cela de commun avec les refractions des diaphanes ordinaires, que le plan qui est mené par le rayon incident, & qui coupe à angles droits la surface du cristal, est celuy dans lequel se trouve aussi le | rayon rompu. Mais les refractions qui+ appartienent à toute autre section de ce cristal, ont cette étrange proprieté, que le rayon rompu sort tousjours du plan du rayon incident, perpendiculaire à la surface, & se detourne du costé du panchant du cristal. De quoy nous ferons voir la raison premierement dans la section par AH; & nous montrerons en mesme temps, comment on y peut determiner les refractions suivant nostre hypothese. Soit donc dans le plan qui passe par AH, & qui est perpendiculaire au plan AFHE, le rayon incident RC; & qu'il faille trouver sa refraction dans le cristal.

37. Du centre C, que je suppose estre dans l'intersection de AH & FE, soit imaginé un demi spheroide QGqgM, tel que doit faire la lumiere en s'estendant dans le cristal, & que sa se|ction, par le plan AEHF, fasse l'Ellipse QGqg; dont le grand diametre+ Qq, qui est dans la ligne AH, sera necessairement un des grands diametres du spheroide; parce que l'axe du spheroide estant dans le plan par FEB, auquel QC est perpendiculaire, il s'ensuit que QC est aussi perpendiculaire à l'axe du spheroide, & partant QCq un de ses grands diametres. Mais le petit diametre de cette Ellipse, Gg, aura à Qq la raison qui a esté definie cy devant, No. 27, entre CG & le demi grand diametre du spheroide, CP, sçavoir celle de 98779 à 105032.

Soit la longueur de la ligne N le traject de la lumiere dans l'air, pendant que dans le cristal, du centre C, elle fait le spheroide QGqgM; &, ayant mené CO perpendiculaire au rayon CR, & qui soit dans le plan par CR & AH, soit ajustée, dans l'angle ACO, la droite OK égale à N, & perpendiculaire à CO, & qu'elle rencontre la droite AH en K. Posant ensuite que CL soit perpendiculaire à la surface du cristal AEHF, & que CM soit la refraction du rayon qui tombe perpendiculairement sur cette mesme surface, soit mené un plan par la ligne CM & par KCH, faisant dans le spheroide la demiellipse QMq, qui sera donnée, puisque l'angle MCL est donné de 6 degr. 40 min. Et il est certain, suivant ce qui a esté expliqué cy dessus, No. 27, qu'un plan qui toucheroit le spheroide au point M, où je suppose que la droite CM rencontre sa surface, seroit parallele au plan QGq. Si donc par le point K l'on tire maintenant KS parallele à Gg, qui sera aussi parallele à QX, tangente de l'Ellipse QGq en Q, & que l'on conçoive un plan passant par KS, & qui touche le spheroide; le point de contact sera necessairement dans l'Ellipse QMq, parce que ce plan par KS, aussi bien que le plan qui touche le spheroide au point M, sont paralleles à QX tangente du spheroide: car cette consequence sera demonstrée à la fin de ce Traité. Que ce point de contact soit en I, faisant proportionelles KC, QC, DC, & menant DI pa-

+rallele à CM; & qu'on | joigne CI. Je dis que CI sera la refraction requise du rayon RC. Ce qui sera manifeste si, en considerant CO, qui est perpendiculaire au rayon RC, comme une portion d'onde de lumiere, nous demontrons que la continuation de son endroit C se trouve dans le cristal en I, lorsque O est arrivé en K.

 

38. Or comme en demontrant, au Chap. de la Reflexion, que le rayon incident & reflechi estoient tousjours dans un mesme plan perpendiculaire à la surface reflechissante, nous avons consideré la largeur de l'onde de lumiere; de mesme il faut considerer icy la largeur de l'onde CO dans le diametre Gg. Prenant donc la largeur Cc du costé de l'angle E, soit pris le parallelogramme COoc comme une portion d'onde, & achevons les parallelogrammes CKkc, CIic, KIik, OKko. Dans le temps donc que la ligne Oo est arrivée à la surface du cristal en Kk, tous les points de l'onde COoc sont arrivez au rectangle Kc par des lignes paralleles à OK, & des points de leurs incidences il s'est, outre cela, fait des demispheroides particuliers dans le cristal, semblables & semblablement posez au demispheroide QMq; lesquels vont necessairement tous toucher au plan du parallelogr. KIik au mesme instant que Oo est en Kk. Ce qui est aisé à comprendre, puisque tous ceux de ces demispheroides, qui ont leur centre le long de la ligne CK, touchent à ce plan dans la ligne KI, (car cela se demonstre de la mesme façon que nous avons demonstré la refraction du rayon oblique dans la section principale par EF) & que tous ceux, qui ont leurs centres dans la ligne Cc, touchent le mesme plan Ki dans la ligne Ii; estant tous ceux cy pareils au demispheroide QMq. Puisque donc le parallelogramme Ki est celuy qui touche tous ces spheroides, ce mesme parallelogramme sera precisement la continuation de l'onde COoc dans le cristal, lorsque Oo est parvenue en Kk, à cause de la termination du mouvement, & de la quantité+ qui s'y en trouve plus que par tout ailleurs: & ainsi il paroit que l'en|droit C de l'onde COoc a sa continuation en I, c'est-à-dire que le rayon RC se rompt en CI.

Où il est à noter, que la proportion de la refraction pour cette section du cristal est celle de la ligne N au demidiametre CQ: par laquelle on trouvera facilement les refractions de tous les rayons incidens, de la mesme maniere que nous avons montré cy devant pour ce qui est de la section par FE; & la demonstration sera la mesme. Mais il paroit que ladite proportion de la refraction est moindre icy que dans la section par FEB; car elle estoit là comme de N à CG, c'est-à-dire de 156962 à 98779, fort prés comme de 8 à 5; & icy elle est de N à CQ demi grand diametre du spheroide, c'est-à-dire de 156962 à 105032, fort prés comme de 3 à 2, mais tant soit peu moindre. Ce qui s'accorde encore parfaitement à ce que l'on trouve par observation.

 

39. Au reste cette diversité de proportions de refraction produit un effet fort singulier dans ce Cristal, qui est qu'en le posant sur un papier, où il y ait des lettres ou autre chose marquée, si on regarde dessus, avec les deux yeux situez dans le plan de la section par EF, on voit les lettres plus elevées par cette refraction irreguliere, que lorsqu'on met les yeux dans le plan de la section par AH; & la difference des elevations paroit par l'autre refraction ordinaire de ce cristal, dont la proportion est comme de



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[Fig. 203.]


5 à 3, & qui éleve ces lettres tousjours egalement, & plus haut que ne fait la refraction irreguliere. Car on voit les lettres, & le papier où elles sont écrites, comme dans deux étages differens tout à la fois; & dans la premiere situation des yeux, sçavoir quand ils sont dans le plan par AH, ces deux étages sont quatre fois plus eloignez l'un de l'autre que lors que les yeux sont dans le plan par EF.

Nous montrerons que cet effet s'ensuit+ de ces refractions, ce qui servira en mesme temps à faire connoitre le lieu apparent d'un point d'objet, placé immediatement sous le cristal, suivant la differente situation des yeux.

40. Voions premierement de combien la refraction irreguliere du plan par AH doit hausser le fond du cristal. Que le plan de cette figure icy represente separement la section par Qq & CL [Fig. 203], dans laquelle section est aussi le rayon RC, & que le plan demielliptique, par Qq & CM, soit incliné au premier, comme auparavant, d'un angle de 6 deg. 40 min. dans lequel plan est donc CI la refraction du rayon RC.

Que si l'on considere maintenant le point I comme au fond du Cristal, & qu'il soit vû par les rayons ICR, Icr, rompus egalement aux points Cc, qui doivent estre également distans de D; & que ces rayons rencontrent les deux yeux en Rr. Il est certain que le point I paroitra elevé en S, ou concourent les droites RC, rc; lequel point S est dans DP, perpendiculaire à Qq. Et si sur DP on mene la perpendiculaire IP, qui sera toute couchée au fond du cristal, la longueur SP sera l'exhaussement apparent du point I au dessus de ce fond.

Soit decrit sur Qq un demi cercle, qui coupe le rayon CR en B, d'où soit menée+ BV perpendiculaire à Qq; & que la proportion de la refraction pour cette section soit, comme devant, celle de la ligne N au demidiametre CQ.

Donc comme N à CQ ainsi est VC à CD, comme il paroit par la maniere de trouver les refractions que nous avons monstrée cy dessus No. 31, mais comme VC à CD, ainsi VB à DS. Donc comme N à CQ ainsi VB à DS. Soit ML perpendiculaire sur CL. Et parce que je suppose les yeux Rr éloignez du cristal d'un pied ou environ, & par consequent l'angle RSr fort petit, il faut considerer VB comme égale au demidiametre CQ, & DP comme égale à CL; donc comme N à CQ ainsi CQ à DS. Mais N est de 156962 parties, dont CM en contient 100000 & CQ 105032. Donc DS sera de 70283. Mais CL est de 99324, estant sinus du complement de l'angle MCL de 6 deg. 40 min. en supposant CM pour rayon. Donc DP, considerée comme égale

à CL, sera à DS comme 99324 à 70283. Et ainsi se connoit le rehaussement du point du fond I par la refraction de cette section.

41. Soit maintenant representée l'autre section par EF, dans la figure qui est devant la precedente, & que GMg [Fig. 204] soit la demiellipse, considerée au Nombre 27+ & 28, qui se fait par la coupe d'une onde spheroide ayant le centre C. | Que le point I, pris dans cette ellipse, soit imaginé derechef au fond du Cristal, & qu'il soit vû par les rayons rompus ICR, Icr, qui vont rencontrer les deux yeux; estant CR, cr egalement inclinées à la surface du cristal Gg. Ce qui estant ainsi, si l'on tire ID parallele

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[Fig. 204.]




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[Fig. 205.]




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[Fig. 206.]


à CM, que je suppose estre la refraction du rayon perpendiculaire qui tomberoit sur le point C, les distances DC, Dc, seront egales, comme il est aisé de voir par ce qui est demontré au nombre 28. Or il est certain que le point I doit paroitre en S, ou concourent les droites RC, rc, prolongées; & que ce point S tombe dans la ligne DP perpendiculaire à Gg; à laquelle DP si l'on mene perpendiculaire IP, ce sera la distance PS qui marquera le rehaussement apparent du point I. Soit sur Gg decrit un demi cercle qui coupe CR en B, d'où soit menée BV perpendiculaire sur Gg; & que N à GC marque la proportion de la refraction dans cette section; comme au Nombre 28. Puisque donc CI est la refraction du rayon BC; & DI parallele à CM; il faut que VC soit à CD, comme N à GC, par ce qui a esté demonstré au Nombre 31. mais comme VC à CD ainsi est BV à DS. Soit menée ML perpendiculaire sur CL. Et parce que je suppose derechef les yeux eloignez au dessus du cristal, BV est censée egale au demidiametre CG; & partant DS sera alors troisieme proportionelle aux lignes N & CG: aussi sera | DP alors censée égale à CL. Or CG estant de 98778 parties dont CM+ en contient 100000, N est de 156962. Donc DS sera de 62163. Mais CL est aussi determinée, & contient 99324 parties, comme il a esté dit No. 34 & 40 donc la raison de PD à DS sera comme de 99324 à 62163. Et ainsi l'on sçait le rehaussement du point du fond I par la refraction de cette section; & il paroit que ce rehaussement est

plus grand que par la refraction de la section precedente, puisque la raison de PD à DS estoit là comme de 99324 à 70283.

Mais par la refraction reguliere du cristal, dont nous avons dit cy dessus que la proportion estoit de 5 à 3, le rehaussement du point I ou P du fond, sera de ⅖ de la hauteur DP [Fig. 205]; comme il paroit par cette figure, ou le point P estant vû par les rayons PCR, Pcr, également rompus en la surface Cc, il faut que ce point paroisse en S, dans la perpendiculaire PD, où concourent les droites RC, rc prolongées: & l'on sçait que la ligne PC à CS est comme 5 à 3, puisqu'elles sont entr'elles comme le sinus de l'angle CSP ou DSC, au sinus de l'angle SPC. Et parce que les deux yeux Rr estant supposez beaucoup éloignez au dessus du cristal la raison de PD à DS est censée la mesme que PC à CS, le rehaussement PS sera aussi de ⅖ de PD.

42. Que si l'on prend une ligne droite AB [Fig. 206] pour l'epaisseur du cristal, duquel le point B soit dans le fond, & qu'on la divise, suivant les proportions des rehaussemens trouvées, aux points C, D, E; faisant AE de ⅗ AB, AB à AC comme 99324 à 70283, & AB à AD comme 99324 à 62163, ces points diviseront AB comme dans cette figure. Et l'on trouvera que cecy s'accorde parfaitement avec l'experience; c'est-à-dire qu'en pla|çant les yeux dans le plan qui coupe le cristal suivant+ le petit diametre du rombe de dessus, la refraction reguliere elevera les lettres en E, & on verra le fond, & les lettres sur lesquelles il est posé, elevées en D par la refraction irreguliere. Mais en plaçant les yeux dans le plan qui coupe le cristal suivant le grand diametre du rombe de dessus, la refraction reguliere elevera les lettres en E comme auparavant; mais la refraction irreguliere les fera en mesme temps paroitre elevées en C seulement. En sorte que l'intervalle CE sera quadruple de l'intervalle ED, qu'on voyoit auparavant.

43. Je n'ay que faire de remarquer icy que, dans toutes les deux positions des yeux, les images, causées par la refraction irreguliere, ne paroissent pas directement au dessous de celles qui procedent de la refraction reguliere, mais qu'elles s'en écartent, en s'éloignant d'avantage de l'angle solide equilateral du Cristal; parce que cela s'ensuit de tout ce qui a esté demonstré jusqu'icy de la refraction irreguliere, & qu'il est surtout evident par ces dernieres demonstrations: où l'on voit que le point I paroit par la refraction irreguliere en S, dans la perpendiculaire DP; dans laquelle doit aussi paroitre l'image du point P par la refraction reguliere, mais non pas l'image du point I, qui sera à peu prés directement au dessus de ce mesme point, & plus haute que S.

Mais pour ce qui est du rehaussement apparent du point I dans les autres positions des yeux au dessus du cristal, outre les deux positions que nous venons d'examiner; l'image de ce point paroitra tousjours par la refraction reguliere entre les deux hauteurs de D & C, passant de l'une à l'autre, à mesure qu'on tourne à l'entour du cristal immobile en regardant dessus. Et tout cecy se trouve encore conforme à nostre hypothese, comme un chacun pourra s'en assurer, aprés que j'auray monstré icy | la maniere+ de trouver les refractions irregulieres, qui apartienent à toutes les autres sections du cristal, outre les deux que nous avons considereés. Posons quelqu'une des faces du



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[Fig. 207.]




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[Fig. 208.]


cristal, dans laquelle soit l'Ellipse HDE, dont le centre C soit aussi centre du spheroide HME, dans lequel s'etend la lumiere, & dont ladite Ellipse est la section. Et que le rayon incident soit RC, dont il faille trouver la refraction.

Soit mené un plan passant par le rayon RC [Fig. 207], & qui soit perpendiculaire au plan de l'ellipse HDE, le coupant suivant la droite BCK, & ayant dans le mesme plan par RC fait CO perpendiculaire à CR, soit dans l'angle OCK ajustée OK perpendiculaire à OC & égale à la ligne N, que je suppose marquer le trajet de la lumiere en l'air, dans le temps qu'elle s'étend dans le cristal par le spheroide HDEM. Puis dans le plan de l'Ellipse HDE soit, par le point K, menée KT perpendiculaire à BCK. Maintenant si l'on conçoit un plan mené par la droite KT, & qui touche le spheroide HME en I, la droite CI sera la refraction du rayon RC, comme il est assez aisé à conclurre de ce qui a esté demonstré au Nombre 36.

+ Mais il faut montrer comment on peut determiner le point de contact I. Soit menée à la ligne KT une parallele HF, qui touche l'Ellipse HDE, & que ce point de con|tact soit en H; & ayant tiré une droite par CH, qui rencontre KT en T, soit imaginé par la mesme CH, & par CM, que je suppose estre la refraction du rayon perpendiculaire, un plan qui fasse dans le spheroide la section elliptique HME. Il est certain que le plan qui passera par la droite KT, & qui touchera le spheroide, le touchera dans un point de l'Ellipse HME, par le Lemme qui sera demonstré à la fin du Chapitre. Or ce point est necessairement le point I que l'on cherche, puisque le plan mené par TK ne peut toucher le spheroide qu'en un point. Et ce point I est aisé à determiner, puisqu'il ne faut que mener du point T, qui est dans le plan de cette Ellipse, la tangente TI, de la maniere qui a esté montrée cy-devant. Car l'Ellipse HME est donné, dont CH & CM sont demidiametres conjuguez; parce qu'une droite menée par M, parallele à HE, touche l'Ellipse HME, comme il s'ensuit de ce qu'un plan menée par M, & parallele au plan HDE, touche le spheroide en ce point M, ce qui se voit No. 27 & 23. Au reste la position de cette ellipse, à l'égard du plan par le

rayon RC & par CK, est aussi donnée; par où il sera aisé de trouver la position de la refraction CI, à l'égard du rayon RC.

Or il faut noter, que la mesme ellipse HME sert à trouver les refractions de tout autre rayon qui sera dans le plan par RC & CK. Parce que tout plan, parallele à la droite HF, ou TK, | qui touchera le spheroide, le touchera dans cette ellipse, par le+ Lemme cité peu devant.

J'ay recherché ainsi par le menu les proprietez de la refraction irreguliere de ce Cristal, pour voir si chaque phenomene, qui se deduit de nostre hypothese, conviendroit avec ce qui s'observe en effet. Ce qui estant ainsi, ce n'est pas une legere preuve de la verité de nos suppositions & principes. Mais ce que je vais adjouter icy les confirme encore merveilleusement. Ce sont les coupes differentes de ce Cristal, dont les surfaces, qu'elles produisent, font naistre des refractions precisement telles qu'elles doivent estre, & que je les avois preveuës, suivant la Theorie precedente.

Pour expliquer quelles sont ces coupes, soit ABKF [Fig. 208] la section principale par l'axe du cristal, ACK, dans laquelle sera aussi l'axe SS d'une onde spheroide de lumiere étendue dans le Cristal du centre C; & la ligne droite, qui coupe SS par le milieu, & à angles droits, sçavoir PP, sera un des grands diametres.

Or comme dans la coupe naturelle du cristal, faite par un plan parallele à deux surfaces opposées, lequel plan est icy representé par la ligne GG, la refraction des surfaces qui en sont produites se regle par les demispheroides GNG, suivant ce qui a esté expliqué dans la Theorie precedente: de mesme en coupant le Cristal par NN, d'un plan perpendiculaire au parallelogramme ABKF, la refraction des surfaces se devra regler par les demispheroides NGN: & si on le coupe par PP, perpen|diculairement+ au dit parallelogramme, la refraction des surfaces se devra regler par les demispheroides PSP, & ainsi des autres. Mais je vis que si le plan NN estoit presque perpendiculaire au plan GG, faisant l'angle NCG, qui est du costé A, de 90 degrez, 40 min. les demispheroides NGN devenoient semblables aux demispheroides GNG, puisque les plans NN & GG étoient inclinez également, d'un angle de 45 degr. 20 min. sur l'axe SS. Par consequent il falloit, si nostre theorie estoit vraye, que les surfaces que produit la section par NN, fissent toutes les mesmes refractions que les surfaces de la section par GG. Et non pas seulement les surfaces de la section NN, mais toutes les autres, produites par des plans qui fussent inclinez à l'axe SS d'un angle pareil de 45 degr. 20 min. De sorte qu'il y avoit une infinité de coupes, qui devoient produire precisement les mesmes refractions que les surfaces naturelles du cristal, ou que la coupe parallele à quelqu'une de ces surfaces, qui se fait en le fendant.

Je vis aussi qu'en le coupant d'un plan mené par PP, & perpendiculaire à l'axe SS, la refraction des surfaces devoit estre telle que le rayon perpendiculaire n'en soufrist point du tout, & que toutefois aux rayons obliques il y eust une refraction irreguliere, differente de le reguliere; & par laquelle les objets, placez sous le cristal, fussent moins rehaussez que par cette autre.

Que de mesme, en coupant le cristal de quelque plan par | l'axe SS, comme est le+

plan de cette figure, le rayon perpendiculaire ne devoit point souffrir de refraction; & que pour les rayons obliques, il y avoit des mesures differentes pour la refraction irreguliere, suivant la situation du plan où estoit le rayon incident.

Or ces choses se trouverent ainsi en effet, & je ne pûs douter apres cela qu'il ne se rencontrast par tout un succez pareil. D'ou je conclus que l'on peut former de ce cristal des semblables à ceux qui luy sont naturels, qui produiront, dans toutes leurs surfaces, les mesmes refractions regulieres & irregulieres que les surfaces naturelles, & qui pourtant se fendront tout autrement, & point parallelement à aucune des faces.

Que l'on en peut faire aussi des pyramides, ayant la base quarrée, pentagone, hexagone, ou de tant de costez que l'on voudra, dont toutes les furfaces ayent les mesmes refractions que les surfaces naturelles du cristal, hormis la base, qui ne rompra point le rayon perpendiculaire. Ces surfaces feront chacune avec l'axe du cristal un angle de 45 degr. 20 min. & la base sera la section perpendiculaire à l'axe.

Qu'ensin on en peut aussi faire des prismes triangulaires, ou de tant de costez qu'on veut, dont ni les costez ni les bases ne rompront point le rayon perpendiculaire, quoyque pourtant ils fassent tous double refraction aux rayons obliques. Le cube est compris parmi ces prismes, dont les bases sont des sections perpendiculaires à l'axe du cristal, & les costez sont des sections paralleles à ce mesme axe.

De tout cecy il paroit encore, que ce n'est point du tout dans la disposition des couches dont ce cristal paroit composé, & selon lesquelles il se fend en trois sens differens, que reside la cause de la refraction irreguliere, & que ce seroit en vain de l'y vouloir chercher.

+ Mais afin qu'un chacun, qui aura de cette pierre, puisse trouver, par sa propre experience, la verité de ce que je viens d'avancer; je diray icy la maniere dont je me suis serui à la tailler, & à la polir. La taille est aisée par les rouës tranchantes des lapidaires, ou de la maniere qu'on scie le marbre; mais le poli est tres difficile, & en employant les moyens ordinaires, on depolit bien plutost les surfaces qu'on ne les rend luisantes.

Apres plusieurs essais, j'ay enfin trouvé qu'il ne faut point de plaque de metail pour cet usage, mais une piece de glace de miroir rendue matte & depolie. Là dessus, avec du sablon fin & de l'eau, l'on adoucit peu à peu ce cristal, de mesme que les verres de lunette, & on le polit en continuant seulement le travail, & en diminuant tousjours la matiere. Je n'ay sceu pourtant le rendre d'une clarté & transparence parfaite; mais l'egalité, qu'acquierent les surfaces, fait que l'on y observe mieux les effets de la refraction, que dans celles qui se sont faites en fendant la pierre, qui ont tousjours quelque inégalité.

Lors mesme que la surface n'est que mediocrement adoucie, si on la frotte avec un peu d'huile, ou de blanc d'oeuf, elle devient fort transparente, en sorte que la refraction s'y decouvre fort distinctement. Et cette aide est surtout necessaire, lorsque l'on veut polir les surfaces naturelles, pour en oster les inégalitez; parce qu'on ne sçauroit les rendre luisantes à l'egal de celles des autres sections; qui prennent d'autant mieux le poli qu'elles sont moins aprochantes de ces plans naturels.

Devant que de finir le traitté de ce Cristal, j'adjouteray encore un phenomene merveilleux, que j'ay decouvert aprés avoir écrit tout ce que dessus1). Car bien que je n'en aie pas pû trouver jusqu'icy la cause, je ne veux pas laisser pour cela de l'indiquer, afin de donner occasion à d'autres de la chercher. Il semble qu'il faudroit faire encore d'autres suppositions outre celles | que j'ay faites; qui ne laisseront pas pour+ cela de garder toute leur vrai-semblance, apres avoir esté confirmées par tant de preuves.

Le phenomene est, qu'en prenant deux morceaux de ce cristal, & les appliquant l'un sur l'autre, ou bien les tenant avec de l'espace entre deux; si tous les costez de l'un sont paralleles à ceux de l'autre, alors un rayon de lumiere, comme AB [Fig. 209], suivant les deux refractions, reguliere & irreguliere; en penetrant de la à l'autre morceau, chaque rayon y passera sans plus se partager en deux; mais celuy qui a esté sait de la refraction reguliere, comme icy DG, fera seulement encore une refraction reguliere en GH, & l'autre, CE, une irreguliere en EF. Et la mesme chose arrive non seulement dans cette disposition, mais aussi dans toutes celles où la section princi|pale,+ de l'un & de l'autre morceau, se trouve dans un mesme plan, sans qu'il soit besoin que les deux surfaces qui se regardent soient paralleles. Or il est merveilleux pourquoy les rayons CE & DG, venant de l'air sur le cristal inferieur, ne se partagent pas de mesme que le premier rayon AB. On diroit qu'il faut que le rayon DG, en passant par le morceau de dessus, ait perdu ce qui est necessaire pour émouvoir la matiere qui sert à la refraction irreguliere; & que CE ait pareillement perdu ce qu'il faut pour émouvoir la matiere qui sert à la refraction reguliere: mais il y a encore autre chose

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[Fig. 209.]


qui renverse ce raisonnement. C'est que quand on dispose les deux cristaux en sorte, que les plans qui font les sections principales se coupent à angles droits; soit que les surfaces qui se regardent soient paralleles ou non; alors le rayon qui est venu de la+ refraction reguliere, comme DG, ne fait plus qu'une refraction irreguliere dans | le morceau inferieur, & au contraire le rayon qui est venu de la refraction irreguliere, comme CE, ne fait plus qu'une refraction reguliere.

Mais dans toutes les autres positions infinies, outre celles que je viens de determiner, les rayons DG, CE se partagent derechef chacun en deux, par la refraction du cristal inferieur; de sorte que du seul rayon AB il s'en fait quatre, tantost d'egale clarté, tantost de bien moindre les uns que les autres, selon la diverse rencontre des positions des cristaux: mais qui ne paroissent pas avoir plus de lumiere tous ensemble, que le seul rayon AB.

Quand on considere icy que, les rayons CE, DG demeurant les mesmes, il depend de la position qu'on donne au morceau d'en bas de les partager chacun en deux, ou de ne les point partager, là où le rayon AB se partage tousjours; il semble qu'on est obligé de conclure que les ondes de lumiere, pour avoir passé le premier cristal, acquierent certaine forme ou disposition, par laquelle en rencontrant le tissu du second cristal, dans certaine position, elles puissent émouvoir les deux differentes matieres qui servent aux deux especes de refraction; & en rencontrant ce second cristal dans une autre position, elles ne puissent émouvoir que l'une de ces matieres. Mais pour dire comment cela se fait, je n'ay rien trouvé jusqu'icy qui me satisfasse.

Laissant donc à d'autres cette recherche, je passe à ce que j'ay à dire touchant la cause de la figure extraordinaire de ce cristal, & pourquoy il se fend aisément en trois sens differens, parallelement à quelqu'une de ses surfaces.

Il y a plusieurs corps vegetaux, mineraux, & sels congelez, qui se forment avec de certains angles & figures regulieres1). Ainsi parmy les fleurs il y en a beaucoup, qui ont leurs feuilles disposées en polygones ordonnez, au nombre de 3.4.5. ou 6+ costez; mais non pas d'avantage. Ce qui merite bien d'estre re|marqué; tant la figure polygone, que pourquoy elle n'excede pas ce nombre de 6.

Le Cristal de roche croit ordinairement en bastons hexagones; & l'on trouve des diamans qui naissent avec une pointe quarrée, & des surfaces polies. Il y a une espece de petites pierres plattes, entassées directement les unes sur les autres, qui sont toutes de figure pentagone, avec les angles arrondis & les costez un peu pliez en dedans2). Les grains de sel gris, qui naissent de l'eau de la mer, affectent la figure, ou du moins



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[Fig. 210.]


l'angle, du cube3); & dans les congelations d'autres sels, & de celle du sucre, l'on trouve d'autres angles solides, avec des surfaces parfaitement plattes. La neige menue tombe presque tousjours formée en petites estoiles à 6 pointes, & quelques fois en hexagones dont les costez sont droits. Et j'ay souvent observé, au dedans de l'eau qui commence à se geler, une maniere de feuilles plattes & deliées de glace, dont la raye du milieu jette des branches inclinées d'un angle de 60 degrez. Toutes ces choses meritent d'estre recherchées soigneusement, pour reconnoitre comment & par quel artifice la nature y opere. Mais ce n'est pas maintenant mon dessein de traiter entierement cette matiere. Il semble qu'en general la regularité, qui se trouve dans ces productons, vient de l'arrangement des petites particules invisibles & egales dont elles sont composées. Et pour venir à nostre Cristal d'Islande, je dis que s'il y avoit une piramide comme ABCD [Fig. 210], composée de petits corpuscules ronds, non pas spheriques, mais spheroides plats, tels que se feroient par la conversion de | cette ellipse GH sur son+ petit diametre EF; dont la proportion au grand est fort prés celle de 1 à la racine quarrée de 8. Je dis donc que l'angle solide de la pointe D, seroit egal à l'angle obtus & equilateral de ce Cristal. Je dis de plus, si ces corpuscules estoient legerement collez ensemble, qu'en rompant cette piramide, elle se casseroit suivant des faces paralleles à celles qui font sa pointe: & que par ce moyen, comme il est aisé de voir, elle produiroit des prismes semblables à ceux du mesme Cristal, tels que represente cette autre figure. La raison est, qu'en se cassant de cette façon, toute une couche se separe aisément de sa couche voisine, parce que chaque spheroide ne se detache que des trois spheroides de l'autre couche; des quels trois il n'y en a qu'un qui le touche par la surface applatie, & les deux autres seulement par les bords. Et ce qui fait que les furfaces se separent nettes & polies, c'est que si quelque spheroide de la couche voisine vouloit en sortir pour s'attacher à celle qui se separe, il faudroit qu'il se detachast de six autres spheroides qui le tiennent serré, & dont les quatre le pressent par ces surfaces applaties. Puis donc que tant les angles de nostre cristal, que la maniere dont il se fend, conviennent justement avec ce qui se remarque au composé de tels spheroides, c'est une grande raison pour croire que ses particules sont formées & rangées de mesme.
Il y a mesme assez d'apparence que les prismes de ce cristal se font par la rupture+ des piramides, puisque Mr. Bartholin | raporte qu'il s'en trouve par fois des morceaux de figure piramidale triangulaire. Mais quand une masse ne seroit composée qu'interieurement de ces petits spheroides ainsi entassez, quelque forme qu'elle eust par dehors, il est certain, par la mesme raison que je viens d'expliquer, qu'estant cassée elle produiroit des prismes pareils. Il reste à voir s'il y a d'autres raisons qui confirment

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[Fig. 211.]




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[Fig. 212.]


nostre conjecture, & s'il n'y en a point qui y repugnent.

L'on peut objecter que ce cristal, estant ainsi composé, se pouroit fendre encore en deux manieres, dont l'une seroit suivant des plans paralleles à la base de la piramide, c'est-à-dire au triangle ABC [Fig. 211]; l'autre parallelement à un plan dont la coupe est marquée par les lignes GH, HK, KL. A quoy je dis, que l'une & l'autre division, quoyque faisables, sont plus malaisées que celles qui estoient paralleles à quelqu'un des trois plans de la piramide; & qu'ainsi, en frappant sur le cristal pour le casser, il se doit tousjours fendre plutost suivant ces trois plans que suivant les deux autres. Quand on a un nombre de spheroides de la forme cy devant marquée, & qu'on les range en piramide, on voit pourquoy les deux divisions sont plus malaisées. Car pour ce qui est de celle qui se feroit parallelement à la base, chaque spheroide se doit detacher des trois autres qu'il touche par les surfaces applaties, qui tienent plus que ne font les contacts par les bords. Et outre cela, cette division ne se fera point par+ des couches entieres, parce | qu'un chacun des spheroides d'une couche n'est presque point retenu par les 6 de la mesme couche qui l'environnent, parce qu'ils ne le touchent que par les bords; de sorte qu'il adhere aisement à la couche voisine, & d'autres à luy, par la mesme raison; ce qui cause des surfaces inegales. Aussi voit on par experience, qu'en usant le cristal sur une pierre un peu rude, directement sur l'angle solide equilateral, on trouve à la verité beaucoup de facilité à le diminuer en ce sens, mais beaucoup de difficulté ensuite à polir la surface qu'on aura applatie de cette maniere.

Pour l'autre division suivant le plan GHKL, l'on verra que chaque spheroide s'y

devroit detacher de quatre de la couche voisine, dont deux le touchent par les surfaces applaties, & deux par les bords. De sorte que cette division est de mesme plus difficile que celle qui se fait parallelement à une des surfaces du cristal; où nous avons dit que chaque spheroide ne se detache que de trois de sa couche voisine; dont il n'y en a qu'un qui le touche par la surface applatie, & les deux autres par les bords seulement.

Cependant ce qui m'a fait connoitre qu'il y a dans le cristal des couches de cette derniere façon, c'est qu'en un morceau de demie livre que j'ay, l'on voit qu'il est fendu tout du long, ainsi que le prisme susdit par le plan GHKL; ce qui paroit par les couleurs d'Iris repandues dans tout ce plan, quoyque les deux pieces tienent encore ensemble. Tout cecy prouve donc que la composition du cristal est telle que nous avons dit. A quoy j'ajoute encore cette experience; que si on passe un cousteau en raclant sur quelqu'une de ces surfaces naturelles, & que ce soit en descendant de l'angle obtus equilateral, c'est-à-dire de la pointe de la piramide, on le trouve fort dur; mais en raclant du sens contraire on l'entame aisement. Ce qui s'ensuit manifestement de la situation des petits spheroides; sur les|quels, dans la premiere maniere, le cousteau+ glisse; mais dans l'autre il les prend par dessous, à peu pres comme les écailles d'un poisson.

Je n'entreprendray pas de rien dire touchant la maniere dont s'engendrent tant de petits corpuscules, tous égaux & semblables, ni comment ils sont mis dans un si bel ordre. S'ils sont formez premierement, & puis assemblez; ou s'ils se rangent ainsi en naissant; & à mesure qu'ils sont produits, ce qui me paroit plus vrai-semblable. Il faudroit pour developper des veritez si cachées une connoissance de la nature bien plus grande que celle que nous avons. J'ajouteray seulement que ces petits spheroides pourroient bien contribuer à former les spheroides des ondes de lumiere, cy dessus supposez; les uns & les autres estant situez de mesme, & avec leur axes paralleles.

Calculs qui ont esté supposez dans ce Chapitre.

Mr. Bartholin dans son traité de ce cristal, met les angles obtus des faces de 101 degrez, lesquels j'ay dit estre de 101 degrez, 52 min. Il dit avoir mesuré immediatement ces angles sur le cristal; ce qui est difficile à faire avec la derniere justesse, à cause que les carnes, comme CA, CB dans cette figure [Fig. 212], sont ordinairement usées, & non pas bien droites. Pour plus de seureté donc, j'ay plutost voulu mesurer actuellement l'an|gle obtus, duquel sont inclinées l'une sur l'autre les faces CBDA,+ CBVF, sçavoir l'angle OCN, apres avoir mené CN perpendiculaire sur FV, & CO perpendiculaire sur DA: lequel angle OCN j'ay trouvé de 105 degr. & son complement à deux angles droits, CNP, de 75 degr. comme il faloit.

Pour trouver par là l'angle obtus BCA [Fig. 213], je me suis imaginé une sphere, ayant son centre en C, & dans sa superficie un triangie spherique, formé par l'intersection des trois plans qui comprenent l'angle solide C. Dans ce triangle equilateral, qui soit ABF dans cette autre figure, je voyois que chacun des angles devoit estre de

105 degrez, sçavoir egal à l'angle OCN; & que chacun des costez estoit d'autant de degrez que l'angle ACB, ACF, ou BCF. Ayant donc mené l'arc FQ perpendiculaire sur le costé AB, qu'il divise egalement en Q, le triangle FQA avoit l'angle Q droit, l'angle A de 105 degrez, & F de la moitié autant, sçavoir de 52 degrez, 30 min. d'où se trouve l'hypotenuse AF de 101 deg. 52 min. Et cet arc AF est la mesure de l'angle ACF dans la figure du cristal.

Dans la mesme figure, si le plan CGHF coupe le cristal en sorte, qu'il divise les angles obtus ACB, MFV par le milieu; il a esté dit, au Nombre 10, que l'angle CFH est de 70 degrez, 57 min. Ce qui se demontre encore facilement dans le mesme triangle spherique ABF; où il paroit que l'arc FQ est d'autant de degrez que l'angle GCF dans le cristal, duquel le complement à deux droits est l'angle CFH. Or l'arc FQ se trouve de 109 degr. 3 min. Donc son complement, 70 deg. 57 min. est l'angle CFH.

+ Il a esté dit No. 26, que la droite CS, qui dans la prece | dente figure soit CH, estant l'axe du cristal, c'est-à-dire egalement inclinée aux trois costez CA, CB, CF, l'angle GCH est de 45 degr. 20 min. Ce qui se calcule encore facilement par le mesme triangle spherique. Car en tirant l'autre arc AD, qui coupe BF egalement, & FQ en S, ce point sera le centre de ce triangle: & il est aisé de voir que l'arc SQ est la mesure de l'angle GCH, dans la sigure qui represente le cristal. Or dans le triangle QAS, qui est rectangle, l'on connoit aussi l'angle A, qui est de 52 degr. 30 min. & le costé AQ de 50 degr. 56 min. d'où se trouve le costé SQ de 45 degr. 20 min.

Au nombre 27, il faut montrer que PMS estant une ellipse dont le centre est C, & qui touche la droite MD en M, en sorte que l'angle MCL, que fait CM avec CL, perpendiculaire sur DM, soit de 6 deg. 40 min. & son demi petit diametre CS faisant avec CG, parallele à MD, un angle GCS de 45 degr. 20 min. il faut montrer, dis je, que CM estant de 100000 parties, PC, demi grand diametre de cette ellipse, est de 105032, & CS, demi petit diametre, de 93410.

Soient CP, CS [Fig. 214] prolongées, & qu'elles rencontrent la tangente DM en D & Z; & du point de contact M soient menées MN, MO perpendiculaires sur CP, CS. Maintenant parce que les angles SCP, GCL sont droits, l'angle PCL sera egal

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[Fig. 213.]




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[Fig. 214.]


à GCS, qui estoit de 45 degr. 20 min. Et ostant l'angle LCM, qui est de 6 degr. 40 min. de LCP 45 degr. 20 min. reste MCP de 38 degr. 40 min. Considerant donc CM comme rayon de 100000 parties, MN, sinus de 38 deg. 40 min. sera 62479. Et dans le triangle rectangle MND, MN sera à ND comme le rayon des Tables à la tangente de 45 degr. 20 min. parce que l'angle | NMD est egal à DCL ou GCS: c'est-à-dire comme+ 100000 à 101170; d'où vient ND 63210. Mais NC est de 78079 des mesmes parties dont CM est 100000, parce que NC est sinus du complement de l'angle MCP, qui estoit de 38 degr. 40 minutes. Donc toute la DC est de 141289; & CP, qui est moyene proportionelle entre DC & CN parce que MD touche l'Ellipse, sera 105032.

De mesme, parce que l'angle OMZ est egal à CDZ, ou LCZ, qui est de 44 degr. 40 min. estant le complement de GCS, il s'ensuit que, comme le rayon des Tables à la tangente de 44o, 4ó, ainsi sera OM 78079, à OZ 77176. Mais OC est de 62479 de ces mesmes parties dont CM est 100000, parce qu'elle est egale à MN, sinus de l'angle MCP de 38o.40. Donc toute la CZ est 139655; & CS, qui est moyene proportionelle entre CZ, CO, sera 93410.

Au mesme endroit on a dit que CG se trouve de 98779 parties. Pour le demontrer, soit dans le mesme figure menée PE parallele à DM, & qui rencontre CM en E. Dans le triangle rectangle CLD, le costé CL est 99324, (CM estant 100000) parce que CL est sinus du complement de l'angle LCM, de 6o.4ó. Et puisque l'angle LCD est de 45o.2ó, pour estre egal à GCS, l'on trouvera le costé LD 100486: d'où ostant ML 11609, restera MD 88877. Or comme CD, qui estoit 141289, à DM 88877, ainsi CP 105032, à PE 66070. Mais comme le rectangle MEH, ou bien la difference des quarrez CM, CE, au quarré MC, ainsi est le quarré PE au quarré Cg; donc aussi comme la difference des quarrez DC, CP au quarré de CD, | ainsi le quarré PE au+ quarré gC. Mais DP, CP & PE sont connues: on connoit donc aussi GC, qui est 98779.

Lemme qui a esté supposé.

Si un spheroide est touché par une ligne droite, & aussi par deux ou plusieurs plans qui soient paralleles à cette ligne, quoyque non pas entre eux; tous les points du contact, tant de la ligne que des plans, seront dans une mesme ellipse, faite par un plan qui passe par le centre du spheroide.

Soit le spheroide LED touché par la ligne BM au point B [Fig. 215], & aussi par des plans, paralleles à cette ligne, aux points O & A. Il faut démontrer que les points B, O, & A sont dans une mesme Ellipse, faite dans le spheroide par un plan qui passe par son centre.

Par la ligne BM & par les points O, A, soient menés des plans paralleles entre eux, qui, en coupant le spheroide, fassent les ellipses LBD, POP, QAQ; qui seront toutes semblables, & semblablement posées, & auront leurs centres K, N, R, dans un mesme diametre du spheroide, qui sera aussi diametre de l'ellipse faite par la section du plan qui passe par le centre du spheroide, & qui coupe les plans des trois susdites



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[Fig. 215.]


Ellipses à angles droits; car tout cela est manifeste par la prop. 15, du livre des Conoides & Spheroides d'Archimede. De plus, les deux+ der|niers plans, quiont esté menez par les points O, A, seront aussi, en coupant les plans qui touchoient le spheroide en ces mesmes points, des lignes droites, comme OH, AS, qui seront, comme il est aisé de voir, paralleles à BM; & toutes les trois, BM, OH, AS toucheront les Ellipses LBD, POP, QAQ dans ces points B, O, A; puisqu'elles sont dans les plans de ces ellipses, & en mesme temps dans des plans qui touchent le spheroide. Que si maintenant de ces points B, O, A, l'on mene des droites BK, ON, AR par les centres des mesmes ellipses, & que par ces centres l'on mene aussi les diametres LD, PP, QQ, paralleles aux touchantes BM, OH, AS: ces diametres seront les conjuguez des susdits BK, ON, AR. Et parce que les trois ellipses sont semblables, & semblablement posées, & qu'elles ont leurs diametres LD, PP, QQ paralleles, il est certain que leurs diametres conjuguez BK, ON, AR seront aussi paralleles. Et les centres K, N, R estant, comme il a esté dit, dans un mesme diametre du spheroide, ces paralleles BK, ON, AR seront necessairement dans un mesme plan, qui passe par ce diametre du spheroide: & par consequent les points B, O, A dans une mesme ellipse faite par l'intersection de ce plan. Ce qu'il falloit prouver. Et il est manifeste que la demonstration seroit la mesme, si, outre les points O, A, il y en avoit d'autres, dans lesquels le spheroide fust touché par des plans paralleles à la droite BM.

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