Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695
(1937)–Christiaan Huygens–
Auteursrecht onbekend
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V.
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 [Fig. 11.]
 [Fig. 12.]
 [Fig. 13.]
et en egale distance, c'est a dire que les perpendiculaires depuis les points d'attache F. G menees sur la ligne DE soient egales. Je demande que le plan demeurera dans l'équilibre.
Si un plan chargè de poids est appuiè sur 3 points qui portent chacun une partie de toute la pesanteur, je demande qu'en ostant l'un des 3 appuis le plan ne demeurera pas en equilibre sur les 2 autres mais qu'il inclinera du costè ou l'appuy aura estè ostè.
Soient les poids A, B commensurables suspendus à la balance CD [Fig. 12], dont les bras EC, ED, soient entre eux reciproquement comme le poids B est a A. Il faut demonstrer qu'ils font equilibre. Soit la ligne Ω [Fig. 13] la mesure commune des bras EC, ED. Et que l'on concoive un plan qui passe par la ligne CD et qui soit parallele a l'horizon. et soient menees dans ce plan les lignes FCG, HDK perpendiculaires à CD. Et sit DΞ, DΓ ∞ EC, et ducantur ΞΔ, PEH angulos semirectos facientes cum rectis DΞ, CP. fiet Ξφ ∞ PE et φθ ∞ Eθ. unde Ξθ ∞ θP ∞ θΔ. Et φC seu C∆ ∞ ED.
V, A. § 3Ga naar voetnoot1). 1672. apr. Si non; praeponderet pars D. Ergo suppositis in I et H fulcris, ea utraque aliquid ponderis sustinebunt et aequaliter. totaque gravitas super | |
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tribus punctis E, I, H sustinebitur. Ergo si auferatur fulcrum quod sub I, planum non amplius super punctis E et H aequilibrium servabit, sed in partem I inclinabit, manente recta HEQ motus axe. Hoc autem fieri non posse ex ratione aequilibrij ostendeturGa naar voetnoot2). Sit C∆ vel Cψ ∞ ED. Et DΓ, DΞ aequ. EC. Et divisis Δψ, ΓΞ in partes aequales quae respondeant numero partium quas continent distantiae ED, EC, intelligantur et pondera A, B in partes aequales secundum eosdem numeros divisa esse, earumque partium singulas in medio segmentorum rectarum Δψ, ΓΞ suspendi, ut in F, L, C, M, G; N, D, K. a quibus omnibus in rectam HEQ perpendiculares ducantur ut FO, LT, KX, DY &c. Et jungatur ΔΞ secetque CD in φ. Quia ergo Cφ ad φD ut ∆C ad DΞ, hoc est, ut DE ad EC, erit Cφ ∞ DE. unde et Cφ ∞ C∆. Ideoque anguli ΔφC, DφΞ uterque semirecti. Et ipsa ΔΞ parallela perpendicularibus KΞ [lisez KX], FO &c. Recta autem Δφ jam quoque aequalem esse patet ipsi HE, cum ∆C, HD sint aequales, sed et θφ ∞ est θE. Ergo et Δθ ∞ Hθ hoc est ipsi θΞ. hinc KX ∞ FO. Et DY ∞ LT, et NZ ∞ CS. Itaque singulis ponderibus quae in segmentis mediis lineae ΓΞ imposita sunt aequilibrant totidem pondera suspensa in medijs totidem segmentis rectae Δδ. Cum autem Δδ aequalis sit ipsi ΓΧ [lisez ΓΞ], hoc est ipsi βΡ, ablata autem βP a Δψ restent duae aequales Δβ, Ρψ, sequitur et ablata Δδ ab Δψ relinqui δψ aequalem utrisque Δβ, Ρψ ideoque δψ esse duplam ipsius Pψ. Necessario igitur cum HQ bisecet δψ reperientur totidem pondera ab una atque ab alia parte rectae HQ eorum quae segmentis rectae δψ imposita sunt. Quod si segmenta haec sunt numero impari, unum istorum ponderum in ipsam intersectionem P incidet. Itaque semper pondera linae δψ super axe HQ aequiponderabunt. Sed et omnia reliqua super eodem axe aequiponderare ostensum est. Ergo omnium fiet super axe HQ aequilibrium, itaque non inclinabit planum a parte versus I. Eodem modo nec ex parte H inclinari ostendetur. Vide an non melius propositio eo modo praemittenda ut habetur folio sequente versoGa naar voetnoot3).
V, A. § 4Ga naar voetnoot4). Vide folio antecedente versoGa naar voetnoot5). Si in plano horizonti parallelo [Fig. 14] fuerint duae lineae parallelae inaequales et | |
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 [Fig. 14.]
commensurabiles atque ita positae ut recta quae utriusque punctum medium connectit utrique lineae sit perpendicularis, dividantur autem singulae in partes communi ipsarum mensurae aequales, et in singulis segmentis pondera aequalia collocentur ita ut singulorum centra gravitatis medijs portionum punctis conveniant, recta vero quae media puncta linearum primo acceptarum connectit dividatur in partes duas quae reciproce sint in eadem ratione quae est linearum ipsarum quibus adjacent. Et rectae duae agantur per punctum dictae divisionis quae cum lineis primo acceptis triangula isoscelia constituant quorum bases alternatim ijsdem lineis aequales fiant. aequilibrabitur planum cum impositis ponderibus si super alterutra rectarum ultimè ductarum mobile constituatur.
Jungatur ΔΞ et a singulis ponderibus rectae ducantur ipsi ΔΞ parallelae atque ad rectam PH terminatae. | |
V, B. Demonstration de l'equilibre de la balanceGa naar voetnoot1).
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Proposition 1.Un plan horizontal estant appuiè et mobile sur une ligne droite indefinie qui soit dans ce plan, si on le charge de deux poids egaux des deux costez de la ligne d'appuy, en sorte que les perpendiculaires menees de ces poids sur la mesme ligne soient egales, le plan demeurera en equilibre.
Soit le plan horizontal ABCD [Fig. 15] appuyè sur la ligne indefinie AC, et chargè des poids egaux E et F, d'ou les perpendiculaires menees sur AC, comme EH, FG | |
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 [Fig. 15.]
 [Fig. 16.]
soient egales. Je dis que le plan demeurera en equilibre. Car toutes choses estant egales des deux costez de la ligne ACGa naar voetnoot2), il seroit absurde de dire qu'il inclineroit plustost d'un costè que d'autre. | |
Proposition 2.Si un plan horizontal chargè de poids demeure en equilibre estant appuyè sur une ligne droite indefinie qui soit dans le mesme plan: il y aura un point dans cette ligne, sur lequel le plan estant appuyè, demeurera en equilibre.
Soit le plan horizontal AB [Fig. 16], chargè de poids, et demeurant en equilibre sur la ligne CD. Je dis qu'il y a un point dans cette ligne sur le quel le plan estant appuyè, demeurera en equilibre. Car supposons s'il est possible qu'il n'y ait pas un tel point dans la ligne CD, et ayant menè les lignes EE, FF, qui coupent CD à angles droits, et entre les quelles soient enfermez tous les poids dont le plan AB est chargè, soient pris dans la ligne CD, hors des paralleles EE, FF, les points C et D. Il est manifeste, si l'on appuye le plan par les points C et D, qu'il posera sur ces deux points, et qu'il demeurera en equilibre, puis qu'ils sont pris dans la ligne CD, sur la quelle le plan a estè supposè faire equilibre. Prenons maintenant le point H qui divise CD par le milieu, et soit entendu un troisième appuy sous le point H. Puis que donc, par ce qui a estè supposè, le plan ne | |
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scauroit demeurer en equilibre sur le seul point H, il est certain que si l'on oste l'un des appuis extremes comme D, il arrivera ou que le plan inclinera du costè D, ou qu'il demeurera appuiè sur les deux points H et C. Que s'il doit incliner du costè D, il est evident qu'un laissant l'appuy en D et l'ostant en C, il demeurera appuiè et en equilibre sur les points H et D. Il paroit donc que le plan demeurera en equilibre sur les points H, C ou H, D, c'est a dire sur deux points dont l'intervalle est la moitiè de celuy des premiers appuis C, D. Que ce soit sur H et D; et l'on montrera de la mesme maniere qu'il demeurera en equilibre sur deux points distans de la moitiè de l'intervalle HD; et encore sur deux qui ne seront distans que de la moitiè de cette derniere moitiè, et ainsi a l'infini. Et parce que cette bisection infinie se termine a un point, il s'ensuit que l'equilibre du plan AB se fera donc sur un point. ce qui est contraire a ce qui a estè supposè. Et partant la supposition impossibleGa naar voetnoot1). Donc il y a un point dans la ligne CD, sur le quel le plan estant appuyè demeurera en equilibreGa naar voetnoot2). | |
Proposition 3.Deux pesanteurs commensurables attachez a l'extremitè des bras d'une balance demeureront en equilibre, si ces bras sont en raison reciproque des pesanteurs.
Etc., comme dans la Pièce V, C qui suit (Prop. III)Ga naar voetnoot3). Comparez la note 2 de la p. 18 qui précède. | |
V, C. Demonstration de l'equilibre de la balanceGa naar voetnoot4).Dans la démonstration qu'Archimede a donnée de la proposition fondamentale des | |
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 [Fig. 17.]
Méchaniques, il suppose tacitementGa naar voetnoot5) une chose dont on peut douter avec quelque raison; c'est que si plusieurs poids égaux sont attachez à une balance, à distances égales les uns des autres, soit que tous se trouvent d'un mesme costé du point de suspension, soit que quelques-uns passent de l'autre costé, comme dans cette figure [Fig. 17], où le point de suspension est A; ces poids auront la mesme force à faire incliner la balance, que s'ils estoient tous attachez au point où est leur commun centre de gravité, comme est icy le point B: de sorte que si estant attachez séparément, ils faisoient d'abord équilibre avec un contrepoids C, ils le feroient encore estant tous suspendus au point B, ou en leur place un poids D qui égale la pesanteur de tous. Quelques Géometres, en diversifiant un peu cette démonstration, ont tâché d'en rendre le defaut moins sensible, mais je n'ay point trouvé qu'ils l'ayent osté. J'ay donc cherché à démontrer autrement la mesme proposition comme il s'ensuit. | |
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I. L'on demande avec Archimede que deux poids égaux attachez chacun au bout des bras égaux d'une balance fassent équilibre. II. Et que les poids estant égaux, & les bras de la balance où ils sont attachez, inégaux, elle incline du costé du bras qui est le plus long. III. L'on demande aussi qu'on puisse concevoir que les lignes & les plans dont il sera parlé dans cette démonstration soient inflexibles & sans pesanteur. | |
Premiere Proposition.Si sur un plan horizontal appuyé sur une ligne droite qui le coupe en deux, on applique quelque part un poids, la force que ce poids aura à faire incliner le plan de son costè sera plus grande que si on l'avoit placé [plus] prés de ladite ligne.  [Fig. 18.]
Soit le plan horizontal AB [Fig. 18] appuyé sur la ligne droite CD; & qu'on y applique un poids E distant de CD par la perpendiculaire EH; & qu'ensuite on applique le mesme poids en F, en sorte que la distance FH soit moindre que EH: je dis qu'il a plus de force pour faire incliner le plan de son costé, estant appliqué en E qu'en F. Car ayant prolongé la droite EFH en G, & faisent HG égale à HF, il est certain qu'un poids égal à celuy que nous avons dit, estant appliqué en G fera équilibre avec l'autre estant en F, à cause des bras égaux FH, HG. Mais le poids estant transporté de F en E, fera incliner le plan, parce que le plan estant sans pesanteur, le mesme effet doit se rencontrer icy que dans la balance de bras inégaux avec des pesanteurs égales. Donc le mesme poids placé en E a plus de force à faire incliner le plan, que quand il est en F: ce qu'il falloit démontrer. | |
Seconde Proposition.Si un plan horizontal chargé de plusieurs poids demeure en équilibre estant appuyé sur une ligne droite qui le coupe en deux, le centre de gravité du plan ainsi chargé sera dans la mesme ligne droite.
Soit le plan horizontal AB chargé des poids C C, D D, [Fig. 19] & qu'il demeure en équilibre, estant appuyé sur la droite EF. Je dis que son centre de gravitéGa naar voetnoot1) sera | |
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 [Fig. 19.]
dans cette ligne EF. Car supposons, s'il est possible, que le centre de gravité soit quelque part hors de cette ligne au point G; & par ce point soit menée la droite HK parallele à EF. Puis donc que le plan estant appuyé sur le point G demeure dans sa situation horizontale, il faut que quelque ligne droite qu'on mene dans ce plan par le point G, les poids des deux costez de cette ligne fassent équilibre. Partant les poids C C feront équilibre avec les poids D D, lors que le plan est appuyé sur la droite HK: ce qui est impossible puis qu'il demeuroit en équilibre estant appuyé sur la droite EF. Car il paroist que toutes les distances des poids d'un costè sont diminuées, sçavoir celles des poids C C, & par conséquent aussi l'effet de leur pesanteur, mais que les distances des poids opposez D D sont augmentées, & en mesme temps l'effet de leur pesanteur; de sorte que ces derniers poids feront incliner le plan de leur costé; & encore à plus forte raison, si un ou plusieurs des poids C C se trouvent de l'autre costé de la ligne HK. Donc le centre de gravité du plan chargé sera dans la ligne EF: ce qu'il falloit démontrer. | |
Troisiéme Proposition.Deux pesanteurs commensurablesGa naar voetnoot2) attacheés à l'extrémité des bras d'une balance, demeureront en équilibre si ces bras sont en raison réciproque des pesanteurs.
Soient les pesanteurs commensurables A & B [Fig. 20], desquelles A soit la plus grande, & la balance CDE, dont le bras DE soit à DC comme la pesanteur A à la pesanteur B: je dis que A estant attaché au bout C, & B au bout E, la balance soûtenuë au point D demeurera en équilibre. Que l'on conçoive un plan parallele à l'horizon passant par la ligne CE; & dans ce plan soient menées par les points E, C les droites LEG, KCM perpendiculaires à CE. Puis ayant pris EF égale à CD, soient tirées GFK, MDL coupant toutes deux la droite CE à angles demi-droits, & se coupant l'une l'autre à angles droits en N. Ces | |
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lignes doivents rencontrer les deux premiéres que nous avons menées par E & C; supposons que ce soit dans les points G, K & M, L. Il est manifeste que EG sera égale à EF, & CK égale à CF; comme aussi que GK, ML se couperont par le milieu au point N, & que les triangles GNL, KNM, seront semblables & égaux. Soit prise EH égale à EG & CO égale à CK; & puis que ED est à DC comme le poids A à B, il
 [Fig. 20.]
paroist que ED, DC sont commensurables, & que HG & KO seront de mesme commensurables, estant entre elles comme EF à FC, c'est-à-dire, comme CD à DE. Soient donc KO & HG divisées en parties égales à leur plus grande commune mesure; & les grandeurs A & B divisées de mesme. De cette sorte il y aura autant de parties de la pesanteur A, qu'il y a de parties dans la ligne KO; & autant de parties de la pesanteur B, qu'il y a de parties dans la ligne HG: lesquelles parties de pesanteur estant toutes égales, soient attachées chacune au milieu d'une des parties des lignes KO, HG. Nous montrerons maintenant que ces pesanteurs estant ainsi disposées, le plan demeure en équilibre lors qu'il est appuyé au point D. D'où la vérité de la proposition sera manifeste; parce qu'on peut concevoir que toutes les parties du plan sont ostées, & que les seules lignes KO, HG, chargées des poids égaux à ceux de A & de B, de- | |
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meurent appuyées sur les extrémitez de la balance C & E: car le plan estant sans pesanteur, ses parties ostées ne peuvent en rien changer l'équilibre. Pour montrer donc que l'équilibre du plan chargé, ainsi qu'il a esté dit, se fait sur le point D, soient menées de chaque poids des perpendiculaires sur la ligne LM, prolongée autant qu'il est nécessaire, comme RS, ZI, TV, XY &c. Maintenant les perpendiculaires TV & RS, qui descendent des poids les plus proches des points G & K, seront égales entre elles; parce que les triangles GNL, KNM estant égaux & semblables, comme il a esté dit, & le costé GL égal à KM, & l'intertervalle GT à KR, comme estant chacun la moitié d'une des parties égales faites par la division des lignes HG, KO, il est évident que les lignes TV, RS seront aussi égales, comme il a esté dit. Donc si on appuye le plan par la ligne LMQ, le poids T fera équilibre contre le poids R. De mesme à cause de l'égalité des perpendiculaires XY & ZI, le poids X fera équilibre contre Z; & ainsi consécutivement tous les poids de la ligne GH feront équilibre contre autant de poids pris depuis K dans la ligne KO: c'est-à-dire, que si l'on prend la partie KP de cette ligne égale à GH, ce seront les poids attachez entre K & P qui feront équilibre contre tous ceux de la ligne GH. Si donc les poids restans dans la ligne PO font aussi équilibre les uns contre les autres sur le plan appuyé par la ligne LMQ; il s'ensuivra que le plan chargé de tous les poids demeurera en équilibre sur cette mesme ligne. Or, l'équilibre de ces poids restans se prouve ainsi. Puis que KO est égale à deux fois CF, & KP égale à HG, c'est-à-dire à deux fois CD, il faut que PO soit égale à deux fois DF. Mais MO est égale à DF, parce que CM est égale à CD: donc MP est la moitié de PO. De sorte que la ligne PO qui contient le nombre des parties dont KO surpasse HG, estant coupée en deux parties égales par la droite LMQ, il est manifeste qu'il y aura nombre égal des poids que contient cette ligne PO des deux costez du point M, & rangez à pareilles distances; & que si le nombre de ces poids est impair, celuy du milieu sera dans le point M. D'où il s'ensuit que les perpendiculaires, qu'on a menées des mesmes poids sur la ligne LMQ sont égales chacune à sa correspondante, & que par conséquent les poids font équilibre lors que le plan est appuyé par la ligne LMQ; ce qui ayant esté aussi démontré des autres poids des lignes PK & HG, il s'ensuit que le plan avec tous les poids demeure en équilibre estant appuyé par la ligne LMQ. Le centre de gravité du plan ainsi chargé est donc dans cette ligne. Mais ce centre de gravité est aussi dans la ligne CE, parce qu'il est évident que le plan fait équilibre estant porté sur cette ligne. Donc il faut que ce soit le point commun à ces deux lignes LMQ & CE, sçavoir le point D, sur lequel le plan estant appuyé il demeure en équilibreGa naar voetnoot1). D'où se conclut, comme il a esté montré cy-dessus, la vérité du théoreme. |
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