Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

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Appendice II
À la pars quarta de l'‘Horologium oscillatorium’.

A. Dans la Prop. XXI Huygens indique e.a. la longueur du pendule isochrone avec un segment droit de parabole oscillant latéralement soit autour de son sommet soit autour du milieu de sa base. Son calcul repose e.a. sur quelques données qu'on trouve à la p. do (numération nouvelle) du Manuscrit B. Nous avons publié à la p. 475 du T. XVI la plus grande partie de ces données qui servaient en cet endroit à expliquer le calcul des p. 473-474 de la longueur du pendule isochrone avec un ellipsoïde de révolution suspendu en un point de son axe. Ici nous reproduisons de nouveau les deux figures de la page nommée, mais pour le texte de Huygens nous renvoyons le lecteur au T. XVI.

[Fig. 147.]

[Fig. 148.]

La Fig. 148 représente le segment entier. D'après la Fig. 147 et le texte correspondant on a DN = 5/7 DP, où DP est l'axe du segment de parabole dont la Fig. 147 ne représente que la moitié gauche, tandis que DN, subcentrique d'un onglet, est la longueur du pendule isochrone, lorsque la parabole, suspendue en D, exécute une oscillation solide, c.à.d. une oscillation autour de la tangente au sommet D. Comme le centre de gravité Z se trouve à une distance ⅗ DP du sommet, le ‘premier rectangulum’ - voir la p. 48 de l'Avertissement qui précède - correspondant à cette oscillation solide est DZ × ZN ou ⅗ DP × (5/7 - ⅗) DP ou 12/175 DP². La fraction 12/175 a été notée en marge par Huygens sur la page en question.

Pour calculer la longueur du pendule isochrone dans le cas d'une oscillation latérale du segment autour du sommet D, il faut en considérer le ‘deuxième rectangulum’, celui, peut-on dire, qui se rapporte à l'oscillation solide de la demi-parabole autour de DP. Comme la distance de DP au centre de gravité de la demi-parabole est ⅜ PQ (p. 474 du T. XVI) et la distance de DP au centre de l'oscillation solide considérée vaut 8/15 PQ, le ‘deuxième rectangulum’ s'exprime par ⅜ PQ. 8/15 PQ ou ⅕ PQ².

La somme des deux ‘rectangula’ que nous venons de calculer constitue le ‘spatium applicandum’ qui est donc 12/175 DP² + ⅕ PQ². En le divisant par ⅗ DP, distance du sommet au centre de gravité, et en ajoutant ⅗ DP au quotient, on trouve 5/7 DP + ⅓ PQ²/DP, ce qui est la valeur donnée par Huygens dans l'‘Hor. osc.’.

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On pourrait aussi commencer par ajouter DN² ou (⅗ DP)² au ‘premier rectangulum’. On trouve ainsi pour les deux grandeurs respectivement 3/7 DP² et ⅕ PQ². La somme 3/7 DP² + ⅕ PQ² constitue alors ce que nous avons appelé ρ² dans la note 1 de la p. 48 de l'Avertissement. En le divisant par ⅗ DP, distance du sommet au centre de gravité de la parabole, on trouve de nouveau pour la longueur du pendule isochrone 5/7 DP + ⅓ PQ²/DP.

Lorsque l'oscillation latérale du segment a lieu autour du point P, il faut, pour trouver ρ², ajouter (⅖ DP)² au ‘premier rectangulum’ 12/175 DP² et (⅜ PQ)² au ‘deuxième rectangulum’ (⅕ - 9/64) PQ². La somme totale est donc dans ce cas 8/35 DP² + ⅕ PQ², ce qui donne en divisant cette expression par ⅖ DP, la longueur du pendule isochrone 4/7 DP + ½ PQ²/DP, comme le dit Huygens.

Ajoutons que l'expression ‘spatium applicandum’ est employée déjà, dans un autre calcul, à la p. 60 du Manuscrit B. Voir la partie C du présent Appendice.

D'ailleurs on peut fort bien ne pas se servir d'une terminologie correspondant au texte de l'‘Hor. osc.’ et faire usage de la formule de la note 3 de la p. 482 ou de la note de la p. 492 du T. XVI.

B. La Pièce B, écrite au crayon (Huygens était alité en ce temps, voir la p. 36 de l'Avertissement), est empruntée à la p. 262 du Manuscrit D (les p. 254 et 264 portent les dates du 15 janvier et du 27 mai 1670 respectivement).

Huygens y considère l'oscillation latérale d'une croix, composée de deux lignes pesantes égales, autour d'un de ses sommets. Il s'agit de trouver la longueur du pendule isochrone.

Cunei super cruce AECD abscissi plano per EE, centrum gravitatis bifariam dividet BH. BG ∞ 1/12 ED.

La subcentrique BG de l'onglet considéré est le centre d'une oscillation solide de la croix autour de l'axe EE. L'onglet se compose de deux plans égaux, l'un triangulaire, l'autre rectangulaire, dont les centres de gravité se projettent en H et B respectivement.

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⅓/½ ∞ ⅔ a ∞ AO.

Le point de suspension dans le cas de l'oscillation latérale de la croix est A (l'oscillation solide considérée plus haut avait lieu autour d'un axe passant par E, mais il est évident que les points A et E sont équivalents). V est le centre de l'oscillation solide de la croix autour d'un axe horizontal passant par A. Le ‘premier rectangulum’ est donc le ▭ ABV ou 1/24 a². En y ajoutant, comme dans l'application de la deuxième méthode au cas du segment de parabole, le carré AB², c.à.d. ¼ a², on obtient , ce qui se calcule directement en prenant le ▭ BAV. Le ‘deuxième rectangulum’ ▭ EBG ou 1/24 a² doit rester tel qu'il est, puisqu'il se rapporte à un centre de gravité B situé sur l'axe de symétrie du corps oscillant. La somme 48/144 a² ou ⅓ a² est la grandeur totale - nous ne disons pas le ‘spatium applicandum’; comparez la note 1 de la p. 48 de l'Avertissement - correspondant à l'oscillation plane autour de A; en le divisant par ½ a, distance du sommet au centre de gravité, on obtient ⅔ a, longueur du pendule isochrone cherché.



Dans ce deuxième calcul, conduisant au même résultat, et analogue au premier calcul dans le cas du segment de parabole, la somme 1/12 a² du ‘premier rectangulum’, et du ‘deuxième rectangulum’, se rapportant par définition l'un et l'autre au centre B de la figure, constitue le ‘rectangulum oscillationis’, ‘totum spatium applicandum’ ou ‘spatium applicandum’. Après l'avoir divisée par ½ a, il faut ajouter ½ a au quotient, d'après la formule ou de la p. 48 de l'Avertissement.

C. Le calcul qui suit est emprunté à la p. 60 du Manuscrit B, considérée aussi plus haut (partie A). Comme il s'agit d'une feuille collée dans le Manuscrit, la date est incertaine. Huygens y calcule le ‘spatium applicandum’ d'un demi-paraboloïde de révolution. Ailleurs (Manuscrit B, p. 174 ou T. XVI, p. 483, p. 333 du présent Tome) il considère le paraboloïde (ou conoïde) entier. Il paraît extrêmement probable que le calcul de la p. 483 du T. XVI, quoiqu'il se trouve plus loin dans le Manuscrit B, soit antérieur à celui de la p. (60, d'autant plus qu'on trouve à la p. 60 la Fig. 150, dont la figure a latere où se trouvent les lettres P, Φ et Δ correspond à la Fig. 90 de la p. 289 du présent Tome et se rapporte à la nouvelle méthode de calcul pour les corps de révolution (voir la note 4 de la p. 554 du T. XVI), dont nous avons dit dans le deuxième alinéa de la p. 372 du T. XVI qu'elle correspond plus ou moins à la détermination de ∑z² de la note 4 de la p. 483 du T.

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XVI, c.à.d. à une méthode dont Huygens fait usage (note 5 de la p. 483 nommée) dans le cas du conoïde entier. Vers la fin de la Prop. XXII de la Pars Quarta Huygens parle généralement de la détermination du centre d'oscillation de la moitié d'un corps de révolution, évidemment toujours coupé en deux (comme le conoïde) par un plan passant par l'axe. Il ne développe le calcul que pour le demi-cône (nous ne possédons pas de brouillon de ce calcul) en ajoutant qu'il laisse à d'autres le soin d'exécuter un calcul analogue pour le demi-cylindre et le demi-conoïde. Or, voici ce qu'on trouve sur le demi-conoïde à la p. 60 du Manuscrit B outre le texte de la p. 475 du T. XVI se terminant par les mots NE [Fig. 147] 8/15 brachium cunei super PDQ abscissi per DP:

αβ [Fig. 150] brachium semiconoidis parabolici vel figurae proportionalis ζλδ.

Voici l'explication de ce calcul. 8/15 r, où r est le rayon de la base du demi-conoïde, est la distance à l'axe vertical de la Fig. 150 du centre de gravité d'une partie du demi-conoïde limité par deux plans passant par l'axe et faisant l'un avec l'autre un angle infiniment petit. Le lieu de tous ces centres de gravité est la demi-circonférence de cercle horizontale qu'on voit dans la figure.

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8/15 rr/c ou αβ est la distance de l'axe vertical au centre de gravité de cette demi-circonférence, donc aussi la distance de l'axe au centre de gravité du demi-conoïde. Les deux figures proportionnelles, à gauche et au-dessous de la figure principale, sont construites comme l'enseigne la Prop. XIV de la Pars Quarta. D'après la fin de la Prop. XV de la Pars Quarta le ‘deuxième rectangulum’ du conoïde entier s'exprime, puisque le corps considéré est de révolution, par le produit PΦ. PΔ, où PΔ = ½ r et PΦ = ⅓ r, Φ étant la projection sur la base du centre de gravité de la figure a latere qui, pour le conoïde, est un triangle. Ce ‘deuxième rectangulum’ est donc ⅙ rr. Or, il s'exprime aussi par le produit αβ. αγ, où αγ est le ‘brachium cunei per ζλ super figura proportionali ζλδ’. On obtient donc par division αγ = 5c/16. Le produit de βγ par αβ donne ensuite le ‘deuxième rectangulum’ se rapportant au demi-conoïde. Pour obtenir le ‘spatium applicandum’ du demi-conoïde il faut encore y ajouter le ‘premier rectangulum’ qui a la valeur 1/18 aa, où a désigne la hauteur du triangle a latere égale à celle du conoïde; en effet, il s'obtient, tant pour le demi-conoïde que pour le conoïde entier, en multipliant dans le triangle la distance 1/12 a de son centre de gravité au centre de l'oscillation solide du triangle autour d'un axe passant par son sommet - on prend donc la différence de ¾ a (subcentrique d'un onglet) et de ⅔ a - par la distance ⅔ a du centre de gravité au sommet.

Comme Huygens le dit dans le paragraphe sur le demi-cône, le ‘spatium applicandum’ calculé permet de trouver le ‘centrum agitationis ... in omni suspensione, ... dummodo ab axe qui sit parallelus’ au diamètre qui limite la base du demi corps de révolution. On obtient, comme toujours - comparez la partie D qui suit - la longueur du pendule isochrone en divisant le ‘spatium applicandum’ par la distance du sommet au centre de gravité du corps, et en ajoutant ensuite cette même distance au quotient.

[Fig. 151.]

D. La même p. 60 verso contient encore le calcul suivant:

[p. 418]

Huygens se propose de trouver le lieu des bases d'un groupe de cônes droits suspendus à un sommet commun et correspondant tous au même pendule isochrone de longueur p. La hauteur du cône considéré est d'abord appelé a, puis x, et le diamètre de la base d'abord b, ensuite 2y.

Le ‘spatium applicandum’ 3/80 aa + 3/80 bb du cône de révolution est donné par Huygens - qui laisse au lecteur le soin d'exécuter le calcul de ce ‘spatium’ ce que nous saisons comme lui - dans le paragraphe ‘centrum oscillationis coni’ de la Prop. XXII de la Pars Quarta. Il en tire ici la longueur du pendule isochrone comme il a été dit à la fin de la partie B qui précède. Le lieu cherché est l'ellipsoïde de révolution aplati engendré par la rotation de l'ellipse à axes 5/4 p et 5/2 p. C'est ce qui résulte aussi du calcul de Huygens de la p. 481 du T. XVI, où l'on trouve [Fig. 50] une ellipse de la même forme; ceci en vertu de la remarque que nous avons faite à la p. 368 (troisième alinéa) du T. XVI.