Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

[p. 388]

Appendice
À la pars secunda de l'‘Horologium oscillatorium’.
1670.

A.¹⁾ Demonstratio propositionis Cartesij, de qua Schotenius in commentarijs in geometriam illius.

[Fig. 124.]

1) La partie A de cette Pièce est empruntée aux p. 250-252 du Manuscrit D. Le texte et les figures correspondent presqu'exactement aux p. 155-157 qui précèdent, ce qui prouve, comme nous l'avons dit dans l'Avertissement (p. 36), que ces pages ont été rédigées au commencement de 1670 peu avant la maladie de Huygens. Dans ces Commentaires sur la ‘Géométrie’ de Descartes (voir les p. 374 et 411 du T. XIV) van Schooten parle (p. 264 de l'édition de 1659) de la lettre de Descartes à Mersenne (publiée en partie en 1667 aux p. 350 et 404 du Tome III de l'édition des lettres de Descartes par Clerselier), où il est dit que la droite qui joint ce que nous appelons le centre instantané de rotation à un point de la cycloïde, ou autre courbe C, décrite par le roulement d'une figure sur une ligne droite, est normale à la courbe C, d'où résulte e.a. une construction de cette normale dans le cas de la cycloïde. Descartes démontre ce théorème en considérant la courbe roulante comme la limite d'un polygone. Comparez la note 4 de la p. 401 qui suit. Huygens donne ici une démonstration plus exacte. Quant à la lettre de Descartes à Mersenne, qui est du 23 août 1638, elle a été publiée intégralement en 1898 dans les ‘Oeuvres de Descartes’, éd. Adam et Tannery, T. II, p. 307.

[p. 389]

1670. 9 Jan.

AB [Fig. 124]²⁾ curva genita circumvolutione figurae AOC super recta CD, describente nempe puncto A in circumferentia figurae AOC sumto.

Dico, si ducatur CA, a puncto contactus figurae et lineae CD, ad punctum curvae A ubi tunc invenitur punctum describens, ipsam CA occurrere curvae ad angulos rectos, sive circumferentiam MAH³⁾ descriptam centro C radio CA tangere curvam in puncto A.

Ducatur enim CB primum ad punctum curvae altius quam A. Et fuerit positus figurae in BED cum punctum describens esset in B. contactus in D. Et punctum curvae quod antea erat in C, hic jam sublatum sit in E, et jungantur EB, EC. tangatque figuram in E recta KH. Quia ergo recta CD aequalis est curvae ED, eâdem vero curvâ major utraque simul EH, HD, Erit EH major quam CH; unde angulus ECH major quam CEH. Et proinde ECL minor quam CEK, atqui addendo angulo KEB, qui aequalis LCA ad KEC fit angulus CEB. Et auferendo ab ECL angulum LCB, fit ECB. Ergo angulus CEB major angulo ECB. Itaque in ∆^o CEB latus CB majus erit quam EB. Atqui EB aequale patet esse CA, cum sit hoc ipsum una cum figura transpositum. Ergo CB etiam major quam CA, hoc est quam CF. Unde punctum B erit extra circumferentiam MAF.

Sit rursus punctum N in curva inferius sumtum puncto A. cumque punctum describens esset in N ponatur situs figurae fuisse in VLN, punctumque contactus L, punctum vero quod tangebat primam in C, sit jam sublatum in V, et jungantur CN, NV, VC, VL. Eritque VN aequalis CA, imo ipsa erit CA in VN translata. Jam quia recta LC aequatur curvae LV, ac proinde major est recta LV, erit in ∆^o CLV angulus LVC major quam LCV. Unde addito insuper angulo LVN ad LVC, fiet simul totus NVC major utique quam LCV ac proinde omnino major angulo NCV qui pars est LCV. Ergo in ∆^o CVN latus CN majus erit latere VN, cui aequalis CA. Quare et CN major quam CA, hoc est quam CM. unde apparet punctum N cadere extra circulum MAF qui proinde tanget curvam in puncto A.

Haec demonstratio convenit partibus curvarum infra regulam descendentibus, quae curvae generantur a puncto extra figuram revolutam sumto.

EH [Fig. 125]⁴⁾ tangens in E. DH + HE majores quam curva DE, hoc est quam recta DC. Ergo HE major quam HC. Ergo angulus HCE major quam HEC. Atqui

2) Notre Fig. 124 n'est autre que la Fig. 37 de la p. 155 qui précède. La figure de Huygens, tracée à la main, y correspond exactement.

3) Lisez MAF.

4) Notre Fig. 125 n'est autre que la Fig. 38 de la p. 158 qui précède: comparez la note 2.

[p. 390]

ad HCE addito HCB fit angulus ECB. Et ab HEC auferendo HEB, qui aequalis DCA, fit angulus CEB. Ergo ECB major quam CEB. Unde in ∆^lo ECB latus EB majus quam CB. Sed ipsi EB aequalis est CA sive CF. Ergo et CF major quam CB. Ergo punctum circumferentiae F est extra curvam AB.

Sit jam revoluta figura [Fig. 126] in partem L ita ut recta CA translata in VN jam magis inclinetur ad regulam CQ. Sitque contactus in L, et punctum quod erat in C sublatum in V. et jungantur LV, VC, CN.

Ergo quia CL aequalis curvae VL, erit eadem CL major recta VL, Unde in ∆ CVL, angulus LVC major LCV. ac proinde CVP minor VCQ. Sed addendo ad VCQ angulum QCN, fit angulus VCN. Et auferendo ab CVP angulum PVN, fit angulus CVN. Ergo in ∆^o CVN, latus VN majus erit quam CN. Est autem ipsi VN aequalis CA, sive CM. Ergo et CM major quam CN. Ideoque punctum circumferentiae M radio CA descriptae est extra curvam AN.

[p. 391]

[Fig. 127.]

B.¹⁾

§ 1²⁾.

³⁾

1) La partie B que nous divisons en trois §§ est empruntée aux p. 253 (§ 1 et § 2) et 257 (§ 3) du Manuscrit D. La p. 254 porte la date du 15 janvier 1670.

2) Huygens considère ici, comme dans les §§ 2 et 3, un poids punctiforme A attaché à un plan rigide qui roule sur une droite horizontale.
Dans la Fig. 127, comme dans les Fig. 129 et 130, la courbe qui limite ce plan vers le bas a par hypothèse une forme telle que le point A décrit une cycloïde. Huygens se propose de trouver le rayon de courbure - voir sur cette expression les p. 41 et suiv. de l'Avertissement qui précède - de la courbe mentionnée en son sommet E. L'arc infiniment petit AS de la cycloïde peut être considéré eomme faisant partie d'une circonférence de cercle à centre C et rayon CA = a. CS est donc la normale a la cycloïde au point S et, d'après les considérations de la partie A qui précède, son prolongement coupe la droite horizontale sur laquelle le plan rigide roule au point G, centre instantané de rotation au moment où le poids se trouve en S. Lorsqu'on prend l'arc EF = EG, AF est donc la droite du plan roulant qui va prendre la position SG. Comme l'arc EF est infiniment petit, FG est perpendiculaire à EG et DF = EG (= y). AE ou b est donnée, Huygens prend en outre AD = x et DE = z. FN est une normale à la courbe roulante; c'est donc NF ou NE (d) qu'il s'agit de calculer.

3) En termes plus modernes: L'arc EF étant infiniment petit, la droite z est infiniment petite du deuxième ordre.

[p. 392]

¹⁾

§ 2²⁾. Si NE ∞ d [Fig. 128] sit radius circumferentiae EF quae super plano volvitur motu reciproco, Et EA ∞ b distantia ponderis A, plano affixi, à puncto E. Erit , longitudo penduli isochroni oscillationibus ponderis A ita agitati, sive CA erit radius circumferentiae maximae curvam AL, in qua pondus A fertur, intus tangentis.

Potest EF curva esse ejus figurae ut pondus A versetur in cava cycloide³⁾, ac tunc oscillationes fient isochronae⁴⁾. saltem mechanicè satis prope inveniri poterit.

Fila seu fasciolae planae sint MEG, HEO. altera affixa in M et G, altera in H et O. his retinebitur solidum volutatum. ut sit portatile.

1) Le rayon de courbure d ayant été trouvé égal â b + b²/a, il en résulte que a a la valeur indiquée, lorsque la longueur b et le rayon de courbure sont donnés.

2) Dans le § 1 il n'a été fait usage que d'une seule propriété de la cycloïde, savoir celle de posséder en son sommet un rayon de courbure a de longueur connue. Le résultat du calcul fait donc conuaître généralement la relation qui existe entre les rayons de courbure a et d. La courbe inférieure peut p.e. être une circonférence de cercle auquel cas la courbe décrite par le point A sera une cycloïde allongée. D'ailleurs Huygens ne dit rien sur la forme de la courbe décrite dans ce cas dont il est aussi question chez Descartes et van Schooten (note 1 de la p. 388 qui précède). On voit que Huygens désigne ici ce qu'il appellera plus tard le ‘radius curvitatis’ - voir la p. 43 de l'Avertissement - en un sommet comme le rayon de la plus grande circonférence de cercle qui touche la courbe considérée intérieurement en ce point. Apollonios dans le cinquième livre de ses ‘Conica’ - Huygens avait reçu en 1662 (T. IV, p. 165) l'édition de Borelli et Ecchellensis de 1661 annoncée déjà en 1658 (T. II, p. 252) - parle longuement des droites minimae et maximae qu'on peut mener à une section conique d'un point donné situé sur l'axe principal (ou ailleurs). Comparez sur Huygens et Apollonios la note 10 de la p. 41 de l'Avertissement.
On peut aussi consulter sur l'édition de 1661 la p. 501 du T. III: Golius - dont le manuscrit arabe fut un de ceux employés plus tard par E. Halley, comme celui-ci le dit dans la ‘Praefatio’ de son édition de 1710 - disait à bon droit que le texte arabe dont s'étaient servis Borelli et Ecchellensis était écourté; voir la p. 7 de ‘Das Fünfte Buch der Conica des Apollonius von Perga in der arabischen Uebersetzung des Thabit ibn Corrah’ par L.M.L. Nix (Leipzig, W. Drugulin, 1889). À la p. 562 de notre T. IV il est dit à tort que l'édition de 1661 est de Abalphatus Aspahanensis: c'est de ce dernier (Abu'l-fath ibn Mohammed al-Isfahâni) que provient le texte arabe (datant de 983) traduit en latin par Ecchellensis.

3) C'est de nouveau le cas du § 1.

4) Il est évident que le tautochronisme des oscillations exige, comme cela est dit expressément au § 3, que le plan roulant soit impondérable.

[p. 393]

[Fig. 128.]

[Fig. 129.]

[p. 394]

[Fig. 130.]

§ 3⁵⁾. ALM [Fig. 129] Cycloides cujus axis SA. AE ∞ ½ AS, sed et major minorve potest accipi. EH perpend. AE. LG, MH cycloidi ad angulos rectos. EF ∞ EG. AF ∞ LG; ita invenitur punctum F. Rursus FK ∞ GH. AK ∞ MH. &c.

curva EFK revoluta in plano EH faciet ut punctum A versetur in Cycloide ALM, semisecundorum. Pondus ergo in A affixum, si cetera gravitate careant faciet hoc modo oscillationes isochronas.

Ceste figure [Fig. 130] en roulant sur un plan fait que le point A decrit une Cycloide creuse de demisecondes.

5) Comparez le § 1. La Fig. 130 et le texte correspondant sont empruntés à une feuille détachée qui se trouve dans le Manuscrit D. Nous reproduisons ici les Fig. 129 et 130 à petite échelle. Chez Huygens les courbes roulantes des deux figures sont identiques. Dans le première de ses figures SA a une longueur de 12,4 cm. Le double de cette longueur correspond en effet à une oscillation simple accomplie en une demi-seconde.