Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 545]

XVIII¹⁾.
[1665?]²⁾

[Fig. 87.]

Data figura plana quavis ABC [Fig. 87] quae divisa sit in particulas aequales minimas, dataque in eodem cum figura plano lineâ rectâ, in quam ex particulis singulis perpendiculares ductae intelligantur, ut FK &c. Invenire summam quadratorum omnium dictarum perpendicularium.

Sit primum recta DE extra figuram ABC et sit GE distantia centri gravitatis figurae ab recta ED; et HE distantia inter ipsam ED et perpendicularem quae ex centro gravitatis trunci super figura ABC abscissi plano per ED cadit in figuram ABC. dico summam quaesitam quadratorum omnium perpendicularium in rectam ED, aequari rectangulo linearum GE, EH multiplici secundum numerum omnium dictarum perpendicularium, sive omnium particularum in quas figura secta est.

demonstratio repetenda ex libro B, lemmatis א³⁾, ubi concluditur, summam productorum ex particulis singulis in quadrata suarum perpendicularium super ED, sive summam quadratorum horum omnium in particulam unam, aequari producto ex figura ABC in rectangulum distantiarum HE, EG³⁾. Est autem figura AB⁴⁾

1) Manuscrit C, p. 9-12.

2) Comparez la note 2 de la p. 543 qui précède. La présente Pièce est de 1664 ou de 1665 (comparez la p. 519 du T. XIV où nous avons adopté la dernière date).

3) Voir la note 2 de la p. 501 et la p. 503 de ce Tome.

3) Voir la note 2 de la p. 501 et la p. 503 de ce Tome.

4) Ou ABC.

[p. 546]

id quod fit ex particula una in numerum particularum in quas divisa est. Itaque omissa utrimque multiplicatione in particulam figurae, apparet summam omnium quadratorum à perpendicularibus super ED aequari producto rectanguli HE, EG in numerum particularum in quas figura divisa est¹⁾.

[Fig. 88.]

Sit jam recta DE [Fig. 88] quae figuram secet in partes DAB, DCB et oporteat invenire summam quadratorum a perpendicularibus omnibus quae utrinque è particulis figurae ABC ducuntur in rectam DE ut FK, OR &c. Quod si dentur distantiae centrorum gravitatis partis utriusque ab recta DE, nec non distantiae punctorum superquibus gravitant cunei super dictis partibus abscissi planis per DE ductis, jam quasi duae figurae erunt et extra utramque data linea ED; ac proinde eodem modo quo antea colligentur summae omnium quadratorum à perpendicularibus quae utrinque in rectam ED cadunt à particulis sectae figurae. at non datis illis centrorum distantijs (quae sepe [sic] inventu difficiles aut impossibiles sunt) sed tantum datis ab recta AP, quae tangat figuram sitque parallela ED distantijs AG, centri gravitatis figurae totius, et AH puncti super quo gravitat cuneus abscissus plano per AP, ostendemus tamen dari summam quaesitam omnium quadratorum, quam nempe aequalem esse dicimus rectangulo AGH una cum quadrato EG multiplicibus secundum numerum particularum in quas figura tota dividitur²⁾.

Sit enim AE distantia inter rectas ED, AP ∞ a, ductisque ab F et O perpendicularibus in rectam AP, sit FP ∞ b, OQ ∞ c. Est itaque perpendicularis FK ∞ b-a, et perpend. . adeoque quadratum , et

1) Ici Huygens intercala la remarque: ‘Ostende generaliter, si AX [Fig. 87] sit brachium cunei, quadrata distantiarum ab ED aequari rectangulo AGX una cum quadrato EG, multiplicibus per numerum particularum’.
Il s'agit ici du ‘cuneus’ à base ABC limité par un plan sécant oblique passant par la tangente, parallèle à ED, au point A de la figure ABC. On trouve cette démonstration générale (la droite DE pouvant être extérieure à la figure) à la p. 107 de l'édition originale de l'‘Horologium oscillatorium’ (Prop. IX de la Pars Quarta), où le rectangle AGX s'appelle AGH, conformément à la Fig. 88.

2) C'est la proposition énoncée dans la note précédente; mais ici Huygens ne considère que le cas où la droite DE coupe la figure.

[p. 547]

quadratum , patetque eadem ratione quadrata singularum perpendicularium tam quae ex particulis portionis DCB quam DAB cadunt in rectam ED, aequari quadrato distantiae particulae cujusque ab recta AP, una cum quadrato AE, minus duplo rectangulo à dicta distantia in ipsam AE. Quare ad colligendam omnium istorum quadratorum summam, appellemus nn summam quadratorum quae fiunt a distantijs singularum particularum ab recta AP. Item appellemus m summam omnium earundem distantiarum; unde dupla omnia rectangula ex distantijs singulis in rectam AE erunt 2ma. Denique et numerum particularum in quas divisa est figura ABCD vocemus θ. unde quad ratum rectae AE toties sumptum quot sunt in figura particulae, erit θaa. ac summa proinde omnium quadratorum à perpendicularibus in rectam ED, fiet

Est autem nn, hoc est, summa omnium quadratorum a perpendicularibus in rectam AP, aequalis rectangulo HAG multiplici secundum θ sive numerum particularum uti parte prima hujus propositionis demonstratum fuit³⁾. θaa vero apparet esse quadratum AE multiplex item secundum dictum particularum numerum. ac denique 2ma aequari dico duplo rectangulo ex GA, AE, multiplici secundum eundem particularum numerum, cum a sit ∞ AE; m vero, sive summa omnium perpendicularium a particulis figurae ABC in rectam AP descendentium, aequalis sit perpend. GA a centro gravitatis figurae descendenti multiplici secundum numerum perpendicularium seu particularum a quibus eductae sunt. Constat itaque nn+θaa-2ma, sive summam omnium quadratorum à perpendicularibus in rectam ED, aequari istis quae dicemus multiplicibus secundum numerum particularum, rectangulo nimirum HAG una cum quadrato AE, minus duplo rectangulo GAE, quae aequalia esse probantur rectangulo AGH una cum quadrato EG. Nam si AH vocetur h: AG vero g: Et AE, ut ante, sit a. Erit quidem rectangulum HAG, una cum quadrato AE, minus duplo rectangulo GAE, aequale hg+aa-2ga. At rectangulum AGH erit hg-gg; et quadratum EG, gg-2ag+aa, quae simul addita efficiunt quoque hg+aa-2ag. Itaque apparet et dictam summam omnium quadratorum aequari rectangulo AGH, unà cum quadrato EG⁴⁾. quod erat demonstrandum⁵⁾.

Iisdem positis si recta DE [Fig. 89] transit per G centrum gravitatis sigurae ABC, manifestum est dictam quadratorum summam⁶⁾ aequalem fore soli ▭^o AGH⁴⁾,

3) Le rectangle HAG correspond au rectangle HEG de la Fig. 87 dans le cas particulier où le point E de la Fig. 87 est situé sur le contour de la figure.

4) On lit en marge: ‘multiplicibus secundum numerum particularum’, ce qui s'applique sans doute tant au rectangle AGH augmenté du carré EG qu'au rectangle AGH seul (dernière ligne de cette page).

5) Huygens intercala les mots: ‘hic incipit prop. nova’. Voir l'alinéa qui suit et qui correspond à la Prop. X de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’.

6) On lit entre les lignes: ‘sit rursus nova prop.’ Comparez la note précédente.

4) On lit en marge: ‘multiplicibus secundum numerum particularum’, ce qui s'applique sans doute tant au rectangle AGH augmenté du carré EG qu'au rectangle AGH seul (dernière ligne de cette page).

[p. 548]

cum EG nulla sit. Atque hinc porro sequitur¹⁾, si DE sit axis figurae ABC [Fig. 89]

[Fig. 89.]

in duo segmenta aequalia ipsam dividens, AP vero ipsi parallela extra figuram. Et sit uti prius AG brachium figurae totius super AP: AH vero brachium cunei vel trunci abscissi super sigura tota plano per AP. Figurae autem dimidiae DAE brachium super DE sit VG, et XG brachium cunei super eadem dimidia figura abscissi plano per DE. his positis sequitur inquam rectangulum AGH aequale esse rectangulo XGV.

Est enim rectangulum XGV multiplex secundum numerum particularum figurae dimidiae DAE, aequale quadratis omnibus perpendicularium à particulis ejusdem dimidiae figurae in rectam DE cadentium. Ac proinde idem rectangulum XGV multiplex secundum numerum particularum figurae totius ABCD, aequale erit quadratis perpendicularium a particulis totius figurae utrinque in rectam DE eductarum, hoc est, per ante ostensa¹⁾, rectangulo AGH secundum eundem omnium figurae particularum numerum multiplici. unde patet rectangula ipsa VGX, AGH aequalia esse²⁾.

Data figura plana, et in eodem plano puncto, intra vel extra, divisaque figura in particulas aequales minimas, a quibus singulis ad dictum punctum rectae ducantur. invenire summam omnium quae ab ipsis fiunt quadratorum. sive invenire planum cujus multiplex secundum istarum particularum numerum aequetur dictae quadratorum summae.

[Fig. 90.]

Sit figura plana ABCD [Fig. 90] et in eodem plano punctum E, divisaque figura in particulas minimas aequales intelligantur a singulis rectae ad punctum E ductae, sicut a particula F ducta FE. Oportetinvenire summam quadratorum ab omnibus hisce rectis.

Secetur figura in partes duas, ductâ rectâ quae per datum punctum E perque centrum gravitatis figurae G transeat. Alteraque item per punctum E recta ducatur EP quaesecet EG ad

1) Voir la dernière ligne de la p. 515.

1) Voir la dernière ligne de la p. 515.

2) Huygens intercala les mots: ‘sit rursus prop. nova’. C'est la Prop. XI de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’.

[p. 549]

angulos rectos. Sit autem data AH subcentrica cunei, super figura abscissi plano per AR tangentem figuram ac parallelam rectae EP. Item BK subcentrica cunei super figura abscissi plano per BR, tangentem figuram extrinsecus ac parallelam EG. Dico summam quadratorum à rectis quae ducuntur ad punctum E ex omnibus figurae particulis aequari rectangulis BGK, AGH una cum quadrato EG multiplicibus secundum numerum particularum in quas secta est figura.

Ductis enim ab F perpendicularibus FP, FQ in rectas EP, EG. manifestum est quadratum FE aequari quadratis FP, PE vel FP, FQ. Eademque ratione quadrata singula distantiarum cujusque particulae à puncto E, aequari quadratis binis distantiarum ejusdem particulae ab rectis EP, EG. Quamobrem quadrata omnium distantiarum a puncto E, aequalia erunt summae quadratorum perpendicularium ab omnibus figurae particulis in rectam EP ductarum, una cum summa omnium quae fiunt a perpendicularibus in rectam EG ductis. Est autem summa horum per praeced. aequalis rectangulo BGK multiplici secundum numerum particularum, summa vero istorum aequalis rectangulo AGH una cum quadrato EG, similiter multiplicibus³⁾. Itaque quadrata omnia distantiarum a puncto E aequalia esse liquet rectangulis BGK, AGH cum quadrato EG, multiplicibus secundum quadratorum vel particularum numerum. quod erat demonstrandum.

Quod si autem recta EC sit axis figurae ABCD, in duo aequalia ac similia segmenta eam dividens, deturque GV brachium figurae dimidiae super recta EG, itemque GX brachium cunei super figura eadem dimidia abscissi plano per EG, potest loco rectanguli BGK sumi rectangulum XGV; quemadmodum prop....⁴⁾ ostensum est.

3) Voir les deux derniers alinéas de la p. 547.

4) Voir la note 2.