Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 487]

XII¹⁾.
[1664].

[Première Partie]²⁾.
1664. oct.

[Fig. 54.]

Super sectore DBAO [Fig. 54] parallelepipedum erectum intelligatur, idque secari plano transeunte per NDN quae parallela est BO; quaeritur MD brachium super ND, solidi absciffi, basin habentis sectorem DBAO³⁾.

Sit ▭ CGFO ∞ portioni CAO. erit G punctum sub centro gravitatis superficiei curvae propositi solidi. quia enim ductis YZ aequaliter inter se distantibus et normalibus ad CO, partes dictae superficiei curvae aequales inter binas quasque YZ, YZ intercipiuntur; ut facile ostenditur ex eo quod sphaerae superficies planis aequaliter distantibus in partes aequales dividitur⁴⁾; idem itaque est ac si in punctis Z aequales gravitates suspensae essent quae singulae si designentur lineis YY, erit jam momentum omnium simul istarum gravitatum super CO aequale omnibus YZ in YY. cui aequatur quod fit ex GC in omnes YY, quia ▭

1) La Pièce est empruntée aux p. 169, 171 et 172 du Manuscrit B.

2) Manuscrit B, p. 171 et 172.

3) En d'autres termes (voir le théorème de la p. 458) on cherche la longueur DM ou x du pendule isochrone avec le secteur de cercle DBAO, lorsque D est le point de suspension, et que le mouvement est solide (voir la p. 499).

4) Il paraît plus facile de démontrer directement l'égalité des éléments de la surface cylindrique considérée.

[p. 488]

GO aequale ponitur portioni ACO. Itaque omnes gravitates YY suspensae ex puncto G aequaliter gravitant super CO, atque

[Fig. 54.]

cum singulae ex punctis Z suspenduntur. Quare G erit sub centro gravitatis omnium ex punctis Z suspensarum. quod erat demonstrandum.

Quod si jam sumatur GM ∞ ¼ GD. dico M esse sub centro gravitatis solidi propositi.

Si enim solidum dividi intelligatur superficiebus infinitis cylindricis quarum tamen minima et ubique aequalis crassitudo concipitur, aequaliter inter se distantibus ac parallelis superficiei cylindricae quae super BAO, harum singularum centra gravitatis similiter divident suas diametros, hoc est partes lineae AD, aequaliter sese excedentes, sicut AD divisa est in G. Unde et distantiae istorum centrorum gravitatis aequaliter divident lineam GD. Sunt autem superficies istae inter se sicut quadrata suarum diametrorum; Itaque ad lineam GD appendi gravitates intelligendum aequalibus intervallis distantes quaeque crescunt ut quadrata numerorum ab unitate, ac proinde centra gravitatis ipsarum omnium ita dividere rectam GD, uti axis coni GD divideretur, a centro gravitatis coni cujus vertex D. hoc est ut GM sit ¼ GD¹⁾.

Hinc porro et brachium ungulae super portione BAO plano inclinato per BO transeunte abscissae inveniri potest, quia solidum illud prius²⁾ constat ex pyramide, et parallelepipedo super portione ABO, et ungula hac; dantur autem centra gravitatis priorum partium duarum et proportio ad ungulam posita nempe dimensione arcuum circuli quoties opus.

Sequitur calculus ad inveniendum DM¹⁾.

1) L'exécution de ce calcul donne donc la longueur DM du pendule isochrone avec le secteur de cercle BAOD, lorsque ce secteur est suspendu au point D et que le mouvement est solide (voir la p. 499).
Connaissant DM, on peut ensuite trouver la longueur du pendule isochrone avec le secteur suspendu en D et oscillant dans son plan. Huygens trouve cette longueur à la p. 173 du Manuscrit B. Nous supprimons ce calcul, identique au fond avec celui de la p. 527 qui suit.
À la p. 172 du Manuscrit Huygens calcule encore le bras de levier de l'onglet construit sur la même base (le secteur) et limité par uu plan oblique passant par ΩAΩ.

2) Il s'agit du solide décrit dans le premier alinéa de la p. 487.

1) L'exécution de ce calcul donne donc la longueur DM du pendule isochrone avec le secteur de cercle BAOD, lorsque ce secteur est suspendu au point D et que le mouvement est solide (voir la p. 499).
Connaissant DM, on peut ensuite trouver la longueur du pendule isochrone avec le secteur suspendu en D et oscillant dans son plan. Huygens trouve cette longueur à la p. 173 du Manuscrit B. Nous supprimons ce calcul, identique au fond avec celui de la p. 527 qui suit.
À la p. 172 du Manuscrit Huygens calcule encore le bras de levier de l'onglet construit sur la même base (le secteur) et limité par uu plan oblique passant par ΩAΩ.

[p. 489]

³⁾³⁾⁴⁾

Hoc est si fiat ut subtensa BO ad arcum BAO ita radius AD ad DV. Erunt ⅜ totius CV aequales quaesitae DM.

3) a = addendo, m = multiplicando.

3) a = addendo, m = multiplicando.

4) Voir la note 2 de la p. 526.

[Deuxième Partie]⁵⁾.

[Fig. 55.]

5) Manuscrit B, p. 169. Ce calcul, beaucoup plus bref que celui de la p. 173 (voir la note 1), semble être antérieur à celui-ci à cause de la place qu'il occupe dans le Manuscrit. Nous le plaçons néanmoins ici parce que la méthode de la p. 173 est la même que celle suivie dans quelques cas précédents, tandis que ce calcul-ci occupe une place à part.

[p. 490]

[Fig. 56.]

¹⁾

1) Comparez sur la méthode de calcul l'avant-dernier alinéa de la p. 505 qui suit. On considère une oscillation de 180^o. Tandis qu'en général la figure est divisée en ‘quadratula minima’, dans ce cas-ci le secteur est divisé en anneaux très minces, comme la Fig. 55 l'indique. La longueur rr/x correspond à la longueur bb/x de la p. 505: c'est la hauteur à laquelle tous les points d'un anneau, situé à la distance r du centre ou point de suspension, pourraient s'élever librement ‘si peracta semioscillatione sursum suum motum converterent’. La surface de cet anneau est 2p si l'on appelle 2p l'arc correspondant à l'anneau et 1 sa dimension infiniment petite dans le sens du rayon. L'expression 2prr/x correspond donc au produit de bb/x par f(surface d'un carré), et il s'agit de trouver la somme de ces expressions pour tous les anneaux (l'expression ccf/x de la p. 507). Huygens effectue cette intégration dans la Fig. 56. Comme l'arc p est proportionnel à r, la courbe qui correspond à y = 2prr/x (où les variables sont y et r tandis que x est une constante) est une ‘paraboloïdes’ (voir la note 2 de la p. 475) du troisième degré. L'intégrale cherchée, exprimée par une aire, est donc ¼br [Fig. 56], où b = 2pr²/x. Quant à l'expression ⅔ dr/p, elle représente la distance du centre de gravité du secteur au point de suspension, donc aussi la hauteur à laquelle ce centre s'élève. Il faut, d'après la p. 507, multiplier cette expression par la surface du secteur; mais on peut également multiplier dr/p, hauteur à laquelle le centre de gravité d'un anneau s'élève, par l'élément de surface (ici 2p) et intégrer le produit (ici 2dr) sur tous les anneaux. Cette intégration est effectuée au moyen de la parabole de la Fig. 56; on trouve ainsi l'intégrale ⅓ar, où a = 2dr. D'après la p. 507 les deux intégrales ⅓ar et ¼ br doivent être égales. C'est ce qu'exprime l'équation 2prr/x:2dr = 4:3, où cette fois p, r et d sont des longueurs constantes, savoir celles qui correspondent à l'anneau extérieur ou, si l'on veut, au secteur de cercle donné. La valeur trouvée pour x s'accorde avec celle trouvée par Roberval (voir la note 2 de la p. 352).
Dans le cas particulier où le secteur est un demi-cercle on trouve x = ¾p, conformément au résultat obtenu plus haut (voir la Pièce VI, à la p. 442, Fig. 24).