Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 461]

X¹⁾.

[Première Partie]²⁾.
[1664?]³⁾.

[Fig. 40.]

plana figura quaevis BCD [Fig. 40] suspensa quovis situ a puncto in eodem cum ipsa plano existente; si a puncto suspensionis ad figurae centrum gravitatis eadem fuerit distantia, isochronas sibi ipsi oscillationes habebit in latus agitata⁴⁾.

1) La Pièce est empruntée à deux des feuilles mentionnées dans la note 2 de la p. 435.

2) Manuscrit B, p. 96 recto.

3) Vu la généralité de cette proposition et l'absence de toute démonstration il ne paraît pas impossible que Huygens l'ait trouvée après le 13 octobre (voir la note 5 de la p. 463). Le reste de la p. 96 recto est en blanc (on n'y trouve qu'une petite esquisse d'une figure sans importance). Il est probable toutefois qu'il a découvert cette loi déjà en octobre 1664, puisqu'il semble y faire allusion dans la ligne 7 d'en bas de la p. 525. Comparez le quatrième alinéa de la note 3 de la p. 462.

4) Voir pour la démonstration les Prop. XII et XIII de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’ (p. 109-113 de l'édition originale). La figure oscille dans son plan (comparez la quatrième ligne de la page suivante).

[p. 462]

[Deuxième Partie¹⁾].
[1664]²⁾.

[Fig. 41.]

DF, DE ∞ DB, DC [Fig. 41].

ΔEFG sive duplum ejus spatium EGFHE ex A suspensum et circa axem GH agitatum isochronum est triangulo ABC ex A suspenso et in latus agitato. quare huic pendulum isochronum habebitur si isti habeatur³⁾.

1) Manuscrit B, p. 99 verso.

2) Voir la note 2 de la p. 435, et la note 5 qui suit.

3) Le triangle isoscèle ABC [Fig. 41] qui oscille dans son plan peut être découpé en tranches horizontales infiniment minces; chacune de ces tranches peut alors être placée dans la position verticale par une rotation d'un angle droit autour de son centre de gravité. D'après la proposition précédente (p. 461) - voir cependant le quatrième alinéa de cette note - la longueur x du pendule isochrone correspondant à chaque tranche restera la même; d'après la formule générale (où n désigne le nombre des points pesants égaux qui constituent le corps oscillant, b la distance de son centre de gravité à l'axe d'oscillation, et r la distance d'un point pesant quelconque à cet axe) x = Σr²/nb (formule que Huygens - qui toutefois ne se sert pas du symbole Σ; comparez la note 3 de la p. 372 - a dû connaître, semble-t-il, avant le 10 oct. 1664, puisque dans sa lettre à Moray du 10 oct. il annonce la découverte du centre d'oscillation de la sphère; voir les notes 2 et 4 de la p. 472 qui suit), Σr² conservera donc aussi après la rotation la même valeur pour chaque tranche et il en sera de même pour le Σr² de toutes les tranches. Comme d'autre part le centre de gravité de l'ensemble des tranches restera pendant la rotation à la même hauteur, la longueur du pendule isochrone avec le triangle ABC oscillant dans son plan sera, d'après la formule, égale à la longueur du pendule isochrone avec le pendule linéaire AE de densité inégale obtenu par la rotation des tranches.
Mais ce pendule linéaire est évidemment équivalent à un pendule de la forme GFE obtenu en écartant les tranches de telle manière que la densité des globules ou points pesants qui les constituent est partout égale dans la figure plane GFE, laquelle oscille autour de l'axe GH. En effet, de cette façon Σr² et nb conservent leurs valeurs pendant l'écartement. La largeur GA est quelconque. Au lieu de la figure GFE on peut tout aussi bien prendre la figure double EGFHE dont on conçoit plus aisément l'oscillation autour de l'axe GH.
L'angle BAC est supposé aigu (ou droit), faute de quoi le point F serait situé au-dessus du point A.
Cependant, comme nous l'avons déjà dit dans la note 3 de la p. 461, il paraît peu probable que Huygens ait connu le théorème général de la Première Partie de cette Pièce avant de discuter le cas du triangle considéré. On admettra plutôt, qu'il ait démontré d'abord (ce qui est facile) l'isochronisme d'une tranche ou ligne droite homogène de longueur donnée suspendue en son point milieu à un fil de longueur donnée et faisant un angle droit ou nul avec la verticale. Il peut s'être demandé ensuite si une proposition analogue existe pour une droite faisant un autre angle avec la verticale et pour une figure plane (ou même pour un corps, voir la Prop. XVI de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’) quelconque. Mais peut-être s'est il déjà proposé d'examiner dans quelles conditions une figure est isochrone avec elle-même après avoir trouvé qu'un triangle rectangle a la même période ‘sive ex vertice sive ex media basi suspensum’ (voir les dernières lignes de la p. 456 et le dernier alinéa de la p. 525).
Après avoir réduit de sorte l'oscillation plane du triangle à une oscillation solide (voir la p. 499), Huygens a peut-être calculé la longueur du pendule isochrone avec le triangle de la même manière qu'il l'a fait pour le rectangle (voir la Troisième Partie de cette Pièce).
Il a pu calculer plus facilement la longueur du pendule isochrone pour ce cas après avoir trouvé la méthode générale pour réduire l'oscillation plane à l'oscillation solide (voir la p. 515 et les deux derniers alinéas de la note 2 de la p. 478). Mais il est certain qu'il a fait d'une façon ou d'une autre le calcul pour le triangle avant le 10 oct. 1664 (voir la note 1 de la p. 456), alors qu'il n'avait pas encore trouvé cette méthode générale.

[p. 463]

Troisième Partie]⁴⁾.
[1664]⁵⁾.

[Fig. 42.]

Rectangulum ABCD [Fig. 42] suspensum ex E et in latus agitatum. PF, PG aequales PA, PD. SL, SM aequales QB, QC. junctisque FL, GM factum FLMG. cui simile ab altera parte FGNK. haec bina ex eodem E puncto suspensa et mota circa axem EV, isochronas vibrationes habent rectangulo ABCD uti dictum agitato⁶⁾. Ut igitur longitudo penduli simplicis utrique isochroni inveniatur, quaerendum centrum gravitatis partis parallelepipedi super LFKNGML basi perpendiculariter erecti et plano inclinato quod per EV ducitur abscissi⁷⁾.

4) Manuscrit B, p. 100 recto, p. 96 verso et p. 97 recto.

5) On trouvera à la fin de cette Partie la date du 13 octobre 1664.

6) Le parallélogramme FLMG (de largeur MO quelconque) et la figure double LFKNGML [Fig. 42] sont obtenus par rotation des tranches horizontales, de la même manière que les figures EFG et EGFHE dans le cas du triangle, considéré dans la Deuxième Partie qui précède (voir la note 3). Le pendule isochrone avec le rectangle donné ABCD oscillant dans son plan a donc la même longueur que le pendule isochrone avec la figure LFKNGML oscillant perpendiculairement à son plan.

7) Voir sur la méthode du tronc la Deuxième Partie de la Pièce IX, à la p. 458. On trouve en effet à la p. 100 recto une figure du genre indiqué et un calcul relatif à cette figure. Mais ce calcul a été biffé par Huygens qui observe: ‘hic nimis prolixus fieret calculus. aliter melius idem quaesivimus invenimusque in folio adjuncto’. C'est le calcul qui suit.

[p. 464]

[Fig. 43.]

<sup>1)



2)3)4)1)5)</sup>

1) L'axe d'oscillation AΛ représenté dans la Fig. 43 par une droite verticale correspond à l'axe horizontal EV de la Fig, 42. La surface LFKNGML de la Fig. 42 a eté transformée en F12 C43 de la Fig. 43; en effet, puisqu'il s'agit d'une oscillation ‘solide’ (c.à.d. perpendiculaire a la figure plane) on peut donner à la figure toutes les formes qu'on veut, pourvu que chaque élément de surface (ou chaque point pesant) reste à la même distance de l'axe d'oscillation: la longueur du pendule isochrone restera la même. La partie de la figure LFKNGML [Fig. 42] située au-dessus de la ligne horizontale passant par le point G a conservé la même forme; c'est la partie C2134 C de la figure F12 C43 [Fig. 43]. Mais la partie de LFKNGML située en dessous de cette droite a été changée en un triangle unique; c'est le triangle F13 [Fig. 43]. La figure totale F12 C43 a maintenant une forme symétrique. Elle oscille perpendiculairement à son plan autour de l'axe AΛ, et cette oscillation est isochrone avec celle du rectangle ABCD de la Fig. 42 qui oscille dans son plan.
Huygens considère le tronc (voir les p. 458, 499 et 503-507) ayant la figure F12 C43 pour base et limité par le plan oblique incliné à 45^o passant par l'axe d'oscillation AΛ. La longueur du pendule isochrone avec le pendule F12 C43 est égale à la distance du point A au pied de la perpendiculaire, abaissée sur la base, du centre de gravité de ce tronc. Pour trouver cette distance Huygens transforme le tronc en une surface plane CFRSC, toutes les ordonnées, telles que QR et KS, étant prises proportionnelles aux sections droites correspondantes du tronc (sections faites par des plans perpendiculaires au plan du papier, et passant par QR et KS respectivement). En supposant tous les points pesants qui constituent le tronc, distribués (ou rabattus) sur la surface plane CFRSC ainsi construite, en conservant leurs distances à l'axe AΛ, on voit que la densité superficielle de ces points peut être uniforme. Il s'agit donc de trouver la distance de l'axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC; les lignes FR et SC sont des paraboles (voir le deuxième alinéa de la note 4); RS est une droite; puisqu'on a pris (arbitrairement) QR = QA, le trapèze QRSK peut être considéré comme la section (rabattue) faite dans ce tronc par un plan passant par AF perpendiculairement au plan du papier.

2) s. = subtrahendo; m. = multiplicando.

3) La figure fait voir que a, b et c sont respectivement égales à AK, AC et AG. Le rectangle donné a pour côtés (voir la pag. 471).

4) Les sections faites dans la partie F13 du tronc par des plans perpendiculaires à AF sont des rectangles dont le côté perpendiculaire au plan du papier est égal pour chaque rectangle à la distance du point A au plan sécant correspondant, tandis que les côtés horizontaux sont proportionnels aux distances du point F aux plans sécants. On peut prendre, comme Huygens le fait ici, le facteur constant par lequel on multiplie le produit des distances du plan sécant aux points A et F pour obtenir l'ordonnée (telle que QR) de la partie QFR du ‘tronc rabattu’ CFRSC, de telle manière que la parabole FR passe par le point R de la droite RS qui limite le trapèze QRSK (note 1). De la même manière, on doit prendre pour la partie 2C4 du tronc des ordonnées proportionnelles au produit des distances des points C et A au plan sécant: on obtient ainsi la parabole SC ou SCLA.
Le lieu des points R' correspondant à la partie F13 du tronc pour lesquels Q'A × Q'F = Q'R' × (longueur constante) est bien une parabole et cette longueur constante est le ‘latus rectum’ (note 1 de la p. 282). Q' représente ici la projection sur AF du point R' qui dans la figure devrait être situé sur la ligne FR.

1) L'axe d'oscillation AΛ représenté dans la Fig. 43 par une droite verticale correspond à l'axe horizontal EV de la Fig, 42. La surface LFKNGML de la Fig. 42 a eté transformée en F12 C43 de la Fig. 43; en effet, puisqu'il s'agit d'une oscillation ‘solide’ (c.à.d. perpendiculaire a la figure plane) on peut donner à la figure toutes les formes qu'on veut, pourvu que chaque élément de surface (ou chaque point pesant) reste à la même distance de l'axe d'oscillation: la longueur du pendule isochrone restera la même. La partie de la figure LFKNGML [Fig. 42] située au-dessus de la ligne horizontale passant par le point G a conservé la même forme; c'est la partie C2134 C de la figure F12 C43 [Fig. 43]. Mais la partie de LFKNGML située en dessous de cette droite a été changée en un triangle unique; c'est le triangle F13 [Fig. 43]. La figure totale F12 C43 a maintenant une forme symétrique. Elle oscille perpendiculairement à son plan autour de l'axe AΛ, et cette oscillation est isochrone avec celle du rectangle ABCD de la Fig. 42 qui oscille dans son plan.
Huygens considère le tronc (voir les p. 458, 499 et 503-507) ayant la figure F12 C43 pour base et limité par le plan oblique incliné à 45^o passant par l'axe d'oscillation AΛ. La longueur du pendule isochrone avec le pendule F12 C43 est égale à la distance du point A au pied de la perpendiculaire, abaissée sur la base, du centre de gravité de ce tronc. Pour trouver cette distance Huygens transforme le tronc en une surface plane CFRSC, toutes les ordonnées, telles que QR et KS, étant prises proportionnelles aux sections droites correspondantes du tronc (sections faites par des plans perpendiculaires au plan du papier, et passant par QR et KS respectivement). En supposant tous les points pesants qui constituent le tronc, distribués (ou rabattus) sur la surface plane CFRSC ainsi construite, en conservant leurs distances à l'axe AΛ, on voit que la densité superficielle de ces points peut être uniforme. Il s'agit donc de trouver la distance de l'axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC; les lignes FR et SC sont des paraboles (voir le deuxième alinéa de la note 4); RS est une droite; puisqu'on a pris (arbitrairement) QR = QA, le trapèze QRSK peut être considéré comme la section (rabattue) faite dans ce tronc par un plan passant par AF perpendiculairement au plan du papier.

5) Le ‘latus rectum’ de la parabole FR (ou FRWA) est égal à FQ d'après l'équation précédente qui donne, pour R' = R, ▭ AQF = ▭ RQ in latus rectum.

[p. 465]

^{6)6)7)3)6)2)8)2)}

6) P étant le point milieu de AF, on a . PW est l'axe de symétrie de la parabole FWA, et le produit de cet axe par ⅔ AF donne l'aire de la surface AFRWA.
Pour calculer la distance de l'axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC (distance égale à la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, d'après la note 1), Huygens doit calculer le moment de cette surface par rapport à AΛ, ainsi que l'aire CFRSC (et diviser ensuite ce moment par cette aire). À cet effet il calcule la somme des aires AFWA et CLAC, diminuée de la somme des aires ALCSA et ARWA, ainsi que la somme des moments des aires AFWA et CLAC, diminuée de celle des aires ALCSA et ARWA.

6) P étant le point milieu de AF, on a . PW est l'axe de symétrie de la parabole FWA, et le produit de cet axe par ⅔ AF donne l'aire de la surface AFRWA.
Pour calculer la distance de l'axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC (distance égale à la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, d'après la note 1), Huygens doit calculer le moment de cette surface par rapport à AΛ, ainsi que l'aire CFRSC (et diviser ensuite ce moment par cette aire). À cet effet il calcule la somme des aires AFWA et CLAC, diminuée de la somme des aires ALCSA et ARWA, ainsi que la somme des moments des aires AFWA et CLAC, diminuée de celle des aires ALCSA et ARWA.

7) Cette fraction donne la longueur de BL, axe de symétrie du segment de parabole CLA (partie de la parabole SCLA). L'équation de cette parabole étant: ordonnée × latus rectum = produit des distances du plan sécant (note 4) ou de l'ordonnée aux points C et A, on a (vu que l'ordonnée KS doit être égale à AK ou a): latus rectum = (comme pour la parabole FWA), donc .

3) La figure fait voir que a, b et c sont respectivement égales à AK, AC et AG. Le rectangle donné a pour côtés m (ou CQ) = 2c-a-b et n (ou CK) = a-b (voir la pag. 471).

6) P étant le point milieu de AF, on a . PW est l'axe de symétrie de la parabole FWA, et le produit de cet axe par ⅔ AF donne l'aire de la surface AFRWA.
Pour calculer la distance de l'axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC (distance égale à la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, d'après la note 1), Huygens doit calculer le moment de cette surface par rapport à AΛ, ainsi que l'aire CFRSC (et diviser ensuite ce moment par cette aire). À cet effet il calcule la somme des aires AFWA et CLAC, diminuée de la somme des aires ALCSA et ARWA, ainsi que la somme des moments des aires AFWA et CLAC, diminuée de celle des aires ALCSA et ARWA.

2) s. = subtrahendo; m. = multiplicando.

8) Aire de la surface CLAC (⅔BL.AC).

2) s. = subtrahendo; m. = multiplicando.

[p. 466]

[Fig. 43.]

^1)2)2)3)

1) C'est le moment de l'aire AFWA par rapport à AΛ.

2) Moment de la surface CLAC par rapport à l'axe AΛ.

2) Moment de la surface CLAC par rapport à l'axe AΛ.

3) Somme des moments des surfaces AFWA et CLAC.

[p. 467]

^{4)6)4)7)5)8)8)9)10)11)}

4) Pour trouver l'aire du segment de parabole ARWA, il faut prendre les ⅔ du produit de AQ par le diamètre de ce segment (Archimède, ‘De Conoidibus et Sphaeroidibus’ cap. III. La partie gauche de la Fig. 43 est une reproduction de la figure d'Archimède à cet endroit). Ce diamètre (c.à.d. la droite, parallèle à PW, allant du milieu de la corde RA jusqu'à la parabole RWA) est égal au carré de AX (où AX est le point milieu de AQ) divisé par le ‘latus rectum’.

6) Diamètre du segment de parabole SLAS (voir la note 4).

4) Pour trouver l'aire du segment de parabole ARWA, il faut prendre les ⅔ du produit de AQ par le diamètre de ce segment (Archimède, ‘De Conoidibus et Sphaeroidibus’ cap. III. La partie gauche de la Fig. 43 est une reproduction de la figure d'Archimède à cet endroit). Ce diamètre (c.à.d. la droite, parallèle à PW, allant du milieu de la corde RA jusqu'à la parabole RWA) est égal au carré de AX (où AX est le point milieu de AQ) divisé par le ‘latus rectum’.

7) Aire du segment de parabole SLAS. AD est la moitié de AK.

5) C'est le moment par rapport à AΛ du segment de parabole ARWA.

8) Moment du segment de parabole SLAS par rapport à la droite AΛ.

8) Moment du segment de parabole SLAS par rapport à la droite AΛ.

9) Somme des moments par rapport à AΛ des segments de parabole ARWA et SLAS.

10) a = addendo.

11) Voir la note 6 de la p. 465.

[p. 468]

[Fig. 43.]

^1)2)3)4)

1) Voir la note 3 de la p. 466.

2) Voir la note 9 de la p. 466.

3) C'est la différence des deux expressions précédentes. En d'autres termes: c'est le moment de l'aire CFRSC par rapport à l'axe d'oscillation AΛ (voir la note 6 de la p. 465).

4) C'est l'aire CFRSC, d'après la p. 467. En divisant le moment de l'aire CFRSC par rapport à AΛ par cette aire, on trouve la distance du centre de gravité de cette aire à AΛ. Comme nous l'avons dit dans la note 1 de la p. 464, cette distance est la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, oscillant dans son plan.

[p. 469]

c distantia puncti suspensionis à centro rectanguli

latus descendens⁵⁾ latus transverse jacens⁵⁾ solidum⁶⁾ aequale abscisso a parallelepipedo super FCSR plano ducto per AΛ et inclinato ad angulum semirectum. facta divisione fit distantia inter A et centrum gravitatis spatij ⁷⁾ quae est longitudo penduli isochroni figurae F12C43 motae circa axem AΛ ideoque et penduli isochroni rectangulo centrum G habenti, latus majus transverse jacens ∞ CQ, minus vero ∞ CK, in latus agitato, quod itaque pendulum erit



⁷⁾

bonum. 13 Octobr. 1664⁸⁾.

5) n est donc le côté vertical, m le côté horizontal du rectangle suspendu au point A.

5) n est donc le côté vertical, m le côté horizontal du rectangle suspendu au point A.

6) Le ‘solidum’ égal au tronc élevé sur la surface plane F12 C43 est apparemment la surface plane CFRSC. On peut en effet considérer cette surface plane comme un corps ou ‘solidum’ composé des mêmes points pesants que le tronc (comparez le deuxième alinéa de la note 1 de la p. 464).

7) Nous supprimons les calculs de Huygens qui conduisent à ces expressions. Elles sont le résultat de la division l'une par l'autre des fractions précédentes sur lesquelles on peut consulter les notes 3 et 4, et de l'introduction dans le quotient des côtés n et m du rectangle.
Lorsque c = ½n, c.à.d. lorsque le rectangle est suspendu ‘ex puncto medio lateris’, la formule se réduit à , conformément au résultat de la p. 456 (note 2)

7) Nous supprimons les calculs de Huygens qui conduisent à ces expressions. Elles sont le résultat de la division l'une par l'autre des fractions précédentes sur lesquelles on peut consulter les notes 3 et 4, et de l'introduction dans le quotient des côtés n et m du rectangle.
Lorsque c = ½n, c.à.d. lorsque le rectangle est suspendu ‘ex puncto medio lateris’, la formule se réduit à , conformément au résultat de la p. 456 (note 2)

8) Avant le 10 oct. 1664 Huygens connaissait déjà la longueur du pendule isochrone avec le rectangle suspendu au point milieu d'un de ses côtés; ce calcul que nous ne possédons plus, était également laborieux (voir la p. 456). Le 13 oct. il n'avait apparemment pas encore trouvé le théorème général qui permet de trouver la longueur du pendule isochrone ‘in suspensione remota’ lorsqu'on connaît celle du pendule isochrone ‘in suspensione contigua’ (voir la note 1 de la p. 528).
Lorsqu'il eut trouvé la méthode générale pour calculer le centre d'oscillation des surfaces planes symétriques oscillant dans leur plan, il put trouver e.a. celui du rectangle avec beaucoup moins de peine (voir les p. 521-523 qui suivent).