Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 457]

IX⁴⁾.
[1664]⁴⁾.

[Première Partie]⁵⁾.

[Fig. 37.]⁶⁾

Sit AE = x [Fig. 37] longitudo quaesita penduli isochroni plano AODN suspenso in A et agitato in latus⁷⁾.

fit ergo parabola ACS ad quam sunt altitudines DS, EC, LM, cujus latus rectum ∞ AE. Jam omnes EC, ML &c. ductae in suas PQ, NO &c. aequari debent omnibus ES, LO &c. ductis in suas easdem PQ, NO, &c. Intelligantur utrinque singula rectangula ducta insuper in latus rectum parabolae ACS ∞ AE. fiunt ergo parallelepipeda omnia ex CE, PQ, EA, ex ML, NO, AE &c. aequalia omnibus parallelepipedis ex SE, PQ, AE, ex LO, NO, AE &c. Sed parallelepipedum CE, PQ, EA aequatur AE, AE, PQ, et parallelepipedum ML, NO, AE ipsi AL, AL, NO, quia ▭ ML, AE

4) La Pièce est empruntée à deux des feuilles collées dans le Manuscrit B (comparez la note 2 de la p. 435), plus précisément aux p. 99 recto, 100 recto et verso, d'après la numération nouvelle.

4) La Pièce est empruntée à deux des feuilles collées dans le Manuscrit B (comparez la note 2 de la p. 435), plus précisément aux p. 99 recto, 100 recto et verso, d'après la numération nouvelle.

5) Manuscrit B, p. 100 verso.

6) Il y a deux points S dans la figure, ce qui cependant ne peut donner lieu à aucune con fusion.

7) Lorsque Huygens exécuta ce calcul, il n'avait apparemment pas encore adopté la terminologie de la p. 499 qui suit. Il parle ici d'une surface plane ‘agitata in latus’ pour désigner un mouvement perpendiculaire au plan de la surface. Plus loin il écrit ‘semicylindrus’ pour désigner un ‘cuneus’ ou onglet (voir la p. 499). Comparez aussi la note 4 de la p. 459 et la note 4 de la p. 461.

[p. 458]

∞ quadratum AL, quia AE est latus rectum. Ergo si ADB semicylindrum¹⁾ referat basi circulo AD, plano AB abscissum quod facit angulum BAD semirectum: is aequiponderabit cylindro super basin circulum AD altitudinem habente AE, unde AE probatur pagina hic adjuncta⁶⁾ esse aequalis distantiae centri gravitatis dicti semicylindri a perpendiculari super A erecta²⁾.

1) Voir la note précédente.

6) Il y a deux points S dans la figure, ce qui cependant ne peut donner lieu à aucune con fusion.

2) Le début du calcul est analogue au calcul de 1661; voir p.e. la note 4 de la p. 385 et la Pièce III (p. 415 et suiv.). Il est vrai qu'il ne s'agit pas ici d'un pendule linéaire, mais puisque nous avons affaire à un ‘mouvement solide’ (voir la p. 499), peu importe que les points pesants qui constituent p.e. la droite ON soient distribués sur cette droite ou bien concentrés en un globule unique L: la vitesse de chaque point, tant dans le mouvement réel que dans le mouvement libre, sera la même dans les deux cas. La droite AB et la parabole ACS de la Fig. 37 correspondent à la droite AS et la parabole CPE de la Fig. 7 de la p. 421.
D'après les notations de la p. 421 on a dans la Fig. 37:AD = a, BD = d, DS = ad/x. Le ‘latus rectum’ (double du paramètre) de la parabole étant AD²/DS, on a: ‘latus rectum’ = ax/d. Mais Huygens considère ici une oscillation d'une amplitude de 180^o; donc a = d. Par conséquent la longueur x du pendule isochrone est égale au ‘latus rectum’ AE.
Nous voyons ici comment Huygens a trouvé la ‘méthode de l'onglet’ (comparez la p. 499) en partant de la ‘méthode de la parabole’.
Il faut remarquer que dans le produit ou ‘parallélépipède’ CE. PQ. EA, EA désigne le ‘latus rectum’ de la parabole, tandis que CE joue le rôle d'une droite horizontale quelconque, tout aussi bien que ML. On a CE. PQ. EA = (AE)². PQ; dans le second membre AE ne désigne pas le ‘latus rectum’ mais la distance de A à l'horizontale PQ; exactement comme AL dans l'équation ML. NO. AE = (AL)². NO désigne la distance à l'horizontale quelconque NO.
Le ‘planus AB’ qui limite l'onglet considéré est évidemment un plan passant par l'axe d'oscillation qui touche la circonférence au point A. On peut maintenant considérer le triangle ABD de la figure comme un triangle primitivement perpendiculaire au plan du papier et rabattu sur lui.
La longueur cherchée x (ou AE) est égale à la distance du centre de gravité de l'onglet à la perpendiculaire au plan du papier en A, ou, si l'on veut, à la distance du point A à la projection de ce centre sur le plan de la figure; le texte de cette Partie suffit pour établir cette proposition, si l'on suppose connu le théorème du premier alinéa de la p. 501 (voir la Troisième Partie de cette Pièce).
Le plan oblique qui passe par la tangente en A fait ici, comme le texte le dit, un angle de 45^o avec la plan du papier. Avant d'énoncer la proposition qui suit (voir la Fig. 38) Huygens a remarqué (s'il ne le savait pas déjà) qu'on trouve la même longueur AE ou x lorsque l'inclinaison du plan est quelconque.
Voir le résultat du calcul pour le cercle considéré à la p. 510.

[Deuxième Partie]³⁾.

[Fig. 38.]

plana figura quaevis [Fig. 38] ABCD, virgâ EA suspensa, quae mobilis sit in E, si agitetur circa axem HK ipsi EA ad angulos rectos positum atque in eodem plano in quo est BADC, isochronas oscillationes habet pendulo EF. ut sit F id punctum a quo educta super planum ABCD perpendicularis transeat per centrum gravitatis solidi frusti quod abscinditur à parallelepipedo⁴⁾ super basi ABCD excitato, plano per HK ducto, et quocunque angulo ad lineam EA inclinato. Hoc patuit ex ijs quae pagina opposita et folio sequenti verso⁶⁾ demonstrantur⁵⁾.

3) Manuscrit B, p. 100 recto.

4) À la p. 499 Huygens appelle ce corps ‘prismatoides’. Nous disons: ‘cylindre’.

6) Manuscrit B, p. 99 recto.

5) On aura remarqué que la démonstration précédente, se rapportant à la Fig. 37, reste valable lorsque la surface plane oscillant d'un mouvement solide n'est pas un cercle, mais une surface quelconque.
Le raisonnement restera encore le même lorsque l'axe d'oscillation ne touche pas le contour de la surface mais lui est extérieur. La parabole passe toujours par le point de suspension, mais la partie de la parabole située plus haut que ABCD [Fig. 38] ne joue aucun rôle.
On passe ainsi de la ‘méthode de l'onglet’ à la ‘méthode du tronc’ (voir la p. 499).
Le théorème général que Huygens énonce peut donc être regardé comme se dérivant ‘ex ijs quae pagina opposita demonstrantur’: c'est en poursuivant le raisonnement de la p. 100 verso (voir la note 5 de la p. 457) qu'il a lui-même trouvé ce théorème (‘hoc patuit’).
Plus loin (voir les p. 503-507) il donne de ce théorème une démonstration in extenso.

[p. 459]

[Troisième Partie]⁶⁾.

[Fig. 39.]

F [Fig. 39] perpendicularis per centrum gravitatis solidi SSLENO. FG ∞ FC.

Omnia SS, BC, BC; bb, pC, pC ∞ omnibus SS, BC, FC; bb, pC, FC:Ergo et omnibus SS, BC, FG:bb, pC, FG.

Ergo solidis super eadem basi positis SSLENO et SSLKMD, quorum illud abcissum plano per AC, existente angulo ACB dimi-

6) Manuscrit B, p. 99 recto.

[p. 460]

dio recti, posterius vero altitudinem habens FG aequalem FC, posito F sub centro gravitatis solidi SSLENO, haec solida super brachium CB in C fixum aequale gravitatis momentum habebunt¹⁾.

1) On conclut inversement de cette proposition que lorsque les deux solides nommés, dont le premier est limité par un plan incliné à 45^o et dont le dernier (SSLKMD), qui est cylindrique, a une hauteur inconnue, ont des moments égaux par rapport au point C (ou plutôt à une droite R passant par le point C, perpendiculaire à BC et parallèle à SS), cette hauteur inconnue est égale à la distance de la droite R à la projection du centre de gravité du premier solide (SSLENO) sur le plan de la base commune.
C'est donc de la présente proposition que Huygens parle plus haut (voir la fin de la Première Partie).
Il est à remarquer que le cas considéré dans la Fig. 39 s'accorde avec la Première Partie de cette Pièce en ce que l'angle d'inclinaison y est un angle demi-droit, mais avec la Deuxième Partie en ce que le point de suspension y est considéré comme extérieur à la surface plane oscillante.