Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 449]

VII⁴⁾.
[1664]⁵⁾.

[Première Partie]⁶⁾.

[Fig. 30.]

AL ∞ d

AG ∞ b

LG ∞ a

Virga LH [Fig. 30] sine pondere. LG, GH virgae ponderantes. A medium LH est punctum suspensionis. Quaeritur pendulum simplex x isochronon LGH virgae ex A suspensae.

⁷⁾

4) Manuscrit B, p. 164 et p. 163.

5) Comme le texte le fait voir, une partie de cette Pièce fut écrite le 29 sept. 1664.

6) Manuscrit B, p. 164.

7) C.à.d. LA:AG = LS:SO. Comme la figure l'indique, SA est désignée par z.

[p. 450]

[Fig. 30.]

^{1)2)2)3)4)5)6)}

1) Comme x désigne la longueur du pendule isochrone et que le deuxième terme ou AO² est le carré de la distance du globule O au point de suspension, l'équation (où cx / ½b est la hauteur à laquelle s'élève le point pesant du pendule isochrone, d'après l'équation ½b:c = x:la dite hauteur, ½b étant la distance de A au centre de gravité de la ligne brisée LGH, et c la hauteur à laquelle ce centre de gravité s'élève) exprime que les carrés des vitesses du point pesant du pendule isochrone et du globule O sont entre eux comme les hauteurs auxquelles s'élèvent respectivement le point pesant du pendule isochrone et le globule O, si ce dernier est mis en liberté au moment où la ligne LH est horizontale et s'élève à la plus grande hauteur possible.

2) En d'autres termes: nous supposons que la figure exécute une oscillation telle que la ligne AG atteint de part et d'autre la position horizontale, c.à.d. une oscillation d'une amplitude de 180^o. Le point pesant du pendule isochrone atteint donc la hauteur x.

2) En d'autres termes: nous supposons que la figure exécute une oscillation telle que la ligne AG atteint de part et d'autre la position horizontale, c.à.d. une oscillation d'une amplitude de 180^o. Le point pesant du pendule isochrone atteint donc la hauteur x.

3) y (voir les deux notes précédentes) est la hauteur que peut atteindre le globule O lorsque la ligne brisée LGH exécute une oscillation d'une amplitude de 180^o et que le globule O est mis en liberté au moment où la ligne LH est horizontale. On a y = AO²/x: c'est ce que l'équation de Huygens exprime. Cette équation (dans laquelle b, d et x ont une valeur constante) donne une relation entre les variables y et z (SA). Dans les équations qui suivent Huygens calcule la variable z en prenant y comme variable indépendante.

4) Comparez la note 1 de la p. 426: le signe équivaut à notre signe ±.

5) R est le pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite LG.

6) L'équation en y, z est celle d'une parabole en coördonnées rectangulaires: les hauteurs y (voir la note 3) sont représentées dans la figure par des lignes parallèles à AG. L'origine des coördonnées est au point A, l'axe des y a la direction AG et l'axe des z la direction AL. Pour z = o, on a y on AQ = b²/x. Pour z = d, on a y ou LT = d²/x. Le sommet de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie MN au point N (), le paramètre de la parabole est ½hx/d. Comparez la note 1 de la p. 282.
Pour calculer la somme de tous les y correspondant aux globules (égaux entre eux) de la ligne pesante LG (il suffit évidemment de considérer la moitié de la ligne oscillante LGH, multipliée par le poids (ou la masse) d'un globule), il faut calculer la surface LAQNT, si l'on consent à représenter le poids (ou la masse) d'un globule par la projection de la distance des centres de deux globules avoisinants sur AL.

[p. 451]

[p. 452]

¹⁾²⁾ Ex dictis pag. praecedenti³⁾ constat esse . vide pag. praeced.

1) Cette équation exprime que le produit du poids (ou de la masse) d'un globule par la somme de toutes les hauteurs atteintes par les différents globules qui composent la ligne LG, lorsque ces globules sont mis en liberté au moment où la droite LH est horizontale, est égal au produit de la masse totale de la ligne LG par la hauteur à laquelle s'élève le centre de gravité de la ligne brisée LGH dans le mouvement réel. En effet, cette dernière hauteur est ½ b et la masse de la ligne LG est représentée par la ligne LA ou d, conformément à ce qui a été observé dans le deuxième alinéa de la note précédente.

2) Ces deux lettres indiquent qu'il ne faut pas représenter la masse totale de la ligne LG par a, mais par d (comparez la fin de la note 6 de la p. 451).

3) Voir le début de la Deuxième Partie de cette Pièce, ainsi que la huitième et neuvième ligne et les dernières lignes de la p. 453.

[Deuxième Partie]⁴⁾.

29 Sept. 1664.

Prius scripta quae pag. sequenti habentur.

[Fig. 31].

Invenire pendulum simplexisochronas oscillationes habens triangulo isosceli suspenso ex puncto quod basin bifariam dividit.

Sit AL ∞ d [Fig. 31]. AG ∞ b. LG ∞ a.

Cum pendulum x isochronon virgis LG, GH inventum sit

Cogitemus virgis LGH parallelas virgas SSS, OOO &c. aequalibus intervallis distantes, atque ita compo-

4) Manuscrit B, p. 163.

[p. 453]

nentes totum triangulum LGH. Quibus singulis si inveniantur pendula isochrona, certum est ex aequalibus differentijs decrescere debere⁵⁾. Quare si longitudo penduli x in totidem aequales partes dividatur atque ad singulas divisiones affigi intelligantur pondera ab imo aequaliter decrescentia quemadmodum et virgae LGH, SSS, OOO &c. quae triangulum LGH componunt. pendulum ita oneratum necessario isochronon erit dicto triangulo⁶⁾. Tale autem pendulum isochronon esse scimus triangulo eandem cum ipso longitudinem habenti, atque ex vertice suspenso, hoc est pendulo simplici quod habeat ¾ ejus longitudinis. Ergo Δ^lo LGH isochronon erit pendulum habens ¾ inventae quantitatis , hoc est . Has quantitates aliter exprimemus. Est enim h ad f ut LR ad RG, hoc est, ut qu. LA ad qu. AG. Ergo f/h∞bb/dd. Ergo ½f³/hb∞½ffbb/ddb ∞ ½ffb/dd. Sed d ad f ut LG ad GR, hoc est ut qu. LG ad qu. GA, hoc est ut aa ad bb, ergo . Ergo quantitas prima . Porro . Ergo . huic adde tertiam quantitatem . Ergo tres propositae quantitates aequantur , quas dico aequari simul ½aa/b. adeoque inventâ duabus AG, GL tertia proportionali GΩ, hujus semissem esse longitudinem penduli isochroni triangulo LGH ex A suspenso

5) Chaque terme de l'expression représente une longueur proportionnelle à AG ou b. Par conséquent la longueur du pendule isochrone est proportionnelle à AG, et, si l'on considère successivement les pendules isochrones correspondant aux lignes équidistantes LGH, SSS, OOO, etc. (ou plutôt aux éléments de surface infiniment minces compris entre LGH et SSS, SSS et OOO, etc.) ces longueurs formeront une progression arithmétique.

6) Comparez la note 2 de la p. 442, où nous avons déjà remarqué que l'explication donnée par Huygens ne suffit pas, à notre avis, pour faire voir pourquoi il considère cette proposition comme évidente. Les paroles du texte (voir la phrase suivante) montrent qu'il admet (ce qui est exact) que le pendule isochrone avec une surface plane oscillant dans son plan a une longueur égale aux trois quarts de celle du pendule isochrone avec la ligne pesante homogène qui termine cette surface (le point de suspension étant le même), chaque fois que la surface peut être découpée par des lignes semblables en une infinité de bandes ayant toutes la même largeur constante et que les longueurs des pendules isochrones des bandes successives forment une progression arithmétique (voir la note précédente). Comparez les p. 362-368 de l'Avertissement qui précède.

[p. 454]

et in plano suo agitato. ducantur enim RV perpend. AG. VD perpend. LG. DE perpend. AG. Fit ergo GE ∞ b⁵ / a⁴. EV ∞ ff/b. VA ∞ df/b. AΩ ∞ dd/b. Istae vero quatuor constituunt rectam GΩ. Ergo