Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 441]

VI¹⁾.
[1664]²⁾.

[Première Partie]³⁾.

[Fig. 23.]

BR ∞ q [Fig. 23⁴⁾]

RA ∞ r M centrum gravitat is ◠

AM ∞ rr/q

MW ∞ c

AN ∞ x⁵⁾

⁶⁾

1) La Pièce est empruntée aux pages 61-64 du Manuscrit B.

2) La p. 59 porte la date du 7 oct. 1662, les pp. 62 et 63 celle du 18 sept. 1664. Comme le sujet traité dans les pages précédentes n'a aucun rapport avec la recherche des centres d'oscillation, tandis que les pp. 61, 62, 63 et, 64 y sont toutes consacrées, il est probable que la p. 61 fut écrite peu de temps avant les suivantes. Comparez d'ailleurs la lettre du 10 oct. 1664 de Huygens à Moray (T. V, p. 120) où il dit: ‘Ces jours passez je suis tombè dans une speculation... J'ay cerchè des pendules simples isochrones a des triangles et autres figures et corps, diversement suspendus’, etc.

3) Manuscrit B, p. 61.

4) Comme la figure l'indique, Huygens se propose de calculer la longueur du pendule isochrone avec une demi-circonférence de cercle, suspendue au centre de ce cercle; il suppose à cet effet la demi-circonférence composée d'une infinité de globules.

5) C'est la longueur du pendule isochrone.

6) C.à.d. NS = cxq/r² d'après l'équation r²/q:c = x:NS.

[p. 442]

ut qu. celer.^is ponderis N ad qu. celer.^is ponderum in ◠ alt. NS



altitudo ad quam ascendent singula pondera semicircumferentiae FBP<sup>1)



1)</sup>

Ergo longitudo penduli AN semicircumferentiae OBR ex A centro suspensae isochroni, debet aequalis esse ipsi quadranti BR.

[Fig. 24.]

Hinc semicirculo OBR [Fig. 24] isochronon pendulum AN habebit ¾ quadrantis RB, quantum nempe pendulum isochronon triangulo αβγ, cujus longitudo αβ aequalis AY seu quadranti RB²⁾.

1) L'équation x²:r² = cxq/r²: altitudo ad quam etc., d'où l'on tire que cette dernière hauteur est cq/x, s'obtient par la considération que, si à un moment donné (le moment où le diamètre PF, Fig. 23, est horizoutal) les globules sont mis en liberté et s'élèvent chacun à la plus grande hauteur possible, l'ascension est la même pour chacun d'eux puisqu'ils ont tous la même vitesse. Le centre de gravité s'élève donc autant que chaque globule. Mais dans le mouvement réel ce centre s'élève à la hauteur c. Les deux hauteurs doivent être égales d'après le principe fondamental mentionné à la p. 386 dans la note 4 de la p. 385.

1) L'équation x²:r² = cxq/r²: altitudo ad quam etc., d'où l'on tire que cette dernière hauteur est cq/x, s'obtient par la considération que, si à un moment donné (le moment où le diamètre PF, Fig. 23, est horizoutal) les globules sont mis en liberté et s'élèvent chacun à la plus grande hauteur possible, l'ascension est la même pour chacun d'eux puisqu'ils ont tous la même vitesse. Le centre de gravité s'élève donc autant que chaque globule. Mais dans le mouvement réel ce centre s'élève à la hauteur c. Les deux hauteurs doivent être égales d'après le principe fondamental mentionné à la p. 386 dans la note 4 de la p. 385.

2) Pour trouver la longueur du pendule isochrone avec un demi-cercle suspendu au centre de ce cercle et oscillant dans son plan, Huygens suppose, comme la figure l'indique, le demicercle divisé par une infinité de demi-circonférences concentriques et équidistantes. D'après le résultat obtenu plus haut les longueurs des pendules isochrones avec chaque partie S du plan comprise entre deux demi-circonférences avoisinantes sont connues. Comme dans le cas du triangle isoscèle, où il exprime clairement cette idée (voir la p. 453 qui suit), Huygens admet que pour obtenir la longueur du pendule isochrone avec le demi-cercle, il suffit de prendre celle du pendule isochrone avec l'ensemble des ‘masses’ oscillantes des pendules isochrones correspondant à toutes les parties S du plan, en donnant à chaque pendule le poids (ou la masse) de la partie correspondante du plan. Cette proposition est correcte dans le cas considéré quoiqu'en général on arriverait à un résultat erroné si l'on découpait à cet effet un plan (ou corps) oscillant en des parties quelconques. Comme Huygens n'indique pas son raisonnement dans le cas du demi-cercle, nous nous contenterons ici de faire voir comment on pourrait obtenir la longueur du pendule isochrone par la considération directe du mouvement des globules dont le demi-cercle se compose par hypothèse.
Le centre de gravité du demi-cercle est situé à une distance ⅔ r²/q du point A. Si nous appelons c' l'ascension de ce centre de gravité dans le mouvement réel, x' la longueur du pendule isochrone avec le demi-cercle et N'S' l'ascension de la masse oscillante du pendule isochrone, nous aurons, comme plus haut (voir la dernière équation de la p. 441),




Ensuite : la hauteur dont monte chacun des globules libérés de la demicirconférence extérieure. Cette hauteur est donc 3/2 c'q/x'. Elle est égale à l'ascension du centre de gravité des globules qui composaient la demi-circonférence ou, si l'on veut, la partie infiniment mince du demi-cercle située entre cette demi-circonférence et la demi-circonférence avoisinante. En supposant que cette partie contient n globules de ‘masse’ 1, le produit de sa masse par l'ascension nommée sera 3/2 n c'q/x'. Si nous supposons en outre que le demi-cercle est découpé en tout en n parties S, il faudra accorder p globules à la p^ième partie S, et le produit de sa masse par l'ascension du centre de gravité correspondant, lorsque tous les globules s'élèvent librement, sera . La somme des produits pour toutes les parties S sera .
Le nombre total des globules étant ½n(n+1), le produit de la masse totale par l'ascension de son centre de gravité dans le mouvement réel sera ½n(n+1)c'.
En égalant les deux expressions on trouve pour n → ∞




Mais ce raisonnement paraît trop algébrique pour pouvoir être considéré comme un raisonnement de Huygens. Comparez les notes 2 et 3 des p. 448 et 449. Voir aussi pour un raisonnement plus géométrique dans un cas analogue la Deuxième Partie de la Pièce XII qui suit (p. 489).
On peut démontrer (voir l'Avertissement qui précède) que la méthode de Huygens est bonne dans tous les cas où le point de suspension est le centre de similitude d'une infinité de courbes qui découpent la surface plane considérée en des parties infiniment minces de largeur constante. Cette démonstration mathématique ne suffit cependant pas pour faire voir pourquoi Huygens lui-même admet ici l'exactitude de ce procédé comme une chose évidente.
Le triangle αβγ [Fig. 24], qui représente l'ensemble des masses oscillantes des pendules isochrones avec les parties S du demi-cercle, est évidemment infiniment mince et peut done être considéré comme un pendule linéaire. Huygens n'indique pas la méthode d'‘intégration’ suivie pour trouver le centre d'oscillation de ce pendule linéaire (voir sur les pendules linéaires les Pièces II et IV qui précèdent).

[p. 444]

[Deuxième Partie]¹⁾.

[Fig. 25.]

18 Sept. 1664.

AO ∞ a

AM ∞ b

AN ∞ x

MC ∞ c

OM ∞ z

TN ∞ cx/b

AM [Fig. 25] est virga sine pondere, OML linea gravitate praedita virgae AM affixa immobiliter ad angulos rectos.

Suspensio est in A. Quaeritur pendulum AN isochronon lineae OL ex A suspensae.

Pendulum AN recessisse ponatur a perpendiculo in AQ. virgaque OL in PZ, ita ut medium ejus punctum D incidat in AQ rectam. Si ergo isochrona sunt, fiet revertente Q ad N ut simul P redeat in O. sicut autem AN, x, ad AO, a, ita erit celeritas plumbi N reversi ex Q ad celeritatem globuli O (nam virgam OL ex minimis globulis compositam fingo) reversi ex P. Plumbum N autem celeritatem habet qua ascendat ad eandem ex qua venit altitudinem hoc est ad altitudinem NT ∞ cx/b. Et sicut quadratum celeritatis plumbi N ad quadratum celeritatis globuli O, ita est altitudo ad quam ascendere potest plumbum N ad altitudinem ad quam ascendere poterit globulus O. Ergo faciendo ut xx ad aa ita cx/b ad aac/bx, erit haec altitudo ad quam ascendet globulus O. Est autem . unde

1) Manuscrit B, p. 62-64.

[p. 445]

Quod si MO seu z indeterminata sumatur, ad inveniendam altitudinem ad quam ascendent singuli globuli lineae OM; eaque altitudo vocetur y, patebit ex aequatione inventa , terminos linearum y cadere in parabolam. fit enim



Ergo latus rectum²⁾ parabolae est bx/c, axis MA, vertex vero R distat ab M intervallo cb/x ∞ MR. parabola ergo est RB. Jam vero omnes altitudines BO vel y ductae singulae in globulos suos simul aequari debent producto omnium eorundem globulorum in altitudinem MC, ut intelligitur ex superius demonstratis ubi agebatur de pendulo virgae isochrono³⁾. Itaque si globulorum quantitates exprimi putemus particulis aequalibus rectae OL quibus centra globulorum inter se distant, debebit spatium comprehensum rectis BO, OM, MR et parabola RB aequale esse rectangulo OM, MC. Illud vero spatium compositum est ex rectangulo OM, MR et ex trilineo BVR, ergo haec quaeruntur. MR erat cb/x. Ergo ▭ OM, MR, cbz/x. OB erat unde ablata MR sive OV ∞ cb/x, relinquitur VB ∞ zzc/bx, unde ▭ BV, VR ∞ cz³/bx; et triens ejus trilineum BVR ∞ ⅓cz³ / bx quo addito ad ▭ OM, MR, fit

2) Voir la note 1 de la p. 282 de ce Tome.

3) Voir les p. 421-423.

[p. 446]

[Fig. 26.]

18 Sept. 1664.

AN [Fig. 26] est linea sine pondere rigida suspensa ex A. Volo in puncto M affigere ei ad rectos angulos virgam ponderantem OL, cujus oscillationes isochronae sint pendulo datae longitudinis AN.

Sit AN ∞ a

AM ∞ x

MO ∞ y

MO vel AH

Patet ex hac aequatione punctum O esse ad Ellipsin cujus axis AN. centrum S punctum. quod AN bifariam dividit. Latus rectum vero axis AN triplum¹⁾. Sive axis major PQ triplus lateris recti minoris²⁾ id est secundum quod possunt applicatae ad axem eundem PQ³⁾.

Hinc facile colligitur planum ellipsis hujusmodi APNQ suspensum ex A termino axis minoris, oscillationes aequediuturnas habere ac pendulum cujus longitudo AN ipse axis minor.

Sed et pars quaelibet hujus ellipsis abscissa linea ad axem PQ parallela uti pars DNE vel AOL, pendulo AN isochrona erit. Vel item duabus parallelis abscissa ut FGED vel OLGF⁴⁾.

1) C.à.d. 3AN = PQ²/AN.

2) C.à.d. PQ = 3 AN²/PQ.

3) C.à.d. si l'on prenait PQ pour axe des y et la perpendiculaire en P à cet axe pour axe des x, l'équation de l'ellipse serait , en désignant par p le ‘latus rectum minus’ AN²/PQ.

4) Cette proposition fut annoncée par Huygens à Moray dans sa lettre du 10 oct. 1664 (voir la p. 120 du T. V).

[p. 447]

[Troisième Partie]⁵⁾.

[Fig. 27.]

AC et OMR [Fig. 27] sunt lineae rigidae⁶⁾, O et R pondera aequalia, A punctum suspensionis. Quaeritur perpendiculum simplex AN cujus oscillationes isochronae sint oscillationibus ponderum O, R ex A suspensorum. ut AM ad AO ita sit haec ad AN. erit AN longitudo perpendiculi quaesita⁷⁾.

⁸⁾ ut ⁹⁾ ita celer. N ponderis ad celer. ponderis O. , altitudo ad quam ascendet O converso motu sursum post descensum PO¹⁰⁾.

5) Manuscrit B, p. 64 et p. 61.

6) AC et OMR sont impondérables.

7) C'est le résultat du calcul suivant.

8) Lisez . Comme la figure l'indique, b désigne la longueur AM, et x celle du pendule isochrone AN. c désigne la hauteur à laquelle s'élève le point M, centre de gravité des poids O et R, à partir du moment où la barre impondérable qui porte les deux poids est horizontale. cx/b sera donc la hanteur qu'atteint le point pesant N.

9) C.à.d. x:a, où a désigne la distance OA.

10) a²c/bx, quatrième terme de l'équation , est la hauteur à laquelle peut s'élever le poids O (ou le poids égal R), lorsque les deux poids O et R sont mis en liberté au moment où la droite OR est horizontale. Comme les deux poids ont la même vitesse, leur centre de gravité, lorsqu'ils exécutent ce mouvement libre, monte autant qu'eux-mêmes. D'après le principe fondamental (voir toujours à la p. 386 la note 4 de la p. 385) cette ascension du centre de gravité est égale à l'ascension du centre de gravité dans le mouvement réel, c.à.d. à c.

[p. 448]

[Fig. 28.]

[Fig. 29.]

¹⁾²⁾³⁾

1) Huygens cherche la longueur x du pendule simple isochrone avec un pendule composé de deux triangles infiniment aigus, symétriques par rapport à AM (les lettres A et M ont été ajoutées par nous).

2) Dans ce calcul la fraction aac/bx a la même signification que dans le calcul précédent (voir la note 10 de la p. 447): c'est la hauteur à laquelle la base (ou un globule de la base) de chaque triangle peut s'élever si cet élément est mis en liberté au moment où la droite AM est verticale. Les lettres a et b désignent les mêmes longueurs que précédemment (comparez la Fig. 29). La hauteur à laquelle s'élève le point M dans le mouvement réel est désignée par c; le centre de gravité des deux triangles s'élève donc à la hauteur ⅔c. Par un calcul analogue à celui de la note 2 de la p. 442 on obtient, lorsque l'unité de longueur est infiniment petite,

ce qui se réduit à , conformément à l'équation de Huygens (qui intègre géométriquement, comparez à la p. 443 le sixième alinéa de la note 2).

Plus tard Huygens calcule la valeur de x d'après la méthode générale pour les surfaces planes, mentionnée dans la note 2 de la p. 455 (voir la p. 533 qui suit).

On pourrait obtenir immédiatement la valeur de x en appliquant au résultat du calcul précédent la ‘méthode des trois quarts’ (voir la note 6 de la p. 453).

3) Les lettres a, b, c et x désignent les mêmes grandeurs que dans le cas précédent. Le centre de gravité des deux pyramides infiniment aigues s'élève à la hauteur ¾c. Au lieu de la formule de la note 2 on trouve ici , ou , conformément à la formule de Huygens.

On pourrait obtenir immédiatement la valeur de x en appliquant au résultat du calcul correspondant à la Fig. 27 une ‘méthode des quatre cinquièmes’ analogue à la ‘méthode des trois quarts’ (voir la note 6 de la p. 453 et les p. 367-368 de l'Avertissement).