Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 392]

III¹⁾.
[1659]²⁾.

[Première Partie]³⁾.

1 Decembr. 1659.

Hinc data fuit occasio inventi de Cycloide.

Quaeritur quam rationem habeat tempus minimae ofcillationis penduli ad tempus casus perpendicularis ex penduli altitudine⁴⁾.

[Fig. 6.]⁵⁾

1) La Pièce, qui traite du tautochronisme de la cycloïde, est empruntée aux p. 72-74 du Recueil ‘Chartae Mechanicae’ (la numération des feuilles de ce Recueil date de 1928) et aux p. 187-188 du Manuscrit A.
Elle a été publiée par l'un de nous avec une traduction néerlandaise (‘De Ontdekking van het Tautochronisme der Cycloidale Valbeweging, eene bijdrage tot de 300^e herdenking van den geboortedag van Christiaan Huygens op 14 April 1929’, door E.J. Dijksterhuis, Euclides, Afi. 5, jaargang 1928/29, P. Noordhoff, Groningen); dans cette publication on retrouvera les figures de Huygens, mais plus correctement dessinées.

2) La Première et la Cinquième Partie de cette Pièce ont été datées par Huygens.

3) ‘Chartae Mechanicae’, p. 72 recto. Outre le texte imprimé ici la feuille contient différents calculs biffés qui nous paraissent étrangers au problème de la cycloïde.

4) Il apparaît donc que c'est la considération de la période d'une oscillation suivant un très petit arc de cercle qui a conduit aux recherches dont est sorti la découverte du tautochronisme de la chute suivant des arcs cycloïdaux.
Galilée s'était déjà sérieusement occupé du mouvement d'un corps grave suivant une circonférence de cercle verticale; voir la Giorn. III des ‘Discorsi’, surtout la Prop. XXXVI (Ed. Naz. VIII, p. 261 et suiv.). À la p. 73 verso des ‘Chartae mechanicae’ Huygens se propose de calculer le temps d'une oscillation circulaire de 180^o, mais sans succès; il remarque: ‘Quaeritur tempus per quadrantem circumferentiae quod dubito an inveniri possit’. Il ne réussit que plus tard à trouver une solution approchée de ce problème (voir le début de la Pars Prima de l'‘Horologium oscillatorium’).

5) Dans la Fig. 6 T est le centre et TZ le rayon d'un quart de circonférence, K un point quelconque de ce dernier. L'arc ZK de la circonférence est censé coïncider avec l'arc ZK d'une parabole ZKא à sommet Z et ‘latus rectum’ 2 TZ. AQΣ est une parabole congruente avec la parabole ZKא ayant son sommet en A. La genèse des autres courbes de la figure est expliquée dans le texte.

[p. 393]

Tempus per particulam E⁶⁾, ex K cadentis [Fig. 6], est ad tempus per particulam B cum celeritate ex AZ in ratione composita ex longitudine E ad B, hoc est ex ratione TE seu GB ad EB, et ex ratione ZΣ seu BF ad BΔ⁷⁾, quae ratio composita est quae ▭ GBF ad ▭ EBD.

Ut ▭ EBD ad ▭ FBG ita BF ad BX, unde ut omnes BX ad omnes BF ita tempus per KZ ad tempus per AZ cum celeritate ex AZ⁸⁾. Et tempus per KZ

6) E est une partie infiniment petite de l'arc KZ, B sa projection sur AZ. L'auteur compare le temps t₁ d'une chute suivant E, lorsque le mobile part de K avec une vitesse nulle, avec le temps t₂ correspondant à un mouvement uniforme suivant B d'un point possédant une vitesse égale à celle que possède en Z un mobile tombant parti de A avec une vitesse nulle. Nous désignerons cette dernière vitesse par v_z.

7) Il faut lire: BD. Voir le premier Théorème de la Deuxième Partie qui suit (note 2 de la p. 398).

8) L'auteur introduit donc une ordonnée BX telle que t₁/t₂ = BX/BF (voir sur les temps t₁ et t₂ la note 6). Par conséquent, si l'on considère les éléments successifs B comme égaux entre eux, de sorte que t₂ est une constante, les ordonnées BX mesureront les temps t₁. Le temps de la chute suivant KZ, considéré comme la somme des temps t₁, sera donc représenté par la surface ASPR..NY..HVZA [Fig. 6] considérée comme la somme de toutes les ordonnées BX. On a par conséquent
temps de la chute suivant KZ / t₂ (c.à. d. temps de parcours d'un élément déterminé B avec la vitesse v_z) = omnes BX / BF.
Mais on a aussi
temps de parcours de AZ avec la vitesse v_z / t₂ = omnes BF / BF;
donc
temps de la chute suivant KZ / temps de parcours de AZ avec la vitesse v_z = omnes BX / omnes BF = surf. AR..N..HZA / ▭ KZ.

[p. 394]

ad tempus per AZ¹⁾ ut spatium infinitum²⁾ ASPRLNγHVMZA ad 2 ▭ KZ³⁾.

⁴⁾⁵⁾

consideratur AK applicata in circumferentia tanquam aequalis applicatae in parabola ZKא, cujus ½ lat. rectum TZ, cui eadem est parabola AQΣ. hoc est supponitur AK ∞ ZΣ⁶⁾.

⁷⁾

1) In margine: ‘tempus per AZ est aequale tempori motus aequabilis per AZ cum 1/2 celeritate ex AZ’.

2) C.à.d. un espace qui s'étend jusqu' à l'infini.

3) En effet, on a
temps de parcours de AZ avec la vitesse v_z (note 6 de la p. 393) / temps de parcours de AZ lorsque le mobile tombant part du repos en A = ½
(Galilée, De Motu Accelerato, Prop. I. ‘Discorsi’, Giorn. III. Ed. Naz. VIII, p. 208).

4) F et G doivent être considérées ici comme des lettres courantes: lorsque B vient en C, F et
G seront les intersections de CN avec KΣ et SM respectivement.
La définition de BX (note 8 de la p. 393), appliquée au point C au lieu de B, donne CQ²/CF.CG = CF/CN, où CQ² = ½ZΣ² = ½ CF². Il s'ensuit que CN = 2CG.
Quant au raisonnement du texte, il faut l'entendre comme suit. Une droite CO est construite comme troisième proportionnelle à CF et à CQ. De CQ²/CF² = ½, on tire donc CO = ½ CF. Dans la suite aussi l'auteur construit souvent des lignes ne servant qu'à représenter des expressions composées ayant la dimension d'une longueur (telles que l'expression CQ²/CF dans le cas considéré).

5) Dans la suite, aucun usage n'est fait de cette relation.

6) On vérifiera aisément que cette supposition revient à celle-ci: la circonférence (T; TZ) oscule en Z la parabole ZKא.

7) Dans ce qui suit l'auteur fait usage de la courbe à sommet I (voir la Fig. 6 et la Fig. ci-jointe).




La genèse de cette courbe est expliquée dans la quatrième Proposition de la Deuxième Partie de cette Pièce, à laquelle nous empruntons dès maintenant ce qui suit: Bα étant une ordonnée quelconque de la demi-circonférence AZ, on détermine Bβ de telle manière que
Bα/CI = CI/Bβ.
La Proposition citée dit en outre que la surface comprise entre la courbe ainsi construite, les asymptotes AR, ZH et la droite AZ est à celle du rectangle AW dans un rapport égal à celui de la demi-circonférence p au diamètre q.
Appelant cette surface O₂ et le ‘spatium infinitum’ AR..N..HZA, considéré plus haut [Fig. 6], O₁, nous savons (voir la note 3, et la note 8 de la p. 393):
temps de la chute suivant KZ / temps de parcours de AZ, lorsque le mobile tombant part du repos en A = O₁/2▭KZ
et, d'après ce qui vient d'être dit, O₂/▭AW = p/q.
Remplaçons O₁/2▭KZ par O₁/O₂·O₂/▭AW·▭AW/2▭KZ (1).
On peut remarquer que les ordonnées correspondantes BX et Bβ sont dans un rapport constant, égal à celui des surfaces O₁ et O₂. En effet, suivant la troisième Proposition de la Deuxième Partie, on a la relation ,
de sorte que ,
tandis que Bβ = CI²/Bα.
Dans le rapport BX/Bβ la seule grandeur variable, Bα, disparaît. Pour déterminer ce rapport nous prenons le point B en C; il s'ensuit que O₁/O₂ = CN/CI. L'équation (1) nous donne alors




où , si l'on considère AK comme ordonnée de la parabole ZKא. Puisque TZ = b et AZ = c, on trouve en effet pour le rapport cherché la valeur 2b:2q/p√2bc.
Chez Huygens le raisonnement n'est pas absolument le même: il se conforme évidemment aux règles de la théorie des rapports suivant Euclide, telles qu'on les trouve dans le Cinquième Livre des Éléments. Suivant cétte théorie la transformation des équations doit s'accomplir en appliquant la conclusion δι᾿ἴσου (‘ex aequo’ ou ‘ex aequali’) - Euclide V, 23 - d'après laquelle on dérive des équations




l'équation a:g = c:h.
Or, on sait




Pour tirer de ces équations une nouvelle équation ‘ex aequo’, il faut d'abord transformer la deuxième équation de telle manière que son troisième terme devienne CI ou ½c. C'est ce qu'on obtient en posant p:q = ½c:CΠ d'où l'on tire CΠ = ½cq/p.
Il faut ensuite transformer la troisième équation de telle manière que son troisième terme devienne CΠ. On pose donc
CI:CF = CΠ: une quatrième longueur.
Cette dernière est multipliée par 2, puisqu'il s'agit de comparer O₁ avec 2▭KZ (non pas avec ▭KZ); on obtient ainsi 2q√2bc/p. Le rapport cherché devient maintenant ‘ex aequo’
CN:2q√2bc/p.
Nous avons donc expliqué la signification de toutes les proportions qu'on trouve dans le texte.

[p. 397]

ita erit spatium infinitum vertice N ad duplum ▭ KZ, hoc est ita tempus per KZ ad tempus per AZ.

sed tempus per AZ est ad tempus per TZ ut √2bc ad √2bb¹⁾ hoc est ut 2q/p√2bc ad 2q/p√2bb

Ergo ex aequo tempus per KZ arcum ad tempus per TZ ut 2b ad 2q/p√2bb sive ut hoc est ut . hoc est ut quadrans circumferentiae ad suam subtensam.

Quum AZ pro arbitrio sumta sit, fiatque semper tempus per KZ ad tempus per TZ ut p ad √2qq. ponendo nempe puncta K et E esse in parabola cujus vertex Z, ½ lat. rectum TZ, hinc vidi opus esse, si curvam velimus per cujus arcus quosvis in Z terminatos, tempora descensus sint aequalia, ut sit ejus naturae, ut quemadmodum ET curvae perpendicularis ad applicatam EB, ita faciendo rectam datam ut GB ad aliam EB, cadat punctum E in parabolam vertice Z. Hoc autem Cycloidi convenire inveni ex cognita tangentis ducendae ratione²⁾.

1) D'après la Prop. I du traité ‘De Motu Accelerato’ de Galilée (‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 208).

2) Ce dernier alinéa contient la découverte du tautochronisme de la chute cycloïdale. L'auteur observe que le résultat obtenu serait exact, si le point E se trouvait réellement sur la parabole ZKא et non pas sur la circonférence de cercle. Or, dans le cours du raisonnement E n'a été considéré qu'une seule fois comme un point de cette circonférence, savoir là où le rapport des éléments E et B (voir la note 6 de la p. 393) a été remplacé par TE/BE ou GB/BE. Lorsqu'on substitue une autre courbe à la circonférence de cercle, de sorte que TE représente la normale en E, limitée par la verticale passant par Z, on n'aura plus TE = la longueur constante GB.
Mais si l'on pose TE/BE = GB/BE' (GB étant une longueur constante donnée), où BE' correspond à la ‘alia BE’ du texte, et que E' est situé exactement sur la parabole ZKא, le raisonnement du texte reste valable en entier et le tautochronisme trouvé devient un tautochronisme exact.
Huygens remarque qu'il en sera ainsi, lorsque le point E se trouve sur une cycloïde (voir la cinquième Proposition de la Deuxième Partie qui suit).

[p. 398]

[Deuxième Partie]¹⁾.

[Fig. 7.]

Sine quibus motus aequabilis in cava cycloide inveniri non poterat.

velocitates gravis cadentis ex A per AC [Fig. 7], esse in punctis singulis B, C, sicut applicatae in parabola BD, CE²⁾.

[Fig. 8.]

Tempora quibus grave ex A cadens [Fig. 8] particulas aequales conficit, puta in B et C, esse inter se sicut applicatae BL, CH in curva FHL, ejus naturae ut semper sint continue proportionales BD, BK, linea certa, et BL³⁾.

Dictae curvae spatium infinitum OFHLZA esse duplum rectanguli AF⁴⁾.

1) Chartae Mechanicae’ p. 73 recto.

2) Cette Proposition est facile à démontrer: d'une part dans la parabole les ordonnées sont proportionnelles aux carrés des abscisses, d'autre part les distances parcourues par un mobile tombant à partir du repos sont proportionnelles aux carrés des temps, donc aussi aux carrés des vitesses.

3) Comme BK est une constante, tout aussi bien que la ‘linea certa’, la Proposition dit que BL est inversement proportionnelle à BD. Cette Proposition est une conséquence de la précédente. En effet, puisque les temps considérés sont inversement proportionnels aux vitesses, ils le sont aussi aux ordonnées correspondantes de la parabole. C.à.d. on a BL.BD = CH.CE, etc.

4) En effet, on a
2/1 = temps de la chute suivant AO d'un mobile partant du repos / temps de parcours de AO avec la vitesse constante v_o [vitesse finale de la chute suivant AO] = omnes BL / omnes OF = surf. OFHLZA / surf. ▭AF.

[p. 399]

[Fig. 9.]

Si sint duae semi-parabolae [Fig. 9] quaecunque ad eundem axem sed contrario situ, ut ABC, DBE, et ducantur applicatae communes FGH, KLM, eandem esse rationem rectanguli HFG ad MKL quae est partium dictarum applicatarum, semicirculo super AD interceptarum, nempe quae NF ad OK⁵⁾.

[Fig. 10.]

Si semicirculum ACB [Fig. 10] tangat in vertice recta PCQ, ductisque ordinatis DFG, fiat sicut DF ad DG ita haec ad DM Esse spatium inter curvam CMM et asymptotos ejus NA, OB, rectamque AB interjectum ad rectangulum AQ, ut semiperipheria ACB ad rectam AB⁶⁾.

Si PQ distet a vertice C; tamen spatium curvae quae tunc orietur datum esse, posita scilicet quadratura circuli⁷⁾.

5) On a en effet

6) Nous émettons l'hypothèse suivante sur la méthode de démonstration de ce théorème par Huygens. Comparons les temps dans lesquels un mobile parcourt d'une part la demi-circonférence, d'autre part le diamètre AB, avec la même vitesse constante; ces temps seront entre eux comme p (la demi-circonférence): q (le diamètre). Or, on trouve une autre expression du même rapport en comparant un élément F de l'arc AB avec sa projection D sur le diamètre AB et en remarquant que
le temps de parcours de F / le temps de parcours de D = VF/DF = CV/DF = DM/VC,
V étant le centre de la circonférence de cercle.
On en conclut, comme dans la note 8 de la p. 393, que
p/q = le temps de parcours de la demi-circonférence AB / le temps de parcours du diamètre AB = omnes DM / omnes VC = surf. ANMCOQBA / surf. ▭AQ.

7) Ce cas se présente dans la Fig. 6. Le ‘spatium infinitum’ AR..NY..HZA est un ‘spatium datum’; c.à.d. une surface de grandeur calculable.

[p. 400]

[Fig. 11.]¹⁾

Curvam AB [Fig. 11] quae sit ejus naturae, ut ductâ ipsi BD ad ang. rectos, quae occurrat axi AD in D, faciendoque ut BD ad applicatam ordinatim BC, ita sit recta quaevis EC ad CF in eadem ordinata sumptam, fit FFA parabola; eam curvam esse Cycloidem²⁾.

1) Nous avons ajouté à la Fig. 11 les lettres A₁ et G.

2) Considérons cette Proposition conjointement avec la remarque qui clôt la Première Partie de cette Pièce (voir la p. 397); tandis que l'auteur disait à cet endroit que la cycloïde possède la propriété en question, il avance ici qu'une courbe possédant cette propriété est nécessairement une cycloïde. Il peut avoir démontré la vérité du premier théorème de la façon suivante. AA₁ étant le cercle générateur de l'arc de cycloïde ABB [Fig. 11], et B un point quelconque de cet arc correspondant à la normale BD, on a suivant la propriété bien connue des tangentes à la cycloïde (voir à la p. 374 et suiv. du T. XIV la démonstration de Huygens): BD est parallèle à GA₁, lorsque BG est horizontale (parallèle à la tangente au point A₁ à la circonférence AA₁) et que G se trouve sur la circonférence AA₁. Par conséquent BD/BC = A₁G/CG = AG/AC. Or, si l'on prend F de telle manière que BD/BC = CE/CF, où CE est une longueur constante arbitraire, il s'ensuit que AG/AC = CE/CF ou bien CF² = , d'où l'on conclut que le lieu des points F est une parabole.
Quant au second théorème, Huygens peut l'avoir établi comme suit, en commençant par admettre que la courbe considérée possède le sommet A et l'axe de symétrie AD.
Le ‘latus rectum’ de la parabole qui doit provenir de la construction étant p, prenons une longueur AA₁ telle que CE² = p. AA₁; puisse le cercle à diamètre AA₁ engendrer une cycloïde en roulant sur une perpendiculaire en A₁ à l'axe AD. La tangente au point d'intersection de cette cycloïde avec le prolongement de CG est parallèle à AG. Mais la tangente en B à la courbe primitive (lieu des points B) est également parallèle à AG: en effet, on a CF²/CE² = AC/AA₁, donc AC/AA₁ = BC²/BD² ou AG/AA₁ = BC/BD ou bien CG/A₁G = BC/BD, d'où l'on conclut que A₁G est parallèle à DB, partant AG parallèle à la tangente en B.
Du point A partent donc deux courbes possédant des tangentes parallèles entre elles en leurs points d'intersection avec une ordonnée quelconque perpendiculaire à AD. Huygens peut avoir reconnu intuitivement que ces courbes doivent être identiques, et il aurait pu donner, s'il l'eût fallu, une démonstration exacte de cette identité d'après une méthode analogue à celle par laquelle il prouve dans la Prop. III de la Pars III de l'‘Horologium oscillatorium’ une proposition du même genre pour deux courbes possédant des normales communes.

[p. 401]

[Troisième Partie.]³⁾

Sed spatium infinitum ζη est ad ▭ Aγ ut semicircumferentia AζE ad AE, hoc est (si fiat ut ◠ AζE ad AE ita βζ ad βω) ut βζ ad βω. Ergo ex aequo erit spatium infinitum VX ad ▭ Aλ ut Vβ ad βω hoc est ut 2b ad ½ cc/p. nam Vβ est ∞ 2b et βω ∞ ½ cc/p. sit ut ▭ Aλ ad ▭ AI, hoc est ut βζ ad βφ ita βω ad βψ

[Fig. 12.]

3) La Troisième Partie est empruntée à la p. 74 recto des ‘Chartae Mechanicae’. Elle contient un fragment d'un raisonnement analogue à celui de la p. 72 recto (voir la Première Partie de cette Pièce) mais formulé plus correctement. C'est le début qui fait défaut; celui-ci se trouvait sans doute sur une feuille brûlée, dont le dernier reste à bords carbonisés est attaché à la p. 74; on y lit de la main de Huygens: ‘pertinebat ad inventum de Cycloides Isochronismo’.
La partie manquante de la déduction se reconstruit aisément (comparez à ce sujet le deuxième alinéa de la note de la p. 404):
Dans la Fig. 12 on a Cχ = EΞ = 2 CE; Cχ est la base de la cycloïde; EΣ est l'arc de cycloïde donné, Q le point où commence la chute avec une vitesse nulle, O un point quelconque de l'arc QE. La parabole Eχ est le lieu des points R, déterminés par l'équation BO/DO = Cχ/DR. Cχ est donc la longueur constante arbitraire qui s'appelait CE dans la cinquième Proposition de la Deuxième Partie (voir la Fig. 11 à la p. 400). ASI est une parabole à sommet A, congruente avec la parabole Eχ.
On a donc, en raisonnant comme dans le cas de la p. 72 recto (voir aux p. 393-397 les notes de la Première Partie):
temps de parcours de l'élément O pour le mobile parti de Q / temps de parcours de l'élément D avec la vitesse constante v_E =
BO/DO.v_E/v_D = Dα/DR.EI/DS = Dα.Dσ/DR.DS.
Posons
Dα.Dσ/DR.DS = DX/Dσ;
on aura alors, comme dans la Première Partie,
temps de parcours de l'arc QE/temps de la chute suivant AE = omnes DX/2.omnes Dσ = surface AQ..XV..NEA/2. surface ▭ AI.
Construisant ensuite Dη de telle manière que Dδ:Dε = Dε:Dη, on aura
surface AQ..ηζ..NEA/surface ▭ Aλ = demi-circonférence/diamètre
(4^ième Proposition de la Deuxième Partie, deuxième alinéa de la p. 399).
C'est par cette dernière proportion que commence le texte imprimé de notre Troisième Partie; la surface AQ..ηζ..NEA y est désignée par ζη. Le reste du raisonnement est en tièrement comparable à celui de la p. 72 recto (voir la Première Partie de cette Pièce). Pour faciliter la comparaison nous observons que βω [Fig. 12] correspond à Cn [Fig. 6], et c à q.

[p. 402]

[Fig. 12.]

Sed tempus per AE est ad tempus per CE, hoc est, per dimidiam EΞ ut AM ad Cχ, hoc est, ut √2bc ad b, hoc est ut c/p√2bc ad bc/p.

Ergo ex aequo erit tempus per QOE ad tempus per CE ut b ad bc/p hoc est ut p ad c.

Ergo ex quocunque puncto Q mobile descendat per curvam ΣQE erit tempus

[p. 403]

descensus ad tempus descensus per perpendicularem CE ut p ad c, hoc est ut semicircumferentia ad diametrum.

Ergo ex quocunque puncto curvae descenderit usque in E, semper aequale tempus impendet.

[p. 404]

Quatrième Partie¹⁾.

[Fig. 13.]

Ponimus mobile descendere per cycloidem ex puncto aliquo Q [Fig. 13] usque in E; et comparandum sit tempus hujus descensus cum tempore quo mobile cadit ex A in E motu naturaliter accelerato vel cum tempore huic aequali, quo nempe percurreret lineam AE motu aequabili et celeritate dimidia ejus quam acquirit in fine casus per AE.

ΞEI angulus rectus. CE ∞ CΞ. ERχ est parabola cujus latus rectum ∞ 2EΞ. cui similis est opposita ASI. CΠE est circulus genitor cycloidis EOQΣ.AζE semicirculus. Aβ ∞ βE.

Tempus per particulam cycloidis in O, puncto quolibet, ad tempus per particulam perpendicularis in D, ponendo utramque particulam ijsdem parallelis horizontalibus includi, et celeritatem mobilis in O esse eam quam acquirit cadendo ex Q sive ex altitudine AD, celeritatem vero mobilis in D esse dimidiam ejus quam acquirit cadendo ex AE; illud ergo tempus ad hoc habebit rationem compositam ex ratione particulae O ad particulam D, et ex ratione celeritatis qua peragitur particula D ad celeritatem qua peragitur O. per propos... Galilei de motu

1) Les pages examinées contiennent encore différentes rédactions ou projets de rédaction de la preuve de la propriété tautochrone de la cycloïde. En faisant suivre ici le fragment qu'on trouve à la p. 187 du Manuscrit A, nous observons l'ordre chronologique: ce fragment doit être postérieur aux Parties précédentes et antérieur aux deux démonstrations complètes qui suivent. En effet, dans le raisonnement considéré ici la parabole Eχ joue encore un rôle, tandis que dans la démonstration plus correcte elle ne paraîtra plus; mais d'autre part l'auteur cherche déjà à s'affranchir de l'emploi des courbes à sommets V et ζ de la Fig. 12.
Le raisonnement initial de cette p. 187 est conforme au début reconstruit du raisonnement qui se poursuit dans le morceau de la p. 74 recto des ‘Chartae Mechanicae’ (voir la Troisième Partie qui précède et, à la p. 403, le deuxième alinéa de la note 3 de la p. 401); il confirme donc cette reconstruction. La déviation commence là où le rapport OB/OD est égalé à CΠ/DΠ, c.à.d. au rapport de deux longueurs se rapportant au cercle CE qui engendre la cycloïde. On passe de là à la parabole ERχ en posant .
L'auteur trouve ensuite que l'expression est égale au rapport ¼ EI/Dδ, de sorte que la courbe à ordonnées DX [Fig. 12] n'est plus introduite; mais il ne va pas plus loin: le morceau est resté à l'état fragmentaire.

[p. 405]

aequabili. hoc est, et ex ratione celeritatis dimidiae acquisitae casu per AE ad celeritatem acquisitam casu per QO sive AD. hoc est, et ex ratione dimidiae EI ad DS, quia ASI est parabola. Est autem particula O ad D, ut OB (quae cycloidi occurrit ὀρϑογώνως) ad OD. hoc est ut CΠ ad ΠD, (nam CΠ est parall. BO). hoc est ut CE ad EΠ, hoc est in subduplicata ratione CE ad ED, ac propterea eadem quam habet Cχ ad DR. Ergo tempus dictum per particulam O ad tempus per D particulam, habet rationem compositam ex ratione ½ EI ad DS, et Cχ ad DR. hoc est eam quam ½ ▭ Cχ, EI, sive ½ ▭ αDσ ad ▭ RDS. hanc autem dico esse eandem quae ¼ EI ad Dδ. nam quia ▭ αD, ½ Dσ ad qu. βγ, sive ad ▭ sub Aβ et 2αD (nempe latus rectum parabolae) sive ad ▭ AE, αD, est ut ½ Dσ sive ½ EI ad AE sive ut ¼ EI ad ζβ. quadratum vero βγ ad ▭ RDS ut ζβ ad δD: erit ex aequo ½ ▭ αDσ ad ▭ RDS ut ¼ EI ad Dδ.

[Cinquième Partie]²⁾.

15 Dec. 1659.

Demonstratio melior huc tandem redacta.

Sit dimidia cycloides ABC vertice A deorsum spectante et axe AD ad perpendic. [Fig. 14].

Et ex quocunque ejus puncto B descendat per ipsam mobile usque in A. Dico

2) Cette Pàrtie est empruntée aux p. 188-191 du Manuscrit A. Elle contient une preuve complète de la propriété tautochrone de la cycloïde, preuve qui, il est vrai, ne satisfait pas encore aux conditions rigoureuses que l'auteur s'est imposées en rédigeant la démonstration définitive de l'‘Horologium oscillatorium’.
On trouve une deuxième rédaction de cette preuve aux p. 76-77 des ‘Chartae Mechanicae’; mais elle diffère trop peu de celle publiée ici pour qu'il soit nécessaire de la reproduire in extenso. Nous nous contenterons de la citer dans quelques notes et d'en emprunter les trois derniers alinéas (voir la note 1 de la p. 410).

[p. 406]

tempus hujus descensus ad tempus casus perpendicularis ex D in A, fore ut semiperipheria circuli ad diametrum. Ideoque ex quovis cycloidis puncto tempora descensus aequalia esse¹⁾. Sit enim BF parallela CD, quam secet semicirculus genitor DEA in E et ducatur AE²⁾.

Magna nec ingenijs investigata priorum³⁾.

[Fig. 14.]

Quia igitur tempori casus per DA aequale est tempus descensus per planum inclinatum EA^*, sive tempus quo transitur eadem EA motu aequabili et celeri-

1) On lit à la p. 76 recto des ‘Chartae Mechanicae’ deux énoncés de cette proposition; ils ont été biffés tous les deux. Les voici:
‘Tempora reciprocationum quibus mobile per cavam cycloidem naturali impetu descendit ascenditque, a quocunque cycloidis puncto dimissum illud fuerit sunt aequalia; Habentque singula eam rationem ad tempus casus perpendicularis per axem cycloidis quam circumferentia circuli ad diametrum’.
‘Tempora lationum reciprocarum mobilis per quoslibet cycloidis arcus inter se sunt aequalia, habentque singula ad tempus casus perpendicularis per axem cycloidis eam rationem quam circumferentia circuli ad diametrum’.
On lit encore en marge: ‘Theorema hoc proponatur ijs verbis quibus positum est in fine pag. praecedentis’. Il s'agit apparemment de la p. 74 recto (voir, à la p. 401, la Troisième Partie de cette Pièce).

2) Ici il y a un sigue de renvoi qu'on retrouve à la p. 189 du Manuscrit A.

3) Ovide, Métamorphoses, XV, 146.

* 6 pr. de motu l. Galilei⁴⁾.

4) Voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 221 (Prop. VI) et p. 208 (Prop. I).

[p. 407]

tate dimidia ejus quam acquirit mobile cadendo per EA^*, vel per FA^* perpendiculariter; Ostendendum nobis est, tempus per partem cycloidis BA esse ad dictum tempus motus aequabilis per EA, ut semicircumferentia circuli ad diametrum.

Describatur super FA semicirculus FGA, et intelligatur ei circumscriptum polygonum ex tangentibus cujus unum latus sit SLS. Potest autem tot laterum sieri ut à peripheria ipsa FLA quamlibet parum differat. Per contactum L ducatur ILKH recta parall. DC, cui item parallelae ducantur YM, intercipientes polygoni latus SS, ut et rectam MHM, tangentem cycloidem in H, rectae vero AE partem RR. Quod si singulis porro lateribus polygoni circa FLA descripti, eodem modo tangentes cycloidis respondentes constituantur, hae tandem si insinitus numerus earum fuerit ipsam curvam conficient, et tempus descensus mobilis per omnes ejusmodi tangentes idem erit cum tempore descensus per curvam BHA secundum ante exposita⁶⁾. Tempus descensus per singulas earum ponimus non differre a tempore motus aequabilis per easdem celeritate ea quae acquiritur casu ex puncto B usque ad punctum contactus cujusque tangentis. Veluti pro tempore descensus per MM usurpabimus tempus quo transiretur MM motu aequabili, celeritate vero quanta acquiritur casu per BH sive per perpend. FI; nam hae celeritates eaedem sunt ut ostensum est. atque ita in singulis tangentibus fieri intelligendum.

* 1 pr.⁴⁾.

4) Voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 221 (Prop. VI) et p. 208 (Prop. I).

* ...G.⁵⁾.

5) Chez Galilée ceci n'est pas une proposition, mais un postulat; voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 205.

6) Voir la p. 411. Après cette phrase les mots ‘secundum quae etiam’ ont été intercalés. Ce sont les premiers mots de la remarque qu'on trouve in margine: ‘secundum quae etiam tempus motus accelerati per singulas adaequabimus tempori cuidam motus aequabilis, videlicet ut pro tempore motus accelerati per MM sumatur’.
À la p. 76 verso des ‘Chartae Mechanicae’ une phrase qui exprime à peu près la même chose fait partie du texte lui-même. On y lit: ‘...per curvam BHA, secundum ante exposita. Secundum quae etiam pro tempore descensus per MN usurpabimus tempus quo transiretur eadem MN motu aequabili, celeritate vero quanta acquiritur casu per BH’.

[p. 408]

Porro jungatur AK, et secet in PP parallelas YM. Jungantur item FL, LA, ut et FG, GA, secto prius semicirculo FGA bifariam lineâ VG ex centro eductâ. Quoniam itaque lineam MM transiri ponimus celeritate aequabili quanta acquiritur casu per FI, lineam vero RR, celeritate aequabili dimidia ejus quae acquiritur casu per FA, habebit tempus per MM ad tempus per RR rationem eam quae componitur ex ratione MM ad RR et ex ratione dimidiae celeritatis acquisitae casu per FA ad celeritatem acquisitam casu per FI^*. Atqui celeritas tota ex casu per FA est ad celeritatem ex casu per FI in subduplicata [ratione] spatiorum FA ad FI¹⁾ ac proinde eadem quae FA ad FL, ergo dimidia celeritas ex casu per FA

[Fig. 14.]

ad celeritatem ex casu per FL ut VF ad FL. Itaque tempus dictum per MM ad tempus per RR habebit rationem compositam ex ratione MM ad RR et ex ratione VF ad FL. Est autem MM tangens²⁾ cycloidem in puncto H parallela rectae AK^*, ideoque PP aequalis MM. Ergo tempus dictum per MM ad tempus per RR habebit rationem compositam ex ratione PP ad RR, hoc est, KA ad ZA, hoc est EA ad KA^*, et ex ratione VF ad FL. Est autem ut EA ad KA, ita FA ad AL;

* Galilei theor... de motu AEquab.

1) À la p. 76 verso des ‘Chartae Mechanicae’ on trouve ici un renvoi à la Prop. 2 Galilei de motu accelerato. Voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 209.

2) On trouve ici les mots: ‘vide pag. praeced. ad signum...’. On trouve en effet le même signe au début du passage qui suit, à la p. 188 du Manuscrit A.

* theorema de tangente in hoclibro³⁾ supra demons.

3) C.à.d. dans le Manuscrit A. Voir la p. 374 du T. XIV, déjà nommée dans la note 2 de la p. 400.

* nam tres hasce EA, KA, ZA proportionales esse facile ostendi potest.

[p. 409]

nam quia EA quadr. est aequale ▭^o DAF, et KA qu. ▭^o DAI, estque ▭ DAF ad ▭ DAI ut FA ad AI, hoc est ut qu. FA ad qu.AL; ergo et qu. EA ad qu.KA ut qu. FA ad qu.AL, ideoque EA ad AK ut FA ad AL, sicut dicebamus. Ratio itaque temporis per MM ad tempus per RR, eadem est compositae ex ratione FA ad AL et ex ratione VF ad FL, ac proinde eadem erit quae ▭ AFV sive ½ qu. AF ad ▭ AL, LF. sive, sumtis horum dimidijs, eadem quae trianguli FGA ad triangulum FLA. Sunt autem triangula haec super eadem basi AF, ac proinde inter se ut altitudines GV ad LI. Ergo tandem tempus per MM ad tempus per RR erit sicut GV sive VL ad LI, hoc est ut tangens SSad YY⁴⁾. hoc enim facile apparet⁵⁾.

Eodem modo ostendetur tempus descensus motus accelerati per sequentem cycloidis tangentem NQ esse ad tempus aequabile per RO, particulam rectae AE inter ea sdem parallelas horizontales cum dicta tangente interceptam, sicut tangens circuli SW ad rectam YX, quarum utraque inter easdem quoque istas parallelas interjicitur, atque ita de caeteris omnibus. Quia autem lineam totam EA, ac proinde singulas quoque partes ejus ponimus motu aequabili percurri, scilicet velocitate dimidia ejus quae acquiritur casu per FA, Idcirco necessario erit tempus per RR ad tempus per RO, ut ipsa longitudo RR ad RO, hoc est ut YY⁴⁾ ad YX. atque ita similiter caetera tempora per particulas rectae EA inter se, sicut particulae ipsis respondentes in recta FA.

Sunt itaque magnitudines quaedam rectae YY, YX &c. et totidem aliae tempora scilicet quibus percurruntur rectae RR, RO &c., quarum unaquaeque in prioribus ad suam sequentem eadem proportione refertur qua unaquaeque posteriorum ad suam sequentem. Quibus autem proportionibus priores ad alias totidem nempe ad tangentes circuli, SS, SW referuntur ijsdem proportionibus et eodem ordine posteriores ad alias totidem referuntur, nempe ad tempora motus qualem diximus, per tangentes cycloidis MM, MQ. Ergo^* quam rationem habent omnes simul priores ad omnes eas ad quas referuntur, hoc est quam tota FA recta ad totam semicircumferentiam FLA, eam habebunt omnes posteriores ad omnes ad quas ipsae similiter referuntur, hoc est tempus quo tota EA percurritur motu aequabili, velocitate autem dimidia ejus quae acquiritur casu per FA, sive, quod idem est, tempus motus accelerati per EA vel per DA; ad tempora omnia motus qualem diximus per tangentes cycloidis, hoc est ad tempus descensus per totam cycloidis portionem BHA. quod erat demonstrandum.

4) La figure [Fig. 14] a une fois la lettre Y et une fois la lettre Y.

5) On lit ici: ‘Vide fol. sequens versum, ad signum...’. Le texte indiqué, qui suit, se trouve en effet à la p. 190 du Manuscrit A.

4) La figure [Fig. 14] a une fois la lettre Y et une fois la lettre Y.

* p. 2 de Conoid. et Sphaer. Archim.⁶⁾.

6) C'est la Prop. I dans l'édition moderne de J.L. Heiberg (Archim. Opera Omnia, Lipsiae, in aed. B.G. Teubneri).

[p. 410]

Coroll. tempus casus per BH est ad tempus casus reliqui per HA ut arcus FL ad arcum LA¹⁾.

Ex his facile etiam colligitur descendente mobili ex B ad A, (sumtum autem est punctum B ad lubitum) tempora descensus per partes quaslibet curvae BA eam inter se rationem habere quam habent arcus circumferentiae FGA ijsdem parallelis horizontalibus intercepti quibus singulae earum partium continentur. Ita nimirum tempus per arcum BH erit ad tempus reliquum per arcum HA sicut arcus circumferentiae FL ad arcum LA.

[Fig. 14.]

Constat porro ubi grave per arcum cycloidis BA descenderit, continuato motu per aequalem huic arcum ex altera parte axis ascensurum temporaque utriusque motus aequalia futura. adeo ut in cavo cycloidis per quoslibet arcus reciprocationum singularum tempora futura sint ad tempus lapsus perpendicularis per axem cycloidis sicut circumferentia circuli ad diametrum²⁾.

1) Les trois alinéas qui suivent sont empruntés à la p. 77 verso des ‘Chartae Mechanicae’. Comparez, à la p. 406, le deuxième alinéa de la note 2 de la p. 405.

2) Cette Proposition s'exprime en notations modernes par la formule de la période d'une demioscillation cycloïdale t = π√l/g, où l est le double du diamètre de la circonférence qui engendre la cycloïde.

[p. 411]

Eadem vero omnia etiam in cycloide quae in plano inclinato sita sit contingere manifestum est, ita nempe ut axem ad plani lineam horizontalem perpendicularem habeat. Eadem enim utrobique est demonstratio.

haec ante praecedens theorema legenda³⁾.

De motu per cycloidem acturus curvam hanc quasi ex infinita multitudine tangentium constare considerabo. Et rursus pro tempore descensus accelerati per omnes hasce tangentes, considero summam temporum quibus singulae tangentes percurrerentur motu aequabili et velocitate quanta acquiritur ex casu a principio descensus ad usque punctum earum contactus. Ut hoc clarius fiat utque appareat

[Fig. 15.]

summam istorum temporum non differre à tempore descensus naturalis per tangentes infinitas sint tangentes infinitae ex quibus constat curva AB, BC, CD &c. [Fig. 15].

Primò igitur tempus descensus accelerati per curvam AGE non differre sumo à tempore descensus cum per omnes rectas AB, BC, CD &c. mobile decurrit. nusquam videlicer offendendo, hoc est, ut velocitatem quam acquisivit in fine cujusque lineae, eam habeat moveri incipiens in linea sequenti, ac deinceps eandem secundum leges motus acceleret. Quum autem tali descensu unaquaeque tangens velut CD percurratur motu paulatim accelerato, (nam cum ad finem ejus D pervenit mobile celerius utique movetur quam in principio C) si ponamus totam CD percurri motu aequabili celeritate illa majori quam habet mobile cum pervenit descendendo ad finem dictae tangentis D, veniens scilicet ex A, hoc enim et in sequentibus semper intelligi debet; constat tempus hujus motus brevius fore quam tempus quo mobile percurrit CD velocitate crescenti seu descensu naturali.

At contra, si totam CD percurri ponam motu aequabili et celeritate ea tantum quam habet in C, tempus hujus motus erit longius tempore motus accelerati per CD, quo fertur scilicet ex A veniens. Sed quoniam tangentem infinitè parvam pono ratione totius AE, ideo et discrimen celeritatis quam acquirit mobile, sive descendat ex A usque in C, sive ex A usque in D, sive denique etiam ex A usque in H punctum, ubi CD curvam tangit, tanquam nullum est reputandum. Quare et tempus quod longius esse dictum est tempore descensus natu-

3) Manuscrit A, p. 191.

[p. 412]

ralis per CD ab illo tempore quod brevius esse dictum est, non differre existimandum: Ideoque nec utrumvis eorum à tempore descensus naturalis per CD.

[Fig. 15.]

Unde itaque nec tempus motus aequabilis per CD, celeritate quae acquiritur ex casu per AH, quod scilicet tempus inter illud longius breviusque medium quodammodo est, differre quicquam censendum est à tempore descensus naturalis per CD. Tale ergo medium tempus in singulis tangentibus pro tempore descensus naturalis per easdem tangentes ponimus; omniumque istorum temporum summam pro tempore per totam curvam usurpabimus.

Quod tuto fieri posse periti geometrae facile perspicient neque desiderabunt puto ut longo ambitu illa exsequamur quae ad demonstrationem more veterum geometrarum conscribendam hic requirerentur.

[Sixième Partie]¹⁾.

Magna nec ingenijs investigata priorum²⁾.

[Fig. 15bis.]

1) Cette Partie est empruntée à une feuille détachée datant probablement de la même époque (Chartae Astronomicae, p. 224 recto). La démonstration indiquée brièvement dans le texte correspond à celle de la Cinquième Partie qui précède.

2) Comparez la note 3 de la p. 407.

[p. 413]

Casus per AB [Fig. 15bis] ∞ per RB ∞ aequabilis per RB cum dimidia celeritate ex RB vel DB. Ostende tempus per TV seu FG cum celeritate ex DN esse ad tempus per HK cum celeritate dimidia ex DB ut PQ ad SO.

illud tempus est ad hoc in ratione composita ex ratione FG ad HK, hoc est, MB ad BL hoc est RB ad BM hoc est DB ad BΣ, hoc est, DΣ ad ΣN et ex ratione ED ad DΣ. Ergo eadem quae ED sive EΣ ad ΣN hoc est PQ ad SO.

4) Voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 221 (Prop. VI) et p. 208 (Prop. I).

4) Voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 221 (Prop. VI) et p. 208 (Prop. I).

5) Chez Galilée ceci n'est pas une proposition, mais un postulat; voir ‘Discorsi’, Giorn. III, Ed. Naz. VIII, p. 205.

3) C.à.d. dans le Manuscrit A. Voir la p. 374 du T. XIV, déjà nommée dans la note 2 de la p. 400.

6) C'est la Prop. I dans l'édition moderne de J.L. Heiberg (Archim. Opera Omnia, Lipsiae, in aed. B.G. Teubneri).