Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 302]

Appendice I¹⁾
À l'ouvrage: ‘De vi centrifuga’.
1659.

[Première Partie]²⁾.

21 Oct. 1659.

Libera per vacuum posui vestigia princeps³⁾.

[Fig. 1.]⁴⁾

1) Nous reproduisons dans cet Appendice les premières pages du Manuscrit de Huygens mentionné dans la note 1 de la p. 254, qui, à l'exception du § 9 (p. 306), n'ont pas été publiées par les éditeurs des ‘Opuscula postuma’.

2) Le Manuscrit de Huygens mentionné dans la note 1 débute par quelques annotations que nous avons réunies dans cette première Partie en mettant le vers d'Horace à la tête.

3) Horace, Epist. Lib. I, 19, vs. 21.

4) Dans la Fig. 1 la ligne parabolique représente sans doute une ‘parabole osculatrice’ du cercle. Comparez la Fig. 4 de la p. 263 et la Fig. 22 de la p. 297.

[p. 303]

[Fig. 2.]

Conatus vis ut noscatur videndum quid futurum si globus solvatur. Et id quidem solum quod statim post solutionem fieret, sicut et in gravi supra superficiem cavam imposito [Fig. 2] ubi tangens ejus superficiei spectatur.

Descensum gravium per 1, 3, 5, 7 &c. comprobat Ricciolus lib. 9⁵⁾.

De mensura certa per horologij oscillat.⁶⁾

5) Riccioli dans son ‘Almagestum Novum’ (voir notre T. I, p. 402, note 7) traite la chute des corps graves aux pages 381-397 de la deuxième Partie du Premier Tome (T. I. Pars Post. Lib. IX. Sect. IV, Cap. XVI.) Il a fait lui-même de nombreuses expériences, en se servant des diverses tours de la ville de Bologne (p. 385). Ces expériences lui firent voir que la ‘proportio incrementi velocitatis à Galileo asserta’ (p. 386) d'après laquelle les espaces parcourus dans des intervalles de temps égaux croissent ‘ut 1. 3. 5. 7. 9. 11. &c.’ est juste.

6) C.à.d. ‘per horologij oscillationes’. Comparez les notes 1 des pp. 278 et 280.

[Deuxième Partie]⁷⁾.

1. Ut diameter ad circumferentiam ita si fiat haec ad tertiam, quâque temporis particulâ grave è sublimi cadens dictae tertiae longitudinem percurrit, eâdem temporis particula grave semel circumgyretur in plano horizontis, in quo funiculo ad paxillum relegato detineatur, cujus funiculi longitudo sit dictae diametri semissis, tunc funiculus tanta vi trahitur ex conatu gravis à centro recedendi quanta ab eodem gravi si ex illo suspensum esset attraheretur, propria scilicet gravitate⁸⁾.

7) Le texte fait suite à celui de la première Partie.

8) Ce paragraphe fait voir que Huygens connaissait déjà au mois d'octobre de l'année 1659 la grandeur absolue de la force centrifuge. Si l'on appelle r le rayon de la circonférence ou la longueur du fil, la troisième (‘tertia’) longueur sera l = 2π² r, et comme l = ½gt² (où t représente le temps de révolution du mobile), on aura , donc la vitesse v = = √gr, donc mg (force centrifuge selon la proposition de Huygens) = mv²/r. Il est vrai que dans ce paragraphe il n'est question que du cas particulier où la force centrifuge est égale à la pesanteur, mais les trois paragraphes suivants montrent que dans la pensée de l'auteur la force centrifuge est mv²/r pour des valeurs quelconques de v et de r.

[p. 304]

2. Hinc sequitur, si hoc fuerit, deinde autem circuitus duplo lentiores velimus, ita ut eadem trahendi vis servetur, oportere funiculum quadruplo longiorem adhibere.

3. Si singulis secundis semel circumagi pilam plumbeam vel aliud grave velimus in plano horizontali, ac tantundem trahere quantum ex funiculo suspensam, quaeritur quae longitudo funiculi esse debeat quo relegata gyretur. Resp. quoniam uno secundo 14 pedibus¹⁾ descendit pila ex alto cadens, si ponatur diameter rotae sive dupla longitudo funiculi ∞ x, erit circumferentia 22/7x secundum Archimedem, unde tertia proportionalis 484/49x aequanda 14 pedibus unde sit x ∞ 1 pes 5 unc. et 1/121 unciae, cujus itaque semissis 8½ poll. + 1/142²⁾ est longitudo funiculi quaesita.

4. Quanta vero si 24 horis semel circumagi velimus? .... 5|290|250|579 p. radius sive funiculi longitudo³⁾.

⁴⁾⁴⁾ tantum abest igitur ut ob vertiginem terrae gravia expellantur, ut tum demum omnis gravitas ijs decessura sit si semidiameter terrae esset 265⁵⁾ vicibus major quam nunc est. Nunc autem tantum 1/265 pars gravitatis decedit corporibus, sub aequatore positis. alijs minus.

1) Il s'agit de pieds de Rhynlande, puisque, dans le § 4 qui suit, le diamètre de la terre est exprimé en pieds de Rh. En octobre 1659 Huygens ne connaissait donc pas encore la vraie valeur de ½g, savoir pieds de Rh. (voir p. 280, note 1). Dans une note marginale il ‘corrige’ même le nombre 14 en 13 8/12.

2) Lisez 1/242.

3) Nous avons supprimé le calcul, dans lequel Huygens part de la valeur ½g = 14 pieds. Il remarque ensuite: ‘Hic calculus quoque corrigendus esset ponendo pro 14 p. 13.8 unc. sive 13⅔ pedis’. Il exécute en effet ce calcul et trouve maintenant une longueur de 5164292231 pieds.

4) Comparez le Tome XV p. 533, note 3. Snellius exprime le diamètre de la Terre en Verges de Rhynlande, ‘Eratosthenes Batavus’ Lib. II, Cap. XII.

4) Comparez le Tome XV p. 533, note 3. Snellius exprime le diamètre de la Terre en Verges de Rhynlande, ‘Eratosthenes Batavus’ Lib. II, Cap. XII.

5) Le nombre 265 (ou plutôt 264) correspond à la longueur du fil ou du rayon indiquée dans la note 3. On a, en effet, 5164292231:19595160 = 263,5..

[p. 305]

[Troisième Partie]⁶⁾.

[Fig. 1.]

5. Si gravi conatus adsit descendendi secundum crescentem accelerationem 1, 3, 5, 7 &c. unoque, verbi gratia, secundo transeundi per dimidium ejus spatij, quod transiret pari tempore cadendo ad perpendiculum; eo conatu sit ut dimidia tantum gravitas sentiatur ejus quae sentiretur pendente gravi ex fune. Ita grave in plano AB [Fig. 1] dimidium pendet ejus quod rectè suspensum penderet, quia eodem tempore spatium BA quo duplum ejus BC in perpendiculo transiret. Scimus autem dimidium pendere quia BA dupla est BD perpendicularis.

[Fig. 2.]

6. Si longitudo funiculi dupla sit alterius; conversio autem integra utriusque, sive similes arcus, eodem tempore fiant, erit attractio in funiculo longiori dupla quoque ejus quae in breviori sentitur⁷⁾.

6) Le texte fait suite à celui de la Partie précédente. Dans les §§ 5-8 Huygens esquisse le commencement d'une démonstration du théorème énoncé dans la deuxième Partie, en se basant sur le principe de la première: ‘Conatus vis ut noscatur videndum quid futurum si globus solvatur. Et id quidem solum quod statim post solutionem fieret’. Il se contente dans les §§ 6-8 d'indiquer par une figure la démonstration des propositions qu'il énonce. La Fig. 3 montre combien le mobile s'écarte de la tangente après avoir parcouru des arcs fort petits. Dans les Fig. 2 et 4 il faut partout supposer construits des écarts analogues. Dans le cas de la Fig. 3 par exemple on démontre aisément qu'à la limite (lorsque les arcs considérés deviennent ‘infiniment petits’) l'écart qui correspond à l'arc double est 4 fois plus grand que celui qui correspond à l'arc simple. D'après le § 5 il faut donc, pour maintenir le globe deux fois plus rapide dans son orbite, une force quadruple. Le § 10 est une application du théorème du § 1.

7) Huygens ajoute: ‘Hoc generaliter postea demonstratum ut et duae sequentes’. Comparez les Propositions I, II et III du Traité (p. 267-271).

[p. 306]

[Fig. 3.]

7. Si duplicetur velocitas circumvolutionis, attractio prioris quadrupla efficitur.

[Fig. 4.]

8. Si eadem celeritate in diversae magnitudinis circulis gyretur, hoc est ut eodem tempore arcus aequales (non autem similes) absolvat, erit attractionis vis in ratione contraria qua circulationis radij, ita ut in minori radio major sit attractio.

[Fig. 5.]

9¹⁾. Si pondus C sustineatur in plano inclinato AB à pondere D liberè pendente, sitque funis CE horizonti parallelus: Erit gravitas D ad C sicut perpendicularis BF ad basin FA. Ex Mechanicis. Hinc si BF aequalis ponatur FA debebit gravitas D ipsi C aequalis esse.

[Fig. 6.]

10. Si tubus AB inclinatus gr. 45, gyretur circa AC axem, singulis secundis semel circumiens, intraque eum collocetur sphaerula B, ea se hoc loco sustinebit si fuerit AC vel CB 9½ poll. Rhynl.²⁾ Certe non decidet, sed sursum evolabit³⁾. Si enim in rota jaceret, distantiâ istâ 9½ poll.⁴⁾ à centro C remota; posset aequalem sibi sphaerulam D pendentem sustinere, alligatam videlicet fune DCB, ac per centrum rotae dependentem. In tubo autem gyrato nititur à centro tendere secundum CB rectam. Eadem autem vis requiretur ad sustinendum globulum in B super plano BA, premendo nempe secundum CB, atque ad sustinendum eundem globulum liberum

1) Comparez la p. 281; le § 9 n'est autre que le Lemma I des éditeurs.

2) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord: 8 3/10. La formule F = mv²/r fait voir dans le cas du repos de la bille . Pour CB = 8 3/10 poll., π = 22/7, on trouve ½g = 13 8/12 pieds de Rh.; pour CB = 9½ poll., ½g = 15 7½/12 pieds de Rh. Comparez p. 280, note 1 et p. 304, note 1.

3) Comparez le § 13. En vérité l'équilibre est instable vers les deux côtés puisque la force centrifuge diminue lorsque la bille descend et qu'elle augmente lorsque la bille monte.

4) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord 8 3/10. Comparez la note 2.

[p. 307]

suspensum. Ergo eodem conatu tendendi à centro quo sphaera B sustinere potis est (rotae videlicet imposita) sibi aequalem D pendulam, eodem et seipsam in canali AB sustinere poterit.

11. Si fiat canalis parabolicae figurae cujus ½ latus rectum fuerit 9½ unc.⁴⁾ isque vertice impositus circa axem parabolae convertatur singulis secundis; globulus quolibet loco intra canalem collocatus eum servabit. Si vero citius volvi incipiat contrariè ascendet.

Sit enim BA ¼ lateris recti et AD ordinatim applicata⁵⁾. ergo haec erit 9½ unc.⁴⁾. Hîc autem tangens DE inclinatur angulo semi-recto. Ergo per praecedentem

[Fig. 7.⁶⁾]

sustinebit se in D. Ponatur jam in H. Ergo quanto major est HK quam DA tanto violentior est attractio sive conatus à centro tendendi per 6. Sed et in planum inclinatum HF (quae tangens est in H) impresso secundum rectam KH tanto majori vi opus est ad se sustinendum quam in plano DE ad angulum semirectum posito, quanto major est perpend. HG quam GF, per 9⁷⁾. Ergo quum sit ut HK ad DA ita HG ad GF (ut facile ostendi potest⁸⁾) apparet impetum circulationis etiam globo in H posito sufficere ad se sustinendum.

12. Non solum autem si parabolae latus rectum sit 9½ unc.⁴⁾ sed in quolibet alio canali parabolico quovis loco aeque facile se sphaera suspensam tenebit. sed celeritas qua gyrari debebit canalis, quo amplior fuerit parabola, eo minor erit.

13. In canali recto inclinato evolabit globulus neque usquam conquiescere

[Fig. 8.]

poterit⁹⁾; hoc vero aliter se habet in cono concavo in quo immoto globulus circumeat. Et hoc quidem experientia ostendit; si enim in vitrum hujus formae imponatur conversoque celeriter vitro, dein firmato, circumcursare in eo globulus coeperit, puta in circulo CD; aliquamdiu hunc motum continuare cernitur, ut nec altius ascendat nec deorsum labatur. Ratio autem ex superioribus manifesta est. Nam si exempl. gr. velit ascendere ad circulum EF, in eo aequali qua prius celeritate arcus non similes prioribus sed aequales

4) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord 8 3/10. Comparez la note 2.

5) L'équation de la parabole étant y² = 2px, on a pour x (BA) = ½p, AD(y) = p.

4) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord 8 3/10. Comparez la note 2.

6) La droite DE représente une tangente à la parabole extérieure au point D, coupant la droite BG sous un angle de 45^o.

7) C.à.d. par le Lemma I de la p. 281; ou plutôt par le Lemma II de la même page qui en découle.

8) Huygens ajoute en marge: ‘quia scilicet DA ∞ CL, si fiat HL perp. tangenti HF’.

4) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord 8 3/10. Comparez la note 2.

9) Il est évident que si l'on pouvait donner au tube incliné exactement la vitesse de rotation requise, le globe resterait en place. Huygens veut dire que cet équilibre est instable, tandis qu'au contraire celui d'un globe tournant dans une cavité en forme de cône renversé est stable.

[p. 308]

absolvet eodem tempore, quamobrem, ex 8¹⁾, quanto minor est diameter DC diametro EF tanto minor erit vis à centro recedendi, eunti per circulum EF quam per DC: sed in DC tantam habebat duntaxat ut se sustinere posset; estque plani inclinatio eadem; ergo cum in DC circulo se sustinere potuerit, in circulo GH manere non poterit sed eo unde venit ascendet. ne quidem descendet itaque ex DC, nisi cum celeritatem paulatim amiserit, occursu aëris et vitri globique asperitate nonnulla.

14. Idem accidit in calice parabolico. Hoc autem pulcrum in hujusmodi calice vel speculo parabolico, quod globus in eo circumiens omnes revolutiones ἰσοχρόνους habet, quocunque loco currens.

[Fig. 9.]

Est enim globo ad se sustinendum eadem vi hîc opus atque in canali parabolico²⁾. Si igitur breviori tempore circulum BD absolveret quam antea circulum AE, plus virium haberet quam ut in BD circulo se sustinere posset ideoque ascenderet. Ponitur autem non ascendere, sed in circulo BD circumire. ergo non breviori tempore absolvit circulum BD quam AE. Sed nec longiori; quoniam tunc non sufficeret ei conatus à centro recedendi ad se sustinendum in BD circulo, ideoque descenderet ad minorem circulum: Ponitur autem gyrari in BD; Ergo nec longiori tempore hunc absolvet quam circulum AE. Itaque apparet eodem tempore utrumque percurri; eâdemque ratione quemcunque alium in calice circulum.

Minimo motu calicis, ita ut vertex ejus circellum exiguum describat, continuari potest motus globuli; cujus si circuitus numerentur, exacta temporis mensura hoc pacto habebitur, pendulo accuratior. Et si fuerit ½ latus rectum parabolae 9½ poll.²⁾ singuli circuitus secundo minuto peragentur.

Si loco speculi parabolici sumas sphaericum radio 9½ unc.³⁾ fere eundem

1) Les éditeurs (bien qu'ils n'aient pas publié ce texte) ont corrigé le ‘8’ en ‘prop. 3’. Comparez p. 271, prop. III.

2) Comparez le § 11.

2) Comparez le § 11.

3) Au lieu du nombre 9½, Huygens avait écrit d'abord 8 3/10. Comparez la note 2 de la p. 306.

[p. 309]

effectum videbis, sed erunt tamen circuitus paulo celeriores, et ij maxime qui erunt latissimi.

Globulum minimum quempiam considero, nam alioqui ob magnitudinem ejus ne in parabolico quidem perfecta ratio erit prorsus, sed paulo citius majores globi circumcurrent.

15. Si globulus [Fig. 10] ex filo AB suspensus gyretur, ita ut A sit coni vertex quem silum describit, quo obtusiorem conum volumus, eo velociores circulationes esse necesse est⁴⁾. Eadem enim vi centrifugâ hîc opus est ad sustinendum globum in

[Fig. 10.]

circulo BE, atque ad eundem sustinendum in tubo inclinato secundum BD; Et in universum eadem vis in quolibet alio circulo, quem globus ex filo AB religatus describit, requiretur, quae deberet esse ad sese sustinendum in concavo sphaerico BFE, cujus radius AB. Ergo si BFE sit circumferentiae quadrans, hoc est angulus DAB semirectus, AG autem vel GB ∞ 8 3/10⁵⁾ unc. pedis Rhenol.^ci oportet singulis secundis circulum BE horizontalem percurri. Et vicissim quoties AG vel BG est 8 3/10 unc. hoc est AB 11 8/11 unc. fiatque gyrando angulus BAD semirectus, singuli circuitus singulis secundis absolventur. Quod si definire oporteat quo tempore circuitus peragi debeat, ut se in K sustinere queat, sic procedam. Sit BG ∞ a, KH ∞ b, HA ∞ c. Quoniam HK major est BG, ideo si in K eodem tempore circumeat quo in B, erit vis centrifuga tanto major in K circumlato quam in B, quanto major KH quam BG per 6. Si autem fiat ut BG ad mediam proportionalem inter BG et KH ita tempus unius secundi quo in B circuit, ad aliud, illud erit tempus quo circumiens in K aequalem vim centrifugam nanciscitur atque habebat in B, per 2. Unde ut a - √ab - 1"/1√ab/a, sive √b/a⁶⁾, estque hoc tempus dictum. Sed oportet in K eam vim habere quae sit ad vim in B sicut KH ad HA. Ergo per 7. si fiat ut KH ad mediam proportionalem inter KH, HA, hoc est ad √bc, ita tempus √b/a ad aliud quod

4) Huygens ajoute en marge: ‘Hoc postea melius tractavi.’ Comparez la Prop. X, p. 287, dont celle du texte est une conséquence immédiate.

5) En marge: 9½. Comparez la note 2 de la p. 306.

6) C'est-à-dire: a:√ab = 1":x; donc x = √ab/a ou √b/a.

[p. 310]

erit √c/a, hoc erit quaesitum. Hoc est si fiat ut BG vel GA ad mediam proportionalem inter GA et HA, ita 1" ad aliud; id erit tempus quo circuitus in K absolvi debet, ut se illic sustinere globulus possit.

16. In concavo autem sphaerico eandem esse apparet temporum circulationis determinationem, ideoque tempora in ejusmodi concavo inaequalia esse.

[Fig. 11.]

17. Cum globus [Fig. 11] ut modo gyratur in orbem horizonti parallelum, fune ligato ad A punctum, certum est validius trahi funem quam si pendeat ad perpendiculum ex A. quanto autem? Tanto inquam quanto major est AB latus coni ejus axe AD.

Est enim vis centrifuga qua globus sese sustinet eadem atque ea qua se sustineret in plano BE (perpendiculari ad AB) si traheretur secundum rectam DBG, ad hoc autem opus esset funem BG trahi pondere [Fig. 12]¹⁾ quod esset ad gravitatem globi sicut BF ad FE, per 9, cui ponderi nunc aequipollet vis centrifuga. Idem vero globus tota gravitate sua deorsum trahitur secundum perpendiculum BF. Itaque sic se res habet tanquam si extremus funis B duobus alijs colligatus sit nimirum BG, BF,

[Fig. 12.]

quorum BF appensam habeat gravitatem ipsi B globo aequalem, alter vero BG trahatur à gravitate quae sit ad gravitatem globi B ut BF ad FE. quanto igitur ad haec ita sustinenda opus est in A sive L? Invenitur ex mechanicis pondus L se habere ad H ut AB ad AD. tanta igitur attractio quanta est ponderis L, sentitur in A, cum globus B circumducitur fune AB in circulo BC. quod erat demonstrandum.

Sequitur hinc, quaecunque fuerit funis AB longitudo, si angulus coni quem is funis describit idem existat idemque pondus maneat B, eandem sentiri attractionem in A vertice²⁾.

Considera tantum conatum recedendi a centro esse secundum horizontalem lineam ut BG, ideoque in gyratione fili in situ AB tantundem accedere gravitati vel attractioni ponderis B, quantum accederet si quis filo BG horizonti parallelo in situ illo ipsum retineret¹⁾. atqui notum est tantum tunc dictae gra-

1) En marge Huygens trace encore une autre figure peu différente de la Fig. 12. Le poids K et la petite poulie en G y ont été remplacés par une main qui tire dans le sens BG. Nous avons ajouté à la fig. 12 les lettres O et P qui ne se trouvent chez Huygens que dans cette dernière figure.

2) Les alinéas qui suivent sont écrits en marge dans le Manuscrit.

1) En marge Huygens trace encore une autre figure peu différente de la Fig. 12. Le poids K et la petite poulie en G y ont été remplacés par une main qui tire dans le sens BG. Nous avons ajouté à la fig. 12 les lettres O et P qui ne se trouvent chez Huygens que dans cette dernière figure.

[p. 311]

vitati accedere ut opus sit pondere L ad aequilibrandum B, ut nempe L sit ad B sicut PB ad BO, hoc est, ut BA ad AD. Ergo apparet gyrando pondus B in extensione AB, sentiri in A attractionem quantam facit pondus L simpliciter appensum.

Itaque nec planum BE nec pondus K considerare opus est³⁾.

3) Cette dernière remarque, jointe à celles des notes 7 de la p. 305 et 4 de la p. 309, fait voir pourquoi les éditeurs ont cru devoir supprimer les §§ 1-8 et 10-17. Huygens a continué la division en §§ encore jusqu'au numéro 20. Le § 18 correspond à la Prop. IX du Traité, p. 287 (et sa démonstration), le § 19 à la démonstration de la Prop. XVI (p. 297-299) et le § 20 à la démonstration de la Prop. XVII (p. 299-301). Viennent ensuite les considérations sur la pesanteur par lesquelles les éditeurs font débuter le traité.