Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 29]

[p. 30]

Sur le mouvement des corps par percussion¹⁾.

Hypothèses

I.

Un corps quelconque, une fois en mouvement, si rien ne s'oppose, continue de se mouvoir avec perpétuellement la même vitesse et selon une ligne droite.

1) Le texte latin du Traité présent est conforme à celui qui occupe les p. 369-398 des ‘Opuscula postuma’ de 1703 (voir la note 1 de la p. XII de notre T. XIII). Nous possédons le Manuscrit dont ce texte a été emprunté. Il est écrit d'une autre main que celle de Huygens; mais quelques corrections y ont été apportées par Huygens lui-même. Nous rendrons compte de ces corrections dans les notes. Sans doute ce Manuscrit constitue une copie faite d'après des manuscrit rédigés par Huygens.
Il est difficile d'assigner une date définie au Traité présent. Le 20 juillet 1656 Huygens écrivit à de Roberval (voir la p. 457 de notre T. I). ‘Il y a quelques temps que j'ai quitè toute autre speculation pour m'attacher uniquement a cette matiere de la Percussion dont je pense vous avoir dite autrefois que des Cartes l'avoit traitèe si malheureusement. J'ay achevè mon petit ouvrage depuis peu de jours, par lequel je pretens de faire veoir qu'il n'a pas estè impeccable non plus dans la Phisique que dans la Geometrie.’ Or, en 1656, Huygens était en possession, comme nous le montrons dans l'‘Avertissement’ qui précède (voir les p. 10-11), de toutes les Propositions du Traité présent et il savait les prouver de la même façon en partant des mêmes hypothèses. Le contenu essentiel de ce Traité date donc de 1656 (ou même de plus tôt) mais des modifications rédactionnelles peuvent y avoir été apportées depuis (et elles l'ont été en effet), puisque le Manuscrit mentionné plus haut est certainement d'une date de beaucoup postérieure à 1656; voir pour plus de particularités les p. 4-14 l'‘Avertissement’.
Outre l'édition de 1703 il existe encore une réimpression du Traité présent, qui occupe les p. 73-104 du T. II des ‘Opera reliqua’ de 1728, ouvrage mentionné à la p. II de la Préface de notre T. I.

II.

Quelle que soit la cause que les corps durs rejaillissent de leur contact mutuel, quand ils sont poussés réciproquement l'un contre l'autre, nous supposons que deux corps durs, égaux entre eux, de même vitesse, lorsqu'ils se rencontrent directement, rejaillissent chacun avec la même vitesse avec laquelle il était venu.

[p. 31]

De motu corporum ex percussione¹⁾.

Hypotheses

I.

Corpus quodlibet semel motum, si nihil obstet, pergere moveri eadem perpetuo celeritate & secundum lineam rectam.

1) Le texte latin du Traité présent est conforme à celui qui occupe les p. 369-398 des ‘Opuscula postuma’ de 1703 (voir la note 1 de la p. XII de notre T. XIII). Nous possédons le Manuscrit dont ce texte a été emprunté. Il est écrit d'une autre main que celle de Huygens; mais quelques corrections y ont été apportées par Huygens lui-même. Nous rendrons compte de ces corrections dans les notes. Sans doute ce Manuscrit constitue une copie faite d'après des manuscrit rédigés par Huygens.
Il est difficile d'assigner une date définie au Traité présent. Le 20 juillet 1656 Huygens écrivit à de Roberval (voir la p. 457 de notre T. I). ‘Il y a quelques temps que j'ai quitè toute autre speculation pour m'attacher uniquement a cette matiere de la Percussion dont je pense vous avoir dite autrefois que des Cartes l'avoit traitèe si malheureusement. J'ay achevè mon petit ouvrage depuis peu de jours, par lequel je pretens de faire veoir qu'il n'a pas estè impeccable non plus dans la Phisique que dans la Geometrie.’ Or, en 1656, Huygens était en possession, comme nous le montrons dans l'‘Avertissement’ qui précède (voir les p. 10-11), de toutes les Propositions du Traité présent et il savait les prouver de la même façon en partant des mêmes hypothèses. Le contenu essentiel de ce Traité date donc de 1656 (ou même de plus tôt) mais des modifications rédactionnelles peuvent y avoir été apportées depuis (et elles l'ont été en effet), puisque le Manuscrit mentionné plus haut est certainement d'une date de beaucoup postérieure à 1656; voir pour plus de particularités les p. 4-14 l'‘Avertissement’.
Outre l'édition de 1703 il existe encore une réimpression du Traité présent, qui occupe les p. 73-104 du T. II des ‘Opera reliqua’ de 1728, ouvrage mentionné à la p. II de la Préface de notre T. I.

II.

Quaecunque sit causa corporibus duris a mutuo contactu resiliendi cum in se invicem impinguntur; ponimus, cum corpora duo inter se aequalia, aequali celeritate, ex adverso ac directè sibi mutuo occurrunt, resilire utrumque eâdem qua advenit celeritate.

[p. 32]

Or, ils sont dits se rencontrer directement, lorsque le mouvement, aussi bien que le contact, a lieu dans la même droite passant par les centres de gravité des deux corps¹⁾.

1) Le Manuscrit donnait primitivement seulement: ‘conjungente fit contactus’, où Huygens a intercalé de sa propre main les mots ‘et motus’ et le second ‘et’.
En vérité on doit ajouter encore la condition qu'au point de contact le plan tangent commun soit perpendiculaire à la droite en question.

III.

Le mouvement des corps, et les vitesses égales, ou inégales, doivent être entendus respectivement comme ayant égard à leur relation avec d'autres corps qui sont supposés comme étant en repos, quoique, peut-être, ceux-ci comme ceux-là soient sujets à quelque autre mouvement qui leur est commun. Par conséquent, lorsque deux corps se rencontrent, quoique les deux ensemble éprouvent quelque autre mouvement égal, ils n'agiront pas autrement l'un sur l'autre par rapport à celui qui est entraîné par le même mouvement commun, que comme si ce mouvement accessoire fût absent dans tous.

Ainsi, lorsque quelqu'un transporté par un bateau qui s'avance d'un mouvement uniforme fait entrechoquer deux boules égales animées d'égale vitesse, savoir par rapport à lui-même et aux parties du bateau, nous disons que chacune d'elles devra rejaillir avec égale vitesse, par rapport au même navigateur, tout-à-fait comme il arriverait si dans un bateau en repos ou sur la terre ferme il fît entrer en collision les mêmes boules avec des vitesses égales.

Ceci étant supposé, nous allons démontrer pour le choc des corps égaux suivant quelles lois ceux-ci sont poussés l'un par l'autre, nous proposant d'insérer en propre lieu d'autres hypothèses, dont nous aurons besoin pour le cas de corps inégaux.

Première proposition.

Lorsqu'un corps en repos est rencontré par un autre, qui lui est égal, après le contact ce dernier entrera bien en repos, mais celui qui était en repos acquerra la même vitesse qui était dans le corps poussant.

Imaginons que quelque bateau près de la rive soit emporté par le courant, si près de la rive, qu'un navigateur, qui s'y tient debout, puisse tendre la main à un compagnon se trouvant sur la rive. Que le navigateur tienne dans ses mains,

[p. 33]

Dicuntur autem directe occurrere, cum in eâdem lineâ rectâ utriusque centra gravitatis conjungente & motus fit & contactus¹⁾.

1) Le Manuscrit donnait primitivement seulement: ‘conjungente fit contactus’, où Huygens a intercalé de sa propre main les mots ‘et motus’ et le second ‘et’.
En vérité on doit ajouter encore la condition qu'au point de contact le plan tangent commun soit perpendiculaire à la droite en question.

III.

Motum corporum, celeritatesque aequales aut inaequales respective intelligendas esse, factâ relatione ad alia corpora quae tanquam quiescentia considerantur, etsi fortasse⁺ & haec & illa communi alio motu involvantur. |²⁾ Ac proinde cum corpora duo sibi mutuo occurrunt; etiamsi alteri praeterea motui aequabili³⁾ utrumque simul obnoxium fuerit; haud aliter illa se invicem impellere respectu ejus, qui eodem communi motu defertur⁴⁾, ac si omnibus adventitius ille motus abesset.

Veluti si quis navi vectus, quae aequabili motu progrediatur, globulos duos aequales aequali celeritate in se invicem impingere faciat, suo nimirum & partium navis respectu, dicimus aequali quoque celeritate utrumque resilire debere ejusdem vectoris respectu, plane sicut contingeret, si in navi quiescente, aut in terra consistens, eosdem globulos aequali celeritate collidi faceret.

His positis de corporum aequalium occursu quibus legibus illa a se mutuo impellantur⁵⁾ demonstrabimus, alias vero Hypotheses quibus ad inaequalium casus opus habebimus suis locis inseremus.

+ p. 370.

2) Un tel trait indique, ici et dans la suite, la sin d'une page de l'édition de 1703 des ‘Opuscula postuma’.

3) Le mot ‘aequabili’ fut intercalé après coup par Huygens.

4) De même les mots ‘respectu ejus qui eodem communi motu defertur’ furent intercalés par Huygens.

5) Au lieu des mots écrits de la main de Huygens ‘quibus legibus illa a se mutuo impellantur’ on lisait primitivement: ‘necnon inaequalium accedentia nonnulla’.

Propositio Prima.

Si corpori quiescenti aliud aequale corpus occurrat, post contactum hoc quidem quiescet, quiescenti vero acquiretur eadem, quae fuit in impellente, celeritas.

Intelligatur navigium quodpiam juxta ripam secundo flumine deferri, ac tam propinquum ripae, ut vector in illo stans possit socio in ripâ stanti manus porrigere.

[p. 34]

A et B [Fig. 1]¹⁾, deux corps égaux E, F, suspendus à des fils, et dont la distance EF soit divisée en deux parties égales par le point G, et que rapprochant par un mouvement égal les deux mains, savoir par rapport à lui-même et au bateau, jusqu'à se toucher, il fasse ainsi d'une vitesse égale s'entrechoquer les deux boules, lesquelles doivent donc nécessairement rejaillir de même de leur contact mutuel avec une vitesse égale^* par rapport au navigateur et au bateau. Or, nous supposons que le navire soit porté en même temps vers la gauche avec la vitesse GE, c'est-à-dire avec la même vitesse avec laquelle la main gauche fut transportée vers la droite.

Il est donc clair que la main A du navigateur, par rapport à la rive et au compagnon qui s'y trouve, est restée immobile, mais que la main B, par rapport au même compagnon, a été mue d'une vitesse FE, double de celle GE ou FG. Donc, si le compagnon sur la rive est supposé avoir pris de sa main C la main A du navigateur et avec elle la tête du fil qui soutient la boule E, mais de l'autre main D la main B du navigateur, laquelle porte le fil d'où pend F, il paraît que, tandis que le navigateur fait s'entrechoquer les boules E, F d'une vitesse égale par rapport à lui-même et au bateau, le compagnon sur la rive a, en même temps, poussé la boule F contre la boule E en repos avec une vitesse FE par rapport à la rive et à lui-même. Et il est évident, toutefois, que pour le navigateur, qui, comme il a été dit, fait mouvoir ses deux boules, il ne fait rien que son compagnon sur la rive ait pris ses mains et les têtes des sils, puisqu'il accompagne seulement leur mouvement et ne leur cause aucun empêchement. Pour la même raison le compagnon sur la rive qui fait mouvoir la boule F vers E immobile n'est gêné en rien de ce que le navigateur a les mains jointes avec les siennes, puisque les mains A et C sont toutes les deux en repos par rapport à la rive et au compagnon, et que les deux D et B se meuvent avec la même vitesse FE. Mais comme, ainsi qu'il fut dit, les boules E, F, après leur contact mutuel, rejaillissent avec une vitesse égale par rapport au navigateur et au bateau, savoir la boule E avec la vitesse GE, et la boule F avec la vitesse GF, et que, en même temps, le bateau s'avance vers la gauche avec la vitesse GE ou FG⁶⁾, il en résulte que, par rapport à la rive et au compagnon qui s'y trouve, la boule F, après le choc, reste immobile, l'autre E, au contraire, par rapport au même, se transporte

1) Les figures ont été empruntées à la Pièce imprimée de 1703. Celles du Manuscrit ne sont pas non plus de la main de Huygens. Dans l'imprimé elles se trouvent réunies sur des planches hors texte. Nous avons préféré les placer dans le texte, comme il en est aussi dans le Manuscrit.
Voir encore la figure de la p. 29, empruntée également à l'imprimé. Nous ne savons pas si elle a été faite, oui ou non, d'après un dessin de Huygens. On ne la rencontre pas dans le Manuscrit. D'après les experts du ‘Rijksmuseum’ d'Amsterdam les costumes sont ceux d'environ 1700.

* Hyp. II.

6) Dans le Manuscrit Huygens a intercalé après coup les mots ‘seu FG’.

[p. 35]

Teneat vero vector manibus suis A & B [Fig. 1]¹⁾ duo corpora aequalia ex filis suspensa E, F, quorum distantia EF bisariam divisa sit puncto G: motuque aequali

[Fig. 1.]

manus ad occursum mutuum promovens, sui nempe & navigii respectu, etiam globulos E, F aequali celeritate inter se collidi faciet, quos itaque⁺ necesse est & aequali ce|leritate^* a contactu mutuo resilire ejusdem vectoris & navigii respectu: Navigium autem²⁾ ponatur interim ferri sinistram versus celeritate GE, eâdem nempe quâ manus sinistra A delata fuit dextram versus.

Patet itaque vectoris manum A, respectu ripae & socii in illa consistentis, immotam stetisse; manum vero B, respectu ejusdem socii motam fuisse celeritate FE, duplâ ipsius GE vel FG. Quamobrem si socius in ripâ stans prehendisse ponatur manu suâ Cmanum vectoris A, cumque eâ caput fili globum E sustinentis³⁾; alterâ vero manu D manum vectoris B, quae sustinet funiculum e quo pendet F⁴⁾; apparet dum vector globulos E, F, aequali celeritate concurrere facit, suo & navigii respectu, simul socium in ripâ stantem globulo E quiescenti impegisse globulum F motum celeritate FE, respectu ripae & sui ipsius. Et constat quidem, vectori globulos suos⁵⁾, uti dictum est, moventi, nihil officere quod socius in ripâ stans manus ejus & filorum capita apprehenderit, cum tantum comitetur earum motum, nec ei ullum impedimentum afferat. Eâdem ratione nec socio in ripâ stanti globulumque F versus immotum E deferenti, quidquam obstat, quod vector manibus suis manus conjunctas habeat, siquidem manus A & C utraque respectu ripae & socii quiescunt, duae vero D & B moventur eâdem celeritate FE. Quia autem uti dictum fuit globuli E, F, post mutuum contactum, aequali celeritate resiliunt, respectu vectoris & navigii; globulus nempe E celeritate GE, & globulus F celeritate GF, ipsumque interim navigium pergit sinistram versus celeritate GE seu FG⁶⁾, sequitur, respectu ripae & socii in illâ stantis, globulum F post impulsum restare immotum,

1) Les figures ont été empruntées à la Pièce imprimée de 1703. Celles du Manuscrit ne sont pas non plus de la main de Huygens. Dans l'imprimé elles se trouvent réunies sur des planches hors texte. Nous avons préféré les placer dans le texte, comme il en est aussi dans le Manuscrit.
Voir encore la figure de la p. 29, empruntée également à l'imprimé. Nous ne savons pas si elle a été faite, oui ou non, d'après un dessin de Huygens. On ne la rencontre pas dans le Manuscrit. D'après les experts du ‘Rijksmuseum’ d'Amsterdam les costumes sont ceux d'environ 1700.

+ p. 371.

* Hyp. II.

2) Le Manuscrit donne ‘Quod’ au lieu de ‘Navigium autem’. Le changement est dû probablement aux éditeurs des ‘Opuscula postuma’.

3) Dans le Manuscrit Huygens remplaça par ‘globum E sustinentis’ l'indication primitive ‘AE’.

4) De même Huygens remplaça ‘BF’ par ‘e quo pendet F’.

5) Le mot ‘suos’ manque dans le Manuscrit. Comparez la note 2.

6) Dans le Manuscrit Huygens a intercalé après coup les mots ‘seu FG’.

[p. 36]

vers la gauche avec une vitesse qui est le double de GE, c'est-à-dire avec la vitesse FE avec laquelle il poussa la boule F vers E. Nous avons donc montré que, pour celui qui se trouve sur la terre ferme et qui fait choquer contre un corps immobile un corps égal, ce dernier, après le contact, perd tout mouvement, tandis que l'autre acquiert le tout. Ce qu'il fallait démontrer.

Proposition II.

Lorsque deux corps égaux se poussent avec des vitesses inégales, ils se mouvront après le contact avec des vitesses réciproquement échangées.

Soit le corps E [Fig. 2] se mouvant vers la droite avec la vitesse EH, F, qui lui est égal, se mouvant en premier lieu avec la vitesse moindre FH dans la direction adverse: ils se rencontreront donc en H. Je dis qu'après leur rencontre, le corps E se rendra avec la vitesse FH vers la gauche, mais le corps F vers la droite avec la vitesse EH.

En effet³⁾, qu'un homme se tenant sur le bord de la rivière, effectue les dits mouvements des corps, c'est-à-dire en soutenant de ses mains C, D, les têtes des fils auxquels ils sont suspendus, et en rapprochant ses mains avec les dites vitesses EH, FH, et en même temps les corps E et F. Soit ensuite divisée la distance EF au point G en deux parties égales, et soit supposé que le bateau est emporté vers la droite avec la vitesse GH et qu'il s'y trouve un autre homme, par rapport auquel la boule E se mouvra donc seulement avec la vitesse EG, mais la boule F avec la vitesse FG, de sorte que par rapport à cet homme les deux boules sont poussées avec une vitesse égale vers leur contact mutuel. Par conséquent, si nous supposons qu'il prenne de ses mains A, B les mains C, D de son compagnon sur la rive, et avec elles les extrémités des fils auxquels pendent les boules, il arrivera que, en même temps, celui sur la rive fait concourir les boules avec les vitesses EH, FH, mais celui dans le bateau avec les vitesses égales EG, FG: il est donc sûr^* que par rapport à ce dernier elles retourneront avec une même vitesse, savoir E avec la vitesse GE, et F avec la vitesse GF: mais le bateau continue entre temps de se mouvoir avec la vitesse GH. Donc, par rapport à la rive et à l'homme qui s'y

3) Huygens ajouta ici en marge: ‘An non sufficeret monere semel ut eodem modo ac in propos.^e prima semper cogitetur pondera sustineri tam vectoris manibus quam ejus qui in ripa consistit? facile enim quivis hoc imaginando supplebit, et breviores erunt demonstrationes, carebuntque tediosa repetitione.’

* Hyp. II.⁴⁾

4) Cette indication manque dans le Manuscrit.

[p. 37]

alterum vero E, ejusdem respectu, pergere sinistram versus, celeritate duplâ GE,⁺ hoc est, celeri | tate FE, quâ eâdem globulum F versus E impulit¹⁾. Itaque ostendimus in terrâ stanti, corporique immoto corpus aequale impingenti, hoc quidem post contactum omnem motum amittere, illi vero omnem acquiri. Quod erat demonstrandum.

+ p. 372.

1) Huygens biffa dans le Manuscrit les mots ‘movere fecit’ et les remplaça par ‘impulit.’

Propositio II.

Si corpora duo aequalia inaequali celeritate lata se mutuo impellant, post contactum permutatis invicem celeritatibus ferentur.

Feratur corpus E [Fig. 2] celeritate EH dextrorsum, F vero, ipsi aequale, celeritate FH minori tendat primùm ex adverso; convenient igitur in H.

[Fig. 2.]

Dico²⁾, post mutuum occursum, corpus E motum iri celeritate FH sinistrorsum, F vero dextram versus celeritate EH.

Intelligatur³⁾ enim homo in ripâ fluminis consistens dictos corporum motus efficere, sustinendo nimirum manibus suis C, D, capita filorum ex quibus illa suspenduntur, manusque concurrere faciendo dictis celeritatibus EH, FH, atque una corpora E & F. Secta sit porro distantia EF bifariam in G; & intelligatur praetervehi navigium celeritate GH dextram versus, in quo consistat alius homo, cujus quidem respectu movebitur globus E celeritate EG tantum, at globus F, celeritate FG, adeo ut ipsius respectu globi duo aequali celeritate ferantur ad mutuum occursum. Quamobrem si prehendisse ponatur manibus suis A, B manus socii in ripâ stantis C, D, cumque iis capita filorum quibus globi suspenduntur, eveniet, ut simul, qui in ripâ consistit, illos concurrere faciat celeritatibus EH, FH; qui vero navigio vehitur⁺ eosdem concurrere faciat ce | leritatibus inter se aequalibus, EG, FG; constat itaque, hujus respectu,^* etiam aequali celeritate utrumque a contactu reversurum; nempe, E celeritate GE, & F, celeritate GF: atqui navigium interea moveripergit celeri-

2) Huygens biffa le mot ‘unde’ et le remplaça par ‘dico’, lequel mot dans le Manuscrit précédait ‘corpus’.

3) Huygens ajouta ici en marge: ‘An non sufficeret monere semel ut eodem modo ac in propos.^e prima semper cogitetur pondera sustineri tam vectoris manibus quam ejus qui in ripa consistit? facile enim quivis hoc imaginando supplebit, et breviores erunt demonstrationes, carebuntque tediosa repetitione.’

+ p. 373.

* Hyp. II⁴⁾.

4) Cette indication manque dans le Manuscrit.

[p. 38]

trouve, F aura la vitesse composée des deux GF et GH, c'est à dire égale à EH, mais E aura la vitesse HF égale à la différence entre les vitesses GE, GH. Nous avons donc montré que pour l'homme qui se trouve sur la rive et qui fait s'entrechoquer les boules E et F avec les vitesses EH, FH, la boule E retournera après le contact avec la vitesse FH, mais la boule F avec la vitesse EH: ce qu'il fallait démontrer.

Qu'on fasse mouvoir maintenant les deux corps E et F vers la droite [Fig. 3]: savoir E avec la vitesse EH; mais F, qui va devant, avec la vitesse moindre FH; E suivra donc le corps F, et ils se joindront en H: or, je dis qu'après le contact F avancera avec la vitesse EH, tandis que E suivra avec la vitesse FH. Et la démonstration est la même que ci-dessus.

Hypothèse IV.

Lorsqu'un corps plus grand rencontre un plus petit qui est en repos, il lui donne quelque mouvement et par conséquent perd quelque partie du sien.

Proposition III¹⁾.

Un corps quelque grand qu'il soit, poussé parun corps quelque petit qu'il soit et d'une vitesse quelconque, est mis en mouvement.

Imaginons qu'un bateau se meuve le long du bord d'une rivière et qu'un navigateur qui s'y trouve soutienne les corps A et B [Fig. 4], suspendus à des fils: et soit A, qu'il tient par la main gauche, le plus grand, B le plus petit: et qu'il tienne

1) Cette proposition contient une réfutation de la quatrième des règles de Descartes pour le choc, qu'on trouve formulées dans l'article XLIX de la ‘Pars Secunda’ de ses: ‘Principia philosophiae’ (ouvrage cité dans la note 4 de la p. 546 de notre T. II); voir la p. 68 du T. VIII de l'édition des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery, où l'on lit: ‘Quartò, si corpus C planè quiesceret, essetque paulò majus quàm B, quâcunque cum celeritate B moveretur versus C, nunquam ipsum C moveret; sed ab eo repelleretur in contrariam partem.’

[p. 39]

tate GH. Itaque respectu ripae & hominis in illâ consistentis habebit F celeritatem ex utrisque GF & GH compositam, hoc est, ipsi EH aequalem, E vero, celeritatem

[Fig. 3.]

HF, quâ nimirum differunt inter se celeritates GE, GH. Adeoque ostendimus homini ripae insistenti, globulosque E & F sibi mutuo impingenti celeritatibus EH, FH, post impulsum, reversurum E celeritate FH, F vero celeritate EH; quod erat demonstrandum.

Moveatur jam utrumque corpus E & F versus dextram [Fig. 3]; Equidem celeritate EH; F vero praecedens minori celeritate FH; assequetur igitur E corpus F, convenientque in H; dico autem post contactum F incessurum celeritate EH, E vero insecuturum celeritate FH. Estque demonstratio eadem quae superior.

Hypothesis IV.

Si corpus majus minori quiescenti occurrat, aliquem ei motum dare, ac proinde de suo aliquid amittere.

Propositio III¹⁾.

Corpus quamlibet magnum a quamlibet exiguo corpore & qualicunque celeritate impacto movetur.

Intelligatur navigium propter ripam fluminis ferri, in quo consistens vector sustineat corpora A & B [Fig. 4], ex filis suspensa; sitque A, quod sinistra tenet,

1) Cette proposition contient une réfutation de la quatrième des règles de Descartes pour le choc, qu'on trouve formulées dans l'article XLIX de la ‘Pars Secunda’ de ses: ‘Principia philosophiae’ (ouvrage cité dans la note 4 de la p. 546 de notre T. II); voir la p. 68 du T. VIII de l'édition des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery, où l'on lit: ‘Quartò, si corpus C planè quiesceret, essetque paulò majus quàm B, quâcunque cum celeritate B moveretur versus C, nunquam ipsum C moveret; sed ab eo repelleretur in contrariam partem.’

[p. 40]

la main droite, qui soutient le corps B, immobile, savoir par rapport à luimême et au bateau, mais que la main C se meuve vers elle, de même que le corps A, avec une certaine vitesse AB. B sera donc poussé, et le corps A perdra quelque chose de sa vitesse^* et, par conséquent, continuera d'aller vers la droite avec une vitesse moindre que ne fut AB. Mais posons que, tandis que ces choses se passent, le bateau est emporté avec la vitesse BA vers la gauche. Il en suivra que, tandis que le navigateur transporte le corps A avec la vitesse AB, par rapport à lui-même et au bateau par lequel il est entraîné, ce même corps reste en repos par rapport à la rive et au spectateur qui s'y trouve et aussi la main C. L'autre main D avec le corps B se mouvra, au contraire, par rapport au même spectateur, avec la vitesse BA vers la gauche, parce que nous l'avons supposée immobile par rapport au bateau et que le bateau est porté vers la gauche avec la vitesse BA. Donc, si l'on suppose que le spectateur sur la rive ait pris de ses mains E, F les mains C, D du navigateur, il paraît que, tandis que ce dernier pousse la boule A vers B qui est en repos par rapport à lui, le spectateur pousse en même temps B vers A, qui est en repos par rapport à lui et à la rive. Mais nous avons dit qu'après le choc la boule A, par rapport au navigateur et au bateau, se porte vers la droite avec une vitesse moindre que AB; or, le bateau est porté vers la gauche avec la vitesse BA; il est donc clair que, par rapport à la rive et au spectateur qui s'y trouve, A se meut quelque peu vers la gauche après le choc. Il est donc montré que pour celui qui est à terre et qui pousse contre un corps en repos, quelque grand qu'il soit, un corps B, quelque petit qu'il soit, avec une vitesse quelconque BA, le corps A se mettra en mouvement; ce qu'il fallait démontrer.

* Hyp. IV¹⁾.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

Hypothèse V²⁾.

Lorsque, de deux corps durs qui se rencontrent, il arrive que, après le choc, l'un d'eux a conservé tout son mouvement, l'autre également n'aura rien perdu ou gagné en mouvement.

2) Dans le Manuscrit cette hypothèse précédait primitivement la ‘Propositio VII’. Elle y fut biffée et ajoutée en marge avant la ‘Propositio IV’.

[p. 41]

⁺ majus; B | minus; teneatque dextram D, quae sustinet corpus B, immotam, sui nempe & navigii respectu; versus ipsam vero moveat manum C, unaque corpus A, celeritate quavis AB.^* Impelletur ergo B, & amittet corpus A aliquid

[Fig. 4.]

de celeritate suâ, ideoque in partem dextram perget celeritate minori quam fuerat AB. dum autem haec contingunt ponatur ferri navigium celeritate BA, sinistram versus; unde eveniet, ut dum vector corpus A transfert celeritate AB, respectu sui navisque, quâ vehitur, idem immotum stet respectu ripae, spectatorisque in eâ consistentis, pariterque manus C. Altera vero D cum corpore B movebitur, ejusdem spectatoris respectu, celeritate BA sinistrorsum, quoniam navigii respectu immotam posuimus, navigiumque fertur celeritate BA versus sinistram. Quare si spectator in ripâ stans, prehendisse ponatur manibus E, F manus vectoris C, D, apparet, dum hic globum A movet versus B immotum sui respectu, simul illum movere B versus A, qui sui & ripae respectu immotus quiescit. Diximus autem ab impulsu, globum A respectu vectoris & navigii, ferri in dextram partem minori velocitate quam AB; atqui navigium fertur celeritate BA versus sinistram; ergo, respectu ripae & spectatoris in eâ stantis, manifestum est A ab impulsu moveri aliquantum in partem sinistram. Itaque ostensum est in terrâ stanti, corporique quiescenti & quamlibet magno A, quamlibet exiguum B, celeritate qualicunque BA, impingenti, motum iri corpus A: quod erat demonstrandum.

+ p. 374.

* Hyp. IV¹⁾.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

Hypothesis V²⁾.

Corporibus duobus duris sibi mutuo occurrentibus, si, post⁺ impulsum, contingat alteri eorum omnem quem | habebat motum conservari, etiam alterius motui nihil decedere neque adjici.

2) Dans le Manuscrit cette hypothèse précédait primitivement la ‘Propositio VII’. Elle y fut biffée et ajoutée en marge avant la ‘Propositio IV’.

+ p. 375.

[p. 42]

Proposition IV¹⁾.

Toutes les fois que deux corps entrent en collision, la vitesse relative de l'éloignement est la même que fut celle du rapprochement.

De deux corps égaux cela est évident d'après la proposition II²⁾. Qu'ils soient donc inégaux et qu'il soit posé, comme premier cas, que, contre un plus grand A en repos [Fig. 5], est poussé un corps plus petit B avec une vitesse BA vers la droite. Je dis qu'après le contact les corps iront se séparer avec la même vitesse BA de sorte que si dans une partie de temps le corps B avait parcouru l'espace BA, après une autre partie de temps égale ils se trouveront de nouveau séparés par un espace égal à cet espace BA.

En effet³⁾, il est certain que A reçoit quelque vitesse par le choc du corps B⁴⁾; soit AC cette vitesse; mais elle doit être moindre que la vitesse avec laquelle B lui-même se mouvait⁵⁾ puisque, si B était égal à A, celui-ci recevrait du choc précisément la vitesse BA.^* Soit AC divisée en deux parties égales au point D, et soit AE égal à AD. Si donc nous supposons que ces mouvements ont lieu dans un bateau qui est emporté vers la gauche avec une vitesse DA; il est nécessaire qu'avant le choc le corps A, qui était en repos dans le bateau, se mouvait par rapport à la rive avec la dite vitesse DA vers la gauche; mais après le choc, puisqu'il a été dit se mouvoir dans le bateau avec la vitesse AC vers la droite et le bateau lui-même avec la vitesse DA dans la direction opposée, le corps A se mouvra, par rapport à la rive, avec la vitesse DC ou AD vers la droite. Donc, par rapport à la rive, le corps A conserve la même vitesse avant et après le choc. Par suite B

1) Dans le Manuscrit cette Proposition était suscrite ‘Hypothesis’, mais Huygens biffa ce mot et le remplaça par ‘Propositio 4.’

2) Voir la p. 37.

3) Voici, en faisant librement usage de l'algèbre moderne, le raisonnement qui va suivre pour autant qu'il se rapporte à ce premier cas. Soient zéro et v_b les vitesses des corps A et B avant, v'_a et v'_b celles après le choc. Supposons que ces mouvements avaient lieu dans un bateau possédant la vitesse -½v'_a. Alors les vitesses avant le choc étaient par rapport à la rive respectivement -½v'_a et v_b-½v'_a. Après le choc la vitesse du corps A par rapport à elle est ½v'_a; sa vitesse n'est donc pas changée en valeur absolue. Il doit donc en être de même du corps B d'après l'hypothèse V. Ce dernier corps doit donc se mouvoir après le choc avec la vitesse v_b-½v'_a ou ½v'_a-v_b; mais le premier cas est impossible à cause de la présence du corps A dont la vitesse ½v'_a est moindre que la vitesse v_b-½v'_a, où v'_a < v_b puisque si B, qui est plus petit que A, avait été égal à A on aurait eu v'_a = v_b (voir la Prop. II, p. 37). La vitesse d'eloignement mutuel après le choc sera donc par rapport à la rive, mais aussi dans le bateau et partout ailleurs. Elle est donc égale à la vitesse de rapprochement avant le contact.

4) Par la Prop. III, p. 39.

5) On remarquera que Huygens introduit ici une nouvelle hypothèse, d'ailleurs très plausible, qu'il n'énonce pas explicitement, savoir: que par le choc avec un corps donné de vitesse donnée un corps en repos recevra d'autant moins de vitesse qu'il est plus grand.

* Prop. I.

[p. 43]

Propositio IV¹⁾.

Quoties duo corpora inter se colliduntur, eadem est, mutuo respectu, discedentibus celeritas, quae fuit appropinquantibus.

De aequalibus corporibus manifestum est ex propositione II²⁾. Sint igitur nunc inaequalia, primumque is casus proponatur, quo, majori A quiescenti [Fig. 5],

[Fig. 5]

impingitur corpus minus B, celeritate BA dextram versus pergens. Dico ipsa post contactum eâdem celeritate BA separatum iri, adeo ut, si parte una temporis corpus B confecerit spatium BA, post alteram similem temporis partem, rursus spatio, quod ipsi BA aequale sit, separata inveniantur.

Constat³⁾ enim A celeritatem aliquam accipere impulsu corporis B⁴⁾; sit ea AC, minorem autem esse oportet celeritate BA quâ ipsum B movebatur⁵⁾: nam si ipsi B aequale esset A, tum demum celeritatem BA ex impulsu acciperet.^* Dividatur AC in duo aequalia puncto D, sitque AE aequalis AD. Si igitur in navigio hosce motus contingere existimemus, quod sinistram versus praetervehatur celeritate DA: necesse est ut ante impulsum, corpus A quod in navigio quiescebat, motum fuerit respectu ripae dictâ celeritate DA, sinistram versus; post impulsum vero, cum in navigio motum dicatur celeritate AC dextrorsum, ipsum vero navigium celeritate DA in partem contrariam feratur, movebitur A, ripae respectu,

1) Dans le Manuscrit cette Proposition était suscrite ‘Hypothesis’, mais Huygens biffa ce mot et le remplaça par ‘Propositio 4.’

2) Voir la p. 37.

3) Voici, en faisant librement usage de l'algèbre moderne, le raisonnement qui va suivre pour autant qu'il se rapporte à ce premier cas. Soient zéro et v_b les vitesses des corps A et B avant, v'_a et v'_b celles après le choc. Supposons que ces mouvements avaient lieu dans un bateau possédant la vitesse -½v'_a. Alors les vitesses avant le choc étaient par rapport à la rive respectivement -½v'_a et v_b-½v'_a. Après le choc la vitesse du corps A par rapport à elle est ½v'_a; sa vitesse n'est donc pas changée en valeur absolue. Il doit donc en être de même du corps B d'après l'hypothèse V. Ce dernier corps doit donc se mouvoir après le choc avec la vitesse v_b-½v'_a ou ½v'_a-v_b; mais le premier cas est impossible à cause de la présence du corps A dont la vitesse ½v'_a est moindre que la vitesse v_b-½v'_a, où v'_a < v_b puisque si B, qui est plus petit que A, avait été égal à A on aurait eu v'_a = v_b (voir la Prop. II, p. 37). La vitesse d'eloignement mutuel après le choc sera donc par rapport à la rive, mais aussi dans le bateau et partout ailleurs. Elle est donc égale à la vitesse de rapprochement avant le contact.

4) Par la Prop. III, p. 39.

5) On remarquera que Huygens introduit ici une nouvelle hypothèse, d'ailleurs très plausible, qu'il n'énonce pas explicitement, savoir: que par le choc avec un corps donné de vitesse donnée un corps en repos recevra d'autant moins de vitesse qu'il est plus grand.

* Prop. I.

[p. 44]

aussi^*, par rapport à la rive, ne doit avoir rien perdu de sa vitesse. Or, avant le choc, B se mouvait par rapport à la rive avec la vitesse BE vers la droite, parce que dans le bateau il avait la vitesse BA vers la droite, mais le bateau lui-même la

[Fig. 5.]

vitesse DA, ou AE, dans la direction opposée. Donc aussi après le choc il devra se mouvoir par rapport à la rive avec la vitesse BE, mais vers la gauche: car le mouvement plus lent du corps A empêche qu'il se meuve vers la droite. Puisque donc B après le choc se meut, par rapport à la rive, avec la vitesse EB vers la gauche, mais A vers la droite avec la vitesse AD ou EA, il faut qu'ils se séparent avec la vitesse composée des deux BE et EA, c'est-à-dire avec la vitesse BA et cela non seulement par rapport à la rive mais aussi par rapport au bateau, parce que réellement ils se séparent avec cette vitesse. Or, il est certain que ce qui arrive aux corps se rencontrant dans un bateau en mouvement doit arriver en dehors du bateau de la même manière partout ailleurs.

Ce cas étant démontré, les autres s'ensuivent facilement; or, il en reste quatre différents, car, ou bien le corps plus petit est en repos, ou bien les deux sont animés de mouvements opposés, ou bien le corps le plus petit suit le plus grand d'un mouvement plus vite ou bien le contraire a lieu. On pourra traiter tous ces cas en même temps.

Soit, en effet, comme précédemment, le corps A [Fig. 6] plus grand que B, et que A se meuve avec la vitesse AC, B, au contraire, se trouve soit tout-à-fait en repos, soit en mouvement avec la vitesse BC; puisque donc les corps, se mouvant ainsi, ont, l'un par rapport à l'autre, la vitesse AB, je dis qu'après le choc ils se sépareront avec cette même vitesse.

En effet, si, de nouveau, ces mouvements sont considérés comme ayant lieu dans un bateau qui est emporté avec la vitesse CA, savoir la même que celle du corps A mais dans le sens opposé, il est évident que par rapport à la rive A est immobile, mais que B le rencontre, dans tous les cas, avec la vitesse BA. Or, A est plus grand que B: c'est là donc le cas précédent qui se présente, d'où il paraît que les deux corps doivent se séparer après le choc avec la même vitesse AB par rapport à cette rive, et par suite aussi par rapport au bateau; il est donc évident qu'avec cette vitesse ils s'éloigneront en réalité l'un de l'autre.

* Hyp. V.

[p. 45]

celeritate DC seu AD in partem dextram. Itaque, respectu ripae, corpus A⁺ ante & post | impulsum, eandem servat celeritatem. Quare etiam B,^* ejusdem respectu, nihil de suâ celeritate perdidisse oportet. Movebatur autem B respectu ripae ante occursum celeritate BE dextrorsum, quia in navigio habebat celeritatem BA dextram versus, ipsum vero navigium celeritatem DA seu AE in partem oppositam. Igitur & post occursum, respectu ripae, moveri debebit celeritate BE, sed sinistram versus: nam quominus possit versus dextram obstat tardior motus corporis A; cum igitur post impulsum moveatur B, ripae respectu, celeritate EB sinistram versus, at A dextrorsum celeritate AD seu EA, necesse est ipsa a se mutuo discedere celeritate ex utrisque BE, EA compositâ, hoc est, celeritate BA, neque id tantum ripae, sed & navigii respectu, quum reverâ eâ celeritate separentur. Quod autem in navigio progrediente sibi occurrentibus contingit etiam extra navigium ubique eodem modo contingere constat.

Hoc casu demonstrato reliqui facile consequuntur, supersunt autem quatuor diversi, nam vel minus corpus quiescit, vel utraque adversis motibus cientur, vel celeriore motu minus insequitur majus, vel contra; quos omnes simul proponere licebit.

Sit enim ut ante corpus A [Fig. 6] majus quam B, & feratur A celeritate

[Fig. 6.]

AC; B vero vel omnino quiescat, vel habeat celeritatem BC; cum igitur corpora sic mota, mutuo respectu, habeant celeritatem AB; dico, & post impulsum eadem celeritate ipsa separatum iri.

Etenim si denuo hi motus in navigio fieri considerentur, quod praetervehatur celeritate CA, eâdem nempe quâ fertur corpus A, sed in partem contrariam; evidens est ripae respectu, A quidem immotum stare, B vero, omni casu, ipsi occurrere celeritate BA. Est autem A majus quam B, ergo existit casus praecedens,⁺ ex | quo patet eadem celeritate AB, post impulsum,corpora separari debere ejusdem ripae respectu. Unde etiam navigii respectu, & reverâ hac celeritate ipsa à se invicem recedere perspicuum est.

+ p. 376.

* Hyp. V.

+ p. 377.

[p. 46]

Proposition V.

Si deux corps retournent de nouveau à la rencontre, chacun avec la vitesse dont il a rejailli après le choc, ils acquerront après le second choc la même vitesse qu'ils avaient avant le premier.

Supposons¹⁾ que le corps A s'était mû avec la vitesse AC [Fig. 7], mais B avec la vitesse BC, et qu'ils se sont rencontrés de sorte que A a reçu après le choc la vitesse CD et B la vitesse CE: mais qu'en suite chacun d'eux retourne à la rencontre avec la même vitesse; savoir A avec la vitesse DC et B avec la vitesse EC. Je dis qu'ils reculeront, A avec la vitesse CA; B avec la vitesse CB, avec lesquelles ils tendaient primitivement à leur rencontre. En effet, si nous imaginons que, tandis qu'ils vont à leur seconde rencontre, A avec la vitesse DC, B avec la vitesse EC, ces mouvements ont lieu dans un bateau qui est transporté avec la vitesse AD, A possèdera, par rapport à la rive, la vitesse AC, parce que dans le bateau il se meut avec la vitesse DC et le bateau même avec la vitesse AD: mais B possédera par rapport à la rive la vitesse BC; car puisque DE est égal à AB^*, en retranchant la partie commune DB, BE sera égal à AD; le bateau se meut donc avec la vitesse BE, mais B dans le bateau avec la vitesse EC, donc, comme nous le disions, B se mouvra par rapport à la rive avec la vitesse BC. II faut donc que par rapport à cette rive ils reculent du contact: A avec la vitesse CD et B avec la vitesse CE, puisqu'il a été supposé au commencement que si A se porte vers le contact avec la vitesse AC et B avec la vitesse

1) Voici, en termes algébriques, le raisonnement qui va suivre: soient v_a et v_b les vitesses des corps A et B avant, v'_a et v'_b celles après le premier choc, et supposons que ces mouvements ont lieu dans un bateau possédant la vitesse v_a+v'_a. Considérons maintenant le mouvement après que les vitesses v'_a et v'_b ont été remplacées par -v'_a et -v'_b. Le corps A se meut alors par rapport à la rive avec la vitesse v_a; le corps B avec la vitesse -v'_b+v_a+v'_a; mais par la Prop. IV (p. 43) on a: et par suite . Or, après la seconde rencontre ces vitesses v_a et v_b changeront donc en v'_a et v'_b, toujours par rapport à la rive. Par rapport au bateau les nouvelles vitesses seront donc . La proposition est donc prouvée pour les mouvements dans le bateau; elle doit donc être valable partout.

* Prop. IV.

[p. 47]

Propositio V.

Si duo corpora, eâdem celeritate singula ad occursum revertantur quâ ab impulsu resilierunt, singula, post alterum impulsum, eandem acquirent celeritatem, quâ ferebantur ad occursum primum.

[Fig. 7.]

Ponatur¹⁾ corpus A motum fuisse celeritate AC [Fig. 7], B vero celeritate BC, eaque invicem occurrisse; & ab occursu discesserit A celeritate CD; B celeritate CE: postmodum vero iisdem hisce revertatur utrumque ad occursum, nempe A celeritate DC; B, celeritate EC. Dico inde recessurum A celeritate CA; B vero celeritate CB, quibus primo ad occursum tetenderant. Etenim dum pergunt ad secundum occursum, A quidem celeritate DC, B vero celeritate EC, si imaginemur in navigio hosce motus accidere, quod praetervehatur celeritate AD, feretur jam, ripae respectu, A celeritate AC, quia in navigio movetur celeritate DC, ipsum vero navigium celeritate AD: B vero respectu ripae, celeritate BC: nam quia DE aequalis est AB^*, demptâ communi DB, erit BE aequalis AD; movetur ergo navigium celeritate BE; B autem in navigio celeritate EC; unde, respectu ripae, movebitur B celeritate BC, sicut diximus: Necesse est igitur, ejusdem ripae respectu, discedere ipsa ab occursu, A quidem celeritate CD, B vero celeritate CE, positum enim fuit ab initio, si A tendat ad occursum celeritate AC, & B

1) Voici, en termes algébriques, le raisonnement qui va suivre: soient v_a et v_b les vitesses des corps A et B avant, v'_a et v'_b celles après le premier choc, et supposons que ces mouvements ont lieu dans un bateau possédant la vitesse v_a+v'_a. Considérons maintenant le mouvement après que les vitesses v'_a et v'_b ont été remplacées par -v'_a et -v'_b. Le corps A se meut alors par rapport à la rive avec la vitesse v_a; le corps B avec la vitesse -v'_b+v_a+v'_a; mais par la Prop. IV (p. 43) on a: et par suite . Or, après la seconde rencontre ces vitesses v_a et v_b changeront donc en v'_a et v'_b, toujours par rapport à la rive. Par rapport au bateau les nouvelles vitesses seront donc . La proposition est donc prouvée pour les mouvements dans le bateau; elle doit donc être valable partout.

* Prop. IV.

[p. 48]

BC, ils reculent après le choc: A avec la vitesse CD et B avec la vitesse CE. Puisque donc A, par rapport à la rive se meut avec la vitesse CD et le bateau

[Fig. 7.]

avec la vitesse AD, il arrivera que dans le bateau A se mouvra avec la vitesse CA. De même, comme B par rapport à la rive se meut avec la vitesse CE et le bateau avec la vitesse AD ou BE, la vitesse de B dans le bateau sera CB. Nous avons donc montré que les corps qui dans le bateau furent portés vers le contact avec les vitesses DC, BC¹⁾ retourneront dans le bateau avec les vitesses CA, CB. Cela doit donc arriver partout et ce qui fut proposé est prouvé.

1) Lisez: EC.

Proposition VI²⁾.

Dans deux corps qui se rencontrent la quantité de mouvement, prise pour les deux ensemble, ne se conserve pas toujours la même après le choc qu'elle était auparavant, mais peut être augmentée ou diminuée.

La quantité de mouvement est estimée de telle manière que dans des corps inégaux de même vitesse chaque corps fournit une quantité de mouvement d'autant plus grande qu'il est plus grand. Mais dans des corps égaux de vitesse inégale d'autant que l'un est plus rapide que l'autre. Démontrons maintenant ce qui est proposé.

Soit le corps A plus grand que B; mais que A soit en repos et que B soit porté à sa rencontre avec la vitesse BA [Fig. 8.], A sera donc mis en mouvement^* et acquerra une certaine vitesse, p.e. AC. Mais B retournera avec la vitesse AD,

2) Par cette Proposition Huygens réfute l'article XXXVI de la ‘Pars secunda’ des ‘Principia philosophiae’ de Descartes, où l'on lit en marge ‘Deum esse primariam motûs causam: & eandem semper motûs quantitatem in universo conservare’ (voir la p. 61 du T. VIII, 1905, de l'édition des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery).

* Prop. III.

[p. 49]

⁺ celeritate BC, | discedere post impulsum, A quidem celeritate CD, B vero, celeritate Ce. Dum ergo A, respectu ripae movetur celeritate CD, navigium vero celeritate AD, fiet, ut in navigio feratur A celeritate CA. Item quum B ripae respectu moveatur celeritate CE, & navigium celeritate AD seu BE, erit ipsius B in navigio celeritas CB. Quae igitur in navigio ferebantur ad occursum celeritatibus DC, BC¹⁾, ea in navigio referri ostensum est celeritatibus CA, CB unde ubivis idem contingere necesse est, & constat propositum.

+ p. 378.

1) Lisez: EC.

Propositio VI²⁾.

Corporibus duobus sibi mutuo occurrentibus non semper post impulsum eadem motus quantitas in utroque simul sumpto conservatur quae fuit ante, sed vel augeri potest vel minui.

Quantitas motus sic aestimatur, ut in corporibus inaequalibus aeque celeriter motis, tanto majorem motus quantitatem quodque constituat, quanto majus est. In corporibus autem aequalibus inaequali celeritate motis, quanto alterum altero est velocius: ut igitur quod propositum est demonstremus.

[Fig. 8.]

Esto corpus A majus quam B; A vero quiescat & B ad ipsum feratur celeritate BA [Fig. 8]: movebitur igitur A,^* & aliquam celeritatem acquiret, puta AC. revertetur autem B celeritate AD, ita ut tota celeritas CD, quam mutuo respectu habebunt aequalis sit celeritati AB.^* Quod si igitur corpus A ipsi B aequale esset, eadem motus quantitas existeret post impulsum atque ante; etenim manifestum est eandem constitui, sive duo⁺ corpora ipsi B aequalia moveantur, alterum celeritate AD, alterum ce | leritate

2) Par cette Proposition Huygens réfute l'article XXXVI de la ‘Pars secunda’ des ‘Principia philosophiae’ de Descartes, où l'on lit en marge ‘Deum esse primariam motûs causam: & eandem semper motûs quantitatem in universo conservare’ (voir la p. 61 du T. VIII, 1905, de l'édition des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery).

* Prop. III.

* Prop. IV.

+ p. 379.

[p. 50]

de sorte que la vitesse totale CD, qu'ils auront l'un par rapport à l'autre, sera égale à AB^*. Si donc le corps A était égal à B, il existerait après le choc la même quantité de mouvement qu'avant; puisqu'il est évident qu'elle est la même soit que deux corps égaux à B se meuvent l'un avec la vitesse AD, l'autre avec la vitesse AC, soit que B seul se meuve avec la vitesse CD ou BA. Mais le corps A est plus grand que B, donc il paraît que la quantité de mouvement est plus grande lorsque, après le choc, le corps A possède la vitesse AC, et le corps B la vitesse AD, qu'auparavant lorsque B seul avait la vitesse BA. D'autre part que la quantité de mouvement peut être diminuée se montre comme il suit. Puisque si B rencontre avec la vitesse BA le corps A en repos, ce corps A prendra la vitesse AC et qu'il restera en B la vitesse AD, il arrivera réciproquement, si A vient avec la vitesse CA et B du côté opposé avec la vitesse DA, qu'après le contact A reste sans mouvement et que B rejaillit avec la vitesse AB^*, d'où il suit, par ce que nous avons démontré plus haut, que la quantité de mouvement après le choc sera moindre qu'elle n'était avant.

* Prop. IV.

* Prop. V.

Proposition VII.

Lorsqu'un corps plus grand rencontre un corps plus petit en repos, il lui donne une vitesse moindre que le double de la sienne.

Que le corps A [Fig. 9] avec la vitesse AB rencontre le corps B en repos, je dis qu'il imprimera après le contact à B une vitesse moindre que le double de AB. En effet puisqu'après le choc les corps doivent se séparer avec la même vitesse AB^*, il serait nécessaire, si la vitesse du corps B deviendrait le double de la vitesse AB, que le corps A se mût après le choc vers le corps B avec la même vitesse AB, ce qui ne peut avoir lieu^*. Et si la vitesse du corps B deviendrait plus que le double, il faudrait qu'après le choc le corps A poursuivît son mouvement avec une vitesse plus grande que AB, ce qui est également absurde; d'où s'ensuit ce qui était proposé.

De même que pour des corps égaux il a été montré pour tous les cas de quelle manière l'un communique le mouvement à l'autre, si l'on admet que des corps

* Prop. IV.

* Hyp. IV¹⁾.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

[p. 51]

AC, sive solum B moveatur celeritate CD seu BA. atqui corpus A majus est quam

[Fig. 8.]

B, ergo apparet majorem motus quantitatem constitui quum post impulsum corpus A fertur celeritate AC, & corpus B celeritate AD, quam antea, quum solum B haberet celeritatem BA. Rursus quod minui possit motus quantitas sic ostenditur. Etenim si occurrente B, corpori A, quiescenti, celeritate BA, acquiritur ipsi A celeritas AC, remanetque in B celeritas AD: fiet vicissim, si A adveniat celeritate CA, B vero ex adverso celeritate DA, ut A, post contactum, motus expers remaneat, B vero resiliat celeritate AB^*; unde, ex iis quae antea ostensa sunt, minor jam motus quantitas erit post concursum quam fuerat ante.

* Prop. V.

Propositio VII.

Si corpus majus minori quiescenti occurrat, minorem ei velocitatem dat quam duplam suae.

Occurrat corpus A [Fig. 9] celeritate AB, minori quiescenti B: dico ipsi B

[Fig. 9.]

minorem imprimi celeritatem quam sit dupla AB. Quia enim post impulsum eadem celeritate AB a se invicem discedere debent corpora^*, necesse esset si dupla fieret celeritas corporis B celeritatis AB, ut A, post impulsum, eâdem celeritate AB corpus B insequeretur, quod fieri non potest^*: si vero major quam dupla, oporteret ut A, post impulsum, majori celeritate quam AB moveri pergeret; quod similiter absurdum est; quare constat propositum.

Sicuti de corporibus aequalibus ostensum fuit in universum, qua ratione alterum⁺ alteri motum transferat, eo concesso quod aequalia aequali celeritate sibi impa | cta²⁾

* Prop. IV.

* Hyp. IV¹⁾.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

+ p. 380.

2) Huygens a remplacé dans le Manuscrit le mot ‘collisa’, qu'il biffa, par les mots ‘sibi impacta’.

[p. 52]

égaux, se rencontrant avec des vitesses égales, rejaillissent aussi également, de même quand il s'agit de corps inégaux, on peut déterminer tous les cas, dont il existe plusieurs, en posant ce qui suit: savoir que si deux corps inégaux se meuvent à une rencontre mutuelle, mais que leurs vitesses sont inversement proportionnelles à leurs grandeurs, ils retourneront du contact avec la même vitesse avec laquelle ils étaient venus.

Comme, quand A [Fig. 10] soit triple de B, mais la vitesse BC, avec laquelle B se meut, triple de celle AC de A; alors après le contact en C, chacun des deux corps retournera avec la même vitesse qu'il avait auparavant. D'ailleurs puisque ceci (quoique nullement contraire à la raison et tout-à-fait conforme à l'expérience) n'est pas aussi évident que ce qui a été admis pour les corps égaux, nous tâcherons de le confirmer par une démonstration.

Il est certain que lorsque deux corps graves se meuvent en bas dans un mouvement naturellement accéléré, le rapport des espaces parcourus est égal au carré du rapport des vitesses maximales qu'ils ont acquises. En effet, ceci a été démontré par Galilée dans le troisième dialogue ‘De motu’¹⁾ et observé dans des expériences innombrables et très exquises: comme aussi que la vitesse acquise par un corps tombant est capable de le restituer à la même hauteur d'où il est descendu²⁾. De plus, des démonstrations de ces deux propositions sont exposées dans ce que nous avons écrit sur l'horloge³⁾. Or, partant de là, le dit théorème pourra être démontré.

1) Voir l'ouvrage de 1638 cité dans la note 1 de la p. 31 de notre T. I. On trouve le théo rème en question à la p. 210 du Vol. VIII (1898) de l'édition nationale des ‘Opere di Galilei’ où l'on lit: ‘Patet etiam hinc, eandem spatiorum rationem esse duplam rationis maximorum graduum velocitatis’.

2) Voir les p. 206-207 du Vol. VIII cité dans la note précédente.

3) Voir les Prop. III et IV de l'‘Horologium oscillatorium’ p. 25-29 de l'édition originale de 1673 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 257 de notre T. VII. Remarquons que la phrase présente se retrouve dans le Manuscrit de 1656 ou d'un peu plus tôt, mentionné p. 10 de l'‘Avertissement’ qui précède, mais écrite en marge, tandis que l'état de ce Manuscrit prouve clairement qu'elle y fut ajoutée après coup à une époque inconnue. Comparez le deuxième alinéa de la note 1 de la p. 30.

Proposition VIII.

Lorsque deux corps, dont les vitesses sont inversement proportionnelles à leurs grandeurs, se rencontrent de côtés opposés, chacun d'eux rejaillira avec la même vitesse avec laquelle il s'est approché.

Soient A et B [Fig. 11] deux corps qui se rencontrent, et dont le premier est plus grand que le second, et que la grandeur de A soit à celle de B comme la vitesse

[p. 53]

aequaliter quoque resiliant. Ita, in diversae magnitudinis corporibus, omnes casus determinari possunt; qui quidem plurimi existunt, hoc quod sequitur posito. Nimirum, si inaequalia duo corpora ad occursum mutuum ferantur, celeritates autem magnitudinibus contrariâ ratione respondeant, quod tum singula a contactu, eadem quâ venere celeritate, retrorsum agantur.

[Fig. 10.]

Veluti si A [Fig. 10] sit triplum ad B: celeritas autem BC, quâ movetur B sit tripla celeritatis AC quâ movetur A; quod facto concursu in C, corpus utrumque, eâdem quâ prius ferebatur celeritate, revertatur. Caeterum, quia hoc non aeque evidens est (licet a ratione non alienum, experimentisque apprime consentiens) atque illud quod circa aequalia corpora assumptum fuit, demonstratione ipsum confirmare conabimur.

Constat sane, quoties corpora duo gravia deorsum feruntur motu naturaliter accelerato, duplicatam esse rationem spatiorum ab ipsis peractorum rationis maximorum graduum celeritatis ipsis acquisitae. Hoc enim a Galilaeo demonstratum est, dialogo de motu tertio¹⁾, & experimentis innumeris exquisitissimisque deprehensum: uti hoc quoque, quod celeritas cadenti corpori acquisita, possit ipsum ad eandem, unde descendit, altitudinem restituere²⁾. Quorum etiam utriusque demonstrationes, in iis quae de horologio scripsimus exhibentur³⁾. Hinc autem dictum theorema jam demonstrari poterit. |

1) Voir l'ouvrage de 1638 cité dans la note 1 de la p. 31 de notre T. I. On trouve le théo rème en question à la p. 210 du Vol. VIII (1898) de l'édition nationale des ‘Opere di Galilei’ où l'on lit: ‘Patet etiam hinc, eandem spatiorum rationem esse duplam rationis maximorum graduum velocitatis’.

2) Voir les p. 206-207 du Vol. VIII cité dans la note précédente.

3) Voir les Prop. III et IV de l'‘Horologium oscillatorium’ p. 25-29 de l'édition originale de 1673 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 257 de notre T. VII. Remarquons que la phrase présente se retrouve dans le Manuscrit de 1656 ou d'un peu plus tôt, mentionné p. 10 de l'‘Avertissement’ qui précède, mais écrite en marge, tandis que l'état de ce Manuscrit prouve clairement qu'elle y fut ajoutée après coup à une époque inconnue. Comparez le deuxième alinéa de la note 1 de la p. 30.

⁺ Propositio VIII.

Si corpora duo sibi ex adverso occurrant, quorum magnitudinibus celeritates contrariâ ratione respondeant, utrumque eâdem quâ accessit celeritate resiliet.

Occurrant sibi corpora A & B [Fig. 11], quorum illud quam hoc majus sit, & quam rationem habet magnitudo A, ad magnitudinem B, eandem habeat celeritas

+ p. 381.

[p. 54]

BC du corps B à celle AC du corps A: il faut prouver que, après le contact mutuel, chacun d'eux retourne avec la vitesse avec laquelle il est venu, savoir, A avec la vitesse CA, B avec la vitesse CB. Or, il est certain que si A est réfléchi avec la vitesse CA, B sera aussi réfléchi avec la vitesse CB, parce que sans cela la vitesse relative de séparation ne serait pas la même que celle du rapprochement^*. Si donc le corps A ne retourne pas avec la vitesse CA, qu'il rejaillisse, en premier lieu, si cela est possible, avec une vitesse moindre CD; par suite B rejaillira avec une vitesse CE plus grande que celle avec laquelle il était venu, de sorte que DE est égal à AB^*. Supposons que le corps A ait acquis sa première vitesse AC, avec laquelle il se mouvait vers le contact, en tombant de la hauteur HA, de telle manière qu'après être descendu jusqu'en A il ait changé son mouvement vertical en un mouvement horizontal de la vitesse AC; et que pareillement le corps B ait acquis la vitesse BC en tombant de la hauteur KB¹⁾; ces hauteurs sont donc dans la raison doublée des vitesses, c'est-à-dire: comme le carré AC est au carré CB, ainsi HA à KB. Mais si ensuite, après le choc, les corps A et B changent leurs mouvements horizontaux, dont les vitesses sont mesurées par CD et CE, en des mouvements perpendiculaires vers le haut: on sait que le corps A arrivera à la hauteur AL, de sorte que AL est à AH comme le carré CD au carré CA. Car si tel est le rapport de AL à AH, il est certain qu'un corps tombant de la hauteur LA acquerra la vitesse CD; d'où réciproquement s'il a la vitesse CD, il pourra atteindre la hauteur AL, en vertu de ce qui a été posé plus haut³⁾: mais le corps B, en changeant sa vitesse CE en un mouvement vertical vers le haut, parviendra à la hauteur BM, de manière que MB est à KB comme le carré CE au carré CB. Joignons HK, LM, qui nécessairement se couperont, p.e. en P⁴⁾; et soit chacun de ces segments divisé dans la même raison en N et en O, de sorte que, comme les grandeurs B et A, c'est-à-dire comme AC à CB, ainsi soit HN à NK et de même LO à OM. Par suite, lorsque le centre de gravité du corps A est situé en H, et le centre de gravité du corps B en K, le centre de leur gravité composée sera au point N. Mais après qu'ils sont tombés de H et de K et

* Prop. IV.

* Prop. IV.

1) Voici une petite figure, empruntée au Manuscrit mentionné dans la note 3 de la p. 52, qui montre le mécanisme imaginé par Huygens pour convertir des vitesses verticales en des



vitesses horizontales et réciproquement, savoir deux parois élastiques placées sous un angle de 45^o avec l'horizon.

3) Voir le troisième alinéa de la p. 53.

4) La phrase précédente, à commencer par les mots ‘quae necessario’, fut insérée de la main de Huygens dans le Manuscrit. D'ailleurs, puisqu'elle se retrouve dans le Manuscrit d'environ 1656, mentionné dans la note 3 de la p. 52, il ne s'agit que de la correction d'une inadvertance du copiste.

[p. 55]

corporis B, quae sit BC, ad celeritatem corporis A, quae sit AC. ostendendum est, post contactum mutuum, utrumque eâdem quâ venit celeritate reverti, nempe

[Fig. 11.]

A, celeritate CA, B vero, celeritate CB: constat autem, si A reflectatur celeritate CA, etiam B reflecti celeritate CB, quia alioqui non eadem esset mutuo respectu celeritas recedendi, quae fuit appropinquandi^*. Si igitur corpus A non revertitur celeritate CA, resiliat primò, si fieri potest, celeritate minori CD; ergo B resiliet celeritate CE, majori quam quâ advenerat, ita ut DE, sit aequalis AB^*. Ponamus corpus A acquisivisse celeritatem priorem AC, quâ tendebat ad occursum, cadendo ex altitudine HA, ut nimirum postquam descenderit usque in A, motum perpendicularem mutaverit in horizontalem cujus celeritas AC; corpus autem B acquisivisse similiter celeritatem BC, cadendo ex altitudine KB¹⁾; sunt igitur hae altitudines in celeritatum ratione duplicatâ, hoc est, sicut quadratum AC ad quadratum CB, ita HA ad KB. Quod si deinde, post occursum, corpora A & B motus suos Horizontales, quorum celeritates metiuntur CD, CE, convertant in motus perpendiculares sursum; constat corpus A perventurum ad altitudinem AL, ita ut sit AL ad AH,⁺ sicut quadratum | CD, ad quadratum CA. Quando enim hujusmodi rationem habet AL ad AH, certum est corpori decidenti²⁾ ex altitudine LA, acquiri velocitatem CD; unde & vicissim, velocitatem habens CD, attingere poterit altitudinem AL, per ea quae superius posita fuere³⁾; corpus autem B convertendo celeritatem CE in motum perpendicularem sursum, perveniet ad altitudinem BM, ut fit MB ad KB sicut quadratum CE ad quadratum CB. Jungantur HK, LM quae necessario se mutuo secabunt, puta in P⁴⁾; & dividantur utraque similiter in N & O, ut, sicut magnitudo B ad A, hoc est, sicut AC ad CB, ita sit HN ad NK, itemque LO ad OM.

* Prop. IV.

* Prop. IV.

1) Voici une petite figure, empruntée au Manuscrit mentionné dans la note 3 de la p. 52, qui montre le mécanisme imaginé par Huygens pour convertir des vitesses verticales en des



vitesses horizontales et réciproquement, savoir deux parois élastiques placées sous un angle de 45^o avec l'horizon.

+ p. 382.

2) Huygens remplaça dans le Manuscrit le mot ‘descendenti’ par ‘decidenti’.

3) Voir le troisième alinéa de la p. 53.

4) La phrase précédente, à commencer par les mots ‘quae necessario’, fut insérée de la main de Huygens dans le Manuscrit. D'ailleurs, puisqu'elle se retrouve dans le Manuscrit d'environ 1656, mentionné dans la note 3 de la p. 52, il ne s'agit que de la correction d'une inadvertance du copiste.

[p. 56]

qu'après leur contact mutuel ils se sont élevés jusqu'en L et en M, le centre de leur gravité composée sera en O, ce qui ne peut arriver parce que, comme nous le montrerons bientôt, le point O est plus haut que N; car en mécanique c'est un axiome très certain que par un mouvement des corps qui résulte de leur gravité le centre commun de leur gravité ne peut pas s'élever¹⁾. Or, que le point O est plus haut que le point N se démontre comme il suit²⁾: L'excès du carré EC sur le carré BC est égal^* à deux rectangles CBE avec le carré BE, c'est-à-dire au rectangle construit sur la somme de EC et CB, comme l'un des côtés, et sur BE. De même, l'excès du carré AC sur le carré CD est égal au rectangle construit sur la somme de AC et CD, comme l'un des côtés, et sur AD. Mais AD est égal à BE, parce que AB est égal à DE. Il paraît donc que le premier excès, savoir des carrés EC, CB, est au dernier, celui des carrés AC, CD, comme la somme de EC et CB à celle de AC et CD⁴⁾. Mais comme la somme de EC et CB est plus grande que le double de CB, tandis que la somme de AC et CD est moindre que le double de AC, le rapport de la somme de EC et CB à celle de AC et CD sera certainement plus grand que celui de CB à CA. Donc aussi l'excès du carré EC sur le carré CB aura à celui du carré AC sur le carré CD un rapport plus grand que BC à CA. Mais puisque le carré EC est au carré CB comme MB est à BK en longueur, on aura par partage que l'excès du carré EC sur le carré CB est au carré CB comme MK à KB: or le carré CB est au carré CA comme la ligne KB à HA: et le carré CA est à son excès sur le carré CD comme HA est à HL,

1) Cet axiome peut être considéré comme une modification de celui-ci: que le centre de gravité se place aussi bas que possible. Sur l'historique de ce dernier axiome on peut consulter le Chap. XV (p. 1-151 du T. II) des ‘Origines de la Statique’ par P. Duhem, Paris, Hermann, 1906, où il figure sous le nom de ‘Principe de Torricelli’. Huygens l'avait déjà utilisé vers 1648 dans ses recherches sur la chaînette qui ‘ne faict point une parabole’ (voir les pp. 28 et 40 de notre T. I et les trois derniers alinéas de la note 2 qui commence à la p. 37 du T. XI). De plus, il en avait fait en 1650 la base du premier Livre (p. 93-119 du T. XI) de son merveilleux traité sur l'équilibre des corps flottants, publié par nous pour la première fois; consultez encore les pp. 84 et 92 du même Tome XI.
Ces deux dernières applications de l'axiome concernent la Statique. Or, la modification de Huygens lui permet de l'appliquer à un problème de dynamique; ce qui en élargit de beaucoup la portée. Voir encore les p. 21-24 de l'Avertissement qui précède.

2) En termes algébriques il s'agit de prouver qu'on a toujours:




où p = AC, q = BC, e = AD = BE.

* Eucl. l. 11 Prop. IV³⁾.

3) ‘Si recta linea secta sit vtcunque: Quadratum, quod à tota describitur, aequale est & illis, quae à segmentis describuntur, quadratis, & ei, quod bis sub segmentis comprehenditur, rectangulo’ (Clavius, Euclidis elementorum libri XV, Francofurti, Ex Officina Typographica Nicolai Hoffmanni, 1607, p. 172).

4) Le Manuscrit avait ‘AD, DC’ ce qui fut corrigé de la main de Huygens.

[p. 57]

Itaque cum corporis A, centrum gravitatis positum est in H, & corporis B centrum gravitatis in K, compositae ipsorum gravitatis centrum est in puncto N.

[Fig. 11.]

Postquam vero ex H & K deciderunt, ac post mutuum occursum rursus in altum sese sustulere usque in L & M, centrum compositae ex ipsis gravitatis erit in O: quod fieri non potest; quoniam, ut mox ostendemus, altius est punctum O quam N: certissimum enim in mechanicis est axioma, motu corporum qui a gravitate ipsorum proficiscitur, centrum commune gravitatis ipsorum non posse attolli¹⁾. Quod autem punctum O sit altius quam N, sic ostenditur²⁾. Excessus quadrati EC supra quadratum BC, aequalis est^* duobus rectangulis CBE, cum quadrato BE, hoc est, rectangulo quod fit ex duabus EC, CB tanquam unâ, & BE. Similiter excessus quadrati AC, supra quadratum CD, aequatur rectangulo sub duabus AC & CD tanquam unâ, & AD. Est autem AD aequalis BE, quum sit AB aequalis DE. Itaque patet illum excessum, nempe quadratorum EC, CB, ad hunc excessum quadratorum AC, CD, sese habere; sicut utraque simul EC, CB ad utramque⁺ simul AC, CD⁴⁾. Quum autem majores | sint duae EC & CB quam dupla CB; at duae simul AC, CD minores quam dupla AC, major utique erit ratio duarum simul EC, CB, ad utramque simul AC, CD, quam CB ad CA, ergo & excessus quadrati EC, supra quadratum CB, ad excessum quadrati AC supra quadratum CD majorem habet rationem quam BC ad CA. Quia vero, sicut quadratum EC ad quadratum CB, ita est MB ad BK longitudine; erit dividendo, ut excessus quadrati EC, supra quadratum CB, ad quadratum CB ita MK ad KB: sicut autem quadratum CB ad quadratum CA, ita est KB linea ad HA: utque quadratum CA ad excessum suum supra quadratum CD, ita HA ad HL, erat enim

1) Cet axiome peut être considéré comme une modification de celui-ci: que le centre de gravité se place aussi bas que possible. Sur l'historique de ce dernier axiome on peut consulter le Chap. XV (p. 1-151 du T. II) des ‘Origines de la Statique’ par P. Duhem, Paris, Hermann, 1906, où il figure sous le nom de ‘Principe de Torricelli’. Huygens l'avait déjà utilisé vers 1648 dans ses recherches sur la chaînette qui ‘ne faict point une parabole’ (voir les pp. 28 et 40 de notre T. I et les trois derniers alinéas de la note 2 qui commence à la p. 37 du T. XI). De plus, il en avait fait en 1650 la base du premier Livre (p. 93-119 du T. XI) de son merveilleux traité sur l'équilibre des corps flottants, publié par nous pour la première fois; consultez encore les pp. 84 et 92 du même Tome XI.
Ces deux dernières applications de l'axiome concernent la Statique. Or, la modification de Huygens lui permet de l'appliquer à un problème de dynamique; ce qui en élargit de beaucoup la portée. Voir encore les p. 21-24 de l'Avertissement qui précède.

2) En termes algébriques il s'agit de prouver qu'on a toujours:




où p = AC, q = BC, e = AD = BE.

* Eucl. l. 11 Prop. IV³⁾.

3) ‘Si recta linea secta sit vtcunque: Quadratum, quod à tota describitur, aequale est & illis, quae à segmentis describuntur, quadratis, & ei, quod bis sub segmentis comprehenditur, rectangulo’ (Clavius, Euclidis elementorum libri XV, Francofurti, Ex Officina Typographica Nicolai Hoffmanni, 1607, p. 172).

+ p. 383.

4) Le Manuscrit avait ‘AD, DC’ ce qui fut corrigé de la main de Huygens.

[p. 58]

car le carré AC était au carré CD comme HA à AL: donc, par égalité, on aura que l'excès du carré EC sur le carré CB est à l'excès du carré AC sur le carré CD comme MK à HL. Donc le rapport de MK à HL sera aussi plus grand que celui de BC à CA. Mais MK est à HL comme MP à PL et BC à CA comme MO à OL. Par conséquent le rapport de MP à PL est aussi plus grand que celui de MO à OL; et, par composition, celui de ML à PL plus grand que le rapport de ML à LO. Donc LO est plus grand que LP, d'où il paraît que le point O tombe par rapport au point d'intersection P au côté qui est vers M; mais la droite qui joint les points O et N est parallèle aux perpendiculaires MB et HA, puisque par ces points les droites LM et HK sont divisées dans le même rapport. Donc, de même que M est plus haut que K, il paraît que O est aussi plus haut que N. Ce qui restait à démontrer.

[Fig. 12.]

Maintenant que le corps A, si cela est possible, soit réfléchi du choc avec une vitesse CD [Fig. 12], plus grande que celle CA avec laquelle il allait à la rencontre¹⁾. Or, CD sera moindre que CB, la vitesse du corps B avant la rencontre. Car si B n'était pas moindre que A mais égal à A, alors seulement A reculerait après le choc avec la vitesse CB^*2). Or, B sera réfléchi du choc avec la vitesse CE de sorte que DE soit égal à AB^*. Supposons que tout le reste se passe comme dans le cas précédent et que la construction soit achevée comme dans ce cas. Il arrivera donc que L est plus haut que H, parce que DC est plus

1) Dans ce qui suit il s'agit, cette fois encore, de prouver que dans le cas en considération le point O (Fig. 12) se trouverait situé au-dessus du point N; ce qui est impossible d'après le principe que Huygens vient d'introduire. En termes algébriques il faut donc démontrer l'inégalité:




où p = AC, q = BC, e = AD = BE.

* Prop. II.

2) Comparez la note 5 de la p. 43.

* Prop. IV.

[p. 59]

ut quadratum AC, ad quadratum CD, ita HA ad AL: Itaque, ex aequo erit, sicut excessus quadrati EC supra quadratum CB, ad excessum quadrati AC supra quadratum

[Fig. 11.]

CD, ita MK ad HL. Quare major quoque erit ratio MK ad HL, quam BC ad CA. Est autem ut MK ad HL, ita MP, ad PL; ut autem BC ad CA ita MO ad OL. Ergo major quoque ratio MP ad PL, quam MO ad OL; &, componendo, major ratio ML ad LP, quam ML ad LO. Itaque LO major quam LP; unde liquet punctum O cadere ad eam partem intersectionis P, quae est versus M; quae autem conjungit puncta O N, parallela est perpendicularibus MB, HA, quoniam iis punctis rectae LM, HK secundum eandem rationem dividuntur. Igitur sicut sublimius est M quam K, ita quoque O sublimius esse apparet quam N. Quod supererat demonstrandum.

Jam si fieri potest reflectatur ab occursu corpus A celeritate CD [Fig. 12], majori quam CA, quâ ad occursum pergebat¹⁾. Erit autem CD minor quam CB, quae fuit celeritas corporis B ante occursum. Etenim si B non esset minus quam A⁺ sed ipsi aequale, tum demum A ab im | pulsu recederet celeritate CB^*2); reflectetur tur autem B ab occursu celeritate CE, ita ut DE sit aequalis AB^*. Jam caetera facta intelligantur, constructioque peracta sicut in casu praecedenti, eveniet igitur ut L sit sublimius quam H, quoniam DC major quam AC: utque M, sit humilius

1) Dans ce qui suit il s'agit, cette fois encore, de prouver que dans le cas en considération le point O (Fig. 12) se trouverait situé au-dessus du point N; ce qui est impossible d'après le principe que Huygens vient d'introduire. En termes algébriques il faut donc démontrer l'inégalité:




où p = AC, q = BC, e = AD = BE.

+ p. 384.

* Prop. II.

2) Comparez la note 5 de la p. 43.

* Prop. IV.

[p. 60]

grand que AC; et M sera plus bas que K, parce que EC est moindre que CB. Ensuite on démontrera comme précédemment que la différence des carrés DC et CA est à la différence des carrés BC et CE comme la somme de AC

[Fig. 12.]

et CD à celle de EC et CB. Mais comme cette dernière somme est moindre que le double de CB, et la précédente plus grande que le double de AC, le rapport de la somme de AC et CD à celle de CE et CB sera plus grand que AC à CB. La différence des carrés DC et CA aura donc à la différence des carrés BC et CE un rapport plus grand que celui de AC à CB. Or, on démontrera que la première différence est de nouveau à la seconde comme LH à KM. Donc aussi le rapport de LH à KM, c'est-à-dire de LP à PM, est plus grand que AC à CB, ou LO à OM; par conséquent le point O tombe par rapport au point d'intersection P au côté qui est vers L. Mais ON, comme auparavant, est parallèle à LH. Par suite, comme le point L est plus élevé que H, O sera aussi plus élevé que N, mais ceci est absurde pour la même raison que dans le cas précédent.

Et lorsqu'on dirait qu'après le choc le corps A [Fig. 13] restât en repos et que B seul fût réfléchi¹⁾, celui-ci prendrait donc la vitesse AB^* parce qu'avant le choc les deux corps ont cu la vitesse relative AB. Or, supposant comme précédemment, que la vitesse BC ait été acquise par le corps B en tombant de la hauteur KB, il suit que si l'on fait BK en longueur à BM comme le carré CB au carré AB,

1) C'est le cas particulier où l'on a e = p dans l'inégalité de la note 2 de la p. 56.

* Prop. IV.

[p. 61]

quam K, quoniam EC minor quam CB. Porro ostendetur sicut prius, differentiam quadratorum DC, CA esse ad differentiam quadratorum BC, CE, ut duae simul AC, CD, ad duas EC, CB. Quum vero hae sint simul minores quam dupla CB, illae vero majores quam dupla AC, erit major ratio duarum simul AC, CD ad duas EC, CB, quam AC ad CB. Itaque differentia quadratorum DC, CA, ad differentiam quadratorum BC, CE, majorem habet rationem, quam AC ad CB. Ut autem dicta differentia, ad dictam differentiam, ita demonstrabitur rursus esse LH ad KM. Ergo maior quoque ratio LH ad KM, hoc est, LP ad PM, quam AC ad CB, hoc est, quam LO ad OM; quamobrem punctum O cadet ad eam partem

[Fig 13.]

intersectionis P quae est versus L. ON autem, sicut ante, parallela est LH. Ergo sicut punctum L sublimius est quam H, etiam O sublimius erit quam N, hoc autem, ob eandem quam in casupraecedenti diximus rationem, absurdum est.

Quod si vero dicatur consistere post occursum corpus A [Fig. 13], solumque B reflecti¹⁾, reflectetur ergo celeritate AB^*, quoniam etiam ante occursum corpora habuere celeritatem AB respectu mutuo. Ponendo autem, sicut ante; celeritatem BC corpori B acquisitam esse cadendo ex altitudine KB, sequitur, si fiat ut quadratum CB ad quadratum AB, ita BK ad BM longitudine; ipsam BM fore altitudinem ad quam assurgere poterit corpus B, si convertat motum horizontalem, quo fertur celeritate⁺ AB, in motum perpendicularem sursum. | Corpus autem A, cum, post occursum,

1) C'est le cas particulier où l'on a e = p dans l'inégalité de la note 2 de la p. 56.

* Prop. IV.

+ p. 385.

[p. 62]

BM sera la hauteur à laquelle pourra monter le corps B s'il change le mouvement horizontal par lequel il est entraîné avec la vitesse AB en un mouvement perpendiculaire en haut; mais le corps A, puisque après le choc il a été dit être sans mouvement, restera dans la droite AB. Si donc on tire MA et fi on la divise en O de sorte que AO soit à OM comme AC à CB, O sera le point jusqu'auquel montera le centre de la gravité composée des deux corps. Mais les corps étant situés en H et en K, d'où l'on suppose qu'ils sont descendus, avaient leur centre de gravité commun en N qui divise pareillement la droite HK dans le rapport de AC à CB; donc si l'on montre comme auparavant que le point O est plus élevé que le point N la démonstration sera réduite à la même absurdité que plus haut. Or, cela peut être montré comme il suit. Puisque le carré AB est au carré BC comme, en longueur, MB est à BK, on aura, par partage, que l'excès du carré AB sur le carré BC est au carré BC comme MK à KB; mais comme le carré BC est au carré CA ainsi KB est aussi à HA, car ceci a été supposé comme dans le premier cas; donc, par égalité, l'excès du carré AB sur le carré BC sera au carré CA comme MK est à HA; mais le rapport du dit excès au carré CA est certainement plus grand que celui de la droite BC à CA¹⁾: donc aussi le rapport de MK à HA, c'est-à-dire de MP à PA, sera plus grand que le rapport de BC à CA, c'est-à-dire de MO à OA. Et, par composition, le rapport de MA à AP sera plus grand que celui de MA à AO; d'où il résulte que le point O tombe par rapport au point d'intersection P au côté qui est vers M. Or, M est plus haut que K; donc, puisque ON est nécessairement parallèle à MK, le point O sera aussi plus haut que N: ce qui restait à démontrer.

[Fig. 14.]

Si, enfin on disait que le corps A après le choc continuera de se mouvoir vers le même côté avec la vitesse CF [Fig. 14], celle-ci certes ne sera pas plus grande que la vitesse AC avec laquelle il se mouvait avant le choc: or, le corps B devra dans ce cas précéder le corps A avec la vitesse CG, dont l'excès FG sur la vitesse CF soit égal à AB^*. Mais que cela ne peut avoir lieu sera établi comme il

1) Puisqu'on a .

* Prop. IV.

[p. 63]

motus expers dicatur, manebit in rectâ AB. Itaque si jungatur MA, seceturque in O ut sit AO ad OM sicut AC ad CB, erit punctum O ad cujus

[Fig. 13.]

altitudinem ascendet centrum gravitatis ex utroque corpore compositae. Positis autem corporibus in H & K, unde decidisse ponuntur, erat ipsorum commune gravitatis centrum in puncto N, quod similiter dividit rectam HK, secundum rationem AC ad CB; itaque si rursus ostendatur punctum O sublimius esse puncto N, ad idem quod superius absurdum deducta erit demonstratio. Illud vero sic ostenditur. Quum sit ut quadratum AB ad qu. BC, ita MB ad BK longitudine, erit dividendo, sicut excessus quadrati AB supra qu.BC ad qu. BC, ita MK ad KB; sicut autem qu. BC ad qu. CA, ita & KB ad HA, namque positum hoc est, sicuti in casu primo; igitur ex aequo sicuti excessus quadrati AB supra qu.BC ad qu.CA, ita erit MK ad HA; excessus autem dicti ad qu.CA, omnino major est ratio quam rectae BC ad CA¹⁾: itaque & MK ad HA, hoc est, MP ad PA, major erit ratio quam BC ad CA, hoc est, quam MO ad OA. Et componendo igitur major ratio MA, ad AP, quam MA ad AO; unde liquet punctum O cadere ad eam partem intersectionis P quae est versus M. Est autem M altius quam K: ergo quum ON sit necessario parallela ipsi MK, erit quoque punctum O altius quam N: quod ostendere reliquum erat.

Si denique dicatur corpus A post occursum versus eandem partem pergere moveri celeritate CF [Fig. 14], ea quidem non major erit quam AC quâ ante

1) Puisqu'on a .

[p. 64]

suit¹⁾: prenons. CD égal à CF, ensuite DE égal à AB; par suite, CE devient autant plus petit que ED, que CG est plus grand que ce même ED, ou FG:

[Fig. 14.]

mais si nous supposons, comme dans le premier cas, que le corps A soit rejeté après le choc avec la vitesse CD, il est montré indubitablement que même la vitesse CE ne peut convenir au corps B sans amener une absurdité, savoir qu'après avoir converti en mouvements verticaux ceux qui se font selon l'horizon, la gravité composée des corps monterait plus haut que la position d'où elle est descendue. Ceci doit donc arriver à plus forte raison si le corps B obtiendrait une vitesse CG encore beaucoup plus grande que CE, mais que A aurait une vitesse CF égale à CD. Donc le corps A ne continuera pas non plus à se mouvoir après le choc dans la même direction. Il reste donc qu'il retourne après le choc avec la même vitesse CA avec laquelle il se portait auparavant à la rencontre: et, par suite, B aussi rejaillira avec la vitesse CB. Ce qu'il fallait démontrer.

1) En termes algébriques on doit prouver cette fois qu'on a:




À cet effet il suffira à coup sûr qu'on montre:




inégalité qui devient identique à celle de la note 2 de la p. 56 lorsqu'on remplace f par p-e où e = AD. Il en résulte que la démonstration du cas présent peut se réduire à celle du premier cas; ce dont Huygens profite ici.

Proposition IX.

Étant donnés deux corps inégaux se rencontrant directement, dont tous les deux, ou seulement un des deux soit en mouvement; étant donnée aussi la vitesse de chacun, ou celle d'un seul, lorsque l'autre est en repos, trouver les vitesses avec lesquelles ils se meuvent après le choc.

Soit AD [Fig 15.] la vitesse de A dirigée vers la droite: mais que B ou bien se meuve dans la direction contraire, ou bien précède dans la même direction avec la vitesse BD, ou bien soit en repos, savoir que le point D tombe en B. Leur vitesse relative sera donc AB.

Divisons AB en C de sorte que AC soit à CB comme B à A en grandeur et faisons CD égale à CE. Je dis que EA sera la vitesse du corps A après le choc,

[p. 65]

occursum movebatur: debebit autem corpus B ipsum praecurrere celeritate CG, cujus supra celeritatem CF excessus FG aequalis sit AB^*. At hoc fieri non posse⁺ sic constabit¹⁾: | sumatur CD aequalis CF; deinde DE aequalis AB; fit igitur CE minor quam ED quanto CG eâdem ED, sive FG, major est; quum autem, ponendo, ut in casu primo, corpus A, ab occursu retro versum fuisse celeritate CD, evincatur ne quidem celeritatem CE corpori B convenire posse, quin ad absurdum deveniatur, ut nimirum conversis motibus qui secundum Horizontem sunt, in motus perpendiculares, altius ascendat corporum composita gravitas quam unde descenderat; idem multo magis fieri necesse est si corpus B celeritatem CG adhuc multo majorem quam CE acquirat, A vero celeritatem CF habeat ipsi CD aequalem. Igitur neque perget moveri corpus A, post occursum, in eandem partem. Quamobrem superest ut retro feratur celeritate CA quantâ prius ad occursum tetendit: atque ideo B quoque resiliet celeritate CB. Quod erat demonstrandum.

* Prop. IV.

+ p. 386.

1) En termes algébriques on doit prouver cette fois qu'on a:




À cet effet il suffira à coup sûr qu'on montre:




inégalité qui devient identique à celle de la note 2 de la p. 56 lorsqu'on remplace f par p-e où e = AD. Il en résulte que la démonstration du cas présent peut se réduire à celle du premier cas; ce dont Huygens profite ici.

Propositio IX.

Datis corporibus duobus inaequalibus, directè sibi occurrentibus, quorum utrumque vel alterum tantum moveatur, datâque utriusque celeritate, vel unius, si alterum quiescat; invenire celeritates quibus utraque post occursum ferentur.

Moveatur corpus A dextram versus celeritate AD [Fig. 15]: B vero, vel in partem contrariam moveatur, vel in eandem partem praecedat celeritate BD, vel denique quiescat, hoc est, cadat punctum D in B. Erit igitur ipsis mutuo respectu celeritas AB.

Dividatur AB in C ut sit AC ad CB, sicut B ad A magnitudine, & sumatur ipsi

[p. 66]

mais EB celle du corps B, et cela dans la direction indiquée par l'ordre des points

[Fig. 15.]

EA, EB¹⁾. Alors que le point E tombe en A, le corps A sera réduit au repos: mais si E tombe en B, le corps B sera en repos.

En effet, lorsque nous aurons montré que ces événements se passent ainsi dans un navire qui est emporté avec une vitesse uniforme, il sera certain qu'ils arriveront de la même façon pour celui qui se trouve à terre. Figurons nous donc que le navire se meuve le long de la rive d'un fleuve et que dans ce navire un passager porte de ses mains F, G deux boules A, B, suspendues à des fils, lesquelles, en les mouvant avec des vitesses AD & BD, savoir par rapport à lui-même et au navire, il fasse se rencontrer au point D; mais posons que le navire s'avance avec la vitesse DC dans la direction indiquée par l'ordre des points D, C. Il arrivera donc que, par rapport à la rive et au spectateur qui s'y trouve, la boule A se meut avec la vitesse AC vers la droite, puisque par rapport au navire elle avait la vitesse AD. Mais la boule B ayant dans le bateau la vitesse BD, aura par rapport à la rive la vitesse BC vers la gauche. Si donc le spectateur qui se trouve sur la rive prend de ses mains H K les mains F G du passager, et avec elles les têtes des fils qui soutiennent les boules A B, il paraît que tandis que le passager, par rapport à lui-même, les meut avec les vitesses AD, BD, en même temps celui qui est sur la rive les meut, par rapport à lui même et à la rive, avec les vitesses AC, BC. Or, puisque ces vitesses sont en proportion réciproque des grandeurs des corps A et B, il faut que ces corps, par rapport au même spectateur, rejaillissent de leur contact avec les mêmes vitesses CA et CB, ainsi qu'il a été demontré plus haut³⁾.

1) Voici, en forme algébrique, la règle générale à laquelle on arrive en appliquant la construction de Huygens. Soient m_a et m_b les grandeurs, ou plutôt les masses, des corps A et B; v_a = AD et v_b = BD leurs vitesses avant, v'_a = EA et v'_b = EB après le choc, toutes comptées positives lorsqu'elles sont dirigées de gauche à droite. Posons encore , on trouve alors:







; et pareillement:




Inutile de dire que ces formules sont identiques avec celles qu'on donne dans les traités modernes pour le choc direct des corps élastiques lorsqu'on néglige leurs mouvements vibratoires après le choc.

3) Voir la Prop. VIII, p. 53. Ajoutons que les cinq derniers mots furent ajoutés de la main de Huygens dans le Manuscrit.

[p. 67]

⁺ CD aequalis CE. Dico EA | fore celeritatem corporis A post occursum, EB vero corporis B, idque in eam partem quam demonstrat ordo punctorum E A, E B¹⁾. Quod si in A incidat punctum E, ad quietem redigetur corpus A; si vero E incidat in B, quiescet corpus B.

Si enim haec ita contingere ostenderimus in navi quae aequabili celeritate provehitur, constabit & in terrâ stanti eodem modo eventura. Intelligatur itaque navis ferri juxta ripam fluminis, in quâ consistens vector sustineat manibus F, G, globos A, B, ex filis suspensos, quos ita movendo celeritatibus AD, & BD, respectu nimirum sui navisque, concurrere faciat in puncto D, navis autem pergere ponatur celeritate DC, in partem eam quam ostendit ordo punctorum D C; eveniet igitur ut, respectu ripae & spectatoris in eâ stantis, globus A moveatur celeritate AC dextram versus, quia respectu navis habebat celeritatem AD. Globus autem B cum in navi habeat celeritatem BD, habebit, respectu ripae, celeritatem BC sinistram versus. Quod si igitur spectator in ripâ stans prehendat manibus suis H K, manus vectoris F G²⁾, cumque iis capita filorum quibus corpora A B sustinentur; apparet dum vector, sui respectu, illa movet celeritatibus AD, BD, simul eum qui in ripâ consistit illa movere respectu sui & ripae, celeritatibus AC, BC, quae celeritates quum sint in proportione reciprocâ ipsarum magnitudinum, necesse est ut corpora A, B, ejusdem spectatoris respectu, resiliant a contactu iisdem celeritatibus CA, CB, ut in praecedentibus demonstratum fuit³⁾. Navis autem semper progreditur celeritate DC sive CE; idque secundum ordinem punctorum

+ p. 387.

1) Voici, en forme algébrique, la règle générale à laquelle on arrive en appliquant la construction de Huygens. Soient m_a et m_b les grandeurs, ou plutôt les masses, des corps A et B; v_a = AD et v_b = BD leurs vitesses avant, v'_a = EA et v'_b = EB après le choc, toutes comptées positives lorsqu'elles sont dirigées de gauche à droite. Posons encore on trouve alors:



; et pareillement:
Inutile de dire que ces formules sont identiques avec celles qu'on donne dans les traités modernes pour le choc direct des corps élastiques lorsqu'on néglige leurs mouvements vibratoires après le choc.

2) On lit encore de la main de Huygens en marge du Manuscrit: ‘handen F G in de schuyt, H K op het land’ (les mains F G dans le bateau, H K sur la terre).

3) Voir la Prop. VIII, p. 53. Ajoutons que les cinq derniers mots furent ajoutés de la main de Huygens dans le Manuscrit.

[p. 68]

Mais le navire avance toujours avec la vitesse DC ou CE; (et cela selon l'ordre des points C E): il faut donc que A, par rapport au bateau et au passager, se

[Fig. 15.]

meuve avec la vitesse EA dans la direction que désigne l'ordre des points E A. B, au contraire, par rapport à ce même bateau, avec la vitesse EB, elle aussi selon l'ordre des points E B; mais lorsque E tombe en A, ou B, il paraît que le corps A ou B se meut après le choc, avec la même vitesse que le navire lui-même et dans la même direction; d'où il résulte que dans ces cas ils doivent être en repos par rapport au navire et au passager. Nous avons donc montré que les corps A et B, qui, dans le navire se portaient au contact avec les vitesses AD, BD, se meuvent après leur contact dans le même bateau avec les vitesses EA, EB selon l'ordre de ces points. Or, ce qui arrive dans le bateau doit certainement se passer de même, comme nous l'avons dit, pour celui qui se trouve à terre. Ce qui a été proposé est donc prouvé⁴⁾. Cependant pour l'usage dans le calcul il sera permis de tirer de la construction de ce problème les règles suivantes.

Dans le cas de deux corps A et B, tous les deux en mouvement, afin de trouver la vitesse du corps A après le choc, que l'on fasse comme la somme des corps est au double du corps B ainsi leur vitesse relative à une autre vitesse qui soit nommée C: la différence entre cette vitesse et celle du corps A avant le choc, ou dans un des cas leur somme, savoir lorsque A précède dans le mouvement, donnera la vitesse avec laquelle ce dernier corps se mouvra après la rencontre, c'est-à-dire en reculant lorsque l'excès sera en faveur de C, et en avançant dans le cas contraire⁵⁾.

4) Ce qui va suivre jusqu'au début de la Prop. XI fut intercalé après coup par la main du copiste mais sur l'indication de Huygens lui-même puisqu'on lit en marge du Manuscrit de la main de celui-ci: ‘il faut insérer icy ce qu'il y a pag. 21.1.’ Tout cela doit dater d'une époque postérieure à celle où le reste du texte fut composé. En effet cela manque dans le Manuscrit d'environ 1656.

5) En tenant compte du sens des mouvements tel que Huygens le suppose, on retrouve facilement dans ce qui précède la première formule de la note 1 de la p. 67 sous la forme:

[p. 69]

C E¹⁾; igitur necesse est ut A moveatur, navigii & vectoris respectu, celeritate EA, in partem eam, quam designat ordo punctorum E A. B vero, ejusdem⁺ | navigii respectu²⁾, celeritate EB, secundum ordinem item³⁾ punctorum E B; cum autem E incidit in A, vel B, apparet corpus A vel B post occursum, pari celeritate cum navi ipsâ, inque eandem partem ferri: unde illa eis casibus, respectu navis & vectoris, quiescere necesse est. Itaque ostendimus corpora A & B, quae in navi movebantur ad occursum celeritatibus AD, BD, post occursum in eâdem navi moveri celeritatibus EA, EB, secundum ordinem horum punctorum. Quod autem in navi contingit, idem in terrâ consistenti, uti diximus, evenire certum est. Igitur constat propositum⁴⁾. Ad calculi vero usum licebit ex constructione hujus problematis formare regulas sequentes.

Si fuerint duo corpora A & B, quorum utrumque moveatur; ad inveniendam celeritatem corporis A post impulsum, fiat, ut summa corporum ad duplum corporis B, ita celeritas, quam habent respectu mutuo, ad aliam celeritatem quae dicatur C: differentia inter hanc & celeritatem corporis A ante impulsum, vel uno casu eorum summa, cum nimirum A in motu praecedit, efficiet celeritatem, quâ hoc ipsum post occursum movebitur, regrediendo quidem si excessus fuerit penes C, at pergendo si contra⁵⁾. Quod si nulla sit differentia, corpus A post occursum quiescet.

Inventâ autem celeritate corporis A, etiam corporis B celeritas innotescit, ex eo quod mutuo respectu eadem debeat esse corporum celeritas post atque ante occursum.

1) L'indication de la direction de la vitesse selon l'ordre des points fut ajoutée de la main de Huygens. Il résulte du Manuscrit d'environ 1656 qu'elle avait été omise par mégarde par le copiste.

+ p. 388.

2) Les mots qui précèdent, à commencer par: ‘celeritate EA’, avaient été également omis par le copiste.

3) Le mot ‘item’ fut inséré de la main de Huygens.

4) Ce qui va suivre jusqu'au début de la Prop. XI fut intercalé après coup par la main du copiste mais sur l'indication de Huygens lui-même puisqu'on lit en marge du Manuscrit de la main de celui-ci: ‘il faut insérer icy ce qu'il y a pag. 21.1.’ Tout cela doit dater d'une époque postérieure à celle où le reste du texte fut composé. En effet cela manque dans le Manuscrit d'environ 1656.

5) En tenant compte du sens des mouvements tel que Huygens le suppose, on retrouve facilement dans ce qui précède la première formule de la note 1 de la p. 67 sous la forme:

[p. 70]

Et si la différence est nulle, le corps A restera en repos après la rencontre.

Or, la vitesse du corps A étant trouvée, celle du corps B est également connue puisque leur vitesse relative doit être la même après et avant la rencontre.

Si le corps A a été donné comme étant en repos et que B est seul en mouvement vers A, il paraît que la vitesse de A après la rencontre est égale à la vitesse C, trouvée ainsi que nous l'avons dit. D'où l'on déduit encore le théorème suivant.

Proposition X.

La vitesse qu'un corps plus grand donne à un corps plus petit en repos, se rapporte à celle que le corps plus petit avec la même vitesse imprime au plus grand en repos comme la grandeur du plus grand à celle du plus petit.

Soit le corps A plus grand que B, et supposons que la vitesse AC [Fig. 16] soit imprimée au corps A en repos s'il est poussé par le corps B, se mouvant avec la vitesse BA; mais que le corps B en repos, s'il est poussé par le corps A se mouvant avec la même vitesse AB, reçoive la vitesse BD: je dis que comme A est à B en grandeur, ainsi la vitesse BD à AC.

En effet, puisque la vitesse BD est au double de la vitesse AB comme le corps A est à la somme de B et de A^*; mais que la somme de B et A est à B comme le double de la vitesse AB à la vitesse AC^*, on aura, par égalité, que la vitesse BD est à la vitesse AC comme le corps A à B; ce qu'il fallait démontrer²⁾.

* Prop. IX¹⁾.

1) Voir le dernier alinéa qui se rapporte à cette Proposition. On a dans le premier cas, où A repose avant le choc: et dans le second: .

* Prop. IX.

2) On trouve encore, écrite de la main de Huygens à une date inconnue, sur une feuille détachée, la Proposition suivante: ‘Si corpus minus moveatur ac majori quiescenti occurrat, motus quantitas post impulsum augebitur tantoque magis quanto corpus quiescens majus fuerit. Ita tamen ut nunquam fiat prioris tripla.’
Nous ne connaissons pas la manière dont cette Proposition a été déduite par Huygens, mais il est facile d'en constater l'exactitude.
Soit à ce propos dans les notations de la note 1 de la p. 67, v_b dirigée vers A qui se trouve à droite de B, v_a = 0 et m_a > m_b. On a alors:




et l'on trouve pour la quantité totale du mouvement suivant la conception de Descartes:




où m_bv_b représente la quantité du mouvement avant le choc, et où diminne continuellement de 2 à zéro lorsque m_a augmente depuis m_a = m_b jusqu'à m_a = ∞.

[p. 71]

Si corpus A quiescens detur, solumque B versus ipsum moveatur, apparet celeritatem ipsius A post occursum, fore aequalem celeritati C, ita, ut jam diximus, inventae. Hinc vero & theorema sequens deducitur. |

⁺ Propositio X.

Celeritas quam majus corpus dat minori quiescenti, ad eam quam simili velocitate minus imprimit quiescenti majori, eandem habet rationem quam majoris magnitudo ad minoris magnitudinem.

Esto corpus A majus quam B, & ponamus quiescenti A, si impellatur a corpore B, moto velocitate BA [Fig. 16], tribui velocitatem AC. Ipsi vero

[Fig. 16.]

B quiescenti, si impellatur a corpore A, pari velocitate AB, dari velocitatem BD: dico ut A ad B magnitudine, ita esse celeritatem BD ad AC.

Quia enim celeritas BD est ad duplam celeritatem AB ut corpus A ad utrumque simul B & A^*; sicut autem utrumque B & A ad B, ita dupla celeritas AB ad celeritatem AC^*, erit ex aequo celeritas BD ad celeritatem AC, sicut corpus A ad B; quod erat demonstrandum²⁾.

+ p. 389.

* Prop. IX¹⁾.

1) Voir le dernier alinéa qui se rapporte à cette Proposition. On a dans le premier cas, où A repose avant le choc: et dans le second: .

* Prop. IX.

2) On trouve encore, écrite de la main de Huygens à une date inconnue, sur une feuille détachée, la Proposition suivante: ‘Si corpus minus moveatur ac majori quiescenti occurrat, motus quantitas post impulsum augebitur tantoque magis quanto corpus quiescens majus fuerit. Ita tamen ut nunquam fiat prioris tripla.’
Nous ne connaissons pas la manière dont cette Proposition a été déduite par Huygens, mais il est facile d'en constater l'exactitude.
Soit à ce propos dans les notations de la note 1 de la p. 67, v_b dirigée vers A qui se trouve à droite de B, v_a = 0 et m_a > m_b. On a alors:




et l'on trouve pour la quantité totale du mouvement suivant la conception de Descartes:




où m_bv_b représente la quantité du mouvement avant le choc, et où diminne continuellement de 2 à zéro lorsque m_a augmente depuis m_a = m_b jusqu'à m_a = ∞.

[p. 72]

Proposition XI¹⁾.

Dans le cas de deux corps qui se rencontrent, ce que l'on obtient en prenant la somme de leurs grandeurs multipliées par les carrés de leurs vitesses sera trouvé égal avant et après la rencontre: savoir lorsque les rapports des grandeurs et des vitesses sont données en nombres ou en lignes.

Que A et B soient les corps, dont A se meut avant la rencontre avec la vitesse AD [Fig. 17], mais B avec la vitesse BD. Soit trouvé d'autre part, par ce qui précède²⁾, qu'après la rencontre le corps A possède la vitesse EA, et le corps B la vitesse EB: savoir en divisant AB en C de sorte que comme A soit à B ainsi BC à CA, et en faisant CE égal à CD. Puisque donc le rapport de la grandeur de A à B est indiqué par le rapport de CB à CA, on doit démontrer que le solide constitué par la ligne CB sur le carré AD ensemble avec le solide par la droite CA sur le carré BD est égal à la somme du solide par la même ligne CB sur le carré EA et du solide par la droite CA sur le carré EB³⁾. Or, s'il y a quatre grandeurs dont la première excède autant la deuxième que la troisième la quatrième, ou dont la première est inférieure à la deuxième autant que la troisième à la quatrième, la somme de la première et de la quatrième sera certainement égale à la somme de la deuxième et de la troisième. Ce qui a été proposé sera donc justifié lorsque nous aurons montré que le solide sur le carré AD et la droite CB excède autant ou est autant surpassé par le solide sur le carré EA et la même droite CB que celui constitué sur le carré EB par la droite CA excède ou est surpassé respectivement par le solide sur le carré BD et la même droite CA. Mais ceci se montre comme il suit.

1) Cette Proposition est numérotée 10 dans le Manuscrit où la Prop. X de la p. 71 fut insérée après coup; comparez la note 4 de la p. 69.

2) Voir l'alinéa qui commence en bas de la p. 65.

3) Prenant en considération le sens des segments (de sorte qu'on a p.e. CD = -DC) et comptant comme positifs ceux qui sont dans la direction AB, cette relation peut s'écrire sous la forme , valable pour tous les cas de la Fig. 17. Pour la prouver il suffit d'y substituer EC = CD après quoi elle se réduit à une identité.
Toutefois la démonstration qui suit devient assez compliquée à cause de la forme géométrique à la mode des anciens que Huygens lui donne et des différents cas qu'il doit distinguer en conséquence.

[p. 73]

Proposition XI¹⁾.

Duobus corporibus sibi mutuo occurrentibus, id quod efficitur ducendo singulorum magnitudines in velocitatum suarum quadrata, simul additum, ante & post occursum corporum aequale invenitur: si videlicet & magnitudinum & velocitatum rationes in numeris lineisve ponantur.

Sint corpora A & B, quorum A moveatur, ante occursum, celeritate AD [Fig. 17]; B vero, celeritate BD. Post occursum autem sit inventa, per antecedentem²⁾,

[Fig. 17.]

corporis A celeritas EA, & corporis B,⁺ celeritas EB: divi- | dendo nempe AB in C, ut sit sicut A ad B ita BC ad CA, & positâ CE aequali CD. Quia igitur ratio magnitudinis A ad B, designatur ratione lineae CB ad CA; ostendendum est solidum ex lineâ CB in quadratum AD, una cum solido è rectâ CA in quadratum BD, aequari aggregato solidi ab eâdem CB in quadratum EA, & solidi è rectâ CA in quadratum EB³⁾. Atqui, si sint quatuor magnitudines, quarum prima secundam tantum exsuperet, quantum tertia quartam, vel quarum prima tantundem à secundâ deficiat atque tertia à quartâ; certum est, primam cum quartâ aequari secundae & tertiae. Itaque constabit propositum, si ostenderimus solidum a quadrato AD in rectam CB tantum excedere vel superari a solido ex quadrato EA in eandem CB, quantum quod fit a quadrato EB in rectam CA, simul excedit vel superatur a solido ex quadrato BD in eandem CA. Hoc vero sic ostenditur.

1) Cette Proposition est numérotée 10 dans le Manuscrit où la Prop. X de la p. 71 fut insérée après coup; comparez la note 4 de la p. 69.

2) Voir l'alinéa qui commence en bas de la p. 65.

+ p. 390.

3) Prenant en considération le sens des segments (de sorte qu'on a p.e. CD = -DC) et comptant comme positifs ceux qui sont dans la direction AB, cette relation peut s'écrire sous la forme , valable pour tous les cas de la Fig. 17. Pour la prouver il suffit d'y substituer EC = CD après quoi elle se réduit à une identité.
Toutefois la démonstration qui suit devient assez compliquée à cause de la forme géométrique à la mode des anciens que Huygens lui donne et des différents cas qu'il doit distinguer en conséquence.

[p. 74]

En tout cas, ou bien le point C tombe entre A et D, ou bien le point D entre A et C¹⁾. Toutes les fois où C est situé entre A et D, AD sera égale à

[Fig. 17.]

la somme de AC et CD, mais AE à leur différence; car CE est égale à CD. Par conséquent AD sera alors toujours plus grande que AE. Mais dans les mêmes cas BE sera égale à la somme de BC et de CE; BD, au contraire, à leur différence et, par suite, BE sera toujours plus grande que BD. Mais toutes les fois que D tombera entre A et C, AE sera égale à la somme de AC et de CE; AD, au contraire, à leur différence; par suite AE sera plus grande que AD. Mais, dans ces cas-ci BD sera aussi plus grande que BE, parce que celle-là est égale à la somme de BC et de CD et celle-ci à leur différence. Il paraît donc que toutes les fois que AD est plus grande que AE, BE est aussi plus grande que BD, mais que toutes les fois que AE est plus grande que AD, BD est aussi plus grande que BE.

Ensuite, puisque DE est divisée en C en deux parties égales, quelle que soit la situation du point A, la différence des carrés AD et AE sera toujours égale au quadruple du rectangle ACD ou ACE, par la proposition 8 du second livre des Éléments²⁾; savoir en prenant pour la droite divisée d'une manière quelconque dans le premier et le cinquième cas³⁾ AC qui est divisée en E: dans le deuxième et le huitième, AC qui est divisée en D: dans le troisième et le quatrième EC coupée par A: dans le sixième et le septième, où il n'y a pas de carré AE, il paraît que la dite différence est le carré AD, qu'on sait être égal pareillement au quadruple du rectangle ACD ou ACE. Pour la même raison, à cause de la Bisection de la ligne DE en C, quelle que soit la situation du point B, la différence des carrés BE et BD sera toujours égale au quadruple du rectangle BCD ou BCE. Or, puis-

1) Puisque le point C se trouve toujours entre A et B, c'est-à-dire à droite du point A, Huygens n'exclut ici (à l'exception du cas intermédiaire où C et D coïncident et où les vitesses ont les mêmes valeurs absolues avant et après le choc) que les cas où la vitesse AD du corps A avant le choc est dirigée de droite à gauche, auxquels cas le corps A est poursuivi par le corps B. Or, il est évidemment permis dans les cas où les deux corps se meuvent au début dans la même direction de supposer que ce soit le corps B qui est poursuivi par le corps A et que la poursuite se fasse de gauche à droite. Aucun cas essentiellement différent des autres n'est exclu par cette supposition.

2) Voici cette Proposition des ‘Éléments’ d'Euclide: ‘Si recta linea secetur vtcunque: Rectangulum quater comprehensum sub tota, & uno segmentorum, cum eo, quod à reliquo segmento fit, quadrato, aequale est ei, quod à tota, & dicto segmento, tanquam ab vna linea describitur, quadrato’ (Clavius, p. 183).

3) Il s'agit des divers cas représentés dans la Fig. 17.

[p. 75]

Omni casu aut punctum C cadit inter A & D, aut D inter A & C¹⁾. Quoties C situm est inter A & D aequabitur AD duabus simul AC, CD; AE vero, earundem differentiae; nam CE, aequalis est CD, unde tunc semper major erit AD quam AE. Iisdem vero casibus erit BE aequalis duabus simul BC, CE; at BD earum differentiae; ac proinde semper major BE quam BD. At quoties D cadet inter A & C, erit AE aequalis duabus simul AC, CE; AD vero, ipsarum differentiae; ac proinde AE major quam AD. Sed & BD hisce casibus major erit, quam BE, quoniam illa aequabitur duabus simul BC, CD; haec vero earundem differentiae. Itaque apparet quoties AD major est quam AE, etiam BE majorem esse quam BD; quoties autem AE major quam AD, etiam majorem esse BD quam BE.

⁺ Porro quoniam DE ex aequo divisa est in C, quomo | docunque sese habeat punctum A, erit semper differentia quadratorum AD, AE aequalis quadruplo rectangulo ACD vel ACE, per 8 secundi elementorum²⁾; sumendo nimirum pro lineâ utcunque sectâ, in primo & quinto casu³⁾, AC quae dividitur in E: in secundo & octavo, AC quae dividitur in D, in tertio & quarto casu EC quam secat A: in sexto & septimo, ubi nullum est quadratum AE, apparet pro dictâ differentiâ esse quadratum AD, quod similiter aequari constat quadruplo rectangulo ACD vel ACE. Eâdem ratione propter Bisectionem lineae DE in C, quomodocunque se habeat punctum B, erit semper differentia quadratorum BE, BD aequalis quadruplo rectangulo BCD, vel BCE. Est autem, propter communem altitudinem, quadruplum rectangulum BCD, ad quadruplum rectangulum ACD, quod aequale erat differentiae quadratorum AD, AE, sicut BC, ad AC. Igitur differentia quadratorum BE, BD ad differentiam quadratorum AD, AE, ut BC ad AC. Quamobrem quod fit ex differentiâ quadratorum AD, AE, in rectam BC, quod ipsum est differentia solidorum ex quadrato AD in BC, &

1) Puisque le point C se trouve toujours entre A et B, c'est-à-dire à droite du point A, Huygens n'exclut ici (à l'exception du cas intermédiaire où C et D coïncident et où les vitesses ont les mêmes valeurs absolues avant et après le choc) que les cas où la vitesse AD du corps A avant le choc est dirigée de droite à gauche, auxquels cas le corps A est poursuivi par le corps B. Or, il est évidemment permis dans les cas où les deux corps se meuvent au début dans la même direction de supposer que ce soit le corps B qui est poursuivi par le corps A et que la poursuite se fasse de gauche à droite. Aucun cas essentiellement différent des autres n'est exclu par cette supposition.

+ p. 391.

2) Voici cette Proposition des ‘Éléments’ d'Euclide: ‘Si recta linea secetur vtcunque: Rectangulum quater comprehensum sub tota, & uno segmentorum, cum eo, quod à reliquo segmento fit, quadrato, aequale est ei, quod à tota, & dicto segmento, tanquam ab vna linea describitur, quadrato’ (Clavius, p. 183).

3) Il s'agit des divers cas représentés dans la Fig. 17.

[p. 76]

qu'ils ont en commun la hauteur, le quadruple du rectangle BCD est au quadruple du rectangle ACD, qui était égal à la différence des carrés AD et AE comme BC est à AC. Donc la différence des carrés BE et BD est à la différence des carrés AD et AE comme BC à AC. Par conséquent, le produit de la différence des carrés AD et AE par la droite BC, ou, ce qui revient au même, la différence des solides constitués par BC sur le carré AD et par BC sur le carré AE, est égal au produit de la différence des carrés BE et BD par la droite AC, savoir à la différence des solides sur le carré BE par AC et sur le carré BD par AC.

Mais toujours lorsque le carré AD surpasse le carré AE ou lui est inférieur, le carré BE lui aussi surpasse respectivement le carré BD ou est excédé par lui. Il paraît donc que le solide constitué par BC sur le carré AD excède autant ou est autant surpassé par le solide constitué par BC sur le carré de AE que le solide constitué par AC sur le carré BE, excède ou est respectivement surpassé par celui constitué par AC sur le carré BD: ce qu'il fallait démontrer.

Lemme I¹⁾.

Soit la droite AB [Fig. 18] divisée en C et D de sorte que le segment AC est moindre que CD et CD moindre que BD; je dis que le rectangle sur AD et CB est moindre que le double de la somme des deux rectangles ACD et CDB²⁾.

Décrivons sur le segment CD le carré CGND, et prolongeons CG jusqu'en E de sorte que GE soit égale à CA et complétons le rectangle ECBF et prolongeons

1) Ce Lemme et le suivant servent à préparer la démonstration de la Prop. XII qui suit.

2) Posons CD = a, , où a, e et f sont des grandeurs positives et a > e. Il s'agit alors de démontrer l'inégalité:




dont la vérification est facile.
Remarquons que le Lemme reste valable lorsqu'on a AC > CD > BD puisqu'en invertissant l'ordre des segments le premier rectangle ne change pas et que les deux autres rectangles dont il est question dans le Lemme échangent leurs valeurs. Comparez à ce propos la note 3 de la p. 82.

[p. 77]

ex quadrato AE in BC, aequale est ei quod fit ex differentiâ quadratorum BE, BD

[Fig. 17.]

in rectam AC, hoc est, differentiae solidorum ex quadrato BE in AC, & ex quadrato BD in AC.

Semper autem cum quadratum AD superat vel deficit a quadrato AE, etiam quadratum BE simul superat vel exceditur a quadrato BD. Ergo apparet solidum exquadrato AD in BC, semper tantum excedere vel superari ab eo quod fit ex quadrato AE in BC, quantum id quod ex quadrato BE in AC, simul excedit vel superatur ab eo, quod ex quadrato BD in AC: quod erat demonstrandum. |

Lemma I¹⁾.

⁺ Recta AB [Fig. 18] secta sit in C & D ita ut segmentum AC minus sit quam CD, & CD minus quam BD. Dico rectangulum ex AD, CB minus esse quam duplum utriusque simul rectanguli ACD, CDB²⁾.

Describatur super segmentum CD quadratum CGND, & producatur CG usque in E, ut GE sit aequalis CA, & perficiatur³⁾ rectangulum ECBF⁴⁾, &

1) Ce Lemme et le suivant servent à préparer la démonstration de la Prop. XII qui suit.

+ p. 392.

2) Posons CD = a, , où a, e et f sont des grandeurs positives et a > e. Il s'agit alors de démontrer l'inégalité:




dont la vérification est facile.
Remarquons que le Lemme reste valable lorsqu'on a AC > CD > BD puisqu'en invertissant l'ordre des segments le premier rectangle ne change pas et que les deux autres rectangles dont il est question dans le Lemme échangent leurs valeurs. Comparez à ce propos la note 3 de la p. 82.

3) Dans le Manuscrit Huygens remplaça ici ‘absolvatur’ par ‘perficiatur’.

4) On lisait primitivement ‘CF’ mais Huygens ajouta le ‘E’ et le ‘B’.

[p. 78]

DN jusqu'à K et GN jusqu'à H. Puisque donc CG est égale à CD et GE à AC, la droite entière CE sera égale à AD. Ainsi le rectangle CF est celui qui est construit sur AD et CB. Mais le rectangle EN est égal au rectangle ACD, et le rectangle NB au rectangle CDB, il faut donc montrer que le rectangle CF est moindre que le double de la somme des rectangles EN et NB; faisons GL égale à GE, et menons LM parallèle à AB, Or, puisque GL est moindre que GC (car GE ou AC est moindre que CD), LM tombera entre GH et CB.

D'ailleurs, puisque CD est moindre que DB, le rectangle LD sera moindre que le rectangle DM. Mais LN est égal au rectangle NE et le rectangle NM est égal au rectangle NF et par suite la somme des rectangles LN et NF est égale à la somme de NE et NM. Si donc on ajoute aux quantités égales des quantités inégales, savoir aux rectangles LN et NF le rectangle LD et aux rectangles NE, NM le rectangle MD, ce qui est composé de ceux-là, c'est-à-dire le carré CN avec le rectangle NF sera moindre que ce qui est composé de ceux-ci, c'est-à-dire le rectangle NB avec le rectangle NE: d'où il suit que ce qui est composé de toutes ces quantités ensemble, savoir le rectangle CF, doit être moindre que le double des rectangles NB et NE; ce qu'il fallait démontrer.

Lemme II.

Soient AB, AC, AD [Fig. 19] trois droites proportionnelles, dont AB est la plus grande et ajoutons à chacune d'elles la même longueur AE. Je dis que le rectangle sur BE et DE est plus grand que le carré CE²⁾.

[Fig. 19.]

En effet, puisque AB, AC, AD, sont proportionnelles, l'excès BC sera à l'excès CD comme BA est à AC, ou comme CA est à AD. Mais le rapport de CA à AD est plus grand que CE à ED, donc aussi BC à CD est plus grand que CE à ED, et, par permutation, le rapport de BC à CE est plus grand que CD à DE et, par composition, le rapport de BE

2) Posant AB = a, AD = b, AE = f, il s'agit donc de démontrer pour a > b la relation:




ce qui est facile puisqu'elle conduit immédiatement à l'inégalité bien connue:




pour a‡b.

[p. 79]

producantur DN in K, & GN in H. Quoniam igitur CG est aequalis CD, & GE aequalis AC, erit tota CE aequalis AD. Itaque rectangulum CF est id quod sub

[Fig. 18.]

AD, CB continetur. Rectangulum vero EN aequale rectangulo ACD, & rectangulum NB, aequale rectangulo CDB; oportet igitur ostendere quod rectangulum CF minus est quam duplum utriusque simul rectanguli EN, & NB; sumatur GL aequalis GE, & agatur LM parallela AB; quia autem minor est GL quam GC (nam GE sive AC¹⁾ minor est quam CD) cadet LM inter GH & CB.

Jam quia CD minor est quam DB, erit rectangulum LD minus quam rectangulum DM. At LN aequale est rectangulo NE, & rectangulum NM aequale est rectangulo NF, ideoque duo simul rectangula LN & NF aequalia duobus NE & NM, itaque si aequalibus inaequalia addantur, nimirum rectangulis LN & NF, rectangulum LD, & rectangulis NE, NM, rectangulum MD, fiet quod ex illis componitur nempe quadratum CN cum rectangulo NF minus quam quod ex his componitur, nempe rectangulum NB cum rectangulo NE: unde quod ex omnibus simul componitur, hoc est, rectangulum CF minus apparet esse quam duplum rectangulorum NB & NE; quod erat ostendendum. |

1) Huygens intercala après coup ‘sive AC’.

⁺ Lemma II.

Sint tres proportionales rectae AB, AC, AD [Fig. 19], quarum major AB, omnibusque adjiciatur eadem longitudo AE. Dico rectangulum ex BE, DE, majus esse quadrato CE²⁾.

Quia enim proportionales sunt AB, AC, AD, erit quoque excessus BC ad excessum CD, sicut BA ad AC, sive ut CA ad AD. Major autem est ratio CA ad AD, quam CE ad ED, itaque major quoque BC ad CD, quam CE ad ED; &, permutando, major ratio BC ad CE quam CD ad DE; &, componendo,

+ p. 393.

2) Posant AB = a, AD = b, AE = f, il s'agit donc de démontrer pour a > b la relation:




ce qui est facile puisqu'elle conduit immédiatement à l'inégalité bien connue:




pour a‡b.

[p. 80]

à EC est donc plus grand que CE à ED: par conséquent, le rectangle sur BE et ED est plus grand que le carré de CE, ce qui était proposé.

Proposition XII¹⁾.

Si quelque corps se meut vers un plus grand ou un plus petit qui est en repos, il lui donnera une plus grande vitesse par le moyen d'un corps interposé de grandeur intermédiaire, de même en repos, que s'il se heurte contre lui sans aucun intermédiaire. Et dans ce cas il lui communiquera une vitesse maximum lorsque le corps interposé est moyen proportionnel entre les deux extrêmes²⁾.

Que le corps A [Fig. 20] se meuve vers le corps C en repos et soit A plus grand ou plus petit que ce C, et qu'entre les deux soit posé un corps B en repos et de grandeur intermédiaire: de sorte que A pousse d'abord B et que B en suite pousse C; je dis que C acquiert ainsi une plus grande vitesse que si A l'eût rencontré directement.

Que le rapport qu'ont entre eux les corps A, B, C soit aussi le rapport qu'aient les droites DE, EH, HK et que LP soit la vitesse du corps A, dont le double soit LQ; si donc comme la somme de DE et EH à DE on fait LQ à MR, MR sera la

1) Huygens mentionne cette Proposition et sa démonstration dans une lettre à Claude Mylon du 6 juillet 1656; voir la p. 448 de notre T. I.
Dans le Manuscrit elle est comptée la onzième; comparez la note 1 de la p. 72.

2) Soit v_a la vitesse avec laquelle le corps A de masse m_a se meut avant le choc avec les corps B ou C de masses m_b et m_c, v'_b celle acquise par B après le choc, v"_c celle que B communique à C après le second choc; soit enfin v'_c la vitesse que Cacquiert s'il est choqué directement par A sans l'intervention du corps B.
On trouve alors en appliquant la deuxième formule de la note 1 de la p. 67.
On a donc:
valeur plus grande que l'unité toutes les fois que m_b est intermédiaire en grandeur entre m_a et m_c.
Quant au rapport maximum de v"_c à v'_c on l'obtient facilement en écrivant:
Il est donc atteint pour . Notons encore qu'alors, posant m_c = εm_a, on trouve:




Ajoutons qui le premier alinéa (p. 153) de la Pièce III de l'Appendice III nous fait connaître la manière dont la formule pour m_b a été obtenue par Huygens.

[p. 81]

major igitur ratio BE ad EC quam CE ad ED: Quamobrem rectangulum ex BE, ED, majus quadrato ex CE quod erat propositum.

Propositio XII¹⁾

Si quod corpus majori vel minori quiescenti obviam pergat, majorem ei celeritatem dabit per interpositum corpus mediae magnitudinis itidem quiescens quam si nullo intermedio ipsi impingatur. Maximam vero celeritatem tum conferet, quum corpus interpositum fuerit medium proportionale inter extrema²⁾.

[Fig. 20.]

Moveatur corpus A [Fig. 20] versus C quod quiescat, sitque A majus vel minus ipso C, atque inter utrumque medium ponatur corpus B immotum, & mediocris magnitudinis; ita ut A primum impellat B, B vero deinde impellat C dico majorem motum sic acquiri corpori C, quam si simpliciter ei occurrisset A.

Quam rationem inter se habent corpora A, B, C, eandem habeant rectae DE, EH, HK, sitque LP celeritas corporis A, cu | jus⁺ dupla sit LQ; si igitur fiat sicut utraque simul DE, EH ad DE, ita LQ, ad MR;

1) Huygens mentionne cette Proposition et sa démonstration dans une lettre à Claude Mylon du 6 juillet 1656; voir la p. 448 de notre T. I.
Dans le Manuscrit elle est comptée la onzième; comparez la note 1 de la p. 72.

2) Soit v_a la vitesse avec laquelle le corps A de masse m_a se meut avant le choc avec les corps B ou C de masses m_b et m_c, v'_b celle acquise par B après le choc, v"_c celle que B communique à C après le second choc; soit enfin v'_c la vitesse que Cacquiert s'il est choqué directement par A sans l'intervention du corps B.
On trouve alors en appliquant la deuxième formule de la note 1 de la p. 67.
On a donc:
valeur plus grande que l'unité toutes les fois que m_b est intermédiaire en grandeur entre m_a et m_c.
Quant au rapport maximum de v"_c à v'_c on l'obtient facilement en écrivant:
Il est donc atteint pour . Notons encore qu'alors, posant m_c = εm_a, on trouve:




Ajoutons qui le premier alinéa (p. 153) de la Pièce III de l'Appendice III nous fait connaître la manière dont la formule pour m_b a été obtenue par Huygens.

+ p. 394.

[p. 82]

vitesse acquise par le corps B en repos lorsqu'il est poussé par A^*. Soit MS le double de MR. Si donc, de nouveau, comme la somme de EH et HK à EH ainsi MS soit à N, N sera la vitesse du corps C après qu'il a été poussé par B avec la vitesse MR^*. Mais si, comme la somme de DE et HK à DE ainsi LQ est à O, O sera la vitesse cherchée du corps C lorsqu'il est poussé par le corps A avec la vitesse LP. Il faut donc démontrer que la vitesse N est plus grande que O.

Le rapport de LQ à N est composé des rapports de LQ à MR et de MR à N. Or, le rapport de LQ à MR est le même que le rapport de HD à DE. Et le rapport de MR à N le même que celui de KE au double de EH. Car, comme KE à EH, ainsi est SM à N; par suite, KE est au double de EH comme SM à 2N, c'est-à-dire comme RM à N. Donc le rapport de LQ à N se composera des rapports de HD à DE et de KE au double de EH et il sera, par conséquent, celui du rectangle sur HD et KE au double du rectangle DEH. Mais le rapport de LQ à O est, par construction, celui de la somme de DE et HK à DE, c'est-à-dire, en prenant EH pour la hauteur commune, celui de la somme des rectangles DEH et EHK au rectangle DEH, ou du double de cette somme au double du rectangle DEH. Mais le rectangle sur HD et KE est moindre que le double des rectangles DEH, EHK^*. Donc le rapport du rectangle sur HD et KE au double du rectangle DEH sera moindre que celui des rectangles DEH, EHK pris deux fois au double du même rectangle DEH. Mais nous avons dit que le rapport du rectangle sur HD et KE au double du rectangle DEH est celui de LQ à N. Et le rapport du double des rectangles DEH, EHK au double du rectangle DEH a été dit être celui de LQ à O. Donc le rapport de LQ à N sera moindre que celui de LQ à O, et, par suite, N plus grand que O.

Soit maintenant B moyen proportionnel entre A et C; je dis que dans ce cas la plus grande vitesse de toutes sera donnée au corps C⁴⁾.

En effet soit dit, s'il est possible, qu'étant interposé au lieu du corps B d'abord un corps X [Fig. 21] plus grand (de sorte que A pousse X et X pousse C) le corps C ait acquis ainsi une plus grande vitesse que lorsque B aurait été interposé⁵⁾.

* Prop. IX.

* Prop. IX.

* Lemme I³⁾

3) Huygens applique ici le lemme aux deux cas DE < EH < EK, c'est-à-dire A < B < C, et DE > EH > EK (A > B > C) quoiqu'il ne l'ait formulé et prouvé que pour le premier de ces cas (voir les p. 77-79); mais comparez le dernier alinéa de la note 2 de la p. 76.

4) Comparez pour une démonstration algébrique les deux derniers alinéas de la note 2 de la p. 80.

5) Huygens semble donc vouloir donner à sa démonstration la forme d'une réduction à l'absurde; mais il abandonne ensuite cette idée pour démontrer directement que la vitesse acquise par l'intermédiaire du corps B excède celle qu'on obtiendrait par l'interposition de tout autre corps X plus grand que B.

[p. 83]

erit MR, celeritas acquisita corpori quiescenti B cum pellitur ab A.^* Sit MS dupla ipsius MR. Rursus igitur si sit, ut utraque simul EH, HK ad¹⁾ EH ita MS

[Fig. 20.]

ad N, erit N celeritas corporis C postquam impulsum est ab B celeritate MR.^* Si vero ut utraque simul DE, HK ad DE ita sit LQ ad O, erit O celeritas corporis C quaesita si pellatur a corpore A celeritate LP. Itaque demonstrandum est majorem esse celeritatem N quam O.

Ratio LQ ad N composita est ex rationibus LQ ad MR & MR ad N. Ratio autem LQ ad MR eadem est rationi HD ad DE. Et ratio MR ad N eadem rationi KE ad duplam EH. Est enim ut KE ad EH, ita SM ad N, unde KE ad duplam²⁾ EH ut SM ad 2N, hoc est, ut RM ad N. Ergo ratio LQ ad N componetur ex rationibus HD ad DE, & KE ad duplam EH, ac proinde erit ea quae rectanguli HD, KE ad duplum rectangulum DEH. Ratio autem LQ ad O est ea quam habet utraque simul DE, HK ad DE, ex constructione, hoc est, sumpta communi altitudine EH, quam habent utraque simul rectangula DEH, EHK, ad rectangulum DEH, vel quam illa bis sumpta ad duplum rectangulum DEH. Est autem rectangulum HD, KE, minus quam duplum rectangulorum DEH, EHK^*. Ergo minor erit ratio rectanguli HD, KE, ad duplum rectangulum DEH, quam rectangulorum DEH, EHK, bis sumptorum, ad idem duplum rectangulum DEH. Quam autem rationem habet rectangulum HD, KE ad duplum rectangulum DEH, eam dictum est habere LQ ad N. Et quam rationem habet duplum rectangulorum DEH, EHK, ad duplum rectangulum DEH, eam dictum est habere LQ ad O. Igitur minor erit ratio LQ ad N quam LQ ad O, ac proinde N major quam O. |

⁺ Esto jam B proportione medium inter A & C, dico hac ratione maximam omnium celeritatum corpori C collatum iri⁴⁾.

Nam, si fieri potest, interposito primum loco B, corpore majori X [Fig. 21], ita ut A pellat X, X autem pellat C, dicatur major sic celeritas acquiri corpori C, quam si interponatur B⁵⁾. Et sicut A ad X, ita sit DE ad ET. Ergo ET

* Prop. IX.

1) Ce qui suit dans cette ligne et les suivantes jusqu'aux mots ‘simul DE, HK ad’ y compris, fut intercalé en marge par Huygens dans le Manuscrit; évidemment il ne s'agissait que de corriger une inadvertance du copiste, comme cela résulte aussi de la comparaison avec le Manuscrit d'environ 1656.

* Prop. IX.

2) Ce mot fut intercalé de la main de Huygens dans les mêmes circonstances.

* Lemm. I³⁾.

3) Huygens applique ici le lemme aux deux cas DE < EH < EK, c'est-à-dire A < B < C, et DE > EH > EK (A > B > C) quoiqu'il ne l'ait formulé et prouvé que pour le premier de ces cas (voir les p. 77-79); mais comparez le dernier alinéa de la note 2 de la p. 76.

+ p. 395.

4) Comparez pour une démonstration algébrique les deux derniers alinéas de la note 2 de la p. 80.

5) Huygens semble donc vouloir donner à sa démonstration la forme d'une réduction à l'absurde; mais il abandonne ensuite cette idée pour démontrer directement que la vitesse acquise par l'intermédiaire du corps B excède celle qu'on obtiendrait par l'interposition de tout autre corps X plus grand que B.

[p. 84]

Or, comme A à X, ainsi soit DE à ET. Donc ET est plus grand que EH, supposant bien entendu que comme précédemment les proportionnelles DE, EH, HK sont dans le même rapport que les corps A, B, C. Mais soit VE la troisième proportionnelle aux deux lignes TE et HE, et soit trouvée ensuite, comme dans ce qui précède, la vitesse N acquise par le corps C par l'intermédiaire du corps B. Et de la même manière soit trouvée la vitesse acquise par le même corps C par l'intermédiaire de X^*. Savoir, si l'on fait comme la somme de A et X à A, c'est-à-dire, comme la somme de DE, ET à DE ainsi LQ¹⁾ à IY, IY sera la vitesse imprimée au corps X par la poussée de A: d'où de nouveau si l'on fait comme la somme de X et C à X, c'est-à-dire comme la somme de ET et HK à ET ainsi le double de IY, soit ZY, à G:G sera la vitesse cherchée du corps C. Il faut donc montrer que N est plus grande que G.

Le rapport de LQ à N sera démontré, comme précédemment²⁾, être composé des rapports de HD à DE et de KE au double de HE; mais comme KE est au double de HE ainsi HD est au double de ED, parce que KH, HE et ED sont proportionnelles. Donc le rapport de LQ à N se composera cette fois des rapports de HD à DE et de HD au double de DE: il sera donc le même que celui du carré HD au double du carré DE. Mais le rapport de LQ à G est composé des rapports de LQ à IY et de IY à G, dont le rapport de LQ à IY est le même que celui de TD à DE, par construction, mais le rapport de IY à G est le même que celui de la somme de KH et TE au double de TE, car, par construction, ZY est à G comme la somme de KH et TE est à TE, par suite, en doublant les seconds termes des rapports, ZY sera au double de G, ou IY à G, comme la somme de KH et TE au double de TE, comme nous l'avons dit. Par conséquent, le rapport de LQ à G se compose des rapports de TD à DE et de la somme de KH et TE au double de TE: mais, puisque DE, EH, HK sont proportionnelles, le rectangle sur DE et HK est égal au carré EH. D'ailleurs le rectangle sur EV et ET est aussi égal à ce même carré EH, parce que EV, EH, ET sont proportionnelles. Par conséquent le rectangle sur DE et HK est égal au rectangle sur EV et ET. D'où il suit que VE est à ED comme HK à ET, et, par composition, que VD est à DE comme la somme de KH et TE à TE, et, en doublant les seconds termes, VD est au double de DE

* Prop. IX.

1) LQ représente, comme dans la Fig. 20 (p. 81), le double de la vitesse initiale du corps A.

2) Voir le deuxième alinéa de la p. 83.

[p. 85]

major quam EH; positis videlicet, sicut ante, proportionalibus DE, EH, HK, in eâdem ratione quae est corporum A, B, C. Sit autem duabus TE, HE tertia proportionalis

[Fig. 21.]

VE: atque inveniatur porro, sicuti in praecedentibus, celeritas N corpori C acquisita per interpositum B. Similique ratione inveniatur, celeritas quae eidem C acquiretur per interpositum X^*. Nempe si fiat ut utrumque simul A & X ad X, hoc est, ut utraque simul DE, Et ad DE, ita LQ¹⁾ ad IY, erit IY celeritas impressa corpori X impellente A: unde rursus si fiat ut utrumque simul X & C ad X, hoc est, ut utraque simul ET, HK ad ET ita dupla IY quae sit ZY ad G; erit G celeritas quaesita corpori C. Quamobrem ostendendum est N majorem esse quam G.

Ratio LQ ad N, sicut antea²⁾, componi ostendetur ex rationibus HD ad DE, & KE ad duplam HE; est autem sicut KE, ad duplam HE, ita HD ad duplam ED, quia proportionales KH, HE, ED. Igitur ratio LQ ad N componetur jam ex rationibus HD ad DE, & HD ad duplam DE: ac propterea erit eadem quae quadrati HD ad duplum quadrati DE. Ratio autem LQ ad G componitur ex rationibus LQ ad IY & IY ad G, quarum ratio LQ ad IY est eadem quae TD ad DE ex constructione, ratio autem IY ad G eadem quae utriusque simul KH, TE ad duplam³⁾ TE; etenim ex constructione est sicut utraque simul KH, TE ad TE,⁺ ita ZY ad G, | ideoque, sumptis consequentium duplis, sicut duae KH, TE, ad duplam TE, ita ZY ad duplam G, sive IY ad G, uti dictum fuit: itaque ratio LQ ad G componitur ex rationibus TD ad DE, & duarum simul KH, TE ad duplam TE: quia vero proportionales sunt DE, EH, HK, erit rectangulum DE, HK aequale quadrato EH. Sed & rectangulum EV, ET eidem quadrato EH aequale est, quoniam proportionales EV, EH, ET. Igitur rectangulum DE, HK aequale rectangulo EV, ET. Unde sicut VE ad ED ita HK ad ET, & componendo, sicut VD ad DE, ita utraque simul KH, TE ad TE; &, sumptis consequentium duplis, sicut VD ad duplam DE, ita duae KH, TE ad duplam TE. Itaque ratio LQ ad G

* Prop. IX.

1) LQ représente, comme dans la Fig. 20 (p. 81), le double de la vitesse initiale du corps A.

2) Voir le deuxième alinéa de la p. 83.

3) Ce mot fut intercalé par Huygens pour corriger une inadvertance du copiste; comparez la note 1 de la p. 82.

+ p. 396.

[p. 86]

comme la somme de KH et Te est au double de TE. Donc le rapport de LQ à G se compose des rapports de TD à DE et de VD au double de DE. Il est, par suite,

[Fig. 21.]

le même que celui du rectangle TDV au double du carré DE. Mais le rapport de LQ à N a été montré être le même que celui du carré HD au double du carré DE. Donc, puisque le rectangle TDV est plus grand que le carré HD, par le Lemme II (car TE, HE et VE sont proportionnelles et la longueur ED est ajoutée à elles), il s'ensuivra que le rapport de LQ à G est plus grand que celui de LQ à N et que par suite N est plus grande que G, ce qu'il fallait démontrer.

Qu'il soit dit ensuite qu'en interposant un corps X moindre que B une plus grande vitesse serait acquise par le corps C¹⁾. Soit de nouveau comme A à X ainsi DE à ET [Fig. 22]. Donc puisque X est supposé moindre que B, ET sera également moindre que EH, car, comme A à B, ainsi DE est à EH. Mais pour le reste qu'on répète la construction et la démonstration appliquées tantôt, par laquelle de nouveau la vitesse N sera montrée être plus grande que G. Il est donc certain que la vitesse maximum sera acquise par le corps en repos C lorsqu'on interpose le corps B qui est moyen proportionnel entre A et C.

1) Comparez la note 5 de la p. 83.

Proposition XIII²⁾.

À mesure qu'un plus grand nombre de corps sont interposés entre deux corps inégaux, dont l'un soit en repos, et l'autre en mouvement, un plus grand mouvement pourra être communiqué au corps en repos. Mais le plus grand mouvement sera transmis par un même nombre de corps interposés lorsque ces corps constituent avec les deux extrêmes une suite continue de grandeurs proportionnelles.

2) Elle est comptée la douzième dans le Manuscrit; comparez le deuxième alinéa de la note 1 de la p. 80.

[p. 87]

componitur ex rationibus TD ad DE & VD ad duplam De, ac proinde est eadem quae rectanguli TDV ad duplum quadratum DE. Ratio autem LQ ad N ostensa est eadem quae quadrati HD ad duplum quadratum DE. Itaque cum rectangulum TDV majus sit quam quadratum HD, per lemma II. (sunt enim proportionales TE, HE, VE, quibus adjecta est longitudo ED) sequetur majorem esse rationem LQ ad G quam LQ ad N; adeoque majorem esse N quam G, quod erat ostendendum.

[Fig. 22.]

Dicatur deinde interposito corpore X [Fig. 22] minori quam B, acquiri majorem celeritatem corpori C¹⁾. Sit rursus ut A ad X ita DE ad ET. igitur quia jam minor ponitur X quam B, erit quoque ET minor quam EH, nam, sicut A ad B, ita est DE ad EH. De caetero autem eadem repetatur constructio & demonstratio quae modo adhibita fuit, quâ quidem rursus celeritas N major ostendetur quam G. Itaque constat maximam celeritatem acquiri corpori quiescenti C per interpositionem corporis B quod sit medium proportionale inter A & C. |

1) Comparez la note 5 de la p. 83.

⁺ Propositio XIII²⁾.

Quo plura corpora interponentur inter duo inaequalia, quorum alterum quiescat alterum moveatur, eo major motus quiescenti conciliari poterit. Maximus autem per unam quamque interpositorum multitudinem ita conferetur, si interposita cum extremis continuam proportionalium seriem constituant.

Sint proportionalia corpora A, B, C [Fig. 23], e quibus A moveatur reliqua duo quiescant; itaque maximus motus acquirendus corpori C per unius corporis

+ p. 397.

2) Elle est comptée la douzième dans le Manuscrit; comparez le deuxième alinéa de la note 1 de la p. 80.

[p. 88]

Soient A, B, C [Fig. 23] les corps proportionnels, dont A soit en mouvement, les deux autres en repos, le plus grand mouvement que peut acquérir le corps C par l'interposition d'un seul corps est donc celui effectué par l'interposition de B^*. Mais que par l'interposition de deux corps un mouvement plus grand encore peut être effectué paraîtra comme suit. En effet, si entre A et B est interposé le moyen proportionnel D, le corps B acquiert déjà un plus grand mouvement que s'il fût simplement poussé par le corps A; mais a mesure que la vitesse de B est plus grande, celle produite en C sera aussi plus grande. Donc C sera mû plus fortement par les corps interposés D, B, que par B seul. Mais si ensuite au lieu de de B un autre corps est introduit qui soit moyen proportionnel entre D et C, il est évident qu'un mouvement encore plus grand sera transmis à C que par les corps interposés D, B. Après cela on montrera comme suit que le plus grand mouvement est transmis au corps extrême par l'interposition de deux corps lorsque A, D, B, C sont en proportion continue. D'abord il est certain que la vitesse du corps C ne peut pas croître indéfiniment par l'interposition de deux corps; car la vitesse de D sera toujours moindre que le double de la vitesse A^*. De même la vitesse B sera toujours moindre que le double de la vitesse D et la vitesse acquise par le corps C moindre que le double de la vitesse B; de sorte que la vitesse C sera certainement moindre que huit fois la vitesse A. On voit donc, par ce qui précède, qu'il existe une certaine vitesse que le corps C ne peut pas dépasser par l'interposition de deux corps. Soit E cette vitesse que nous supposons être acquise de fait par le corps C, les corps D, B étant interposés entre lui et A; je dis que A, D, B, C sont en proportion continue. Car, en premier lieu, si les trois A, D, B ne sont pas proportionnels, il faudra qu'en substituant pour le corps D un autre qui soit moyen proportionnel entre A et B, un plus grand mouvement passe en B que par l'interposition de D et, par conséquent, C acquiert une plus grande vitesse que par l'interposition de D, B, c'est-à-dire plus grande que la vitesse E, ce qui est absurde, parce qu'il a été supposé que E fut la plus grande vitesse que le corps C pût acquérir par l'interposition de deux corps. De même si D, B, C ne sont pas proportionnels, on pourra mettre au lieu de B un autre corps moyen proportionnel entre D et C, d'où il ressortira que de nouveau le corps C obtiendrait une vitesse plus grande que par l'interposition de D, B, c'est-à-dire, plus grande que la vitesse E, ce qui est absurde pour la même raison. Par suite, puisque aussi bien A, D, B que D, B, C sont proportionnels, tous les corps A, D, B, C seront en proportion continue, ce qu'il fallait démontrer. Or, on pourra dès lors démontrer par le même raisonnement qu'en interposant entre A et C trois corps on peut communiquer au corps C un plus grand mouvement encore que lorsque seulement deux corps furent interposés, et ainsi de suite. Et par une argumentation pareille on montrera que le corps C obtient la plus grande vitesse lorsque tous les corps sont dans une proportion continue¹⁾. La proposition est donc démontrée.

* Prop. XII.

* Prop. VII.

1) Dans ce cas, lorsque n représente le nombre des corps interposés on trouve, par des formules analogues à celles de la note 2 de p. 80, pour la vitesse du dernier corps C l'expression:




Ajoutons encore que, par les méthodes modernes bien counues, on trouve facilement que pour n = ∞ on a v_c = v_a:√8 de sorte qu'alors toute l'énergie du corps A passe après les chocs dans le corps C.
Nous empruntons cette remarque à l'annotation 17, p. 72, de l'ouvrage: ‘Christian Huygens' nachgelassene Abhandlungen über die Bewegung der Körper durch den Stoss [und] über die Centrifugalkraft. Herausgegeben von Felix Hausdorff, Leipzig, Wilhelm Engelmann, 1903.’ Cet ouvrage, qui constitue le N^o. 138 d'‘Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften,’ contient une traduction allemande du présent Traité de Huygens.
D'ailleurs il est facile de généraliser la remarque en question pour le cas où les masses consécutives ne forment pas précisément une suite géométrique, mais où leur différences successives sont toutes du même ordre de grandeur, savoir de l'ordre n^-1.
En effet les formules de la note 1 de la p. 67 montrent qu'alors après les chocs les vitesses du premier corps et de tous les corps intermédiaires seront de l'ordre n^-1 et par suites leurs forces vives de l'ordre n^-2. La somme de ces forces vives, étant de l'ordre n^-1, s'approche donc, lorsque n augmente, indéfiniment de zéro et avec elle (puisque, d'après la Prop. XI, p. 73, il n'y a pas de force vive perdue dans les chocs des corps durs de Huygens) la différence entre m_cv²_c et m_av²_a.

[p. 89]

interpositionem est ille qui efficitur per interpositum B^*. Quod autem ope duorum interpositorum major adhuc effici possit hinc constabit. Etenim si inter A

[Fig. 23.]

& B medium proportionale interponatur D, major jam motus acquiritur corpori B quam si simpliciter a corpore A fuisset percussum; quo autem major est celeritas in B, eo & major inducetur in C. Igitur C magis movebitur per interposita corpora D, B, quam per solum B. Quod si vero in locum B aliud postea constituatur quod sit medium proportionale inter D & C, evidens est adhuc majorem motum in C transiturum, quam per interposita DB corpora. Porro quod maximus motus per interpositionem duorum corporum corpori extremo concilietur, cum A, D, B, C fuerint continue proportionalia, sic ostendetur. Principio constat celeritatem corporis C per interposita duo corpora non posse in quantumvis magnam excrescere; nam celeritas corporis D semper minor erit quam dupla celeritas A.^* Item celeritas B semper minor erit quam dupla celeritas D & celeritas acquisita corpori C semper minor erit quam dupla celeritas B. adeo ut minor saltem futura sit celeritas C quam octupla celeritatis⁺ A. Itaque hinc intelligitur certam quandam celeritatem | existere quâ major corpori C, per interpositionem duorum corporum, acquiri nequeat. Esto ea celeritas E, quam quidem corpori C acquisitam ponamus interpositis inter ipsum & A corporibus D, B dico A, D, B, C continue proportionalia esse. Etenim primo, si tria A, D, B non sunt proportionalia, fiet substituendo corpus aliud pro corpore D, quod medium proportionale sit inter A & B, ut major motus transeat in B quam per interpositum D. ac proinde etiam C majorem acquirit velocitatem, quam per interposita D, B, hoc est, majorem quam sit velocitas E, quod absurdum est, quia posita fuit E maxima esse velocitas quam duorum corporum interpositione corpus C adipisci posset. Similiter si D, B, C non sunt proportionalia, poterit in locum B aliud medium proportionale constitui inter D, C, quo fiet ut rursus major acquiratur velocitas corpori C quam per interposita D B, hoc est, major velocitate E; quod eâdem ratione absurdum est. Itaque quum & A, D, B & D, B, C sint proportionales, erunt corpora omnia A, D, B, C in proportione continua, quod erat ostendendum. Hinc vero jam eâdem ratione ostendi poterit, interpositis inter A, C, tribus corporibus majorem adhuc motum corpori C tribui posse quam cum duo tantum interposita fuere, atque ita deinceps; similique etiam argumentatione maximus motus corpori C acquiri ostendetur cum omnium corporum continua est proportio¹⁾. Itaque constat propositum.

* Prop. XII.

* Prop. VII.

+ p. 398.

1) Dans ce cas, lorsque n représente le nombre des corps interposés on trouve, par des formules analogues à celles de la note 2 de p. 80, pour la vitesse du dernier corps C l'expression:




Ajoutons encore que, par les méthodes modernes bien counues, on trouve facilement que pour n = ∞ on a v_c = v_a:√8 de sorte qu'alors toute l'énergie du corps A passe après les chocs dans le corps C.
Nous empruntons cette remarque à l'annotation 17, p. 72, de l'ouvrage: ‘Christian Huygens' nachgelassene Abhandlungen über die Bewegung der Körper durch den Stoss [und] über die Centrifugalkraft. Herausgegeben von Felix Hausdorff, Leipzig, Wilhelm Engelmann, 1903.’ Cet ouvrage, qui constitue le N^o. 138 d'‘Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften,’ contient une traduction allemande du présent Traité de Huygens.
D'ailleurs il est facile de généraliser la remarque en question pour le cas où les masses consécutives ne forment pas précisément une suite géométrique, mais où leur différences successives sont toutes du même ordre de grandeur, savoir de l'ordre n^-1.
En effet les formules de la note 1 de la p. 67 montrent qu'alors après les chocs les vitesses du premier corps et de tous les corps intermédiaires seront de l'ordre n^-1 et par suites leurs forces vives de l'ordre n^-2. La somme de ces forces vives, étant de l'ordre n^-1, s'approche donc, lorsque n augmente, indéfiniment de zéro et avec elle (puisque, d'après la Prop. XI, p. 73, il n'y a pas de force vive perdue dans les chocs des corps durs de Huygens) la différence entre m_cv²_c et m_av²_a.

[p. 90]

Si¹⁾ l'on donne une rangée de cent corps dans la proportion de un à deux et que le mouvement commence par le plus grand on trouve en exécutant un calcul que nous supprimons, d'après la règle exposée dans la neuvième²⁾ proposition, mais suivant sa rédaction abrégée³⁾, que la vitesse du plus petit corps sera à celle avec laquelle le plus grand fut mis en mouvement à peu près comme 14760000000 à 1⁴⁾. Or, si le mouvement commence par le plus petit corps la quantité de mouvement augmente dans l'univers⁵⁾ à peu près dans le rapport de 1 à 4677000000000⁶⁾.

FIN.

1) Ce dernier alinéa manque entièrement dans le Manuscrit d'environ 1656, mentionné à la p. 10 de l'Avertissement qui précède. Il a probablement été composé beaucoup plus tard, peut-être en 1667. Nous en possédons, sur une feuille détachée, la rédaction originale, qui ne diffère pas du texte latin présent.

2) Le mot ‘nona’ fut écrit de la main de Huygens.

3) Comparez la dernière phrase du premier alinéa de la p. 69 et les deux alinéas qui la suivent.

4) En vérité on trouve, en appliquant la formule de la note 1, qui commence à la page précédente, pour le rapport en question: , c'est-à-dire à peu près 2338500000000:1, comme on le donne aussi à la p. 72 de l'ouvrage mentionné dans la note citée. Voir pour la méthode de calcul suivie par Huygens la Pièce V (p. 156-158) de l'Appendice III et pour l'explication de l'erreur commise la note 2 de la p. 158.

5) Comparez la note 1 de la p. 49.

6) Considérons le cas de n corps interposés. La quantité de mouvement est d'abord. Après les chocs tous les corps, excepté le dernier, se meuvent dans une direction contraire à celle possédée primitivement par le premier et plus petit. Or, le dernier corps aura alors la vitesse (voir la note 1 de la p. 89) et par suite la quantité de mouvement . Puisque la somme algébrique des quantités de mouvement doit rester la même, on trouve donc facilement pour la somme des quantités de mouvement des autres corps prises dans la direction contraire: et pour la somme totale des valeurs absolues des quantités de mouvement après les chocs: . Le rapport en question est donc celui de 1 à . Dans le cas numérique traité par Huygens, on a n = 98, ε = 2⁹⁹ et l'on trouve donc 1 à 2(4/3)⁹⁹-1, ou, comme dans le texte, environ 4677000000000 à 1.
Consultez sur la méthode suivie par Huygens pour arriver à ce résultat la Pièce V mentionnée dans la note 4 et surtout la note 2 de la p. 158.

[p. 91]

Si¹⁾ corpora centum ex ordine dentur in proportione duplâ, incipiatque motus a maximo, invenitur subducto calculo ad praeceptum regulae propositione nona²⁾ traditae sed in compendium redactae³⁾, celeritas minimi ad celeritatem quâ movebatur maximum proxime ea quae 14760000000 ad 1⁴⁾. Si vero a minimo motus incipiat augetur in universum⁵⁾ motus quantitas secundum rationem proxime quae 1 ad 4677000000000⁶⁾.

FINIS.

1) Ce dernier alinéa manque entièrement dans le Manuscrit d'environ 1656, mentionné à la p. 10 de l'Avertissement qui précède. Il a probablement été composé beaucoup plus tard, peut-être en 1667. Nous en possédons, sur une feuille détachée, la rédaction originale, qui ne diffère pas du texte latin présent.

2) Le mot ‘nona’ fut écrit de la main de Huygens.

3) Comparez la dernière phrase du premier alinéa de la p. 69 et les deux alinéas qui la suivent.

4) En vérité on trouve, en appliquant la formule de la note 1, qui commence à la page précédente, pour le rapport en question: , c'est-à-dire à peu près 2338500000000:1, comme on le donne aussi à la p. 72 de l'ouvrage mentionné dans la note citée. Voir pour la méthode de calcul suivie par Huygens la Pièce V (p. 156-158) de l'Appendice III et pour l'explication de l'erreur commise la note 2 de la p. 158.

5) Comparez la note 1 de la p. 49.

6) Considérons le cas de n corps interposés. La quantité de mouvement est d'abord m_av_a. Après les chocs tous les corps, excepté le dernier, se meuvent dans une direction contraire à celle possédée primitivement par le premier et plus petit. Or, le dernier corps aura alors la vitesse (voir la note 1 de la p. 89) et par suite la quantité de mouvement . Puisque la somme algébrique des quantités de mouvement doit rester la même, on trouve donc facilement pour la somme des quantités de mouvement des autres corps prises dans la direction contraire: et pour la somme totale des valeurs absolues des quantités de mouvement après les chocs: . Le rapport en question est donc celui de 1 à . Dans le cas numérique traité par Huygens, on a n = 98, ε = 2⁹⁹ et l'on trouve donc 1 à 2(4/3)⁹⁹-1, ou, comme dans le texte, environ 4677000000000 à 1.
Consultez sur la méthode suivie par Huygens pour arriver à ce résultat la Pièce V mentionnée dans la note 4 et surtout la note 2 de la p. 158.

4) Cette indication manque dans le Manuscrit.

4) Cette indication manque dans le Manuscrit.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

1) Cette indication manque dans le Manuscrit.

3) ‘Si recta linea secta sit vtcunque: Quadratum, quod à tota describitur, aequale est & illis, quae à segmentis describuntur, quadratis, & ei, quod bis sub segmentis comprehenditur, rectangulo’ (Clavius, Euclidis elementorum libri XV, Francofurti, Ex Officina Typographica Nicolai Hoffmanni, 1607, p. 172).

3) ‘Si recta linea secta sit vtcunque: Quadratum, quod à tota describitur, aequale est & illis, quae à segmentis describuntur, quadratis, & ei, quod bis sub segmentis comprehenditur, rectangulo’ (Clavius, Euclidis elementorum libri XV, Francofurti, Ex Officina Typographica Nicolai Hoffmanni, 1607, p. 172).

1) Voir le dernier alinéa qui se rapporte à cette Proposition. On a dans le premier cas, où A repose avant le choc: et dans le second: .

1) Voir le dernier alinéa qui se rapporte à cette Proposition. On a dans le premier cas, où A repose avant le choc: et dans le second: .

3) Huygens applique ici le lemme aux deux cas DE < EH < EK, c'est-à-dire A < B < C, et DE > EH > EK (A > B > C) quoiqu'il ne l'ait formulé et prouvé que pour le premier de ces cas (voir les p. 77-79); mais comparez le dernier alinéa de la note 2 de la p. 76.

3) Huygens applique ici le lemme aux deux cas DE < EH < EK, c'est-à-dire A < B < C, et DE > EH > EK (A > B > C) quoiqu'il ne l'ait formulé et prouvé que pour le premier de ces cas (voir les p. 77-79); mais comparez le dernier alinéa de la note 2 de la p. 76.