Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 521]

X¹⁾.
1666.

1666. Sept.

Invenire numerum qui per tres datos numeros seorsim divisus, relinquat a divisione tres alios datos numeros.

Sit inveniendus qui per 28 divisus relinquat 13. Per 19 relinquat 4, per 15 relinquat 9.

Sit 28 ∞ a	13 ∞ n
Sit 19 ∞ b	4 ∞ o
Sit 15 ∞ c	9 ∞ p

Sit numerus quaesitus primo ab + ac + bc. si jam bc per a divisus relinqueret n sive 13, patet primae conditioni satisfacere numerum ab + ac + bc. Item si ac divisus per b relinqueret o sive 4, idem numerus ab + ac + bc satisfaceret quoque secundae conditioni. Item si ab divisus per c relinqueret p sive 9, satisfaceret idem numerus ab + ac + cb etiam tertiae conditioni. Itaque tantum opus esset addere ab + ac + bc ad inveniendum numerum quaesitum. quod quidem contingeret si n esset 5; o ∞ 2; p ∞ 7. Sed cum bc per a divisus non relinquit n, videndum an relinquat 1. nam tunc bc ductus in n faciet numerum qui divisus per a necessario relinquet n ut facile est intelligere: nam si bc/a ∞ q²⁾ + 1/a siet bcn ∞ naq + n qui per a divisus relinquit n/a. Quod si vero bc per a divisus non relinquit unitatem, quaerendum per quem alium multiplicatus relinquat unicatem à divisione per a. faciet ex. gr. bc/a reliquum d. Quaeritur jam tantum f ita ut df/a relinquat 1. Jam

1) La Pièce est empruntée à la p. 102 du Manuscrit C.

2) Huygens ajoute en marge: ‘q tantum numerum aliquem integrum significat’.

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etiam bcf per a relinquet 1. nam bc/a ∞ q + d/a. Ergo bcf/a ∞ qf + df/a. Ergo bcf ∞ ∞ aqf + df. Sed aqf per a facit qf; et df/a relinquit 1. Ergo aqf + df per a relinquit 1. Unde et bcf per a relinquit 1. Quod si jam bcf ducatur in n necessario productum bcfn divisum per a relinquet n. Nam quia bcf/a ∞ q + 1/a. Erit bcf ∞ ∞ aq + 1, et bcfn ∞ aqn + n. Sed aqn + n divisus per a facit qn + n/a. hoc est, relinquit n à divisione. Ergo bcfn per a relinquet n à divisione.

Simili ratione quaeratur g qui ductus in ac faciat productum acg quod divisum per b relinquat 1. Nam tunc acgo divisum per b relinquet o.

Similiter quoque quaeratur h qui ductus in ab faciat productum abh quod divisum per c relinquat 1. Nam tunc abhp divisum per c relinquet p.

Jamque numeri tres bcfn + acgo + abhp una additi satisfacient omnibus conditionibus. nam compositus ex his divisus per a, faciet cgo + bhp + bcfn/a. Unde relinquetur n à divisione quia bcfn per a relinquit à divisione n. Item divisus per b, faciet cfn + ahp + acgo/b; ubi scimus acgo per b relinquere o. Denique divisus per c faciet bfn + ago + abhp/c; ubi scimus abhp per c divisum relinquere p.

Caeterum ut minimus numerus habeatur proposito satisfaciens oportet ab numero bcfn + acgo + bhp auferre totius abc quoties potest, sive divisionem instituere, nam quod ab ea relinquetur erit minimus numerus proposito satisfaciens¹⁾.

Notandum etiam manentibus numeris a, b, c etsi tres alij n, o, p mutentur sive alij dentur, facile tamen quaestioni satisfieri per numeros semel inventos bcf, acg, abh. Patet enim illos tantum ducendos esse singulos in n, o, p. productaque addenda et per abc dividenda¹⁾.

Ita ad inveniendum annum Periodi Julianae Scaligeri²⁾, ex datis Cyclo Solis, Cyclo Lunae sive aureo numero, et Indictione. quia Cyclus solis Integer est 28, Cyclus lunae integer 19, Indictio 15. fiunt numeri perpetui

bcf ∞ 4845; acg ∞ 4200; abh ∞ 6916.

1) On doit plutôt diviser par le plus petit commun multiple des nombres a, b, c, comme il est indiqué dans l'ouvrage cité dans la note 5 qui suit. Alors, en effet, le reste de la division est le nombre le plus petit qui satisfait à la proposition. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que la différence entre deux nombres qui satisfont à la question doit être divisible par a, par b et par c et, par suite, aussi par leur plus petit commun multiple.

1) On doit plutôt diviser par le plus petit commun multiple des nombres a, b, c, comme il est indiqué dans l'ouvrage cité dans la note 5 qui suit. Alors, en effet, le reste de la division est le nombre le plus petit qui satisfait à la proposition. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que la différence entre deux nombres qui satisfont à la question doit être divisible par a, par b et par c et, par suite, aussi par leur plus petit commun multiple.

2) Voir sur Joseph Justus Scaliger, l'inventeur du Cycle Julien, la note 2 de la p. 538 du T. I et la note 4 de la p. 476 du T. V.

[p. 523]

Si jam anni alicujus cyclus solis sit 13. Lunae 4, Indictio 9. Oportet tantum ducere 4845 in 13 fit 62985. Item 4200 in 4 fit 16800. Item 6916 in 9 fit 62244, qui simul additi faciunt 142029 qui divisus per 7980 sive abc, numerum Periodi Scaligerianae, relinquit 6369, annum Periodi ejus quibus data conveniunt.

P. Billy³⁾ Regulam hanc tanquam a se inventam dederat⁴⁾, sed potuit hausisse ex Exercitationibus mathem.^is Schotenij⁵), qui D.^o Persijn Harlemensi⁶⁾ eam acceptum fert⁷⁾. Nos quo pacto inventa esse potuerit hic explicuimus.

3) Voir sur le père Jacques de Billy la note 12 de la p. 374 du T. VI.

4) Il s'agit de l'‘Extrait d'une Lettre du P. de Billy de la Comp. de Jesus, du 22 Aoust à Dijon’, qui parut dans le ‘Journal des Sçavans du Lundy 6 Sept. 1666’, p. 670 de l'édition d'Amsterdam de 1684. Billy y donne ‘Pour trouver l'année de la Periode Juliene par une methode nouvelle & très-facile’ la règle suivante: ‘multipliez le Cycle du Soleil par 4845, celuy de la Lune par 4200, & celuy de l'Indiction par 6916. Ensuite divisez la somme des produits par 7980, qui est la periode Juliene: Ce qui restera de la division, sans avoir égard au quotient, sera l'année qu'on cherche’. Il applique cette règle à un autre exemple que celui du texte et l'auteur du Journal ajoute: ‘Quelques sçavans Mathematiciens de Paris à qui le P. Billy a proposé ce Probleme, en ont trouvé la demonstration’.
Une traduction de l'article fut insérée dans les ‘Philosophical Transactions’ du 22 octobre 1666 (p. 324) sous le titre ‘A problem For finding the Year of the Julian Period by a new and very easy Method’.

5 Voir la p. 408-410 du ‘Liber V’ de l'ouvrage mentionné, duquel ‘Liber’ nous avons reproduit le titre à la p. 52 du Tome présent. On y retrouve, en effet, la méthode exposée par Huygens avec la correction que nous avons indiquée dans la note 1. Elle y est appliquée à deux exemples. Dans le premier les diviseurs sont 2, 3, 5 et 7 et les restes respectivement 1, 1, 1 et 0; dans le deuxième 7, 11 et 13 avec les restes 2, 1 et 9; on n'y trouve aucune allusion au problème de trouver l'année de la Période Julienne.

6) Nicolaas Huybertsz. van Persijn, né probablement à Haarlem, ami de Ludolf van Ceulen, fut arpenteur à Naarden. Il avait déjà été mentionné par van Schooten à la p. 404 des ‘Exercitationes mathematicae’ et le fut encore aux pp. 435 et 436 de cet ouvrage, comme aussi à la p. 275 de l'édition de 1649 de la ‘Geometria’ (p. 319 de l'édition de 1659), où van Schooten l'appelle ‘arithmeticus subtillissimus’.

7) En effet, on lit à la p. 408 des ‘Exercitationes mathematicae’: ‘Caeterùm cum ad hujusmodi quaestiones solvendas modum ingeniosissimum excogitarit ante memoratus D. Nicolaus Huberti à Persijn, placuit eum, qualem ab ipso accepi, paucis hîc subjicere’.