Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 501]

VI¹⁾.
1662.

[Quadrature de la courbe de Gutschoven et cubature d'un de ses solides ae révolution.]

DGN curva a Slusio mihi proposita²⁾ ad inveniendam tangentem³⁾, illi vero a Gutiscovio. proprietas ejus, ut angulo DNV recto existente sit NV semper aequalis eidem lineae DC.

Sive posita DR ∞ x. RN ∞ y, ut sit ⁴⁾. DC est perpendic. axi DV. DCOA quadrans circuli. CE⁵⁾ parall. DV, asymptotos curvae DGN.

1) La Pièce est empruntée aux p. 125-126 du Manuscrit B.

2) Voir sa lettre du 18 août 1662, p. 207 du T. IV.

3) Voir sur la détermination de cette tangente le § 1 (p. 504-505) de la Pièce N^o. VII qui suit.

4) On a en effet: , où d = NV = DC.

5) Remarquez le double emploi de la lettre E dans la figure.

[p. 502]

NMO, LHK sunt rectae. sit NO ∞ DV; et MO ∞ RV. Sicut ergo proportionales sunt RV, VN, VD ita quoque MO, OD, ON. Sicut ergo MO ad OD, hoc est ME ad EO, hoc est MH ad KO, ita OD sive MP ad ON. Unde facile ostenditur quod sicut omnes MH ad omnes KO, hoc est sicut DC ad arcum COA ita omnia ▭^la MHTP ad omnia KONL, hoc est, ita quadr. AC ad figuram infinitam AOCEFNDA¹⁾. Ex quo fundamento est calculus in fine pag. praeced.²⁾.

Facile autem apparet et solidum a dicto spatio infinito sese habere ad solidum à quadrato AC, utroque circa ADV converso, sicut superficies a conversione arcus AOC ad superf. à conversione rectae DC. quorum ratio est dupla per ea quae demonstravit Archim. lib. de sphaer. et cyl.³⁾. Est autem solidum a conversione quadrantis DCA ad solidum a quadr[ato] AC ut 2 ad 3. Itaque hinc deducitur, solidum à spatio reliquo infinito DGFEC esse solidi a □ AC sesquitertium, ac proinde aequale sphaerae cujus radius DC⁴⁾. Ita fit calix infinitae capacitatis et extensionis, at definiti ponderis, sicut et in Cissoide⁵⁾.

1) On a . Or, dans le cas présent la conclusion est permise, comme on peut le vérifier aisément, puisque le rapport du premier au troisième terme de la proportion en question est une quantité constante.

2) Voir les calculs qui suivent.

3) Voir la ‘Prop. XXXI, Lib. I’, p. 31 de l'édition de Bàle (mentionnée dans la note 3, p. 274 du T. XI) ‘Cuiuslibet sphaerae superficies quadrupla est circuli, qui in ea maximus habetur’. Elle correspond à la Prop. XXXIII, p. 137 du T. I de l'édition de Heiberg, citée dans la note 2, p. 50 du T. XI.

4) Ce résultat sut communiqué à de Sluse dans une lettre du 25 septembre 1662; voir les p. 237-239 du T. IV.

5) Comparez la note 17 de la p. 199 du Tome présent.

[p. 503]

Ergo quadrans circuli DAC aequalis spatio infinito DCEF.

hoc est sector DOC + △ODQ ∞ spat. CEFNM. Ergo sp. NGDM aequale segmento OQA sive NRS⁴⁾.

15 Sept. 1662.

4) Ce résultat sut communiqué à de Sluse dans une lettre du 25 septembre 1662; voir les p. 237-239 du T. IV.