Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 474]

III¹⁾.
1662.

16 Jul. 1662.

1) La Pièce est empruntée aux p. 92-95 du Manuscrit B.

Hyperbolae dimensio ope Logarithmorum.

[Fig. 1.]

AHE est hyperbola. asymptoti SC, CD. quadratum hyperbolae AC. AB decupla ED. Spatium HD ex quinta bisectione spatij ABDE. AB ∞ q. HK ∞ a. ED ∞ d. Ergo KD ∞ qq/d - qq/a. vide quae supra²⁾ ubi de inventione logarithmorum, ubi ostenditur quod ductâ KD in Sφ 10364093244158³⁾ fit productum aequale spatio hyperbolico HD.

Quod si velim jam invenire magnitudinem spacij cujuslibet ABVT cujus data sit laterum ratio AB ad TV (omnia enim, in quibus haec ratio eadem est, sunt aequalia) oportet facere ut sicut differentia logarithmorum HK et ED, ad differentiam logarithmorum AB et TV, ita sit spatium HD ad aliud quod aequabitur ipsi ABVT quaesito.

2) Voir la Pièce N^o. I aux p. 451-455.

3) On retrouve ce nombre dans les calculs qui, dans le Manuscrit B, précèdent la Pièce N^o. I citée dans la note précédente. Il a été supputé à l'aide de la formule qu'on trouve à la première ligne de la p. 455.

[p. 475]

Sit AB 100000. Ergo ED 10000; sit TV 50000. qq/d ∞ 1000000

⁴⁾

4) Nous supprimons dans le texte cette multiplication. Primitivement elle fut exécutée comme



ici à côté; ensuite Huygens, pour obtenir un résultat plus exact, ajouta à chaque ligne des produits partiels le chiffre qui aurait suivi s'il avait admis dans cette ligne un chiffre de plus, tout en intercalant les dixièmes entre les lignes déjà écrites. De cette manière les premières quatre lignes devenaient comme il suit:



ce qui menait au résultat reproduit dans le texte.

[p. 476]

[Fig. 1.]

¹⁾

spatium ABVT qualium partium quadratum AC, 100000,00000.

Potuisset et 3^tius à primo subtrahi, et residuo addi secundus. Illudque residuum ad quamvis hyperbolae portionem quadrandam usui fore sciendum est, nempe 0,36221,56868.

Hinc itaque Regula facilis oritur ad hujusmodi portionem quamlibet hyperbolicam quadrandam.

Data enim proportione linearum portionem terminantium in numeris, capiatur differentia logarithmorum utriusque numeri, et quaeratur ejus differentiae logarithmus, quo addito ad 0,36221,56868, hoc est, ad residuum illud modo dictum quod semper idem est, fiet logarithmus spatij quaesiti, unde et spatium numero dabitur²⁾.

1) C'est-à-dire après multiplication par AB²; voir les formules de la note 2.

2) Cette règle correspond à l'emploi de la formule moderne: Or, Huygens savait (voir la p. 452) que l'aire d'un espace hyperbolique comme TVDE est proportionnelle à la fois à l'aire du carré AC et à la différence des logarithmes de AB et de DE. Il pouvait donc poser où C représente une constante, et en déduire: où il s'agit de calculer la valeur de log C. À cet effet il applique sa méthode d'approximation à la détermination de l'aire de l'espace HKDE; après quoi la formule lui permet de calculer la valeur cherchée de log C, pour laquelle il trouve 0,3622156868.
Ajoutons qu'on retrouve la même règle dans le Journal des Sçavans de juillet 1668 (voir la p. 231 de notre Tome Vl), à la p. 23 du Manuscrit N^o. 13, cité dans la note 5 de la p. 235, et dans l'‘Horologium oscillatorium’, p. 78-79 de l'édition originale. Seulement, Huygens remplace dans le Manuscrit N^o. 13 et dans l'‘Horologium oscillatorium’ le ‘numerus perpetuus’ de la présente règle par 0,3622156887; sans doute par suite d'un nouveau calcul que nous ne connaissons pas. Or, on a, en effet, - log log e = 0,362215688699.
Remarquons encore que l'emploi de l'ancienne valeur dans le Journal des Sçavans prouve que la Pièce qu'on trouve dans le Manuscrit N^o. 13 doit être postérieure au 2 juillet 1668.

[p. 477]

[Fig. 2.]

Sit ex. gr. data ratio linearum AB ad TV quae 36 ad 5³⁾.

hujus logarithmi numerus erit area spatij ABVT in partibus qualium quadratum hyperbolae est 100000,00000. Habebit autem numerus ille 11 characteres, quum characteristica logarithmi ejus sit 10, quaeratur itaque primo numerus proximus dato logarithmo conveniens neglecta characterica 10; invenitur 19740; deinde ex differentia logarithmorum proximorum reliqui characteres eliciantur 81018, scribendi post priores ut fiat 19740,81018,0, addito ad finem zero ut efficiatur numerus characterum 11. Est ergo 1,97408,10180 area spacij ABVT.

3) On retrouve le même exemple dans le Journal des Sçavans, dans le Manuscrit N^o. 13 et dans l'‘Horologium oscillatorium’ aux lieux indiqués dans la note précédente; toutefois, dans ce Manuscrit et l'‘Horologium oscillatorium’ les résultats sont un peu différents de celui obtenu dans le texte à cause de la valeur différente assignée au ‘numerus perpetuus’. C'est le seul exemple traité dans l'‘Horologium oscillatorium’; mais le Manuscrit N^o. 13 suit d'assez près jusqu'à la fin le texte de la Pièce présente à l'exception de la valeur employée pour le ‘num. perp.’.

[p. 478]

[Fig. 2.]

Sit rursus proportio AB ad TV data ut 100000 ad 1.

hujus logar.ⁱ quaeratur numerus

fit 11,51292,54200 area ABVT.

Sit jam data proportio AB ad TV quae 100000 ad 99999.

logarithmi hujus numerus ut inveniatur, quaerendi logarithmi duo proximi quorum differentia 55162, qui sunt logarithmi numerorum 78730, et 78729¹⁾. Est autem 5,00000,00000 logarithmus 100000. Itaque multiplicetur 100000 per 78730 et dividatur per 78729, sit 100001 3/7²⁾ numerus conveniens logarithmo proposito, atque hic numerus est partium area ABVT qualium nempe quadratum hyperbolae est 1,00000,00000.

1) Il s'agit de la table des logarithmes à dix mantisses qu'on trouve dans l'‘Editio secunda aucta per Adrianum Vlacq Goudanum’, de 1628, de l'‘Arithmetica Logarithmica’; ouvrage que nous avons mentionne dans la note 5 de la p. 455 du présent Tome. On la trouve aussi dans les éditions française, allemande, hollandaise et anglaise de cet ouvrage qui parurent en même temps. Dans cette table Vlacq a comblé la lacune qui existait dans la première édition, où Briggs s'était borné à donner les logarithmes (jusqu'à 14 mantisses) des nombres de 1 à 20000 et de 90000 à 100000.
En effet, on rencontre dans la table en question le nombre 55162 dans la colonne des ‘Differ.’, comme indiquant la différence des logarithmes de 78729 et 78730. On a donc: 0,0000055162 = log 78730/78729 et, par suite, num. 5,0000055162 = 7873000000 : 78729 = 100001 21271/78729.

2) Lisez plutôt 100001 3/11.

[p. 479]

Possumus etiam quinque posteriores characteres omittere cum tanta ἀϰρίβεια non est opus, velut data proportione AB ad TV quae 27183 ad 10000

Data vicissim magnitudine spacij ABVT puta 1,97408 partium qualium quadratum hyperbolae 1,00000 continet inveniemus proportionem laterum AB, TV dictum spatium terminantium hoc modo,

Quaerendi jam duo numeri quorum logarithmi differant 0,85733. Hi enim numeri inter se rationem laterum quaesitam tenebunt.

Ergo AB ad TV ut 100000 ad 13889 hoc est proxime ut 36 ad 5³⁾.

Sit spatium ABVT datum 1,00000, nempe aequale quadrato hyperbolae.

3) On a 36 : 5 = 100000 : 13888 8/9.

[p. 480]

¹⁾

1) Dans le Manuscrit N^o. 13 le même problème est traité en employment dix mantisses, ce qui conduit à la conclusion: ‘Ergop [AB] ad VT ut 1,00000,00000 ad 36787,94412’.

Portionis Hyperbolae aream invenire²⁾.

[Fig. 3.]

Consideretur primum portio hyperboles cujus latera transversum rectumque sint aequalia, hoc est cujus asymptoti rectum angulum constituant ut LAT. AR latus transv. sit ∞ 2a. AN ∞ b Ergo . et

1/2 aa + 2ab + bb hinc subtrahe insuper 2 ∆ TSV sive 1/2 qu. TS

2) Plus tard, à une époque inconnue, Huygens a biffé toute la partie du texte que l'on trouve sous cet en-tête en ajoutant l'annotation ‘Haec multo brevius peragi possunt’; mais puisque plus loin (voir la note 1 de la p. 482) la valeur de l'aire du segment LAT est utilisée dans les calculs, nous n'avons pas cru devoir supprimer la déduction de cette valeur. Quant à la méthode plus brève, elle est indiquée par la figure qu'on trouve à la p. 78 de l'édition originale de l'‘Horologium oscillatorium’. En effet, si du point L on abaisse la perpendiculaire LE sur l'asymptote QS, on voit que le segment hyperbolique LAT est égal au trapèze LEVT diminué de l'espace hyperbolique LATVE.

[p. 481]

³⁴⁵⁾

Omnes autem hyperbolae portiones quarum diameter ad latus transversum eandem rationem habent, eae ad inscriptum sibi triangulum quoque eandem rationem habent. Unde apparet datâ qualibet portione posse hac methodo aream ejus inveniri.

3 Huygens divise ici par 100000, mais, puisqu'il le fait partout pour les aires qu'il veut comparer, le résultat n'en est pas faussé.

4 Après multiplication par l'aire du carré sur AB (voir les formules de la note 2 de la p. 476), pour laquelle Huygens prend 100000.

5) Lisez: 672270.

Lineae Parabolicae, portionem rectam continenti, invenire rectam lineam aequalem.

[Fig. 4.]

Sit portio data PCR⁶⁾, et in eadem basi ponatur ∆^lum isosc duplae altitudinis RFP. Tum hyperbolae portio sumatur LAT cujus dimidium latus transv. QA sit ∞ basi parabolae RP. Quae autem ex centro sectionis ad mediam basin hyperbolae extenditur QN sit ∞ duabus simul RF, FP. Jam per methodum praecedentem inventa hyperbolicae portionis area, dividatur ea per basin LT, fietque altitudo rectan-

6) La construction, qui va suivre, pour trouver un segment OQ qui soit égal à l'arc parabolique RCP est identique à celle qu'on trouve aux pp. 344 et 501-502 du T. II, qui date de 1659, et on la retrouve avec une modification légère à la p. 77 de l'édition originale de l'‘Horologium oscillatorium’. D'ailleurs elle se déduit aisément du ‘Theorema VIII’, p. 249 du présent Tome.

[p. 482]

[Fig. 4.]

guli GT portioni aequalis, qua altitudine NO deducta ab NQ sive RF + FP, reliqua OQ aequabitur curvae parabolicae RCP.

Sit RP 100000. RF, 150000. Hinc portio LAT fit 67 127000000¹⁾ qualium AQ 100000

²⁾

1) Puisque le ‘latus rectum’ de l'hyperbole LAT peut être choisi à volonté on peut considérer cette hyperbole comme une hyperbole équilatère et y appliquer ensuite les calculs qu'on trouve à la p. 481. Or, d'après ces calculs on a 67 1270 (lisez: 672270) pour l'aire du segment hyperbolique LAT dans le cas où l'on pose 100000 pour le carré construit sur le côté AQ [Fig. 3]. Donc, puisque dans le présent calcul on pose AQ = RP = 100000, on trouve 100000² pour le carré sur AQ et 67 127000000 (lisez: 67 227000000) pour l'aire du segment LAT.

2) Ce nombre est la somme de log NT (p. 481) et de log 2.