Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 377]

Appendice à la pièce n^o. XI²⁾.
[1691]³⁾

CF 1/2 Cyclois. CA axis seu diameter circuli genitoris CBA. DE applicata ad axem, secans circumf.^m in B.

Solidum ex spatio CAF circa axem, itemque centri gravitatis Z distantia ab axe, quae est ZG, cognoscetur, si detur summa quadratorum DE⁴⁾. hoc est summa quadratorum BD, summa quadratorum BE, et summa duplorum rectangulorum DBE.

Sit 1/2 AC seu radius circuli genitoris R. Circumferentia tota P.

Summa quad.^orum DB est 4/3 R³, quod facile cognoscitur ex proportione sphaerae ad circumscriptum cylindrum⁵⁾. Summa quadr.^orum BE apud Wallisium in libro de Motu⁶⁾, ostenditur aequalis 1/4 RP² - 4R³, difficili satis demonstratione ex ungula super involucro cylindrico expanso⁷⁾.

2) La Pièce est empruntée à la p. 126 recto du Manuscrit G. Elle contient la détermination de la distance ZG du centre de gravité Z à l'axe AC de l'espace cycloïdal CFA à l'aide des méthodes exposées par Wallis dans ses ouvrages ‘Tractatus Duo. Prior, De Cycloide Posterior, Epistolaris’ (1659) et ‘Mechanicorum, sive Tractatus De Motu, Pars secunda’ (1670). À cette occasion Huygens corrige deux erreurs qui se trouvent dans l'édition originale des ‘Tractatus Duo’, citée dans la note 3 de la p. 518 du T. II.

3) D'après le lieu que la Pièce occupe dans le Manuscrit G.

4) En langage moderne Σ DE² représente , où y = DE, x = CD.

5) On a évidemment , où .

6) Voir l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 38 du T. VII.

7) Au § G de la ‘Prop. XVII’ du ‘Caput V’; voir les p. 759-760 du ‘Volumen Primum’ des ‘Opera Mathematica’ de Wallis, Oxoniae, E Theatro Sheldoniano, 1695.

[p. 378]

Summa duplorum rectangulorum, apud eundem in libro de Cycloide, invenitur facili ratiocinio aequalis 1/8 RP²¹⁾. Sed tantum ad solidum integrum ex CFA pertinet. GA est aequalis 5/6 R²⁾. quam in libro de Cycloide Wallisius facit ∞ 3/4 R³⁾.

4/3 R³ + 1/4 RP² - 4R³ + 1/8 RP² sive 3/8 RP² - 8/3 R³ summa qu.^orum DE.

Summa quadratorum AF in ▭^o AH ∞ 1/2 RP².

1/2 RP² [ad] 3/8 RP² - 8/3 R³ [sive] P² [ad] 3/4 P² - 4/3 R²⁴⁾ ut cylindrus ex ▭AH circa CA ad solidum ex 1/2 Cycloide CFA. hinc ZG ∞ 1/4 P - 16/9 R²/P⁵⁾. quam in libro de Cycloide Wallisius statuit 1/4 P - 4R²/P⁶⁾. Postea vero correxit in lib. de Motu⁷⁾.

Observandum in hoc et omni calculo summam quadratorum esse duplam momenti quod vocant, hoc est, duplam ejus quod fit ex figura plana proposita, in distantiam ipsius centri gravitatis⁸⁾.

1) Voir le § 81 des ‘Tractatus Duo’, p. 516 du ‘Volumen Primum’ cité dans la note 7 de la page précédente. L'artifice en question est basé sur la remarque que dans la Fig. 2 de la p. 348 on a GF = ML et ; par suite, dans la présente figure, 2 Σ EB × × BD est égal au volume d'un cylindre qui a pour base le demi-cercle CBA et pour hauteur la ligne AF.

2) Comparez la dernière ligne de la p. 355.

3) Voir le § 36 de l'ouvrage cité; mais l'erreur a été corrigée depuis dans le ‘Volumen Primum’ (p. 505).

4) Lisez: 3/4 P² - 16/3 R².

5) Puisque les volumes du cylindre et du solide décrit par la demi-cycloïde sont dans la raison composée des aires du rectangle et de la demi-cycloïde (qui sont de 4 à 3; voir le § 2, p. 348) et des distances de leurs centres de gravité à l'axe CA. On a donc , et par suite ; résultat conforme à celui indiqué dans l'inscription de la Fig. 41, p. 376, puisqu'on a P = 2b et R = 1/2 d.

6) Voir le § 35 des ‘Tractatus duo’; mais le résultat erroné fut corrigé depuis à la p. 505 du ‘Volumen Primum’.

7) Voir le § H du ‘Cap. V’ au dernier alinéa de la p. 810 du ‘Volumen Primum’.

8) Wallis calcule partout les moments qu'on doit donc en effet doubler pour les comparer aux ‘sommes’ employées par Huygens dans son calcul.