Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 347]

XI²⁾.
1658-1659.

[Recherches sur les propriétés géométriques de la cycloïde³⁾.]

[Première Partie⁴⁾.]

§ 1⁵⁾.

Jul. 1658.

[Fig. 1.]

ABC est Cycloides. BD diameter circuli genetoris. EF parall. AD. dico EG ∞ esse arcui GB.

Cum B est in E, circulus BGD est in EKH. Et D in H. Ergo arcus KH ∞ ∞ rectae KD. quare et arcus EL sive GB ∞ rectae KD sive NF. Sed NF ∞ GE: nam GF ∞ NE; et addita utrinque NG fit EG ∞ NF. Ergo arcus BG ∞ GE.

2) La Pièce, que nous avons divisée en cinq Parties et en paragraphes, est empruntée aux pp. 23-32 et 67-81 du Manuscrit A. Ajoutons que Huygens résume dans l'‘Horologium oscillatorium’ (p. 69 de l'édition originale) les résultats des recherches qu'elle contient.

3) Voir, quant à la détermination de la développée de la cycloïde, le § 4 de la Pièce N^o. XV, p. 404-405.

4) Cette Partie fait connaître les premières recherches de Huygens sur la cycloïde, entamées peu de temps après qu'il eut reçu par l'intermédiaire de Boulliau (voir la lettre de celui-ci du 28 juin 1658, p. 186-187 du T. II) la lettre circulaire de Pascal, sous le pseudonyme Dettonvillius, intitulée: ‘Problemata de Cycloïde, proposita mense Junii 1658’ (voir les p. 187-189 du T. II). Huygens communiqua le résultat de ces recherches à Boulliau dans une lettre du 25 juillet 1658 (p. 200-201 du T. II).

5) Ce paragraphe contient la déduction de la propriété de la cycloïde, dont Huygens se servira dans les recherches qui suivent.

[p. 348]

§ 2¹⁾.

[Fig. 2.]

Sit HL ∞ HF. et ducantur FE, LN. Erunt duae simul GE et MN ∞ DA. nam GE ∞ arc.GB. Et MN ∞ arc.MB sive GD. Ergo GE + MN ∞ arc.BGD, hoc est ∞ DA. Quod cum semper contingat, hinc facile ostenditur quod spatium AEBGMDA ∞ ▭ HA, hoc est ∞ circ.^oBD. Unde totum cycloidis spatium ABC, triplum erit circuli genitoris BD.

[Fig. 3.]

[Fig. 4.]

FNEG [Fig. 3] cylindrus cujus basis circulus FG ∞ BD [Fig. 4] et GE ∞ ∞ FG. Hic sectus est plano EF in duo aequalia. BH [Fig. 4] ∞ GO [Fig. 3]; KL ∞ arc.BK vel GM vel PQ²⁾. sit HR ∞ KL et sic porro. fit ergo ▭ RS aequale superficiei curvae QT [Fig. 3], et sic in singulis. Unde spatium totum BRVCD ∞ superficiei curvae FGE. Sed spatium BRVCD ∞ BKXDAL ex constructione quasi. Ergo spatium BKXDAL ∞ superf. FGE. hoc est duplo semicirculo FMG vel BXD. Unde rursus patet quod supra demonstratum fuit.

Itaque spatium BLADXB reductum ad BRVCD nihil aliud est quam dimidium involucrum FGE expansum in superficiem planam.

Et si fuerit E∆ ∞ BY, et planum ∆Z parall. plano basis FG, erit semi involucrum Z∆E ∞ spatio XΓBKX, vel YVRB.

Quod si autem E∆ fuerit ∞ 1/2 EG, ideoque ΓXY per centrum circuli BD.

1) Dans sa lettre circulaire Pascal avait demandé en premier lieu la quadrature d'un demi-segment quelconque comme BEF (nous employons les notations de la Fig. 2); mais plus loin il avait signalé en particulier les cas où le point E se confond respectivement avec les points A et K. C'est donc par ces cas spéciaux que Huygens commence ses recherches.

2) C'est-à-dire l'arc dont PQ [Fig. 3] est la projection sur le plan FNEG.

[p. 349]

erit [spat. BLΓXKB ∞] involucrum Z∆E ungulae cylindricae; quadratoque aequabitur à latere E∆ vel ∆Z vel BY³⁾. Itaque spatium BLΓY aequatur quadranti BXY + qu.^oBY. Hoc est, si ΓX (∞ XKB) dividatur bifariam in Ξ, et compleatur ▭ BΞ; hoc aequale erit spatio BLΓY.

3) Voir le § 3. En effet, il est évident que la surface de l'onglet Z∆E est la moitié de celle de de l'onglet FCEH (où EC = AC) de la Fig. 5 dans le cas où Z∆ [Fig. 3.] = GC [Fig. 5].

§ 3⁴⁾.

[Fig. 5.]

AHCFB semisphaera.

CD ∞ CBA. FHDC ungula cylindrica ∞ semisphaerae AHCFB. Et superficies superficiei, curva nimirum curvae⁵⁾. Sit ungula minus alta HEFC. EC ∞ CA. Ergo superf. ungulae FCDH ad superf. FCEH ut CD ad CE, hoc est ut ABC vel AHC ad AC. h.e. ut circulus ad inscr. quadratum. Sed superf. FCDH ∞ 2 circ. AHCF. Ergo superf. FCEH ∞ 2 qu.inscr. h.e. ∞ 2 qu.FC.

sit frustum KMLF abscissum plano KML parall.^o DGC, erit superf. FKL ∞ circ. rad. FL, ut in abscissis superficiebus sphaericis⁶⁾. At superf. FNL ∞ ∞ qu.FL.

4) Quadrature de la partie FKL [Fig. 5] (où KL représente une génératrice quelconque du cylindre) de la surface courbe d'un onglet cylindrique.

5) En effet, lorsqu'on coupe la demi-sphère et l'onglet cylindrique par un grand nombre de plans parallèles au plan DGC il est facile de constater que les volumes des tranches découpées par deux plans consécutifs, respectivement de la demi-sphère et de l'onglet, peuvent être considérés comme égaux l'un à l'autre et qu'il en est de même de leurs surfaces courbes.

6) D'après les considérations de la note précédente.

§ 4⁷⁾.

[Fig. 6.]

Sit BC [Fig. 6] basi parallela. dico spatium ABC datum esse.

Sit enim ungula TQR

7) Ce paragraphe contient la solution du premier des problèmes proposés par Pascal dans sa lettre circulaire de juin 1658; c'est-à-dire la quadrature du demi-segment ABC.

[p. 350]

[Fig. 6.]

[Fig. 7]. TQ, QR ∞ KA [Fig. 6]. Itaque involucrum RQM ∞ spatio ABVLDA¹⁾. Sit QS vel PX ∞ AC. Ergo involucrum OPR ∞ spatio ADB²⁾. Datum autem est OPR involucr. Ergo et ABD spatium. Datum esse OPR hinc patet. Datur superficies MON ∞ 1/2 qu.NM³⁾. Sed et superf.

[Fig 7.]

ONQP datur quae non differt a ▭ BE. Ergo ablatis MON et ONQP ab involucro RQM (quod datum est ∞ qu.QT vel AK) reliquum quoque involucrum OPR datum erit, hoc est ADB spatium. Huic addito segmento ADC, quod datum est (quippe sector ADK datur ∞ 1/2 ▭ EH) datum erit totum spatium ABC. quod erat ostend.

Jam si AC ∞ CK [Fig. 6]. dico spatium ABC esse triplum trianguli ACD⁴⁾. Oportet enim auferre à qu.^oKA, ▭^m EB et 1/2 qu.DL (∞ MN [Fig. 7]) ut fiat reliquum ∞ spatio ADB. Item ut fiat segmentum ADC, oportet à sectore ADK hoc est 1/2 ▭^o HE, h.e. ▭^o BE auferre ∆KCD. Ergo ut fiat

1) Comparez le dernier alinéa du § 2, p. 348-349.

2) C'est-à-dire l'espace limité par l'arc de cercle AD, la droite DB et l'arc cycloïdal BA.

3) Voyez la dernière ligne du § 3 (p. 349), et considérez que LN (Fig. 5) = 2NO (Fig. 7).

4) Ce résultat simple, d'où il suit que dans le cas en question le demi-segment ABC est carrable sans supposer la quadrature du cercle, attira l'attention de Pascal, qui en fait mention dans son ‘Histoire de la Roulette’ (citée quant à l'édition latine qui parut simultanément avec l'édition française dans la note 2, p. 276 de notre T. II) dans les termes suivants: ‘J'ay trouvé de belles choses dans leurs Lettres, et des manieres fort subtiles de mesurer le plan de la Roulette, et entr'autres dans celles de Mr. Sluze, Chanoine de la Cathedrale de Liège, de Mr. Richi, Romain, de Mr. Huguens, Holandois, qui a le premier produit que la portion de la Roulette retranchée par l'ordonnée de l'axe, menée du premier quart de l'axe du costé du sommet, est égale à un espace rectiligne donné. Et j'ay trouvé la mesme chose dans une Lettre de Mr. Wren, Anglois, écrite presque en mesme temps’ (voir la p. 202 du T. VIII de l'édition des ‘OEuvres de Blaise Pascal’, citée dans la note 4 de la p. 196). Ajoutons que c'est la seule fois que les recherches de Huygens sur la cycloïde soient mentionnées par Pascal dans ses publications.

[p. 351]

otum spatium ABC oportet ab additis simul qu.^oAK et ▭ BE auferre ▭ EB et 1/2 qu.DL, et ∆KCD. Sed ▭ BE se ipsum tollit. Ergo qu.AK - 1/2 qu.DL - ∆KCD ∞ spatio ABC. Sed 1/2 qu.DL ∞ ▭ EY. Ergo qu.ex AK sive q.AL⁵⁾ - ▭ EY - ∆KCD ∞ spatio ABC, hoc est ▭ AE - ∆KCD; hoc est 3 ∆ADC ∞ spatium ABC. quod erat ostend.

[Fig. 8.]

Si AC⁶⁾ major quam CK. Erit spatium ABC ∞ ∞ trapezio ACEZ + ▭ BO⁷⁾. (dividitur ZE in O bifariam.) h.e. ▭ XB + + ∆CDM⁸⁾. segm. ABV ∞ ∞ ∆DCM - ∆CBK⁹⁾.

Si AC minor quam CK¹⁰⁾. Erit spatium ABC ∞ trapezio ACEZ - ▭BO. h.e. ∆CDM - ▭XB. segm. abscissum rectâ AB ∞ ∆DCM - ∆CBK nam si ad ∆DCM - ∆CBK addatur ∆ABC fit ∆DCM - ▭XB quia CK ∞ AC + 2CX.

5) C'est-à-dire le carré dont A et L sont des sommets opposés.

6) Voir la Fig. 8, où il s'agit du point C situé sur la ligne AM au-dessous du point X.

7) On obtient ce résultat en appliquant au cas général autant que possible les réductions qui ont conduit au résultat simple déduit dans l'alinéa précédent. À cet effet considérons d'abord la Fig. 6. On trouve en appliquant les considérations exposées dans cet alinéa: demi-segm. , où l'on peut remplacer □KY - ▭EY par ▭AE. Passant ensuite à la Fig. 8, on a: demi-segm. , où et .

8) On a: , où et .

9) On a segm. , où .

10) Voir le point C qui se trouve entre les points A et X et la partie de la Fig. 8 à droite de l'axe AM.

[p. 352]

Si AN¹⁾ major AK [Fig. 9.] Erit spatium AΓN ∞ trapez. AZTN + ▭ OΓ h.e. ∞ ▭XΓ + ∆ADC (idem enim est sive ▭^oOΓ addatur trapez.

[Fig. 9.]

AZTN, sive addatur ▭AO + ▭ON - ∆NTS. est autem ▭OΓ + ▭ON ∞ ∞ ▭XΓ. Et ▭AO - ∆NTS ∞ ∆ADC vel NSM, nam ▭AO ∞ ∆ADK quia AK ∞ 2AX. sed ∆NTS ∞ ∆CDK. Ergo ▭AO - ∆NTS ∞ ∆ADC vel NSM) h.e. ∞ ∆AΓN + ∆KΓN²⁾ + ∆NSM. Ergo segmentum AΓB ∞ ∞ ∆KΓN + ∆NSM.

^3)4)5)6)7)

1) Ce qui suit se rapporte également aux deux points N qu'on trouve sur l'axe AM.

2) On a , puisque .

3) Huygens va déduire encore quelques relations entre les aires de diverses parties de la Fig. 9. Ajoutons que les raisonnements géométriques ne sont pas partout faciles à suivre, mais que nous avons vérifié analytiquement l'exactitude des résultats obtenus.

4) Voir le deuxième alinéa du § 2, p. 348. D'après cet alinéa l'espace BRVCD de la Fig. 4, qui est identique avec l'espace AWIM de la présente figure, est égal à l'aire du cercle générateur, laquelle est représentée par le rectangle KI.

5) On a d'après ce qui précède ; mais AWC est égal à l'espace limité par l'arc de cercle AD, la droite BD et l'arc cycloïdal BA. Or, cet espace correspond à l'espace ADB de la Fig. 6, p. 350, qui, d'après le deuxième alinéa de la p. 350, fut trouvé égal ; c'est-à-dire, en retournant à la Fig. 9, à ▭AT - ▭TB.

6) ASN représente ici le demi-segment de cercle ADSNA.

7) Comparez les premières lignes de la p. 352.

[p. 353]

§ 5⁸⁾.

[Fig. 10.]

Centrum gravitatis 1/2 circuli BGD est in HG. Si itaque centrum grav. spatij BGDAEB sive BFADB⁹⁾ inventum fuerit altitudine tenus. dabitur totius spatij

8) Outre la détermination de l'aire d'un demi-segment quelconque BEF de la cycloïde (voir la Fig. 2, p. 348) Pascal avait demandé dans sa lettre circulaire de juin 1658 (voir la note 4 de de la p. 347) la détermination du centre de gravité d'un tel demi-segment, la cubature des solides engendrés par sa révolution autour des axes EF et BF, et la situation des centres de gravité de ces solides; comme aussi des solides qu'on obtient en les coupant en deux parties égales par un plan passant par leur axe. Huygens qui considérait ces problèmes pour la plupart comme très difficiles (voir sa lettre à Boulliau p. 200 du T. II) ne s'est occupé en premier lieu que de ceux qui lui semblaient les plus abordables. Quant au centre de gravité du demi-segment il ne cherche qu'à déterminer sa distance à la base EF; ce qui est identique à la détermination du centre de gravité du segment entier. Ce n'est que plusieurs mois plus tard (voir la Cinquième Partie, p. 376, et surtout la note 1 de cette page) qu'il a repris, après avoir pris connaissance des méthodes de Pascal, le problème de la situation du centre de gravité du demi-segment, en déterminant cette fois la distance de ce centre à l'axe BD de la cycloïde.
Dans le présent paragraphe Huygens commence ses recherches par les deux cas spéciaux signalés par Pascal (voir la note 1 de la p. 348); c'est-à-dire il détermine les centres de gravité des espaces EBLE et ABCA de la Fig. 10. Ensuite il en déduit aisément les cubatures des solides engendrés par leur révolution, respectivement autour des axes EL et AC.

9) Voir sur la construction de la courbe AFBKC le deuxième alinéa de la p. 348. La partie BKC de la présente figure correspond à la partie BRVC de la Fig. 4, pour laquelle partout RH = KL = arc. BK.

[p. 354]

[Fig. 10.]

[Fig. 11.]

BEAD centr. gr. altitudine tenus. quia et spatiorum ad se mutuo ratio data est¹⁾. spatium BFADB est involucrum semicylindri bad [Fig. 11]²⁾. Ergo hujus centr. gr. altitudine tenus quaerendum est. superficiei cylindricae bfd centrum gr. est in fh³⁾: puta n⁴⁾, quod postea invenietur. superficiei cyl. afd centr. gr. est in fq. Sicut involucrum abd ad fbd ita sit nf ad fs. et sp parall. bd. Ergo totius involucri abd centr. gr. erit. in sp⁵⁾. Sed et in ah. Ergo in intersectione r. Sit ro parall. ad. Ergo sicut bd dividitur in o, ita centrum gr. spatij AFBKC [Fig. 10] dividet diametrum BD.

Ad inveniendum vero centr. gr. supert.

1) Comparez le premier alinéa du § 2, p. 348.

2) Comparez le deuxième alinéa de la p. 348.

3) Dès ici Huygens considère les surfaces entières des deux côtés du plan abd de la Fig. 11.

4) Remarquons que le point n, centre de gravité de la surface cylindrique bfd, se trouve sur la ligne fh quoique la lettre n soit placée à une certaine distance de cette ligne.

5) La ligne fh est considérée comme le bras d'un levier qui porte en f le poids de la surface afd et en n celui de la surface bfd, on peut donc remplacer ces poids par celui de la surface entière abd, suspendu en s, pourvu que .

[p. 355]

[Fig. 12.]

cyl.^ae bfd vel bfh, comparo hanc superficiei sphaericae minimae ABC [Fig. 12] nam sicut DE, quae per centrum gr. hujus secat AC, ita necessario punctum n dividet fh⁶⁾. semisphaerae superficiei FLC centr. grav. Q dividit AL bifariam, ut ostendetur postea⁷⁾. Sit ut FC ad FLC ita AQ ad AM. Erit Q centr. grav. 1/2 circumf. SME. Sed et Q centrum gravit. est superf. sphaericae FLC. Ergo singularum partium superficiei ut ABC centrum gravit. debet esse in circumf.^a SME. Sed AQ ad AM ut FC ad FLC, ideoque AL ad AM ut 2FC ad FLC, h.e. ut AL ad 1/4 FLC. Ergo AM vel AE ∞ 1/4 FLC. Unde et fn [Fig. 11] ∞ 1/4 agd⁸⁾. Sit fc quae bifariam secet bh; nk parall. hb; ke parall. fh. Quia ergo ch ∞ 1/2 bh vel 1/2 hf, erit kn, sive eh ∞ 1/2 nf. h.e. ∞ 1/8 agd. Itaque sumptâ in super[iore] fig. [Fig. 10] He ∞ 1/4 arc. BG, erit e centr. gr. spatij FBK. sive duorum BGE. BML⁹⁾. Porro quia ut involucr. abd [Fig. 11] ad fbd h.e. ut agd ad ad¹⁰⁾ ita nf ad fs; estque nf ∞ 1/4 agd. Erit et fs ∞ 1/4 ad sive ∞ 1/2 fh. Unde et hr ∞ 1/4 ha. Ergo et ho ∞ ∞ 1/4 hd. Ideoque bo ad od ut 5 ad 3. Ergo in super. fig. [Fig. 10] sumpta Bo partium 5 qualium BD est 8, erit o centr. gr. spatij AFBKC. sive utriusque BEADGB, BLCDMB. haec vero aequantur duplo circ.^o BD¹¹⁾; Ergo divisa Ho in z ut sit Hz dupla zo, erit z centrum grav. spatij cycloidis totiu ABC. Do est 3/8 sive 9/24 BD et oz ∞ 1/24 BD. Ergo Dz ∞ 10/24 sive 5/12 BD¹²⁾.

6) Évidemment les centres de gravité des différentes parties de la surface cylindrique fbh, découpées par des plans perpendiculaires sur le plan de projection abd et passant par f, se trouvent sur une même ligne verticale qui passe par n. Il suffit donc, pour connaître cette ligne, de déterminer le centre de gravité d'une seule de ces parties, pour laquelle Huygens choisit celle qui contient le demi-cercle dont fh est la projection, parce qu'elle peut être considérée comme ne différant pas appréciablement d'un secteur sphérique.

7) Huygens n'a pas fait suivre la démonstration de cette proposition bien connue.

8) Voir le demi-cercle en bas de la Fig. 11.

9) Puisqu'on connaît aussi l'aire de ces deux espaces (voir les derniers deux alinéa's du § 2, p. 348-349) et de même le centre de gravité et l'aire du demi-cercle GBM le problème de trouver le centre de gravité du segment EBL peut être considéré comme résolu.

10) On a évidemment invol. , et l'on trouve fbd = 2fbh = 2Z∆E (Fig. 3) = 4E∆² (voir le dernier alinéa du § 2, p. 348-349) = .

11) Comparez le premier alinéa du § 2, p. 348.

12) Comparez, pour une autre détermination du centre de gravité z, l'Appendice à la Pièce N^o. XV, p 406.

[p. 356]

Ratio solidi a Cycloide facti circa axem AC ad cylindr. à ▭AR circa axem eundem componitur ex ratione spatij cycloidis ad spatium ▭ⁱ AR, hoc est ex ratione 3 ad 4; et ex ratione Dz ad DH, quae est 5 ad 6. Ergo solidum cycloidis ad dictum cylindrum crit ut 15 ad 24 hoc est ut 5 ad 8.

[Fig. 10.]

Ratio solidi à spatio FBK (ungulae nimirum involucro) circa FK axem ad cylindrum à ▭FW, componitur ex ratione spatij FBK ad ▭FW, hoc est ex ratione HG ad FH (nam spatium FBK ∞ 2 qu.HG¹⁾), et ex ratione eH ad cH, hoc est ex ratione 1/4 [arc.] GB vel 1/4 FH ad 1/2 HG h.e. FH ad 2HG. Ergo eadem est quae HG ad 2HG, hoc est quae 1 ad 2. Est autem solidum ab FBK aequale ei quod à duobus spatijs BGE, BML. Ergo si solido ab FBK hoc est cylindro à ▭^oFB addatur sphaera BD, vel cylindrus ipsi aequalis, oritur solidum ab EBL circa axem EL.

1) Voir les derniers deux alinéa's du § 2, p. 348-349.

§ 6²⁾.

[Fig. 13.]

BDC est frustum cylindri cujus cylindri basis est circulus FED. frusti basis est segmentum EBD vel potius hujus duplum. Oporteat invenire centrum gravitatis involucri BDC.

ut DE arcus ad EB ita est AD radius ad AQ³⁾ ut Q sit centrum gr. arcus DE (dupli scilicet), ideoque et involucri LD. Quare si▭BO suspendatur ex F, illud suspensa libra ex A, aequiponderabit invo-

2) Après avoir trouvé le centre de gravité d'un segment cycloïdal dans les deux cas spéciaux indiqués par Pascal (voir la note 1 de la p. 348), Huygens découvre une méthode plus générale (et en même temps plus facile) qui peut servir à déterminer le centre de gravité du segment découpé par une droite quelconque parallèle à la base de la cycloïde. À cet effet il commence par chercher le centre de gravité de la surface courbe d'un onglet cylindrique BDC [Fig. 13] (∠CBD = 45^o) où la distance AB peut être choisie à volonté.

3) Voir le point Q sur la ligne BD.

[p. 357]

lucro LD ut positum est⁴⁾. Similiter ▭PQ⁵⁾ ex F suspensum aequiponderabit (ex A) involucro MN, atque ita totum segmentum BDE ex F suspensum aequiponderabit involucro BCD et duplum duplo. Sicut igitur involucrum BCD ad segmentum BDE ita si siat FA ad AR. Erit R centr gr. vel certè sub centro grav.^is involucri BDC. Est autem et in BS quae bifar. secat DC idem gr. centrum. Ergo datum erit in intersectione V. Et facta VT parall.^a BD dabitur quoque ratio CT ad TD.

[Fig. 14.]

Si igitur involucrum BDC exporrectum fuerit in plano [Fig. 14], faciens partem quamlibet involucri semicylindrici ut BCX, ejus centrum gr. in diametro CD inveniri poterit. Et haec methodus brevior meliorque est quam qua paulo ante totius involucri centrum gr. ut et involucri ungulae, quod est αCβ, quaerebamus⁶⁾.

[Fig. 15.]

Cumque centr. gr. involucri BCX hoc est duorum spatiorum CRL, CNO [Fig. 15] inveniri possit, itemque centr. gr. segmenti circularis RCN. datum igitur est partis LCO centr. gr. quae qualitercunque lineâ LO basi parallela à cycloide abscinditur. Sed et dimensio data est partis ejusmodi per antecedentia⁷⁾. Ergo et solidum quod ab ea efficitur circa axem LO conversione factâ⁸⁾.

4) On a arc. , c'est-à-dire: arc. ; d'où il suit, en effet, que le rectangle BO suspendu en F fera équilibre avec la surface cylindrique BN suspendue en Q sur un levier dont le point d'appui est en A.

5) Il y a dans la figure double emploi de la lettre Q. Cette fois il s'agit de celle qui se trouve en bas près des points E et O.

6) Voir le § 5, p. 353-355.

7) Voir au § 4 les p. 349-350.

8) Remarquons que Huygens s'est contenté de cette solution potentielle sans plus s'occuper des calculs qu'elle exigerait.

[p. 358]

[Deuxième Partie¹⁾].

§ 1²⁾.

[Fig. 16.]

[Fig. 17.]

Iisdem positis quae in propositione (hoc signo notata³⁾) aequiponderat, (ex k suspensa librâ [Fig. 16]) segmentum def (aequale abc), involucro agbc ut positum est⁴⁾. Involucrum hoc expansum in plano sit lmn [Fig. 17], nempe ln ∞ arcus abc. superque ea basi parallelopipedum⁵⁾ intelligatur, idque plano lpn sectum esto, ut fiat ungula seu cuneus lmnp, minimus quasi.

1) Dans cette Partie, composée quelques mois plus tard que la Première Partie, Huygens s'occupe de nouveau d'un des problèmes proposés par Pascal (voir la note 8 de la p. 353); c'est-à-dire de la détermination du centre de gravité du solide engendré par une demi-révolution du segment cycloïdal LCOL (voir la Fig. 15) autour de la corde LO.

2) Dans ce paragraphe Huygens cherche une solution potientielle (c'est-à-dire sans exécution des calculs indiqués) du problème dans le cas le plus général où LCOL (Fig. 15) est un segment quelconque dont la corde est parallèle à la base de la cycloïde.
Afin d'expliquer la manière dont Huygens attaque ce problème nous faisons remarquer que pour trouver le centre de gravité du solide en question, il suffit de connaître la situation du centre de gravité d'un secteur infinitésimal engendré par la rotation du segment LCOL autour de l'axe LO par un angle infiniment petit. En effet les centres de gravité de tous les secteurs infinitésimaux qui composent le solide se trouvent alors sur un demi-cercle dont on peut déterminer le centre de gravité en supposant que sa densité soit partout égale. Or, Huygens applique ce procédé en premier lieu à la figure LCONCRL (Fig. 15), qu'on peut remplacer par le segment BCXB qui est identique avec le segment lmnl de la Fig. 17. Pour déterminer le centre de gravité du secteur infinitésimal engendré par le segment entier LCO [Fig. 15] le même procédé devrait être appliqué ensuite au segment de cercle RCN. On n'en trouve rien dans le présent manuscrit, ni dans les autres manuscrits de Huygens. Toutefois il nous semble probable que ce travail a été exécuté par Huygens. En tout cas il l'a achevé pour le cas spécial discuté dans la note 6 de la p. 361 qui suit.

3) Voir le § 6 de la Première Partie, p. 356, où l'on retrouve dans la Fig. 13 le même signe de renvoi.

4) Comparez le deuxième alinéa du § 6 cité dans la note précédente.

5) Lisez: ‘cylindrum’.

[p. 359]

Oportet invenire quomodo hujus centrum gr. s dividat diametrum om. super basi circulo abch, conus intelligatur maximus cujus latera hz, bz. hujus coni pars quam cum ungula acbg communem habet si ab ungula auferri intelligatur, supererit solidum quoddam cavum minimum; quod solidum (si fuerit angulus gbz ∞ pom in cuneo) nihil aliud erit quam ipse ille cuneus inflexus veluti. Sit etiam super segmentum def extructa ungula defht, ut sit angulus eht ∞ mop vel gbz. tum inscriptis ▭^is aequalis altitudinis in segmento def super ijs parallelopipeda intra ungulam excitentur, et totidem annularia solida intra solidum cavum aucbg formentur. horum singula singulis dictis parallelopipedis aequiponderabunt, quia involucra (ex propos. ³⁾) basibus parallelopipedorum aequiponderant et utraque in eandem altitudinem ducuntur. Ergo apparet ungulam ipsam defht aequiponderare solido cavo aucbg. Quare si fiat ut solidum cavum

[Fig. 18.]

aucbg ad ungulam defht ita kh radius ad ko [Fig. 18] erit o sub centro gr. dicti solidi cavi. Sed quaenam est ratio solidi cavi, sive cunei lmnop [Fig. 17] ad ungulam defht? Eam dico datam esse. Est enim eadem quae solidi ex conversione involucri expansi lmn circa ln [Fig. 17], ad solidum ex conversione segmenti def circa df. Illud solidum ex ijs quae ex Prop. deduximus datum est⁶⁾. alterum similiter datum est quoniam segmentum def magnitudine datur datâ cycloide⁷⁾, itemque segmenti centr. grav. Ergo quum utraque solida sint data etiam ratio ad se invicem data erit. quare itaque et ratio kh ad ko [Fig. 18]. ducta ergo oq parall. bg in ea erit centr. gr. solidi cavi aucbg [Fig. 16], sed et in recta ir [Fig. 18], quae ita dividit bg ut br sit dupla rg. quia videlicet ex triangularibus solidis, quale gbβ, totum cavum solidum aucbg

3) Voir le § 6 de la Première Partie, p. 356, où l'on retrouve dans la Fig. 13 le même signe de renvoi.

6) Puisqu'on connaît, d'après le § 4 (p. 349-350) de la Première Partie, l'aire du segment lpnl (Fig. 17) dont la moitié est égale à la différence des aires cycloïdales et circulaires ABC et ADC de la Fig. 6 (p. 350), et de même, d'après le § 6 (p. 356-357) de cette Partie, la situation de son centre de gravité T (Fig. 14).

7) Huygens veut dire que, si la cycloïde est considérée comme donnée, on connaît aussi la rectification d'un arc de cercle et, par conséquent, la quadrature d'un segment de cercle.

[p. 360]

[Fig. 16] componi intelligi potest. quorum singulorum centra gr. in plano per ri [Fig. 18] ducto¹⁾. Ergo centrum ipsius grav. datum erit in intersectione q. Sit qy parall. ib. Ergo sicut y secat gb similiter s [Fig. 17] secabit cunei diametrum om.

1) C'est-à-dire en coupant le solide par des plans qui passent par l'axe du cône hzb (Fig. 16).

§ 2²⁾.

Examinemus casum illum cum lmn³⁾ totius semicylindri est involucrum.

[Fig. 19.]

[Fig. 20.]

hic ratio solidi quod ex involucro lmn [Fig. 20], ad solidum ex circulo mo circa ln, sive solidum ex circulo de [Fig. 19] circa hb, ea est quae 3 ad 2 ut ex superioribus facile colligitur⁴⁾. Ergo ea quoque ratio erit cunei lmnop, sive solidi cavi ibgβ ad ungulam detfh. Ergo etiam kh ad ko ut 3 ad 2. Ergo hb ad bo item hr ad rq, item br ad ry ut 6 ad 1. sed br erat ad rg ut 6 ad 3. Ergo erit gy ad yb ut 4 ad 5. Ideoque et ms [Fig. 20] ad so ut 4 ad 5: et s centr. gr. cunei lpnm⁵⁾.

2) Dans ce paragraphe Huygens examine le cas spécial où la cycloïde entière lγmζn (Fig. 20) fait une demi-révolution autour de sa base ln.

3) Il s'agit de la surface plane lδmεn (Fig. 20), qu'on obtient par le développement de la surface courbe du cylindre ibg de la Fig. 19.

4) Posant r pour le rayon du cercle générateur de la cycloïde, on trouve, d'après le premier alinéa de la p. 356, 5π²r³ pour le volume du solide engendré par la révolution de la cycloïde lγmζn autour de sa base. Le théorème de Guldin nous donne 2π²r³ pour le volume du solide engendré par le cercle oπmϱo. Le volume engendré par l'aire olγmπoϱmζno est donc égal à 3π²r³; mais il ne diffère pas du volume engendré par l'aire lδmεnl. Il en résulte que ce dernier volume est à celui engendré par le cercle oπmϱo autour de ln, ou du cercle de autour de db, comme 3 à 2.

5) Il s'agit du secteur infinitésimal décrit par l'aire lδmεnl.

[p. 361]

Sit nunc super basi tota cycloide lpn cuneus constitutus lγpnom. Ejus cunei duae partes lγpδ, pεnζ habent punctum sub centro gr. in mo quam ita dividit quemadmodum ungulae oπmρp centro gr.^is suppositum. cum nihil aliud sint quam haec ungula diducta. Ergo id centr. gr. θ [Fig. 20 et 21] ita dividit rectam om ut pars versus m sit 3, reliqua 5⁶⁾. ex ms ∞ 4/9 [mo] aufer mθ ∞ 3/8 [mo], relinquitur θs ∞ 13/72

[Fig. 21.]

(5/72)⁷⁾ mo. haec θs dividatur in λ [Fig. 21] ut sit θλ dupla⁸⁾ (sesquialt.) ipsius λs, fit λs ∞ 13/216 (1/36)[mo] cui additâ so ∞ 5/9 [mo] fit λo ∞ 133/216 (7/12) totius mo. λ autem est centr. gr. cunei lγpζnom [Fig. 20]. Sit solidum ex cycloide ortum circa axem ln [Fig. 20] eoque per axem eundem ln secto⁹⁾ quaerendum sit hujus medietatis centr. gr. Sectio quae bifariam hanc medietatem dividit, sit circulus σmφ [Fig. 22] et sumpta oλ ∞ 133/216 (7/12)om sit designata circumferentia χλξ. in hac

[Fig. 22.]

quia centr. gr. sunt omnium cuneorum cycloidalium dicti semisolidi; erit proinde periferiae χλξ centr. gr. idem quoque semisolidi dicti. Ergo ut semiperiferia circuli ad diametrum, hoc est ut dimidia basis cycloidis lo [Fig. 23] ad ejusdem altitudinem om ita sit λo nempe 133/216 (7/12)om ad oω, eritque ω centr. gr. semisolidi

6) En effet, à l'aide de l'analyse moderne, il est facile de constater que le centre de gravité θ du secteur infinitésimal engendré par le cercle oπmϱo doit partager le segment om dans le rapport de 3 à 5, indiqué par Huygens. Mais comment celui-ci a-t-il obtenu ce résultat? Il y a raison de supposer qu'il était en possession d'une méthode, que nous ne connaissons pas, pour déterminer le centre de gravité du secteur infinitésimal engendré par un segment de cercle quelconque tournant autour de sa corde et qu'il a appliqué cette méthode au calcul du cas spécial en question; comparez la note 2 de la p. 358.

7) Huygens commet ici la première des erreurs de calcul qu'il signale dans la dernière phrase de ce paragraphe. Plus tard, ayant pris connaissance du résultat de Pascal, il a corrigéces erreurs. Or, nous donnons dans le texte la leçon primitive, sauf à ajouter, comme ici, entre parenthèses, les corrections que Huygens y a apportées plus tard.

8) C'est la deuxième erreur. Évidemment la distance θs (Fig. 21) doit être partagée dans la raison réciproque des secteurs infinitésimaux dont θ et s représentent les centres de gravité. Or, le rapport de ces secteurs, qui est le même que celui des solides de révolution complets, a été trouvé de 2 à 3; voir la note 4 de la page précédente.

9) C'est-à-dire par un plan passant par cet axe; voir le plan lΞ nΠ de la Fig. 23, p. 362.

[p. 362]

[Fig. 23.]

dicti. sive ut lo ad om ita sit haec ad aliam oΔ, et sumatur oω ∞ 133/216¹⁾ (7/12) ipsius oΔ. Eritque ω centr. gr. ut prius solidi cycloidalis dimidij.

Itaque ducta ωΦ parallela ol, in ipsa erit centrum gr. medietatis lΞmπ, cujus centr. gravitatis Gallus postulat²⁾.

(Hoc³⁾ est si fiat ut tota ln, sive circumferentia genitoris ad ejus diam. mo ita haec ad aliam; hujus 7/6 aequantur ipsi oω. Hoc est ut 6 circumf.^a ad 7 diam. ita erit diameter mo ad oω.)

(duplicem calculi errorem commiseram⁴⁾. methodus rectè se habebat.)

1) Ce résultat erroné fut communiqué à Boulliau dans une lettre de Huygens du 19 septembre 1658 (voir la p. 220 du T. II) et de même à Carcavy dans une lettre du 16 janvier 1659 (p. 315 du T. II). En ce dernier mois Huygens reçut de la part de Pascal quelques ‘auant-coureurs’ du ‘traitté de la Roulette ou L'anonime’ (Pascal lui-même sous le pseudonyme de Dettonville) ‘a resolu les problemes quyl auoit luy mesmes proposez’ (voir la p. 310 du T. II). Ces avant-coureurs contenaient entre autres le début de la ‘Lettre de monsieur Dettonville à monsieur de Carcavy cy-devant conseiller du Roy en son Grand-Conseil’ dans laquelle on lit ‘Le Centre de gravité du demi-solide de la demi Roulette, tournée à l'entour de la base, est distant de la base d'une droitte qui est au Diamettre du Cercle Generateur comme sept fois le Diamettre à six fois la circonference’ (p. 335 du T. VIII de l'édition des ‘OEuvres de Blaise Pascal’, citée dans la note 4 de la p. 196). C'est cette communication qui incita Huygens à réviser son calcul et à y apporter les corrections et additions que nous avons mises entre parenthèses, de sorte qu'il put écrire à Pascal en février 1659 (p. 340-341 du T. II) ‘Mesme dans ce que je creus avoir trouvè j'ay commis une erreur insigne, de la quelle je ne me suis apperceu que depuis avoir veu que mon calcul ne respondoit pas au vostre. Je parle de la proportion que vous avez trouuè de 7 fois le diametre à 6 fois la circonference, qui est vraye, et non pas la miene, que je croy, que vous aurez vu dans la lettre que j'ay envoyée à Monsieur de Carcavy’. On peut encore consulter à ce sujet les pp. 345 et 348 du T. II.

2) Dans sa seconde lettre circulaire ‘Ad problemata de Cycloide Addimentum’ (p. 196-197 du T. II), parvenue à Huygens en juillet 1658 par l'intermédiaire de Boulliau (voir la p. 196 du T. II), Pascal avait insisté particulièrement sur la détermination du centre de gravité du solide lΞmπ. C'était le seul problème dont il exigeât le calcul complet; mais on voit que Huygens n'avait pas réussi à en trouver la solution, puisqu'il manqua la détermination de la distance du centre de gravité en question au plan Ξmπ.

3) Les phrases entre parenthèses furent ajoutées plus tard en janvier ou février 1659.

4) Consultez les notes 7 et 8 de la p. 361.

[p. 363]

[Troisième Partie⁵⁾.]

§ 1⁶⁾.

1659. 11 Jan.

5) Dans la deuxième semaine de janvier 1659, Huygens reçut de la part de Pascal (voir les pp. 309, 310, 312 et 313 du T. II) l'‘Historia Cycloidis’, où il lut que Wren avait rectifié la cycloïde et l'avait trouvée égale au quadruple de son axe (voir la p. 219 du T. VIII de l'édition de Brunschwicg, etc. des OEuvres de Pascal). De plus, Pascal y énonce (p. 221-222) de nouveaux problèmes, savoir de déterminer le centre de gravité d'un are cycloïdal, la dimension de la surface de révolution décrite par un tel arc tant autour de la base ‘ce qui est facile’ qu'autour de l'axe , et enfin ‘le centre de gravité de cette surface, ou demy surface, ou quart de surface, etc.; ce qui est le plus difficile et proprement le seul que je propose’. C'est sans doute à propos de ces communications que Huygens entreprit les recherches que nous avons reproduites dans cette Partie. On remarquera que Huygens n'a pas entamé les problèmes signalés comme difficiles par Pascal. Probablement était-il persuadé que ses méthodes n'y suffisaient pas.

6) Ce paragraphe nous donne des renseignements, quoiqu'incomplets, sur la manière dont la rectification de la cycloïde fut d'abord obtenue par Huygens. Bientôt après il découvrit une voie plus courte pour arriver au même résultat; on en trouve l'exposition dans le § 2 qui suit.

[Lemma].

[Fig. 24.]

[AC ∞ d]; BD ∞ DC; DH perpend. AC; HC ∞ HF [∞ a].

⁷⁾

Sed et AF ∞ d - 2a; Ergo AB ∞ AF.

Sed AG media prop. inter FA et AC.

Ergo AG media prop. inter AB, AC. Ergo ▭BA, AC ∞ qu.AG sive ∞ ∞ ▭FAC hoc est ∞ qu.AC - 2qu.CD.

Curvae pars AS [Fig. 25] ad AN rectam ut quadr.AC - 2qu.CD, hoc est

7) BQ est perpendiculaire à ED qui est parallèle à AB.

[p. 364]

[Fig. 25.]

▭BAC ex lemm. praec., ad 1/2 qu. AB, hoc enim demonstrabo¹⁾. atqui AN ad AB ut 1/2 qu.AB ad 1/2 ▭BAC. Ergo ex aequo erit curva AS ad AB ut ▭BAC ad 1/2 ▭BAC hoc est ut 2 ad 1.

facilius hoc demonstr. in sequentibus²⁾.

1) Nous ne connaissons pas cette démonstration qu'on ne trouve pas dans les manuscrits dont nous disposons.

2) Voir le § 2, qui suit.

§ 2³⁾.

Lemma [I.]⁴⁾

[Fig. 26.]

CD arcus ∞ DB; DH perpend. AC. HF ∞ HC. Ostend. AF ∞ AB.

Dem. quia HF ∞ HC et DH perpend. erit DF ∞ DC hoc est ∞ DB. est autem in triang. ABD, AFD, ∠ABD ∞ ∞ ∠AFD quia hic una cum ∠DFC, ille cum ∠DCF (ipsi DFC aequali) aequatur 2 rectis⁵⁾. Sed et latus AD triangulis ABD, AFD commune, ergo et latus AF ∞ AB. qu. erat dem.

3) Rectification d'un arc cycloïdal.

4) Comparez le ‘Lemma’ du § 1, p. 363.

5) Puisque ∠ABD a pour mesure la moitié d'une demi-circonférence + arcDC et ∠ACD la moitié d'une demi-circonférence - arcDC.

Lemma [II.]

[Fig. 27.]

in ∆ECD, ∠D + ABD ∞ ang. . ∠C + ∠ECA sive + ∠EBA ∞ ∠. Ergo ∠C superat ∠D angulo EBD.

[p. 365]

[Fig. 28.]

CD est parallela tangenti FG⁶⁾. ducendo autem CN ita ut ang. DCN sit aequ. dimidio CBE, fit ∆NEC isosceles, cruribus aequalibus EN, EC⁷⁾. Omnes autem CN habeantur pro longitudine curvae BFH⁸⁾.

Quaero jam quam rationem habeant omnes CN ad omnes CO, quae sunt perpend.^es in Δ^lis ECN. ista enim ratio inveniri potest, et dupla esse ostenditur. Ergo curva BFH dupla rectae BA.

Quod autem omnes CN ad omnes CO duplae sunt sic ostenditur. Anguli E triangulorum CEN aequaliter crescunt ut numeri 1, 3, 5, 7, 9, 11 &c. Habent autem singuli crura eidem EC aequalia. sunt ergo omnes CN subtensae arcuum aequaliter crescentium usque ad semicircumfer.^m in circulo cujus radius EC.

Perpendiculares verò CO sunt eorundem arcuum omnium sinus. atqui omnium arcuum istorum subtensas omnium sinuum suorum duplos esse constat, infinitâ consideratâ multitudine. nam sinus quidem omnes tantundem efficiunt atque duplum sinuum arcuum omnium usque ad circuli quadrantem; subtensae autem omnes duplae sunt sinuum omnium ad quadrantem, sed duplo plurium numero; qui sinus duplo plures, quum simul dupli sint duplo pauciorum; hinc et subtensae omnes ad semicirculum duplae erunt omnium sinuum qui ad eosdem arcus pertinent⁹⁾.

6) Il était, en effet, connu que BC, dont CD est le prolongement, est parallèle à la tangente FG à la cycloïde. D'ailleurs Huygens en donne plus loin une démonstration; voir la Quatrième Partie, p. 374-375.

7) Consultez le ‘Lemma II’. Afin d'obtenir l'égalité des angles ECN et CNE, on doit évidemment diminuer l'angle ECD de la moitié de sa différence d'avec l'angle CDE.

8) Puisque la différence entre CD et CN peut être négligée.
Il est d'ailleurs curieux de remarquer combien facilement dès ce moment la rectification d'un arc cycloïdal quelconque aurait pu être obtenue. Abaissons à cet effet du point E sur CN une perpendiculaire EK. On a alors arc.BG = ΣCN = 2ΣCK = 2BE; c'est-à-dire, en négligeant, comme Huygens commence à le faire de plus en plus librement, des différences qui disparaissent à la limite.

9) Soit n le nombre des divisions. Puisqu'on a corde φ = 2 sin 1/2 φ, il est évident que la somme de toutes les cordes, étendue à la demi-circonférence, est égale au double de la somme d'un nombre égal de sinus qui se trouvent tous dans le premier quadrant. Or, lorsque n est suffisamment grand, ou peut admettre que les points terminaux de ces sinus sont répartis également sur l'arc de cercle. Lorsqu'on les répartit ensuite d'une manière égale sur les deux premiers quadrants, sans changer leur nombre, leur somme ne change pas et peut être considérée comme égale à celle des sinus appartenant aux n divisions primitives de la demi-circonférence.

[p. 366]

[Fig. 28.]

Ad inveniendam rectam aequalem parti curvae ut HG, ductâ GE parall.^a HA, inveniendum est quaenam sit ratio omnium subtensarum usque ad arcum AE ad omnes sinus ab eodem demissos, infinita multitudine utrorumque. haec enim ratio eadem est illi quam habent omnes EX deinceps usque ad A ad omnes pendiculares EZ.

Dictam autem rationem omnium subtensarum ad omnes sinus eam dico esse

[Fig. 29.]

quam habet quadrupla AW sinus versus dimid. arcus AE, ad AT¹⁾.

Ostendit Archimedes omnes sinus ab arcu AE in aequales partes diviso demissos esse ad AT ut AR [Fig. 29] ad RB subtensam unius partis²⁾.

Similiter ergo omnes sinus ab arcu AS demissi erunt ad AZ ut AR ad RB. Itaque omnes sinus ab arcu AE ad AT, sicut omnes sinus ab arcu AS ad AZ. Et permutando, omnes sinus ab arcu AE ad omnes sinus ab arcu AS ut AT ad AZ, sive etiam ut qu.AE ad qu.AS.

1) AT est le sinus versus de l'arc AE lui-même.

2) Il s'agit de la ‘Prop. 22’ du ‘Lib. I’ de l'ouvrage: ‘De sphaera et cylindro’: ‘Si in circuli cuiuspiam portione figura multorum angulorum inscribatur, quae quidem figura latera habeat excepta base inter se aequalia, & numero paria, deinde rectae lineae ducantur aequedistantes basi portionis, & quae latera dictae figurae coniungant: tunc hae omnes ductae simul, cum dimidio basis portionis, habebunt ad altitudinem portionis eandem proportionem, quam habet linea illa ad latus figurae dictae, quae linea ab una extremitate diametri totius circuli ad latus figurae ipsi diametro applicatum ducta sit.’ (p. 23 de l'édition de Bâle; Heiberg, I, p. 99-101). Ajoutons que cette proposition d'Archimède est équivalente à l'identité:



et que, lorsqu'on passe à la limite en faisant croître indéfiniment le nombre des sinus, on peut, en effet, remplacer le numérateur de la première fraction par .
D'ailleurs l'application exacte de la proposition d'Archimède exige de lire, ici et dans l'alinéa qui suit, ‘duplum omnium sinuum’ au lieu de ‘omnes sinus’, mais cette inadvertance de Huygens ne fausse pas les résultats qui suivent.

[p. 367]

[Fig. 30.]

Omnes subtensae crescentes in arcu AE [Fig. 30] aequantur duplo omnium FP rectarum quae parallelae sunt ipsi AE et bina quaeque sectionum puncta conjungunt³⁾. quum illae in eodem circuli segmento duplo plures sinus quam hae constituant. Harum verò (ipsi AE parallelarum) dimidiae omnes, sive sinus ab arcu ME demissi, ita se habent ad omnes sinus ET demissos ab arcu AME ipsius ME duplo, sicut MO vel AW ad AT per praeced. Ergo ex aequo omnes subtensae in arcu AE ad omnes sinus ab eodem arcu AE demissos eam habent rationem quam quadrupla AW ad AT.

Quum ergo superius dictum sit eam fore rationem curvae partis HG [Fig. 28] ad rectam TA quam omnium subtensarum in arcu AE ad omnes sinus ab eodem demissos, quam nunc invenimus esse eam quam quadruplae AW ad AT, apparet ipsam curvam HG aequari quadruplae AW. Nimirum ad inveniendam rectam curvae HG aequalem oportet ducere GE parall. basi cycloidis, et diviso arcu EA bifariam in M ducere MW parall. eidem basi. Eritque quadrupla AW aequalis curvae HG.

Jam verò quoniam BA aequatur dimidiae curvae BH⁴⁾, et AW bis (ut ostendimus) aequ. [dimidiae] curvae parti HG hinc 1/2 reliqua pars GB aequabitur BA - 2AW. hoc est ipsi BE rectae⁵⁾. nam haec aequatur BA - 2AW ex lemm. superiori⁶⁾.

Notandum item quod WK semper aequalis 1/4 curvae GB.

3) AF est égale à la corde qui joint les milieux des arcs AP et EF; la corde joignant A au point de la division qui fait suite à F, est égale à PF, etc.

4) Voir le deuxième alinéa de la p. 365.

5) Ce résultat fut communiqué, le 14 janvier 1659, à de Sluse; le 16 janvier, à de Carcavy; le 31 janvier, à Wallis; le 7 février à van Schooten (voir les pp. 313, 315-316, 330 et 343 du T. II). Il est identique avec celui de Wren, publié par Wallis, en 1659, dans ses ‘Tractatus Duo, Prior, de Cycloide et corporibus inde genitis’, etc.; voir la p. 520 des ‘Opera Mathematica de John Wallis. Volumen Primum, Oxoniae, E Theatro Sheldoniano. 1695’.

6) Voir le ‘Lemma I’, p. 364, où HC (Fig. 26) et AB correspondent respectivement aux lignes AW et BE de la Fig. 28.

[p. 368]

§ 3¹⁾.

[Fig. 31.]

22 Jan. 1659.

BE est 2/3 BA. E est centr. gr. totius lineae cycloidis CAN.

AO ∞ OB. D punctum datum. DL parall. CB. LF ∞ FB. FG ∞ 1/3 FL. GH parall. CB. H est centr. grav. curvarum CD, NM.

Ratio constructionum in sequentibus explicatur pag. versa et sequ²⁾.

Si fiat ut OK ad KB ita HE ad EP erit P centr. grav. curvae DAM³⁾.

AL ∞ q; AB ∞ d; AQ [∞] qq/d.

⁴⁾

1) Dans les §§ 3 et 4 Huygens s'occupe de la détermination du centre de gravité d'un arc cycloïdal DAM (Fig. 31) et de la quadrature de la surface engendrée par la révolution d'un tel arc autour de sa corde DM. Partant des résultats qu'il formule au début du présent paragraphe, et dont on trouvera la démonstration dans le § 4, il montre dans ce § 3 que le centre de gravité P de l'arc DAM divise la flèche AQ dans la raison de 1 à 2.

2) Comparez, quant à la première construction, les dernières lignes de l'avant-dernier alinéa de la p. 371, et quant à la seconde, le commencement du dernier alinéa de cette page 371 et l'alinéa qui commence en bas de la p. 372.

3) On a évidemment , où, d'après les six dernières lignes du § 2 (p. 367), arc. DC = 4BK et arc. AD = 4OK.

4) Voir la Fig. 26 (p. 364), où HC correspond à la ligne BK de la présente figure. Or, on a dans la Fig. 26, , c'est-à-dire, dans la présente figure: .

[p. 369]

KO (1/2 q) [ad] BK (1/2 d - 1/2 q) [ut] HE () [ad] () EP.

⁵⁾

5) Ce résultat fut communiqué à Wallis dans une lettre du 31 janvier 1659 (voir la p. 330 du T. II) et à Pascal dans une lettre du 5 février suivant (p. 341 du T. II).

§ 4¹⁾.

Lemma ad ea quae in fin. pag. sequentis⁶⁾.

in ∆ABC, BD perp. AC. dico majorem habere rationem AD ad DC quam ang.ACB ad ang.CAB.

[Fig. 32.]

Sit AE ∞ DC, et EF perp. AC, et ∠ACL ∞ ∞ ∠BAC.

AD ad DC ut AD ad AE, h.e. ut BD ad EF vel DK. Sed BD ad DK major ratio quam ang.ⁱ BCD ad ∠KCD sive A. ut facile est ostendere. Ergo et AD ad DC major quam ∠BCA ad A.

Circumfer.^a divisa est in partes aequales [Fig. 33]. Omnes CN parallelae et aequales tangentibus cycloidem respondentibus⁷⁾. hoc est ipsi curvae. Et singulae in eadem

1) Dans les §§ 3 et 4 Huygens s'occupe de la détermination du centre de gravité d'un arc cycloïdal DAM (Fig. 31) et de la quadrature de la surface engendrée par la révolution d'un tel arc autour de sa corde DM. Partant des résultats qu'il formule au début du présent paragraphe, et dont on trouvera la démonstration dans le § 4, il montre dans ce § 3 que le centre de gravité P de l'arc DAM divise la flèche AQ dans la raison de 1 à 2.

6) Voir la première annotation en marge de la p. 371.

7) Voir la note 6 de la p. 364.

[p. 370]

[Fig 33.]

altitudine similiter sitae. Ergo centr. gr. cycloidis lineae erit in eadem altitudine atque centr. gr. omnium CN. Superius autem apparuit, pag. 78¹⁾, singulas CN esse inter se sicut quae ipsis adjacent CA. Unde sequitur, si in singulis punctis C suspenderentur singulae CA, fore centrum gr. omnium CA ita suspensarum eadem altitudine atque centr. gr. omnium CN uti positae sunt, vel certè si singulae CN suspenderentur itidem è punctis C. quod nihil refert. Oportet igitur invenire centrum gr. omnium CA ex punctis C suspensarum. Sit

[Fig. 34.]

primo propositum invenire centr. gr. omnium CA suspensarum ex C punctis per arcum ACB²⁾ [Fig. 34] quemcunque. dividatur hic bifariam in C, à quo bina quaeque reliquorum punctorum C aequaliter utrinque distent; quae jungantur rectis ef, kl &c. et ducatur item CD. Quia ergo AC dividit bifariam angulum eAf, erit ut eA ad Af ita eg ad gf, vel ita quoque fh ad he³⁾. Ergo h centr. gr. erit ipsarum Ae, Af suspensarum ex e et f. Eodem modo ostendetur centr. gr. duarum kA et lA suspensarum ex k et l esse in n; atque ita de caeteris quibusque binis apparebit centr. ipsarum gr. esse in recta CD. Ergo omnium AC ex punctis C suspensarum per totum arcum ACD erit centr. gr. in CD.

dividatur AB⁴⁾ in s ut sit As dupla sB. dico centr. gr. omnium AC, per totam circumferen-

1) La page numérotée 78 par Huygens contient le ‘Lemma II’ de la p. 364 et les alinéa's suivants jusqu'à celui qui commence par les mots ‘Ostendit Archimedes’ (p. 366). Huygens y démontre e.a., que les lignes CD (Fig. 28, p. 366) peuvent être considérées comme proportionnelles aux cordes des angles CED, or, il en est de même des cordes AC [Fig. 28 et 33], puisque les angles CKA [Fig. 28] ne diffèrent pas sensiblement des angles CED.

2) Lisez: ACD.

3) On a fh = ge à cause de la situation symétrique des segments CfD et CeA par rapport à la droite qui joint le point C au centre du cercle.

4) AB passe par le centre du cercle.

[p. 371]

tiam suspensarum, centr. gr. esse s punctum. Sit enim primo magis versus A ut in t. Et sumatur arcus Aq tam exiguus ut omnium AC ex ipso suspensarum gravitas minorem rationem habeat ad omnes AC ex tota circumf.^a suspensarum, quam ts ad sA. arcus ACBq dividatur bifariam in o. et ducatur oq secans AB in r. Erit ang. roA duplus ang.ⁱrAo, ideoque rA major quam dupla rB^*. unde r inter s et B.

Est autem centr. gr. omnium AC suspensarum per arcum ACBq in recta oq^† et quidem in parte or, quoniam suspensarum ex arcu Aq est ad partes diametri AB quae versus q. Sit ergo p centr. gr. omnium suspensarum ex arcu ACBq. Ergo pt recta major quam st. unde si producatur pt, ut fiat sicut gravitas omnium ex tota circumferentia suspensarum ad suspensas ex arcu Aq ita yp ad pt. cadet y extra circulum longè, quia As ad st majorem rationem habere posita est. esset autem centrum gr. suspensarum ex arcu Aq in y quod fieri non potest.

Jam si fieri potest, sit centr. gr. omnium AC per totam circumf.^m suspensarum magis versus B quam punctum s velut in u. Sumatur arcus Aq tam exiguus ut reliquo qDBCA bifariam diviso in o, ductâque qo, secet haec diam. BA inter u et s, potest enim fieri⁶⁾. Quum ergo suspensarum omnium AC ex arcu qDBCA, centr. gr. sit in recta qo, inque ejus parte ro ut modo etiam dictum fuit, puto in p: omnium autem suspensarum per totam circumf.^m centr. gr. ponatur u; cadet necessario centr. gr. suspensarum ex arcu reliquo Aq in producta pu, quod esse non potest quoniam producta pu non potest unquam transire vel arcum vel segmentum circuli Aq⁷⁾, intra quod necesse est dictum centr. gr. suspensarum per arcum Aq

[Fig. 35.]

reperiri. Est ergo punctum s centr. gr. omnium AC suspensarum per totam circumferentiam. Quare etiam centr. gr. curvae cycloidis ψ [Fig. 33] ita secat axem BA ut Aψ sit dupla ψB.

Esto rursus quicunque arcus ACD [Fig. 35] per quem suspensae sint rectae aequales subtensis AC. dividatur bifariam in C et ducatur CD. Ostensum est centr.gr. omnium dictarum suspensarum fore in recta CD. dico autem ipsum ita hanc dividere in s ut sit Ds dupla sC. Sit enim si fieri potest primum inter s et D, velut in t. et sumatur arcus Dq tam exiguus ut omnium AC ex ipso suspensarum ad omnes suspensas ex reliquo arcu

* Ostenditur ductâ rz perp. Ao quae ideo parall. Bo. vid. lemma in pag. praec.⁵⁾

5) Voir le ‘Lemma’ de la p. 369.

† per modo ostensa.

6) Puisque le point r s'approche indéfiniment de s lorsqu'on diminue l'arc qA.

7) Puisque le point p se trouve nécessairement à droite de la ligue qu et que, par conséquent, le point où le prolongement de pu coupe le cercle sera situé à gauche du point q.

[p. 372]

[Fig. 35.]

qCA, minor sit ratio quam st ad tD. arcus qCA bifariam dividatur in o, et ducatur qo. erit arcus Co subduplus ad arcum Dq, unde intersectio r cadet inter s et C per lemma adjectum¹⁾. Erit autem centr. gr. suspensarum ex arcu qoA in recta qo, at non in parte qr^*, nam si ibi sit puta in x, debebit in producta xt esse centr. gr. suspensarum per arcum Dq, quod absurdum est quia xt producta non transit per segmentum circuli Dq. Sed neque in parte ro erit centrum gr. suspensarum per arcum qoA, nam si fuerit inibi puta in p; ergo quia omnium ex toto arcu DCA suspensarum centr. gr. est in t, erit reliquo ex arcu Dq suspensarum centr. gr. in producta pt ulterius quam ubi ea sic terminatur (ut sit pt ad adjectam sicut st ad tD)³⁾, sed pt major est quam st. Ergo longe ultra circulum caderet centr. gr. suspensarum per arcum Dq quod absurdum. non ergo inter s et D potest cadere centrum gravitatis suspensarum per arcum ACD.

Jam fi fieri potest sit centr. gr. idem inter s et C, puta in u.

Sumatur arcus Dq tam parvus, ut, diviso bifariam arcu reliquo qCA in o, ductâque qo, secet haec rectam DC in r inter s et u: potest enim fieri quia Cu minor est quam 1/3 CD^*. Cum ergo suspensarum ex arcu qoA centr. gr. sit in recta qo, et in parte ejus ro per ea quae modo dicta sunt⁵⁾. sit igitur in p. Ergo centr. gr. suspensarum ex reliquo arcu Dq esset in producta up⁶⁾, quod esse nequit, quia haec non potest transire per segmentum Dq, ubicunque fuerit p in ro. Ergo neque inter s et C cadet centr. gr. omnium suspensarum per arcum ACD. quamobrem reliquum est ut sit ipsum punctum s. quod erat demonstr.

Est autem demonstratio prorsus similis praecedenti qua de suspensis per totam circumf.^m ostensum est. Atque ex his manifesta est ratio constructionis pag. 81

1) Voir le ‘Lemma’ qu'on trouve à la fin du présent paragraphe, p. 374.

* vel sic nam cum totius sit in t, et partis Dq intra illud segmentum, erit reliqui c. gr. ab altera parte rectae DC²⁾.

2) C'est-à-dire du côté opposé à celui où se trouve le segment qr.

3) Lisez au lieu de la phrase que nous avons mise entre parenthèses: ‘ut pt ad adjectam minor sit ratio quam st ad tD’.

* seorsim ostendendum esset⁴⁾.

4) On sait déjà que r se trouve, comme u, entre s et C. Il suffit donc de démontrer qu'en diminuant Co on peut faire approcher le point r indéfiniment du point s.

5) Voir plus haut la réduction à l'absurde de la supposition que le centre de gravité en question se trouve en x entre q et r; réduction qui reste valable dans le cas présent, où le centre de gravité des ‘suspendues’ de l'arc ACD est supposé se trouver en u.

6) Lisez: pu.

[p. 373]

qua partium curvae DC, MN [Fig. 31] centr. gr. invenitur⁷⁾. Unde deinde deducitur⁸⁾ centr. gr. partis DAM esse in P ut sit AP ∞ 1/3 AQ.

[Fig. 36.]

Est ergo haec proprietas Cycloidis et miranda profecto, quod sicut centrum grav. totius curvae axem ejus dividit, ita quoque centra gr. cujusque partis recta basi parallela abscissae suos axes dividunt, nempe ut pars ad verticem triens sit axis totius⁹⁾. Ita hic BK [Fig. 36] est 1/3 BM, ideoque K centrum gr. curvae EBF. Cum autem BG semper sit dimidia curvae BE, hinc jam superficiei magnitudinem quae fit conversione curvae EBF circa basin EMF facile inveniemus. habet enim superficies ejusmodi ad superficiem ad eam quae fit conversione utriusque rectae GB, BL, circa GL, rationem compositam ex ratione curvae EBF ad utrumque simul GB, BL et ex ratione KM ad dimidiam BM, cum in media BM sit centr. gr. duarum GB, BL. Erit igitur superficiei ex curva EBF genitae ad superficiem è duabus GB, BL, hoc est ad duplicem conicam superficiem, rationem compositam ex 2 ad 1 et ratione 4 ad 3, nam curva est ad dictas duas rectas ut 2 ad 1, et KM ad 1/2 BM ut 4 ad 3. Est ergo ratio ea quae 8 ad 3. Idque perpetuo. unde superficies a tota curva CBD circa basin ad superficiem circuli genitoris erit ut 64 ad 3¹⁰⁾, sive ut 21 1/3 ad 1.

7) Voir le deuxième alinéa du § 3, p. 368.

8) Au même § 3.

9) Comparez la note 5 de la p. 369. Dans sa lettre à Pascal (p. 341 du T. II) Huygens s'exprime comme il suit: ‘et peu de temps après avoir envoyè cette lettre’ (il s'agit d'une lettre à de Carcavy du 16 janvier 1659, p. 315 du T. II). ‘j'ay encore trouuè le centre de gravité de la ligne Cycloide, et des parties coupées par une parallele à la base, qui ont cette proprietè estrange que leur centre de gravitè divise leur axes tousjours en la raison de 1 a 2. comme vous scavez Monsieur’.

10) Ce résultat fut communiqué à Wallis dans la lettre du 31 janvier 1659 (p. 329 du T. II), bien qu'il ne soit pas mentionné dans le sommaire que nous en possédons. Cela résulte de la réponse de Wallis, où l'on lit: ‘Interim quam tradis rationem superficiei Trochoidis curvâ circa basin conversâ descriptae ad circulum genitorem, nempe ut 64 ad 3, omnino veram esse intelligo’ (p. 360 du T. II).

[p. 374]

[Lemma]¹⁾.

[Fig. 37.]

arcus Dq duplus co dico Dr ad rc majorem esse quam duplam.

sit rf perp. oD. Ergo Df major quam dupla fo per lemm. superius. pag. 81²⁾ et multo magis ergo Dr major quam dupla rc, cum sit ∠ Dco obtusus.

1) Il s'agit du ‘Lemma adjectum’ dont il est question dans le premier alinéa de la p. 372.

2) Voir la p. 369.

[Quatrième Partie]³⁾.

8 Febr. 1659.

Demonstratio geometrica tangentis in Cycloide.

3) La construction de la tangente à la cycloïde n'était pas inconnue à cette époque. Van Schooten en publia une dans la ‘Geometria à Renato Des Cartes edita operâ et studio Fr. à Schooten’ (p. 226 de l'édition de 1649; p. 267 de celle de 1659 et 1683), dont la construction de Huygens se déduit immédiatement. Il fonda sa solution sur l'emploi du centre instantané de rotation, mais il ajouta: ‘Caeterùm possem hanc tangentem alio modo, & meâ sententiâ elegantiori, magisque Geometrico demonstrare; verùm quoniam prolixior foret, & brevitati hìc mihi consulendum videtur, in praesens ei describendo supersedebo’. Or, dans cette Quatrième Partie, qui a servi plus tard d'avant-projet aux Prop. XII-XV de la ‘Pars secunda’ de l'‘Horologium oscillatorium’ (p. 37-39 de l'édition originale), Huygens s'applique à donner une telle démonstration purement géometrique.

Lemma I.

[Fig. 38.]

GDF perp. AC diametro. cui occurrit ABF. Demonstrandum rectam DF majorem esse arcu DB.

∆^aABC, AGF similia sunt. ∠F ∞ ∠ACB. sit BE tangens in B. Ergo ∠FBE ∞ ∠BCA⁴⁾. Ergo ∠FBE ∞ ∞ ∠BFE. Et latus BE ∞ EF. Et BE + ED ∞ FD. Sed BE + ED majores sunt arcu BD. Ergo et FD maj. arcu BD.

4) Puisque ces angles sont mesurés tous les deux par la moitié de l'arc BA.

[p. 375]

Lemma II.

[Fig. 39].

AC diam. AB linea. DFG perp. AC. demonstrandum arcum BD majorem recta DF.

ducatur subtensa DB. arcus AG ∞ AD, Ergo ∠ADG ∞ ABD. ∠ autem DFB ∞ ∞ ADG + DAF. Ergo ∠DFB ‖ ∠ABD. Ergo in ∆DFB latus DB ‖ latere DF. quare multo magis arcus BD major recta DF.

[Theorema.]

[Fig. 40.]

Sit RAQ Cycloides. K datum in ipsa punctum in quo tangens sit ducenda. ABC est circulus genitor intra cycloidem constitutus. Sit KB parall. basi QC, et jungatur BA, cui parallela sit NKL. dico eam tangere cycloidem in puncto K.

Sumatur enim in NKL punctum quodvis praeter K, ac primo altius ut N, unde agatur NQ parall. BK, quae occurrat cycloidi in O circulo ABC in P.

Quia ergo PO est ∞ arcui PA ut superius dem.⁵⁾ erit QO ∞ arc.PA + PQ. hisce autem duobus major est arc.APB, quia arc.PB major rectâ PQ per lemm. secund. Estque arcui APB aequalis BK sive QN. Ergo QN major quam QO. Ergo punctum N est extra cycloidem.

deinde infra K sumatur in KL punctum L et ducatur LD parall. KB. occurrens cycloidi in M, productaque AB in F. Ergo quia DM ∞ arcui DBA. DF autem major arcu DB per lemma I. Erit FM minor arcu BA, hoc est rectâ BK sive FL. Ergo punctum L extra cycloidem. Est ergo NKL tangens in K.

5) Voir le § 1 de la Première Partie, p. 347.

[p. 376]

[Cinquième Partie]¹⁾.

[Fig. 41.]

CD ∞ 1/2 b - 2/9 dd/b.

1) Vers la fin du mois de mai 1659, Huygens reçut enfin les ‘Lettres de A. Dettonville contenant quelques unes de ses Inventions de Geometrie’ (voir l'ouvrage marqué c, cité dans la note 32, p. 307 du T. II), où Pascal expose les méthodes qui l'avaient conduit à la résolution des problèmes sur la cycloïde. À ce propos Huygens écrivit à de Carcavy dans une lettre du 22 mai 1659 (p. 411 du T. II) qu'il admira ‘de plus en plus la subtilitè des écrits de Monsieur Dettonville, mais’ ajouta-t-il ‘il faut avouer que c'est un labyrinthe lors que l'on veut faire la construction de quelque probleme’. C'est ce qui le porta à entreprendre des calculs précis, d'après les méthodes de Pascal, de la distance à l'axe du centre de gravité d'un demi-segment de cycloïde dans les deux cas spéciaux signalés auparavant par Pascal (voir la note 1 de la p. 348). Or, la figure du texte nous fait connaître le résultat de son calcul dans le premier de ces cas, tandis que dans la lettre à de Carcavy déjà mentionnée, il dit avoir trouvé dans le deuxième cas (celui où le demi-segment cycloïdal est limité par la droite décrite par le centre du cercle générateur) pour la distance du centre de gravité à l'axe une valeur qui, exprimée dans les notations de la Fig. 41, est représentée par la forme . Après quoi il prie de Carcavy de lui mander s'il a ‘bien supputè.’
Ajoutons que nous avons vérifié, par l'analyse moderne, l'exactitude des deux résultats.

5) Voir le ‘Lemma’ de la p. 369.

2) C'est-à-dire du côté opposé à celui où se trouve le segment qr.

4) On sait déjà que r se trouve, comme u, entre s et C. Il suffit donc de démontrer qu'en diminuant Co on peut faire approcher le point r indéfiniment du point s.