Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 294]

IX.
[1657-1658.]

[Recherches de 1657 et 1658 sur quelques lignes courbes.]

§ 1¹⁾.
[1657].

Linea AGHB ejus naturae ut GC sit ad HD, sicut solid. ex quadrato AC in rectam CB, ad solidum ex quadr. AD in DB²⁾.

[Fig. 1.]

1) Ce paragraphe est emprunté aux pp. 2-5 et 62 du livret du frère Philips, que nous avons mentionné dans la note 4, p. 217 du T. XII. Huygens s'y occupe, à propos d'une lettre de de Sluse du 14 août 1657 (voir la p. 47 du T. II), de la quadrature, du centre de gravité, de la tangente au contour et de la forme générale de la boucle incluse entre les courbes . On peut consulter sur les questions traitées dans ce paragraphe et sur les solutions que Hudde et van Heuraet en ont données les pp. 47, 52, 58, 62, 73-75, 80, 91, 94-101, 111, 112, 114, 115 et 116 du T. II.

2) Dans ce qui suit il s'agit de la quadrature de la boucle en question. Voici, en notations modernes, la méthode suivie par Huygens: Soit AE = EB = 1/2 a, CE = ED = b. Si l'on considère séparément les parties de la moitié supérieure de la boucle à gauche et à droite de la ligne SE, il est évident que l'aire de cette moitié est égale à , où . Or, puisque , la quadrature en question se réduit à la quadrature bien connue de la demi-parabole SELS, où ES = a²/4p, LS = 1/2 a.

[p. 295]

Jam si GC ductum in ▭ ap, hoc est cap, sit ∞ AC² in CB et HD in ▭ ap, hoc est dap, ∞ AD² in DB: Eric ut c ad d ita

[p. 296]

[Fig. 1.]

Sit ut p ad 1/2 a ita 1/2 a ad 1/4 aa/p ∞ ES. Ea erit ∞ 2RE. quoniam hic bb/p evanescit. describatur parabola vertice E axe ES, latere recto p. Ea transibit per angulum L ▭^li AS. Eritque CK ∞ ∞ bb/p. Est autem CN ∞ 1/4 aa/p. Ergo . Ergo totum spatium AGHB ∞ dimidiae parab. LES. Ergo sesquitertium ∆ⁱ LES sive ∆ⁱ ARB¹⁾. AC ∞ x²⁾, CG ∞ y. □ AE × EB (⅛a³) [ad] □ AC × CB (axx - x³) [ut]

1) Ce résultat fut communiqué, avec la plupart des autres qui suivent, à de Sluse dans une lettre du 3 septembre 1657; voir les p. 50-51 du T. II. Huygens les avait trouvés le jour même où il reçut la lettre de de Sluse mentionnée dans la note 1 de la p. 294.

2) Dans ce qui suit Huygens détermine l'équation de la courbe AGRHB dans le cas particulier où ER = 1/4 a, c'est-à-dire, où p = 1/2 a.

[p. 297]

[Fig. 2.]

8/15 [ad] 2/3 [id est] 4 [ad] 5 ita BY [ad]

BM ∞ BN

BY [ad] BA ut 2 ad 5

Y centr. grav.³⁾

Inventio tangentis.

[Fig. 3.]

⁴⁾

3) Le résultat est exact, puisque 8/15p (1/2 AB)⁴ représente le moment de l'aire ARBA par rapport à l'axe BS et 2/3p (1/2 AB)³ cette aire elle-même; mais on ne voit pas de quelle manière ce résultat a été obtenu. En effet, l'inspection de la figure ferait supposer que les deux rectangles à droite, qui semblent faire équilibre avec la boucle si l'on considère le plan de la figure comme mobile autour de l'axe BS, y ont joué un certain rôle; mais dans sa lettre à de Sluse Huygens dit expressément (voir la p. 51 du T. II) qu'il s'est servi du théorème de Guldin, auquel cas il a dû déterminer le volume du solide de révolution formé par la boucle tournant autour de l'axe SB. Or, nous n'avons trouvé cette cubature nulle part dans les manuscrits de Huygens.

4) Nous supprimons quelques calculs. Comme on le voit, Huygens néglige ici, et dans la suite, les termes qui contiennent y² et y³. En effet, avec cette simplification, il applique la méthode de Fermat décrite à la p. 20 du T. XI.

[p. 298]

[Fig. 3.]

Sit ER ∞ 1/2 AE ∞ 1/2 b et ut BR (a - 3/2 b) [ad] RE (1/2 b) ita sit BE (a - b) [ad] EG

¹⁾

AM ∞ b; MH ∞ y; MS ∞ x; AB ∞ a; AH ∞ b + y; BH a - b - y q.^mAH.BH (abb + 2aby - b³ - 3bby)²⁾ [ad] q.^mAM.MB (abb - b³) [ut]

Sit MO ∞ 1/2 AM.BO (3/2 b - a) [ad] OM (1/2 b) [ut] BM (a - b) [ad] MS(x)

[Fig. 4.]

³⁾

⁴⁾⁵⁾

1) La construction est identique à celle indiquée par Huygens dans sa lettre à de Sluse; voir la p. 50 du T. II.

2) Comparez la note 4 de la p. 297.

3) Par ce petit calcul, qu'il avait biffé par mégarde, Huygens détermine la situation du point de contact E de la tangente qui passe par le sommet A de la boucle. Si nous nous rapportons à la Fig. 3, il est évident qu'on doit avoir dans ce cas GE = AE, c'est-à-dire x = b.

4) Dans ce qui va suivre Huygens se propose de déterminer la tangente au sommet B de la boucle.

5) C'est-à-dire en négligeant les termes contenant y² et y³; comparez la note 4 de la p. 297.

[p. 299]

BS (1/2 a) [ad] SF (x) [ut] BD (y) [ad] CD (8py/a).

xy ∞ 4py; x ∞ 4p quand[o] sc. BF tangit in B⁶⁾.

⁷⁾⁶⁾

AD [Fig. 5] ∞ 3a⁸⁾, AB ∞ a, CL ∞ d, BE ∞ BF ∞ b. [BA ∞ BC]⁹⁾

6) Comparez toujours la p. 50 du T. II.

7) Huygens va s'occuper de la détermination du point d'inflexion qui existe évidemment entre les points A et E. À cet effet il calcule la distance BG (voir le point G au côté gauche de la Fig. 3) qui doit être un minimum dans le cas où C coïncide avec le point d'inflexion. Or, afin de trouver la valeur de AM = b (Fig. 4), qui correspond au minimum de l'expression , il emploie la méthode de Fermat décrite à la p. 19 du T. XI, avec la modification qu'il y avait apportée, sur laquelle on peut consulter le § 5 de la p. 48 du Tome cité; c'est-à-dire il pose f(b) = f(b + y), en omettant dans l'équation qui en résulte les termes de valeur finie, qui se détruisent mutuellement, et de même lestermes qui contiennent y² et y³.

6) Comparez toujours la p. 50 du T. II.

8) Dans ce qui suit Huygens donne la quadrature du segment AGKHLCA, où la courbe ne diffère pas essentiellement de celle de la Fig. 1. En effet, la proportion qui va suivre montre que la courbe AGKHLD satisfait à la définition formulée dans les premières lignes du § 1 (p. 294). A fin d'identifier entièrement les deux courbes, il suffit de représenter la ligne AB de la Fig. 1 par 3a, au lieu de a, et de supposer d = 4a²: 3p.

9) Le point K est donc le point d'inflexion de la courbe, puisqu'on a AB = 1/3 AD. De même, le point L est le point de la plus grande largeur de la boucle, puisque AC = 2/3 AD.

[p. 300]

[Fig. 5.]

Ergo 8a³ [ad] 4a³ [ut] 2d [ad] d. Ergo FG + + EG¹⁾ ∞ d. Ergo portio AGHLCA ∞ ∆ACL.

[Fig. 6.]²⁾

1) Lisez: EH.

2) Par cette figure Huygens indique la manière dont il pourrait déterminer l'aire d'un segment, comme AFELCA, limité par la courbe, une ordonnée quelconque LC et l'axe AC. En effet, en supposant GB = BH, il est facile de constater que la somme de FG et de EH est égale au double de KB diminué d'une quantité proportionnelle au carré de BH. Par suite le double de l'aire en question est égal au rectangle qui a pour côtés la ligne AC et le double de KB, diminué d'une aire parabolique indiquée dans la figure. Cette dernière aire disparaît dans le cas de la Fig. 5, ou le point K est le point d'inflexion de la courbe.
C'est bien à cette invention que Huygens fait allusion, lorsqu'il écrit à van Schooten dans une lettre du 23 novembre 1657 (p. 91 du T. II): ‘Caeterum id quod Slusius submonet posse ostendi secundum quam rationem curvae suae spatium dividatur ab ea quae axem bifariam dividit, et ab alijs; adeo verum experior, ut in universum, qualitercunque sectum fuerit spatium curvae suae à recta linea, partium inter se ratio exhiberi queat’.

§ 2³⁾.

EBD [Fig. 7] est hijperbola AEqualium laterum, axis BC, BO arbitraria. OK parallela et aequalis EC. Curva KLL ejus naturae ut qu. HL sit aequale ▭^o HGF. Slusius contemplandam proposuit⁴⁾.

[Fig. 7.]

^5)6)7)8)9)

3) Ce paragraphe est emprunté à la p. 11 du livret de Philips. Huygens y considère une courbe qui lui avait été proposée par de Sluse; voir les pp. 52, 55, 57, 66, 69, 70, 79, 88 et 94 du T. II, où l'on trouve des renseignements sur l'origine de cette courbe que de Sluse avait rencontrée chez les anciens.

4) Voir sa lettre du 4 septembre 1657, p. 52 du T. II.

5) Il s'agit de la ligne MB de la figure, M étant le sommet de l'autre branche de l'hyperbole EBD.

6) D'après une propriété bien connue de l'hyperbole équilatère.

7) Nous supprimons quelques calculs.

8) Huygens procède ici à la considération du cas particulier à propos duquel il écrivit à de Sluse, le 7 septembre 1657 (p. 55 du T. II): ‘In contemplatione lineae curvae quam antiquis notam fuisse asseris frustra aliquantum temporis insumpsi, neque adhuc ullam insignem ejus proprietatem deprehendere potui, nisi quod uno casu in circulum perfectum evadit’.

9) On trouve encore à la p. 13 du livret de Philips une épure très précise du cas du cercle () et quelques petits calculs inachevés.

[p. 301]

§ 3¹⁰⁾.

[Fig. 8.]

25 Sept. 1657.

Proprietas curvae AC, ut, sumptâ AB ad arbitrium, erectâque perpendiculari BC quae curvae occurrat in C; fiat cubus ex AB + cubo ex BC aequalis solido ex AB, BC, AG.

Ductâ AH ut ∠ HAG sit 1/2 recti, sit AH diameter lineae, ita ut omnes quae ipsam ad angulos rectos secant, bifariam ipsae secentur. Quaeritur itaque hujusmodi ordinatim applicata EC quae maxima sit omnium.

Si sumatur AF ∞ BC, erit perp. FE vicissim ∞ BA. Si itaque CE est maxima, etiam BF debebit esse maxima; est autem BF ∞ AB - BC.

10) Il s'agit dans ce paragraphe, emprunté aux p. 26-27 du livret de Philips, de la détermination de la plus grande largeur de la boucle qui appartient au folium de Descartes. Sans doute cette recherche fut entreprise à propos de la lecture des ‘Exercitationum mathematicarum Libri quinque’ de van Schooten (voir les pp. 50 et 52 du présent Tome) qui venaient de paraître. En effet, aux pp. 493 et 497-499 de cet ouvrage van Schooten a reproduit la solution de Hudde du même problème. Hudde y emploie sa méthode pour trouver les maxima et minima; méthode qu'il n'exposa que deux années plus tard dans la seconde édition de la ‘Geometria Renati Descartes opera Fr. a Schooten’ (voir la note 5, p. 360 du T. II). Par conséquent, Huygens vérifie ici à l'aide de la méthode de Fermat le résultat obtenu par Hudde.

[p. 302]

¹⁾²⁾

[Fig. 8.]

³⁾

1) Dès ce moment il ne s'agit plus que de déterminer la valeur de x qui correspond à la valeur maxima de la fraction . À cet esset Huygens applique la méthode que nous avons mentionnée dans la note 7 de la p. 299.

2) Le résultat s'accorde avec celui obtenu par Hudde, qui trouve pour la distance du point A au point où l'axe AH de la boucle est coupé par la droite EC. Ajoutons que Descartes et Fermat se sont occupés en 1638 du même problème; mais leur correspondance sur ce sujet avec Mersenne n'était encore accessible ni à Hudde ni à Huygens, puisque la lettre qui contient la solution de Descartes (voir les p. 313-317 du T. II de l'édition d'Adam et Tannery des ‘OEuvres de Descartes’), ne parut qu'en 1667 dans le troisième volume de l'édition de Clerselier des ‘Lettres de Descartes’; tandis que la solution de Fermat, où une faute de calcul s'est glissée, ne fut publiée qu'en 1894, pp. 169-171 et 174-175 du T. II de l'édition de Tannery et Henry des ‘OEuvres de Fermat’.

3) Consultez sur cette nouvelle modification de la méthode de Fermat la note 3 de la p. 76 du T. XII.

§ 4⁴⁾.

[Fig. 9.]

4) Déduction de l'équation de la ‘parabola virtualis’ de Gregorius à St. Vincentio, dont on trouve la description à la p. 842 de l'‘Opus Geometricum’ cité dans la note 6 de la p. 53 du T. I. C'était de Sluse qui avait dirigé l'attention de Huygens sur cette courbe dans sa lettre du 4 septembre 1657, p. 52 du T. II. Le 12 octobre Huygens lui répondit (p. 67 du T. II) qu'il n'avait pu deviner ce que de Sluse avait trouvé de remarquable à propos de cette courbe; après quoi de Sluse l'avertit (p. 70 du T. II) qu'il en avait découvert la quadrature, et que l'aire de la demi-boucle CLIA est égale aux deux troisièmes du rectangle circonscrit (ce qui est exact). Enfin, dans sa lettre du 7 décembre 1657 (p. 94 du T. II), Huygens complimenta de Sluse sur ce résultat et promit d'essayer s'il pourrait y arriver à son tour. Ajoutons que nous n'avons rien trouvé sur cette quadrature dans les Manuscrits de Huygens.

[p. 303]

§ 5⁵⁾.

1658.

Curva ACB ejus naturae ut posita AB ∞ a. AD ∞ y. DC ∞ x, fiat ay³ - y⁴ ∞ ∞ aaxx, y³/a - y⁴/aa ∞ xx. Hanc Slusius dicebat ad circumscriptum ▭BG sicut

[Fig. 10.]

circulus ad quadratum circumscriptum⁶⁾. Quod falsum esse docebimus.

Sit AB partium 10. AE sive GF 6 et ducatur AF. Ergo trapezium AFHB ad ▭BG ut 7 ad 10 quae multo minor est ratio quam circuli ad circumscr. quadratum⁷⁾. Atqui trapezio AFHB adhuc minus ostendemus esse spatium à curva AOCB comprehensum⁸⁾. Ergo hujus spatij ad ▭BG multo minor erit ratio quam circuli ad circumscr. quadratum.

5) Dans ce paragraphe, emprunté à une feuille détachée, Huygens s'occupe à propos de sa correspondance avec de Sluse de la quadrature de la boucle formée par la courbe .

6) Voir, à la p. 135 du T. II, la lettre du 19 février 1658 de de Sluse à Huygens. On peut encore consulter sur cette question les pp. 122, 124, 132, 134, 140, 144 et 149-150 du T. II et surtout les p. 150-151 et 154 de ce Tome, où l'on trouve expliquée la véritable pensée de de Sluse qu'il avait mal exprimée dans sa lettre du 19 février.

7) Puisqu'on a π : 4 = 7 : 8,91...

8) Comparez la note 3 de la p. 304.

[p. 304]

[Fig. 10.]

y³/a - y⁴/aa

¹⁾ ∞ 0; 3ay³ ∞ 4y⁴; 3/4 a ∞ y. Ergo si AD ∞ 3/4 AB fit DC maxima altitudo

27/64 aa - 81/256 aa ∞ xx; √27/256 aa ∞ 3/16; √3aa ∞ ∞ x [∞] DC.

qu.AZ (yy) [ad] qu.ZO (y³/a - y⁴/aa [ut] aa [ad] ay - yy; non minor quam 4 ad 1²⁾.

qu. [AE/AB] (36/100) ad qu. [EF/AB] (27/256) [ut] 9216 [ad] 2700; minor quam 4 ad 1³⁾.

[Fig. 11.]

hac linea circa axem KL circumvoluta dicit solidum ab ea genitum esse ad cylindrum à ▭^o LO in eadem circulatione factum, ut circulus ad circumscr. quadratum⁴⁾.

1) Huygens se propose ici de déterminer la valeur de y qui correspond au maximum de l'expression y³/a - y⁴/aa. Il applique à cet effet une méthode publiée en 1659 par Hudde (p. 510 de la seconde édition de la ‘Geometria à Renato Descartes’ de van Schooten) dans son ‘Epistola secunda de maximis et minimis’. Toutefois cette méthode avait déjà été trouvée auparavant par Huygens, comme il l'assure dans sa lettre à Wallis, du 9 juin 1659, p. 417 du T. II.

2) Puisque la valeur maxima de ay - yy est égale à - 1/4 a².

3) On a donc toujours ZO/AZ < EF/AE, d'où il suit que le point O, qui décrit la boucle, se trouve partout en dessous de la ligne AF.

4) Voir toujours la p. 135 du T II.

[p. 305]

[Fig. 12.]

Hujus curvae spatium ad ▭BG est ut solidum praecedens ad cylindrum. (quod et Slusium puto voluisse)⁵⁾. Ergo et spatium hoc erit ad ▭ BG ut circulus ad circumscr. quadratum quod falsum est.

Sed descripto super AB semicirculo [Fig. 13]: invenio hunc duplum esse spatij ACBA⁶⁾.

[Fig. 13.]

Est enim AFq. ad FEq. ut yy ad xx sive y³/a - y⁴/aa hoc est ut aa ad ay - yy, ductis omnibus in aa: hoc est ut qu.AB ad qu.FK. Ergo AF ad FE ut AB ad FK. Sit BD ∞ AF. Ergo eadem ratione AD ad DC ut AB ad DH seu FK. Quare componendo erit AF + + AD ad FE + DC ut AB ad FK. Sed est AF + + AD ∞ AB, quia AF ∞ DB.

Ergo, AB ad FE + DC ut AB ad FK. Quamobrem erit FE + DC ∞ FK. Unde colligo spatium totum AECB esse ∞ quadranti GSKA.

[Fig. 14.]

Si⁷⁾ AP ∞ PB fit PO ∞ 1/4 AB. Et AOQ tangens in O⁸⁾. GQ ∞ 2GA. AK ∞ 3/4 AB; KM ∞ ∞ √27/256 [AB].

Ergo qu.GR ∞ ∆GAQ. Ergo ▭BG ad trapez.AQNB sive ▭RN ut AB ad BR hoc est ut 1 ad 1 - √27/256 quam proportionem dico majorem quam quadrati ad circ. inscriptum. est enim major quam 1 ad 1 - 5/16 hoc est quam 16 ad 11, quae major quam 15 ad 11⁹⁾.

5) Sur ce point Huygens et de Sluse sont d'accord; voir les pp. 149 et 151 du T. II..

6) Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 22 mars 1658; voir la p. 154 du T. II.

7) Dans ce qui suit Huygens cherche pour l'aire AOMBA une limite supérieure plus rapprochée que celle qu'il avait trouvée à l'aide de la Fig. 10. À cet effet il se sert de la tangente menée du point A à la courbe AOMB.

8) On trouve, en effet, que la tangente en O passe par le point A.

9) On retrouve ce calcul dans la lettre à de Sluse du 12 mars 1658 (p. 149-150 du T. II) où Huygens ajoute: ‘Atqui circulus ad circumscriptum quadratum majorem habet quam 11 ad 15, ac ferè eam quam 11 ad 14’.

[p. 306]

[Fig. 15.]

§6¹⁾.

Omnis conchoidis spatium infinitae est magnitudinis. Ostenditur per asymptotos hyperbolae²⁾.

Sphaerae et spirae³⁾.

[Fig. 16.]

▱ DE⁴⁾ [ad] ∆ AK ut 2DB [ad] KH⁵⁾ h.e. ut 2BA [ad] HA vel EO. h.e. ut BA ad FG⁶⁾.

▱ DE in FG ∞ ∆ AK in AB.

omnia ▱^a DE in FG hoc est solida ex conversione ▱^orum DE ∞ solido quod sit circa axem AB à quadrante ABP suspenso secundum centrum gravitatis suae in P⁷⁾. Unde duplo utriusque sumto, fit solidum à tota conchoide praeter sphaeram in ipso contentam quae fit à ∆^isRMN aequale semispirae, quae fit conversione semicirculi ADQ circa axem AB. Ergo totum omnino solidum conchoidis infinitum aequale sphaerae BS et dimidiae spirae à semicirculo BPS⁸⁾.

1) Ce paragraphe, emprunté à une feuille détachée et à la p. 39 du Manuscrit A, traite de la quadrature de la conchoïde et de la cubature du solide de révolution autour de son asymptote.

2) Voir la figure à côté où nous avons ajouté quelques lettres, celle de Huygens n'en ayant point. Soit donc A le pôle de la conchoïde, AC son axe, I le point à l'infini de l'asymptote BF; évidemment on peut placer la seconde asymptote OD de l'hyperbole en sorte que AD = EF < FG = BC. Mais alors, si l'on fait tourner le rayon vecteur AG autour du pôle, tous les éléments qui constituent l'aire hyperbolique EIF sont plus petits que les éléments correspondants de l'aire FIG. Or, Huygens savait que l'aire de la figure comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes est de grandeur infinie; il en est donc de même de l'aire FIG. Ce résultat fut communiqué à de Sluse dans une lettre du 5 avril 1658, p. 164 du T. II, et à Wallis le 6 septembre 1658 (p. 212 du T. II.) Comparez la dernière partie de ce paragraphe (p. 308-309), où l'on trouvera une démonstration encore plus élégante du même théorème.

3) Dans la Correspondance de Huygens et de Sluse le mot ‘spira’ signifie une surface ou un solide de révolution quelconque.

4) Il s'agit ici de trouver le volume du solide engendré par la révolution de la conchoïde NMEC autour de l'asymptote OB dans le cas où AB = BC = DE.

5) La base RM du parallélogramme RMED et celle AK = AB = BC = DE du triangle peuvent être considérées comme égales; par suite, leurs aires sont dans le rapport du double de la hauteur du parallélogramme à celle du triangle; rapport qu'on peut remplacer par celui de 2 AD à AK, ou de 2BD à KH.

6) F est le centre de gravité du parallélogramme RMED, qu'on peut considérer dans cette recherche comme situé sur la droite ADE.

7) Huygens veut dire que le volume total engendré par la révolution des parallélogrammes en question autour de l'asymptote OB est égal au volume d'un solide engendré par la révolution autour de l'axe AB d'une figure plane dont l'aire est égale à celle du quart de cercle BAPB et dont le centre de gravité se trouve à la distance AP = AB de cet axe.

8) C'est-à-dire autour de l'asymptote OB; posant AB = BC = a, on trouve donc pour le volume du solide 4/3 a³π + a³π².

[p. 307]

[Fig. 17.]

▱ DE⁹⁾ [ad] ∆AK ut 2VA ad AH vel ad EO.

▱DE in FG ∞ ∆AK in AV. Hinc solidum totum conchoidis aequale sphaerae BS + semispirae à semicirculo BKS, circa axem VD¹⁰⁾.

9) Huygens applique la même méthode au cas où la distance AV du pôle de la conchoïde à son asymptote n'est pas égale à la longueur constante VC = DE.

10) Posant AV = a, VC = l, on trouve donc 4/3 l³π + al²π². Ajoutons que Huygens fait allusion à ce résultat lorsqu'il écrit à de Sluse dans sa lettre du 5 avril 1658 que les solides de révolution de la conchoïde et de l'hyperbole autour de leurs asymptotes n'excèdent pas une certaine grandeur (voir la p. 164 du T. II).

[p. 308]

[Fig. 18.]

Si A polus conchoidis et CV ad VA ut 3/4 circumfer.^ae CYX ad CV¹⁾ fiet solidum conchoidis duplum sphaerae CX inscriptae.

[Fig. 19.]

AC est altera Conchoides in qua semper CD ∞ AB. CH ad HA ut GF ad FA, seu HB. nam FA ∞ HB quia AG ∞ CD. unde quoque HA ∞ FK. Ergo ▭ CH in HB ∞ ▭ FG in FK, fiunt enim ejusdem latitudinis haec rectangula²⁾. Ergo solidum infinitum conchoidis circa BD aequale solido quod fit a quadrante ALK circa axem KE. sive BAL circa BD.

Vel si Conchois ad alteram partem quoque describatur, erit totum solidum aequale ei quod fit a semicirculo LBT circa axem BD³⁾. Hoc autem sphaerae integrae additum aequatur annulo dimidio, qui fit a semicirculo BLK circa axem BD.

AC [Fig. 20]⁴⁾ conchoides. D polus. EF regula.

B punctum in Conchoide. BDH linea. DH ∞ ∞ EA. HK parall. DA.

BG est curva ejusmodi ut semper MG ∞ ∞ DN.

Eam dico esse hyperbolam per punctum B

1) On a donc, l : a = 3/4 lπ : l; c'est-à-dire a = 4/3π l.

2) Parce que, en effet, lorsque les points F et H se déplacent, on a à chaque instant KF = AH.

3) Puisque la distance du centre de gravité du demi-cercle LBT à l'axe BD est égale à (1 - 4/3π)l (où l = AB), on a donc pour le volume en question (π - 4/3)πl³.

4) Ce nouvel arrangement de la démonstration indiquée par la Fig. 15 (p. 306) doit dater de l'un des derniers mois de l'année 1658, comme cela résulte de la place qu'il occupe (p. 39 du Manuscrit A). Il nous semble probable qu'il fut rédigé à l'occasion de la correspondance de Huygens avec Wallis. Ce qu'on lit dans la lettre à Wallis du 6 septembre 1658 (p. 212 du T. II): ‘non videris animadvertisse spatium infinitum conchoidis etiam magnitudine infinitum esse quod ego aliquando me demonstrasse memini’, doit se rapporter à la remarque qui accompagne la Fig. 15; mais Huygens aura alors senti le besoin de vérifier la justesse de cette remarque et d'en rédiger une démonstration formelle.

[p. 309]

[Fig. 20.]

descriptam ad asymptotos PF, PQ. sumptâ videlicet EP ∞ DK, et ductâ PQ parall. DA.

Hanc hyperbolam apparet à B versus G totam cadere intra conchoidem. Sed Hyperbolam inter et asymptoton infinitae magnitudinis spatium interjicitur. Ergo et Conchoidis spatium infinitum erit.

Quod BG sit hyperb. hinc constat. Quia MG ∞ DN vel DR, erit RG ∞ MD; et GL ∞ ME. Item MF ∞ DK. Sed ut MF (h.e. DK) ad FG, ita GL (sive ME) ad ED. Ergo ▭ DK, DE ∞ ▭ FG, GL. idque semper. ergo BG est hijperb.

§ 7⁵⁾.

18 Mart. 1658.

[Fig. 21.]

AIGD est Cissoides. Ergo AC ∞ DE; AK ∞ GF; Ac ∞ de. &c.

trapezij DEFH eadem est altitudo ac ∆^li CVA⁶⁾ unde illud trap. ad hoc ∆.^m ut EF + DH ad CV. hoc est ut EB + DO ad CQ, hoc est ut BA + AO ad AQ; sive ut AB + BQ ad QA. hoc est ut qu. AB + + qu. BC ad qu. CA. hoc est ut ∆BML + ∆BCK

5) Ce paragraphe, emprunté à quelques feuilles détachées, traite de la quadrature de la cissoïde.

6) Le point V est situé sur la droite CQ, par suite la hauteur du triangle ACV est AQ, qui est égale à OB, hauteur du trapèze, puisque AC = DE.

[p. 310]

[Fig. 21.]

ad ∆ACK, sive CVA. Ergo hinc sequitur ∆BML + + ∆BCK aequari trapez.^o DEFH. Et hoc semper: unde colligo spatium infinitum à curva AIH et rectis AB, BE comprehensum aequari quadranti BAMR + semicirculo AIB hoc est triplo semicirculo AIB.

Item partem quamlibet abscissam recta ex A educta, velut AIDEBA aequalem esse sectori BMR + segmento BkC. hoc est triplo segmento CkB + duplo ∆^oCBS¹⁾ hoc est ∆^o cujus basis ∞ 3 arcus CB-CQ, altitudo radius SB. arcus autem BkC semper duplus est MR²⁾. unde data arcus BkC longitudine, dabitur quadratura dictae partis AIDEBA.

Dato quadrato vel circulo aequali spatio ABCX [Fig. 22] dabitur quadratura circuli.

Potest circulus inveniri qui unà cum spatio ABCX

[Fig. 22.]

aequatur quadrato dato.

ABCED ∞ semicirc. APCMD + + n³⁾

commune auferatur ABCMD

CMDE ∞ ABCP + AFCP (n)

CMDE + n hoc est qu. AC ∞ ∞ ABCP + 2n

auferatur utrinque 2n

APCB ∞ 2APCX. add. utrique APCX

ABCX ∞ 3APCX

semicirc. ACD + spatio ABCPA aequatur ▭ AXLD⁴⁾ circumscripto. sive quadrato circulo AD inscripto.

1) Écrivons m pour l'aire du triangle CSB = CSA et n pour celle du segment CkB, alors le secteur MBR dont l'aire est le double de celle du secteur CSBkC sera representé par 2m + 2n et l'espace AIDEBA par 2m + 3n.

2) C'est-à-dire en degrés, leurs longitudes étant égales.

3) Puisqu'on a ici, les segments APC et CMD étant égaux, .

4) Puisque APCBA = 2APCXA. On a donc ▭AXLD = semicirc. APCMD + 2/3 ABCXA, d'où il s'ensuit que si l'on saurait carrer l'espace ABCX, ou bien construire un cercle égal à cet espace, on aurait trouvé la quadrature du cercle.

[p. 311]

Spatium infinitum ABCRRQD est triplum semicirculi ACD.

Semper spatium ABCHD est triplum segmenti DZM. nam ∆DHO ∞ ∞ DZA ∞ 2DZS⁵⁾.

[Fig. 23.]

Ostendendum⁶⁾ est spatium AVLEFBA [Fig. 23] aequari sectori BNT + segmento CXB.

Primo spatium minus dicatur, sitque excess. Ω. Erit figura inscripta EHLab&c. multo minor. trapezium EFGH aequale ostenditur ∆^lis BCM + BNO⁷⁾. Ejusmodi igitur figura inscribatur, ut fiant omnia simul frusta qualia CPM et NRO minora excessu Ω quo spatium AVLEFBA superari dicitur à sectore BNT + segmento CXB (hoc fieri posse ostendatur).

Sed haec frusta omnia trapezijs addita, aequantur sectori BNT + segm. CXB. Ergo trapezia una cum priori excessu Ω. majora erunt sectore BNT + segm. CXB. Unde trapezia majora ipso spatio cui inscripta sunt quod absurdum.

Si spatium majus esse dicatur, erit figura circumscripta FKLdb&c. multo major. Jam trapezium KG aequale ostenditur ∆^lis BPQ + BRS.

5) On a trouvé ; mais DHO = AZD = 2m; par suite, ABCHD = 3n = 3 segm. DZM.

6) Dans ce qui suit Huygens prépare une démonstration plus archimédienne du résultat qu'il vient d'obtenir. Ajoutons qu'on trouve encore sur une des seuilles dont nous empruntons le présent paragraphe une autre rédaction plus détaillée d'une démonstration de ce genre, qui est également restée inachevée. Nous croyons pouvoir la supprimer, d'autant plus que l'on rencontre encore deux autres rédactions complètes d'une telle démonstration, envoyées respectivement à Wallis et à de Sluse, aux pp. 170-173 et 178-180 du T. II. Il est vrai que dans la rédaction que nous supprimons la figure est composée d'une autre manière que nos Fig. 21 et 22; mais on retrouve cette composition dans la lettre envoyée à de Sluse, p. 178 du T. II.

7) Comparez le deuxième alinéa du § 7, p. 309.

[p. 312]

[Fig. 24.]

Alia demonstratio¹⁾

triangulum KHG ∞ ABC. ▱ KF ad ∆ABC ut 2KL ad BC, hoc est ut 2KA ad AB, hoc est ut 2BH ad BA, hoc est ut 2EM ad MA. hoc est ut 2 qu.EB ad [qu.] BA, hoc est ut 2∆BED ad ∆BAC²⁾. ergo ▱ KF ∞ 2∆BED. Ergo trapezium KHFL ∞ ∆ABC + 2∆BED. Unde facile colligitur spatium AOKHE ∞ parti semicirculi ABSE + + 2 segm.^o BES, hoc est 3 segmento BES + ∆^lo ABE³⁾.

1) Cette démonstration, non moins élégante que celle qu'on trouve au commencement de ce § 7, n'a pas été utilisée par Huygens dans sa correspondance.

2) À cause de la similitude de ces deux triangles.

3) Comparez le deuxième alinéa de la p. 310.

§ 8⁴⁾.

Sit parabola cujus diameter FA, et linea MS sectionem contingat, per M vero ipsi FA aequedistans ducatur MN, et ipsi MS in sectione ducantur aequidistantes quaelibet BLE, VRX. dico ipsas à recta MN bifariam secari; et quadrata ipsarum VR, BL esse inter se sicut RM ad LM longitudine. ducantur enim ordinatim BA, MQ, LD, EO et conveniat

[Fig. 25.]

EO cum LM in P. et sit parabolae rectum latus FZ.

Quia igitur ▭ sub FQ et lat. recto aequale est qu.^o MQ, erit lat. r. ad MQ ut MQ ad QF, et sumptis consequentium duplis, lat.r. ad 2MQ seu 2AN ut MQ ad QS; (est enim QS dupla ipsius QF, quia MS parab. contingit) hoc est ut BN ad NL. Quare ▭ sub lat.r. et NL ∞ 2▭^o ANB. ▭^m autem sub lat.r. et NL sive AD et ▭^m sub lat.r. et DF, utrumque simul aequatur qu.AB. Ergo et 2▭ ANB + ▭ [lat.]r., DF aequabitur qu.^o AB; Et

4) La Pièce qui suit doit dater d'avril ou de mai 1658, d'après la place qu'elle occupe à la p. 19 du Manuscrit A On en trouve une rédaction moins achevée à la p. 16 du même Manuscrit, laquelle est accompagnée de l'annotation: ‘Volebat D. de Wit ut ostenderem de diametris parabolae’. Or, dans les premières pages de ses ‘Elementa curvarum linearum’, ouvrage cité dans la note 1, p. 371 de notre T. II, dont il envoya le manuscrit quelques mois plus tard à van Schooten, Johan de Witt déduit les propriétés de la parabole, dont il va être question, en partant de la méthode de génération de cette courbe, qu'il expose dans le premier chapitre de cet ouvrage. Ajoutons qu'on trouve les démonstrations d'Apollonius de ces mêmes propriétés aux Théorèmes 46 et 49 du Livre I de ses ‘Coniques’, p. 33 verso et 35 recto de l'édition de 1566 par Commandin citée dans la note 4 de la p. 6 de notre T. I.

[p. 313]

ablato utrinque 2▭ANB, erit ▭ [lat.]r, DF aequale qu.^o AN + qu.^o NB. Rursus quoniam ostensum est, l. r. ad 2MQ hoc est 2PO ut MQ ad QS, hoc est ut EP ad PL sive OD; erit ▭ sub l. r. et OD aequale 2▭OPE. Sed ▭ [l.] r., OD + ▭^o [l.]r., OF aequatur ▭ [l.]r., DF; ergo etiam 2▭OPE + ▭ [l.]r., OF sive qu.^o OE aequabitur ▭ [l.]r., DF. Sed 2▭OPE + qu.OE aequatur etiam - per 7.1. Elem.⁵⁾ - duobus qu.^is EP, et OP. Ergo patet ▭ [l.]r., DF aequari qu.^is EP et OP. atqui ▭^o eidem [l.]r., DF etiam aequalia ostensa sunt qu.^a BN et NA. Ergo duo qu.^a EP et OP aequalia duobus BN et NA. sed qu.^m NA aequale qu.^o OP. Ergo reliquum etiam qu. BN aequale qu.^o EP. ac proinde BN ipsi EP etiam longitudine aequalis erit, Et, quoniam similia sunt ∆^a BLN, ELP, et latera aequalibus angulis opposita BN, EP habent aequalia etiam reliqua latera aequalibus opposita angulis aequalia habebunt, nimirum BL ipsi LE. Eadem ratione ostend. etiam VR ipsi RX aequalis. Jam porro ducatur VT ipsi AB aequidistans. Quia ergo ostensum fuit ▭ [l.]r., DF aequale qu.^is AN et NB, sed idem ▭ [l.]r., DF etiam aequale ▭^is [l.]r., QF et [l.]r., QD quorum ▭ [l.]r., QF qu.^o QM hic qu.AN aequale est, patet etiam reliquum ▭ [l.]r., QD seu [l.]r., LM aequari reliquo qu.^o NB. Similiter ostenditur qu.VT aequale ▭ [l.]r., RM. Erit itaque qu.VT ad qu.BN ut ▭ [l.]r., RM ad ▭ [l.]r., LM, hoc est ut RM ad LM. Sed ut qu.VT ad qu.BN ita qu.VR ad qu.BL. Ergo &c.

5) Lisez ‘7.2. Elem.’, puisqu'il s'agit de la Prop. 7 du Livres des ‘Elementa’ d'Euclide. Voici cette proposition: ‘Si recta linea secetur vtcunque; Quod à tota, quodque ab vno segmentorum, vtraque simul quadrata, aequalia sunt & illi, quod bis tota, & dicto segmento comprehenditur, rectangulo, & illi, quod à reliquo segmento fit, quadrato.’ (Clavius, p. 181).