Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 288]

Appendice II à la pièce n^o. VIII¹⁾.
[1657].

§ 1²⁾.

x^py^q ∞ a^{p + q} ∞ a^s. sit p + q ∞ s. p major q. QO ∞ q/p x ex regula tang.³⁾

[Fig. 1.]

1) Cet Appendice, que nous empruntons à la même feuille où se trouve la première partie de l'Appendice I, contient les recherches de Huygens sur la quadrature des hyperboles de divers degrés. Nous l'avons divisé en paragraphes.

2) Ce paragraphe se rapporte au cas général d'une hyperbole de degré quelconque. Probablement Huygens y veut démontrer que l'aire du triangle LPO s'approche indéfiniment de zéro lorsque le point de contact A s'éloigne indéfiniment vers le côté droit; c'est-à-dire il se propose de faire voir qu'on peut donner une telle valeur à LQ = x, que l'aire de ce triangle prend une valeur ee aussi petite qu'on le veut. C'est du moins ce qui résulte immédiatement de la dernière formule de ce paragraphe.

3) Il peut s'agir ici d'une application de la règle du Theorema I de la p. 284 au cas analogue des hyperboles de divers degrés, auquel cas le point L de la présente figure remplace le point A de la figure 3 de la p. 284; toutefois il résulte de la première ligne du § 2 qui suit que Huygens était déjà en possession de la ‘Regula’ qu'il communiqua à de Witt dans sa lettre du 25 février 1663; voir la p. 315 du T. IV. Il s'agit donc plutôt d'une application de cette dernière ‘Regula’.

[p. 289]

§ 2⁴⁾

^5)6)7)8)

Dico PLE esse ad AOE ut 4 ad 1. hoc est PLO ad AOE ut 3 ad 1. hoc est sumta LΘ ∞ 1/3 LO, dico esse ΘPO ad ΘPL ut PLE ad AOE.

4) Dans ce paragraphe Huygens esquisse une méthode qui conduit à la quadrature des hyperboles de divers degrés. Il se borne à cet effet à la considération du cas p = 2, q = 1.

5) Puisque les triangles élémentaires (comme PΣX) qui composent l'aire de la figure mixtiligne PAHNP sont à ceux (comme ΣOS) qui constituent l'aire de la figure OAHEO comme 4 à 1 (PA étant égal à 2AO), Huygens en a pu conclure que ces figures elles-mêmes sont dans ce même rapport. Passant ensuite à la limite en supposant que le point H s'éloigne à l'infini il en déduit que PLEAP (où E représente cette fois un point à l'infini) est à OAEO comme 4 à 1, et que, par suite, PLEAP-OAEO (c'est-à-dire PLO) est à OAEO comme 3 à 1.

6) Puisque AQE est la somme de AOE et AQO.

7) Voir l'expression obtenue au § 1 pour ∆PLO, dans laquelle on a ici s = 3, p = 2, q = 1.

8) La méthode est applicable au cas général, auquel cas Huygens aurait pu écrire:



résultat identique à celui qu'on obtient par l'analyse moderne.
Toutefois la méthode suivie par Huygens présuppose que l'aire AQEA (E à l'infini) possède une valeur finie; comme on le voit facilement en l'appliquant au cas p < q. Huygens paraît s'en être aperçu, car dans les deux paragraphes qui suivent, où il prépare une démonstration archimédienne, il s'occupe surtout de montrer la valeur finie des aires qui devaient entrer dans cette démonstration qu'il ne semble jamais avoir achevée.

[p. 290]

§ 3¹⁾.

PAHN [ad] AHEO [ut] 4 [ad] 1²⁾.

[Fig. 1.]

dem.^dum posse AEQ³⁾ eousque produci ut qualibet data quantitate minus deficiat a magnitudine ▭ⁱLA.

posse duci tangentem NHE, ut fiat triang. NEL dato quovis spatio minimo⁴⁾. Intelligatur quasi in infinitum spatia aequalia OS, SG, GE &c. progredientur et tangentes a singulis punctis.

∆PΣV majus quam 4ΣOZ. sed ∆MΣX minus quam 4ΣSR.

Omnia trilinea ut AΣT⁵⁾ possunt fieri minora dato quovis spatio. nam minora quam AoT⁶⁾. quae omnia minora quam ▭ AY⁷⁾.

supp. xxy ∞ a³.

dem.^dum xy aequale dato quolibet minimo⁸⁾.

xy ∞ ee minimum datum. y ∞ ee/x; eex ∞ a³; x ∞ a³/ee

x¹⁰y⁹ ∞ a¹⁹; xy ∞ ee; y ∞ ee/x; e¹⁸/x⁹ ∞ y⁹ duc in x¹⁰; xe¹⁸ ∞ a¹⁹ ∞ x¹⁰y⁹; x ∞ a¹⁹/e¹⁸.

1) Consultez sur la portée de ce paragraphe le dernier alinéa de la note précédente.

2) Voir la première phrase de la note 5 de la p. 289.

3) Il s'agit de la figure mixtiligne AHEQA.

4) Voir le § 1, p. 288.

5) T est le point de contact de la tangente VTS.

6) Voir la très petite lettre o à l'angle supérieur du côté droit du rectangle AQYo.

7) Voir la lettre Y, entre Q et O, qui indique un point de la droite LE.

8) Huygens veut montrer que l'aire du rectangle LA s'approche indéfiniment de zéro lorsque le point A s'éloigne sur la courbe vers le côté droit.

[p. 291]

§ 4⁹⁾.

¹⁰⁾¹¹⁾

[Fig. 2.]

potest demonstrari a + c [ad] b + c [ut]

¹²⁾¹³⁾

Theorema quod demonstrari potest. spatium EYP ∞ 1/3 ∆ⁱAVY - 4/3 ∆ⁱYHX.

9) Ce paragraphe donne la quadrature du triligne ECDCE et la valeur limite de l'aire comprise entre EH, l'asymptote HQ et la courbe EDP prolongée à l'infini.

10) Comparez la note 5 de la p. 289. On a dans le cas général AEPV : EPXH = p² : q².

11) Huygens veut indiquer que les relations qui suivent sont valables aussi bien dans le cas où les lettres a, b et c représentent respectivement les aires AVY, EYP, YHX que dans le cas où elles représentent les aires ABC, ECD et FCH.

12) Comparez la première ligne du § 3.

13) C'est-à-dire, puisqu'on peut calculer les aires des triangles AVY et YHX, la quadrature du triligne EYP peut être considérée comme trouvée. Or, puisque la méthode suivie peut être appliquée sans aucune difficulté au cas général, il en est de même pour ce cas.
En effet, on trouve facilement dans ce dernier cas:
tril. où x₁, y₁ et x₂, y₂ représentent respectivement les coordonnées des points E et P.

[p. 292]

dico ubicunque sumatur P, spatium EHQP esse minus tertiâ parte trianguli AHN.

Sit VPX tangens, nempe ut XQ sit subdupla ad QN¹⁾. Jam spatium EYP aequatur 1/3 ∆ AVY - 4/3 ∆ VXN²⁾. Sed spat. YHQP est minus quam 4/3 VXN²⁾. cum sit pars hujus trianguli. Ergo EYP est minus quam 1/3 AVY - YHQP. Ergo EYP + + YHQP, hoc est EHQP minus est quam 1/3 ∆ AVY. Ergo omnino EHQP minus

[Fig. 2.]

quam 1/3 ∆ⁱANH. Ergo sp. EHQP est intra finitam magnitudinem quantumcunque PQ procul distans ab N sumatur.

At si ponatur spatium quoddam minus quam tertia pars ∆ⁱAHN, dico eousque sumi posse PQ, ut spatium EHQP sit majus spatio posito.

Sit spat. KLM³⁾ ∞ 1/3 ∆ⁱAHN. Etdetur spat. K minus spatio KLM. dico &c.

dividatur differentia in duo spatia aequalia L et M. Et sumatur P tam procul ut fiat ∆ VNX minus quam 3/4 spatij L⁴⁾, unde

1) Comparez la première ligne du § 2, p. 289.

2) Lisez: YHX.

2) Lisez: YHX.

3) Lisez: K + L + M et voyez la figure à gauche de la figure principale.

4) Comparez le § 1, p. 288 et la note 2 de cette p. 288.

[p. 293]

4/3 ∆ VNX minus erit spatio L. Ergo cum EYP + 4/3 ∆ⁱVNX⁵⁾ aequatur 1/3 ∆ⁱAYV, Erit EYP + spatio L majus quam 1/3 ∆ⁱAYV. Est autem spatium VYHN, omnino minus spatio L vel M, quippe pars ∆ⁱVNX. Ergo EYP + L + M majus quam 1/3 AYV + VYHN, eoque omnino majus quam 1/3 AYV + 1/3 VYHN hoc estquam 1/3 ∆ⁱANH. Sed spat. K + L + M aequatur 1/3 ∆ⁱANH. Ergo EYP majus est spatio K. quod erat demonstr.^m6).

5) Lisez: YHX; mais puisque YHX < VNX, la conclusion qui suit n'en est pas moins valable.

6) On peut donc conclure que l'aire EHPQ s'approche indéfiniment, lorsque le point P s'éloigne vers la droite, de la valeur 1/3 ∆ ANH (ou, dans le cas général, de la valeur ); valeur qu'elle ne surpasse jamais. Or (d'après le § 1, p. 288), par suite, la limite de l'aire EHPQ est égale à . En ajoutant à cette limite l'aire q/2p▭EN du triangle EKH, qu'on obtient en abaissant du point E une perpendiculaire BK sur NQ, on retrouve donc facilement le résultat formulé dans la note 8 de la p. 289.