Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 283]

Appendice I à la pièce n^o. VIII⁵⁾.
[1657].

Lemma⁶⁾.

[Fig. 1.]

[Fig. 2.]

Si differentia linearum FL, KL quae est KF dividatur in partes quotcunque aequales punctis T, S, G; Ratio FL ad LT rationis FL ad LT saepius multiplex erit quam linea FK lineae FT⁷⁾. Eademque ratio FL ad LK rationis FL ad LS saepius multiplex quam linea FK lineae FS. Et rationis FL ad LG, quam linea FK lineae FG⁸⁾.

Sint enim inter FL, KL mediae proportionales YL, XL, VL; totidem nempe quot sunt puncta lineam FK dividentia. Ergo etiam continue proportionales

5) Dans cet Appendice, que nous avons emprunté à deux feuilles détachées, on retrouve, dans une rédaction plus achevée, une partie des matières traitées dans la Pièce N^o. VIII.

6) Comparez le ‘Lemma’ de la p. 274.

7) Soit n le nombre des divisions du segment FK, on a alors, comme Huygens le démontrera, dans les deux cas representés respectivement par les Fig. 1 et 2, FL/LK > (FL/LT)ⁿ. Afin que les raisonnements qui suivent, et les conclusions que Huygens en tire dans le ‘Theorema’ qui suit, soient justes, on doit donc donner à la phrase précédente une interprétation conforme à cette relation. Toutefois, dans le cas de la Fig. 2, où LK > FL, cette phrase semble plutôt mener à la relation: FL/LK < (FL/LT)ⁿ, puisqu'elle exige que dans la relation FL/LK = (FL/LT)^v, v soit plus grand que n. Nous croyons, en effet, que la phrase a été mal choisie et qu'elle est le résultat d'une inadvertance.

8) Soit, plus généralement, Ple point terminal de la p^ième des n divisions du segment FK, on aura alors FL/LK > (FL/LP)^n/p, c'est-à-dire, posant FL = a, FT = b, dans le cas de la Fig. 1: et dans l'autre cas .

[p. 284]

[Fig. 1.]

[Fig. 2.]

erunt, differentiae FY, YX, XV, VK. patetque proinde ratione FL ad LT minorem fore quam FL ad LY¹⁾. Atqui ratio FL ad LK toties multipla est rationis FL ad LY quoties linea FK multipla est FT. Ergo eadem ratio FL ad LK rationis FL ad LT sepius multipla erit quam linea FK lineae FT²⁾.

Similiter cum ratio FL ad LS minor sit ratione FL ad LX. ratio autem FL ad LK toties multipla sit rationis FL ad LX quoties linea FK lineae FX. Erit ratio FL ad LK rationis FL ad LS saepius multipla quam linea FK lineae FS.

Similiterque ostendetur rationem FL ad LK saepius multiplicem esse rationis FL ad LG quam linea FK lineae FG.

1) Puisque, évidemment, dans le cas de la première figure FY > FT et dans celui de la seconde FY < FT; par conséquent, pour les deux figures, LT > LY.

2) Lisez FL/LK > (FL/LT)ⁿ.

Theorema [I.]

Si a puncto in paraboloide recta ad axem ordinatim applicetur et accipiatur in axe, à puncto ubi applicata ei occurrit, recta verticem versus; quae ad partem axis interceptaminter applicatam et verticem sese habeat ut exponens potestatis quae in ea paraboloide consideratur in ordinatim applicatis ad exponentem potestatis quae consideratur in abscissis ad verticem, Recta quae ducitur a terminò lineae in axe acceptae ad punctum in paraboloide ab initio sumtum, paraboloidem in puncto illo continget.

[Fig. 3.]

Sit paraboloidis AB, cujus axis AD, vertex A. Sitque ejus naturae ut quadratoquadrata ordinatim applicatarum BD, HL, sint inter se ut cubi abscissarum ad verticem DA, LA³⁾.

Dico si sumatur in axe DC quae sit ad DA ut 4 ad 3 (quoniam nempe hi sunt exponentes qu.qu. et cubi) et ducatur recta CB, eam tangere paraboloiden in B. Sumto enim in recta CB puncto quolibet alio G, ostendemus id cadere extra paraboloiden AB.

Sit GL⁴⁾ rectae BD parallela, et occurrat axi in

3) Huygens va donc choisir un cas particulier mais on verra facilement que la méthode de démonstration s'applique également au cas plus général l'énoncé du théorème, pourvu seulement que les ordonnées soient élevées à une plus haute puissance que les abscisses; voir pour un exemple du cas contraire, où les raisonnements ont besoin de quelques modifications faciles à apporter, la Fig. 4 de la p. 276.

4) Voir les deux droites GL indiquées dans la figure. Les raisonnement qui suivent s'appliquent également à toutes les deux.

[p. 285]

L, rectae vero BF axi parallelae in F, et paraboloidi in H. Ei vero quae conjungit puncta A B, in K. Et compleatur rectang. ADBQ, cujus latus AQ secet recta CB in R.

Est ergo ut CD ad DA ita CB ad BR et AQ ad QR et KF ad FG, nimirum ut 4 ad 3. Ac proinde ratio FL ad LK saepius multipla rationis FL ad LG quam FK multipla est FG⁵⁾. Id est, ratio FL ad LK major quam sesquitertia rationis FL ad LG. Atqui ratio FL sive BD ad LK sive DA ad AL est sesquitertia rationis BD seu FL ad LH. Ergo ratio FL ad LG minor quam FL ad LH. Ideoque LG major quam LH. Unde patet totam lineam CB, praeter punctum B, cadere extra paraboloidem. quod erat dem.

5) Consultez la note 7 de la p. 283.

Theorema [II].

[Fig. 4.]⁶⁾

Paraboloidis cujusvis portio ad triangulum eandem cum ipsa basin habentem, latera vero rectas quae portionem ad terminos basis contingunt, eam habet rationem quam portionis axis ad dimidiam compositae ex eodem axe et axe dicti trianguli.

Sit Paraboloidis portio recta ABC, cujus axis vel axi perpendicularis recta BQ⁷⁾; vertex B; basis AC; tangentes vero in terminis basis rectae

6) À propos de cette figure Huygens annota en marge: ‘Il faut retrancher la moitiè BC’. Probablement Huygens a-t-il aperçu que dans le cas où a est impair la partie BC n'appartient pas à la courbe y^a = kx^b (y = MO, x = BO).

7) Au lieu de cette phrase on lisait primitivement: ‘cujus axis BQ’. Probablement Huygens a-t-il remarqué plus tard que dans le cas où a est impair et b pair, la ligne BL est le véritable axe de la courbe. Toutefois il n'a pas apporté dans la suite les changements que cette constatation aurait dû entraîner.

[p. 286]

[Fig. 4.]⁶⁾

AD, CD, convenientes cum axe in D.

Dico portionem ABQ esse ad triang. ADQ, ut BQ ad semissem lineae aequalis duabus DQ, QB¹⁾.

Hoc autem patebit si ostenderimus trilineum BHAD, curvâ BA et rectis AD, DB comprehensum, esse ad semiportionem BAQ, ut 1/2 BD ad BQ²⁾. Erit enim, componendo, triangulum DAQ ad semiportionem ABQ ut 1/2 DB una cum BQ sive ut 1/2 DQ cum 1/2 BQ ad BQ. et convertendo.

Quod si igitur trilineum BAD ad semiport. ABQ non est ut 1/2 DB ad BQ, Ergo hanc rationem habebit ad spatium quod vel majus erit vel minus semiportione ABQ. Habeat primó ad majus, quod dicitur X³⁾. Itaque cum spatium X sit majus quam BAQ, poterit huic figura circumscribi ordinatim ex rectangulis aeque altis ut sunt IQ, PR, &c. quae sit minor spatio X. Factum id intelligatur; itaque trilineum BAD ad omnia ista rectangula majorem rationem habebit quam ad spatium X, hoc est, quam 1/2 DB ad BQ. Ducantur tangentes paraboloidem ad puncta T, M, H, in quibus latera dictorum rectangulorum ipsam secant, nimirum rectae TS, MF, HE; Ergo hae dividunt BD in partes aequales inter se, ac totidem numero quod sunt in axe BQ latera dictorum rectangulorum. Et singulae partes ipsius BD ad singulas axis BQ eandem habent rationem quam DB ad BQ. Triangulum itaque BHE est ad rectang. LG ut 1/2 EB ad BG, hoc est, ut 1/2 DB ad BQ. Quare trilineum BHE ad idem rectang. LG minorem rationem habebit quam 1/2 DB ad BG⁴⁾. Similiter spatium EHMF, quum sit minus triangulo basin FE habenti et altitudinem MO, minorem rationem habebit ad rectang. NO quam

6) À propos de cette figure Huygens annota en marge: ‘Il faut retrancher la moitiè BC’. Probablement Huygens a-t-il aperçu que dans le cas où a est impair la partie BC n'appartient pas à la courbe y^a = kx^b (y = MO, x = BO).

1) Comparez les dernières lignes de la p. 279.

2) Comparez le § 2, p. 276.

3) Voir la note 1 de la p. 278. Dans ce qui va suivre la rédaction plus primitive des pp. 277 et 278, est suivie de très près, à l'exception du dernier alinéa, où la rédaction est un peu plus complète dans la présente Pièce.

4) Lisez: BQ.

[p. 287]

1/2 FE ad GO, sive quam 1/2 DB ad BQ. Idemque verum est de ratione spatiorum caeterorum FMTS, STAD, ad rectang.^a PR, IQ. Ergo omnia praedicta spatia unà cum trilineo BHE, hoc est trilineum totum BAD ad omnia simul rectang.^a circumscripta minorem rationem habebit quam 1/2 DB ad BQ. Sed et majorem habere dictum fuit, quod est absurdum. Ergo trilineum BAD ad semiport. BAQ non habet majorem rationem quam 1/2 BD ad DQ⁴⁾.

Jam si fieri potest habeat minorem, sitque proinde spatium aliquod X minus semiportione BAQ, ad quod se habeat trilineum BAD ut 1/2 BD ad DQ⁵⁾. Cum igitur spatium X sit minus semiportione BAQ, poterit ei inscribi figura ordinatim ex rectangulis aeque altis quae sit major spatio X. Sit igitur factum, ac sunto ea rectangula HO, MR, TQ. Ergo trilineum BAD ad haec rectang.^a minorem rationem habebit quam ad spatium X, hoc est minorem quam 1/2 BD ad BQ.

Ducantur rursus tangentes curvam ad puncta quibus anguli inscriptorum ▭^orum ipsi occurrunt, quae sint HE, MF, TS, quae itaque dividunt rectam DB in partes aequales, et totidem numero quot sunt in axe BQ, et singulae partes DB ad singulas BQ eandem habent rationem quam DB ad BQ. Singulae vero tangentes productae occurrant sibi proximis in punctis K, V, Z. Itaque triang. EKF ad ▭ HO majorem habet rationem quam 1/2 FE ad GO, hoc est quam 1/2 BD ad BQ. Ac similiter majorem habebit triang. FVS ad ▭ MR, et triang. SZD ad ▭ TQ. Ergo omnia simul triang. dicta ad omnia inscripta rectang.^a majorem habebunt rationem quam 1/2 BD ad BQ. Dictis autem triangulis majus est trilineum BAD, ergo hoc ad figuram ex ▭ inscriptis majorem utique rationem habebit quam 1/2 DB ad BQ. Sed et minorem habere dictum fuit, quod est absurdum. Ergo nec minorem rationem habet trilineum BAD ad semiportionem BAQ quam 1/2 BD ad BQ, nec majorem. quare eandem habeat necesse est, quod erat dem.^m5).

4) Lisez: BQ.

5) On trouve encore sur la même feuille une figure entièrement analogue à la Fig. 6 de la p. 279, avec la remarque: ‘Convenit praecedens demonstratio etiam huic figurae. Ostendemus autem utrobique simili ratione solidum ex conversione spatij trilinei DBA circà axem DB ad solidum ex conversione spatij BAQ circa BQ esse ut ⅓ DB ad BQ’ (voir la note 3 de la p. 278). Enfin on y lit une annotation au crayon: ‘Addenda quadratura Hyperboloidum’ (voir l'Appendice II qui suit).

5) On trouve encore sur la même feuille une figure entièrement analogue à la Fig. 6 de la p. 279, avec la remarque: ‘Convenit praecedens demonstratio etiam huic figurae. Ostendemus autem utrobique simili ratione solidum ex conversione spatij trilinei DBA circà axem DB ad solidum ex conversione spatij BAQ circa BQ esse ut ⅓ DB ad BQ’ (voir la note 3 de la p. 278). Enfin on y lit une annotation au crayon: ‘Addenda quadratura Hyperboloidum’ (voir l'Appendice II qui suit).