Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

(1920)–Christiaan Huygens– rechtenstatus



[pagina 273]
VIIIGa naar voetnoot2). 1657. 1657. Nov. Quadratura Parabolae et similium curvarum altioris gradus. Item ratio solidorum ex ipsis ad cylindros. Et centrorum gravitatis inventio in planis solidisque.
§ 1Ga naar voetnoot3). [Fig. 1.] AB est Parabola. CA ∞ AD. Dico CB esse tangentem in B. dem. DA [ad] AL [ut] BD [ad] LKGa naar voetnoot4). BD sive FL [ad] LK [ut] qu.FL ad qu.LH. sed FL ad LK major quam qu.FL ad qu.LG, quia FG ∞ GKGa naar voetnoot5). Est enim ut DC ad CA ita BD sive QA ad AR, h.e. FK ad KG. Ergo qu.FL ad qu.LH major quam qu.FL ad qu.LG. Ergo LH minor quam LG. Ergo punctum G extra parabolam. Eadem ratione tota BGC.
[pagina 274]
[Fig. 2.] Sit Curva AB [Fig. 2] ejus naturae, ut sicut DA ad AL ita sit cubus BD ad cubum HL. Fiat CD tripla DA. dico CB esse tangentem in B. Ratio FL (BD) ad LK [∞ ratione] DA [ad] AL [∞] tripla rat.^is BD sive FL ad LH. Sed ratio FL ad LK major quam triplicata rat.^is FL ad LG: quia FG ∞ 1/3 FKGa naar voetnoot1). nam CA ad AD sive BQ ut AR ad RQ, h.e. ut KG ad GF. Ergo ratio FL ad LH major quam FL ad LG. Ergo LH minor quam LG. &c. Sit DA³ ad AL³ ut BD⁴ ad HL⁴. [Fig. 3] Sit CD ad DA ut 4 ad 3. Dico CB esse tangentem in B. Ratio FL [ad] LK sesquitertia est rationis FL ad LHGa naar voetnoot2). Est enim cub.FL ad cub.LK ut qq.FL ad qq.LH. ex hypoth. Atqui ratio FL ad LK major est quam sesquitertia rationis FL ad LG: quia KF ad FG ut 4 ad 3*Ga naar voetnoot3). Nam KF ad FG ut AQ (BD) ad QR, hoc est ut CD ad DA (BQ). Ergo ratio FL ad LH major ratione FL ad LG. Ergo LH minor quam LG. &c. Lemma. Sit KF differentia linearum FL, LK et FG ∞ 3/4 FK. dico rationem FL ad LK esse majorem quam sesquitertiam rationis FL ad LG. Sint enim inter LK, LF tres mediae proportionales LV, LX, LY. Ergo etiam continuè proportionales erunt KV, VX, XY, YF. Et KV harum minima, ac
[pagina 275]
proinde minor quam 1/4 FKGa naar voetnoot4), quare ratio FL ad LG minor ratione FL ad LV. Est autem ratio FL ad LV, triplicata rationis FL ad LY. Ideoque ratio FL ad LV eadem quae cubi FL ad cub.LY. Ratio vero FL ad LK est quadrupla rationis FL ad LY; ac proinde eadem quae qq.ⁱFL ad qq.^m LY. Ergo quum ratio qq.ⁱFL ad qq.^m LY sit sesquitertia rationis quam habet cub.FL ad cub.LY. Erit quoque ratio FL ad LK sesquitertia rationis FL ad LV. sed ratione FL ad LV minor est ratio FL ad LG. Ergo ratio FL ad LK major quam sesquitertia rationis FL ad LG. quod erat prop. Aliter. Ratio FL ad LK quadrupla est rationis FL ad LY. Ratio autem cubi FL ad cub.LK tripla est rationis FL ad LK. Ergo ratio cubi FL ad cub. LK erit tripla quadruple hoc est duodecupla rationis FL ad LY. Rursus ratio FL ad LV est tripla rationis FL ad LY. Ratio autem qq.ⁱFL ad qq.^m LV est quadrupla rationis FL ad LV. Ergo ratio qq.ⁱFL ad qq.^m LV est quadrupla triplae, hoc est duodecupla rationis FL ad LY. Itaque eadem est ratio qq.ⁱFL ad qq.^m LV quae cub.FL ad cub.LK, Sed ratione qq.ⁱFL ad qq.LV minor est ratio qq.ⁱFL ad qq.^m LGGa naar voetnoot5). Ergo ratio qq.ⁱFL ad qq.^m LG minor quoque ratione cubi FL ad cub.LK. Semper ut exponens potestatis quae consideratur in ordinatim applicatis, quae hic erat 4, ad exponentem potestatis quae consideratur in abscissis ab axe, quae hic erat 3, ita debet esse KF ad FGGa naar voetnoot6) hoc est AQ ad QR, hoc est CB ad BR, ac
[pagina 276]
proinde ita CD ad DA, ut fiat CB tangens in B. Vel simplicius sic. Si ratio BD ad HL quadrupla aequatur triplae rationi DA ad AL. debet esse CD ad DA ut 4 ad 3. Et sic de caeteris. [Fig. 4.] Sit AHB parabola cujus diameter AQ, contingens in vertice ADGa naar voetnoot1). Considerentur autem BD, HL tanquam ordinatim applicatae. Ergo quia BD ad HL proportio dupla est proportionis DA ad LA. hoc est quia sicut BD¹ ad HL¹ ita DA² ad LA², debebit esse CD ad DA ut 1 ad 2, ut siat BC contingens in B. Hoc autem modo curvas disponi ad quadraturam non est necesse, sed ad inveniendum solidum ex conversione circa tangentem in vertice. unde centrum gravitatis innotescitGa naar voetnoot2).
§ 2Ga naar voetnoot3). AD [Fig. 5] est tangens in A. Dico trilineum BHAD esse ad spatium BHAQ ut dimidia DB ad BQGa naar voetnoot4). Si enim non. Ergo trilineum BHAD, vel ad spatium majus vel minus ipso BHAQ erit ut dimidia DB ad BQ. Esto primum ad majus, quod sit X spatium. Potest ergo figura circumscribi ex ▭^is quae sit minor spatio XGa naar voetnoot5). factum sit igitur. Ergo trilineum BHAD
[pagina 277]
[Fig. 5.] ad omnia ▭ circumscripta majorem habebit rationem quam ad spatium X, hoc est quam 1/2 DB ad BQ. Et ducantur tangentes ex H, M, T. Ergo hae dividunt BD in partes aequales, et totidem quot sunt in BQGa naar voetnoot6). Et singulae partes BD ad singulas ipsius BQ eandem habent rationem quam DB ad BQ. Triangulum itaque BHE est ad ▭ LG ut 1/2 EB ad BG hoc est ut 1/2 DB ad BQ. Quare trilineum BHE ad ▭ LG minorem rationem habebit quam 1/2 DB ad BQ. Similiter rectilineum spatium EHMF quum sit minus triangulo basin FE habenti et altitudinem OM, minorem habebit rationem ad ▭ NO quam 1/2 FE ad GO, hoc est quam 1/2 DB ad BQ; similiterque continget de caeteris rectilineis. Ergo omnia simul cum trilineo BHE ad omnia simul ▭ circumscripta minorem habebunt rationem quam 1/2 BD ad BQ. Quare figura BHAD quae illis omnibus minor est, ad omnia ▭ circumscripta multo minorem habebit rationem quam 1/2 DB ad BQ. Sed et majorem habere ostensum fuit. Quod fieri non potest. Ergo &c.
[pagina 278]
[Fig. 5.] Jam si fieri potest sit spatium X minus spatio BHAQGa naar voetnoot1) ad quod spatium X eam rationem habeat spatium BHAD quam 1/2 BD ad BQ. Ergo potest inscribi figura ex ▭^is quae sit major spatio X. Sit factum igitur. Ergo spatium BHAD ad omnia inscripta ▭ minorem habebit rationem quam ad X, hoc est quam 1/2 BD ad BQ. Ducantur rursus tangentes &c. Habet igitur ∆ EKF ad ▭ HO majorem rationem quam 1/2 FE ad GO, hoc est quam 1/2 BD ad BQ. Similiter majorem habebit ∆ FVS ad ▭ MR. Et ∆ SZD ad ▭ TQ. Ergo omnia simul ∆² ad omnia simul inscripta ▭ majorem habebunt rationem quam 1/2 BD ad BQ. dictis autem triangulis majus est spatium BHAD. Ergo hoc ad omnia inscripta ▭^a multo majorem habebit rationem quam 1/2 DB ad BQ. Sed minorem habere antea ostensum fuit. Quod absurdum est. Ergo &c.
[pagina 279]
[Fig. 6.] convenit praecedens demonstr.^o etiam huic figurae [Fig. 6]Ga naar voetnoot2). Haud absimili modo ostendemus solidum ex conversione spatij DBA [Fig. 5] circa axem DB ad solidum ex conversione spatij BAQ esse ut 1/3 DB ad BQGa naar voetnoot3). desunt hic quae de hyperboloidumGa naar voetnoot4) infinitarum genere, spatijsque, inter ipsas et asymptotos interjectis, inveni; quae simili atque haec ratione demonstranturGa naar voetnoot5). [Fig. 7.] [Fig. 8.] Si modo curva BA sit ejusmodi, ut, ductâ tangente ad punctum quodvis ipsius ut A, eadem sit semper ratio DB ad BQ, quadratura spatij BAQ, et solidi ex conversione circa axem BQ ratio ad cylindrum inveniri poterit. Sit DQ ∞ a, BQ ∞ bGa naar voetnoot6). Quia igitur trilineum DBA ad spatium BAQ ut 1/2 DB (1/2 a - 1/2 b) ad BQ(b), vel in 2^da [fig.] 1/2 b - 1/2 a ad b. Ergo componendo (vel in 2^da fig. invertendo et per conversionem rationis, et rursus invertendo) ∆DAQ ad spar. BAQ ut 1/2 a + 1/2 b [ad] b. Sed ▭ IQ ad ∆DAQ ut b ad 1/2 a.
[pagina 280]
Ergo ex aequo in perturbataGa naar voetnoot1), erit ▭ IQ ad spat. BAQ ut 1/2 a + 1/2 b [ad] 1/2 a, hoc est ut a + b ad a. 1.^a Regula. [Fig. 7.] [Fig. 8.] Rursus quia solidum ex tril. DBA ad solid. ex BAQ ut 1/3 DB (1/3 a - 1/3 b) ad BQ (b), vel in 2^da 1/3 b - 1/3 a [ad] b Erit componendo (vel in 2^da fig. invertendo et per convers. rationis, et rursus invertendo) conus ex DAQ ad solid. ex BAQ ut 1/3 a + 2/3 b ad b. Sed cylindrus ex IQ est ad conum ex DAQ ut BQ ad 1/3 DQ hoc est ut b ad 1/3 a. Ergo ex aequo in perturb.Ga naar voetnoot1) Erit cylindrus ex IQ ad solidum ex BAQ ut 1/3 a + 2/3 b ad 1/3 a hoc est ut a + 2b ad a. 2.^a Regula. Conversio fieri intelligitur circa axem BQ. In lineis autem Paraboloidibus, semper est DQ commensurabilis BQ. Itaque in his pro a sumenda est exponens potestatis quae consideratur in ordinatim applicatis. Pro b exponens potestatis quae consideratur in abscissis ad verticem. Ex. gratia in curva superioriGa naar voetnoot2) ubi ordinatim applicatarum ratio quadrupla aequalis ponebatur rationi triplicatae abscissarum ad verticem, erit a ∞ 4. b ∞ 3. Itaque si BA fuerit curva ejusmodi; erit ratio ▭ IQ ad spatium BAQ ut a + b ad a, hoc est ut 7 ad 4. Cylindrus vero ex IQ ad solidum ex BAQ in conversione, ut a + 2b ad a, hoc est ut 5 ad 2. In prima nimirum figura. At in 2^da, ubi tangens in vertice pro axe est. Erit DQ sive a ∞ 3. BQ sive b ∞ 4. Unde ▭ IQ ad spatium BAQ ut a + b ad a, hoc est ut 7 ad 3. ut necesse eratGa naar voetnoot3). Cylindrus vero ex IQ ad solidum ex BAQ uc a + 2b ad a, hoc est ut 11 ad 3.
[pagina 281]
Itaque per conv. rationis cylind. ex IQ ad solid. ex BAI, ut a + 2b [ad] 2b. hoc est ut 11 ad 8. Notandum quod si in 1^a et 2^da figura [Fig. 7 et 8] eadem fuerit linea curva quamquam diverso positu: quod a et b invicem quantitatem permutent. Sicut in proposito exemplo, in prima fig. fuerat a ∞ 4. b ∞ 3. In secunda vero fig. fit a ∞ 3. b ∞ 4. Unde cum cylindrus ex IQ ad sol. ex BAI, sit ut a + 2b [ad] 2b dicemus proinde in 1^a fig. cylindrum ex IQ (conversione facta circa BI) ad sol. ex BAQ esse ut b + 2a ad 2a hoc est proposito exemplo ut 11 ad 8. 3.^a Regula.
§ 3Ga naar voetnoot4). Centrum gravitatis plani ABC ex his sic nunc inquiremus. Sit O centrum grav. plani ABC. P vero centr. gr. ▭ IC, divisâ BQ bifariam in P. Sit BO ∞ x. BP autem est ∞ 1/2 b. Ratio cylindri ex IQ circa axem BI, ad solidum ex ABQ, vel cylindri ex IC ad solidum ex ABC, componitur ex ratione ▭ⁱ IC ad spatium ABC, et ex ratione BP ad BO: ut postea ostendemusGa naar voetnoot5). Itaque ratio b + 2a ad 2aGa naar voetnoot6) aequalis composita ex rationibus Ga naar voetnoot7) Ergo b + 2a [ad] 2a ut 1/2 ab + 1/2 bb [ad] ax. . subtrahatur x à fit .
[pagina 282]
Ergo BO ad OQ ut a + b ad a, hoc est ut ▭ IC ad spat. ABC. 4.^a Regula. Hinc rursus invenimus rationem cylindri ex conversione ▭ⁱ IC circa axem AC, ad solidum ex spatio ABC circa eundem axem. Haec enim ratio componitur denuo ex ratione ▭ IC ad spatium ABC et ex ratione QP ad QO. hoc est ex ratione a + b [ad] a et QP (1/2 b) [ad] QO (ab/b + 2a) sive 1/2 b + a [ad] a, quae composita ratio erit eadem quae aa + 3/2 ab + 1/2 bb ad aa, hoc est a + 3/2 b + 1/2 bb/a ad a. 5.^a Regula. hoc est, in curva superioriGa naar voetnoot1) 77 ad 32, in parabola vero 15 ad 8. Porro ad centrum gravitatis inveniendum in solido ABC. Invenienda est primum curva ejusmodi, in qua ordinatim applicatae sese habeant sicut quadrata [Fig. 9.] ordinatim applicatarum in curva ABCGa naar voetnoot2). DQ ∞a, BQ ∞ b; item KL ∞ a, LF ∞ n. Esto inventa sitque curva EFG. igitur necesse est ▭.HG ad spatium EFG eandem habere rationem quam cylindrus IC ad solidum ABC. hoc est quam a + 2b ad aGa naar voetnoot3). Sed ▭ HG ad spatium EFG eam quoque habet rationem quam a + n ad a (per reg. 1.)Ga naar voetnoot4), quandoquidem hujus generis curva est EFG. Igitur quia a + n ad a ut a + 2b ad a. Erit n ∞ 2b. Unde curva EFG jam notae est proprietatis. plani autem EFG centrum gr.^s eadem proportione secare necesse est axem FL, qua centrum gr. solidi ABC axem BQ. Sed FS est ad SL ut a + n ad a, hoc est ut a + 2b ad a. Ergo et BO ad OQ ut a + 2b ad a. Regula 6.^ta. Unde constat esse BO ad OQ ut cylindrus IC ad sol. ABC.	voetnoot2) La Pièce est empruntée aux p. 7-14 du Manuscrit N^o. 13. Nous l'avons divisée en paragraphes. Le texte du premier paragraphe et une partie de celui du second ont servi d'avant-projet pour la Pièce que nous reproduisons dans l'Appendice I, p. 283-287. Ajoutons que les résultas obtenus dans cette Pièce et dans l'Appendice II (p. 288-293) sont mentionnés par Huygens à la dernière page de la ‘Pars terria’ de son ‘Horologium oscillatorium’ (p. 90 de l'édition originale). voetnoot3) Ce paragraphe contient la détermination de la tangente à la parabole ordinaire et aux paraboles d'autres degrés. Il a servi d'avant-projet à la première partie (jusqu'au ‘Theorema II’) de l'Appendice I, p. 283-285. voetnoot4) Cette proportion et les raisonnements qui suivent s'appliquent également aux deux ensembles de points F, G, H, K , L, dont les uns se trouvent au-dessus et les autres au-dessous de la ligne BD. voetnoot5) Posons FL = a, FG = GK = b. L'inégalité en question peut alors s'écrire pour la ligne supérieure , et pour l'autre ligne . Dans les deux cas il est facile d'en vérifier l'exactitude. voetnoot1) Les inégalités se réduisent ici (pour FL = a, FG = b) à et . voetnoot2) Voir toujours les deux ensembles de points F, G, H, K, L. On a évidemment dans les deux cas: FL/LK = BD/LK = AD/AL = (BD/HL)^4/3 = (FL/HL)^4/3. voetnoot3) Voir le ‘Lemma’, qui suit. voetnoot4) La relation KV < 1/4 KF n'est valable que pour l'ensemble qu'on trouve dans la figure principale au-dessus de la ligne BD; pour l'autre ensemble on a KV > 1/4 KF; ce qui n'empêche pas que la conclusion que Huygens fait suivre ne soit véritable dans les deux cas; voir la note 5. voetnoot5) Puisqu'on a dans le premier des deux ensembles, qu'on trouve au-dessous de la figure principale: KV > KG = 1/4 KF, dans le second: KV < KG et, par suite, dans tous les deux: LG > LV. Il est clair d'ailleurs que ces méthodes de démonstration géométrique peuvent s'appliquer également aux cas de la parabole propre et de la parabole cubique, qui précèdent. voetnoot6) Voir les Fig. 1-4. voetnoot1) Dans ce qui suit la règle générale que Huygens vient de trouver est vérifiée dans le cas de la parabole ordinaire, la tangente au sommet étant considérée cette fois comme l'axe des abscisses. voetnoot2) Cette annotation fut ajoutée à une date postérieure à la rédaction de la présente Pièce. On verra, en effet, que les quadratures qui vont suivre sont fondées bien certainement sur la propriété de la tangente que Huygens vient de déduire. voetnoot3) Quadrature des paraboles de divers degrés et cubature de leurs solides de révolution. voetnoot4) La figure représente une courbe paraboloïde quelconque y^a = kx^b (où B est l'origine et BQ l'axe des x), pourvu seulement qu'on ait a > b. voetnoot5) Comparez le ‘Theorema I’ des ‘Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro’, p. 289 du T. XI. Évidemment la méthode de démonstration employée au lieu cité s'applique également à la présente figure. voetnoot6) Puisqu'il résulte des propriétés de la tangente, déduites dans le paragraphe précédent, que les segments BE, BF, etc. sont proportionnels aux segments BG, BO, etc. voetnoot1) Ici Huygens annota en marge ‘hoc primum’. Évidemment cette indication se rapporte à la rédaction définitive du Traité que Huygens se proposait d'écrire sur ces matières. Toutefois l'indication n'a pas été suivie dans la nouvelle rédaction que nous reproduisons dans l'Appendice I; voir la p. 286 de cet Appendice. voetnoot2) La figure représente le cas où a < b dans l'équation y^a = kx^b de la courbe paraboloïde; comparez la note 4 de la p. 276. voetnoot3) Puisqu'il y a évidemment entre le solide décrit par le triligne élémentaire DATS [Fig. 5] et le cylindre décrit par le rectangle AR le rapport de 1/3 DS à RQ. voetnoot4) Il s'agit des courbes représentées par l'équation y^ax^b = k, a et b entiers et positifs. voetnoot5) On trouvera ces recherches dans l'Appendice II, p. 288-293. voetnoot6) Il s'agit donc toujours des courbes y^a = kx^b, appelées paraboloïdes par Huygens dans les cas où a et b sont des nombres entiers et positifs. voetnoot1) On peut consulter sur cette expression la note 22 de la p. 304 du T. XI. voetnoot1) On peut consulter sur cette expression la note 22 de la p. 304 du T. XI. voetnoot2) Voir la p. 274. voetnoot3) Voir la première phrase du deuxième alinéa de la p. 281. voetnoot4) Détermination des centres de gravité des paraboles de divers degrés et de leurs solides de révolution. voetnoot5) On n'en trouve rien dans ce qui suit. La relation est, d'ailleurs, une conséquence immédiate du théorème de Guldin, à propos duquel Huygens écrivit à de Sluze, le 3 septembre 1657: ‘ad gravitatis vero centrum indagandum, theorema quoddam quod apud Guldinum reperi ἀναπόδειϰτον’, [c'est-à-dire: sans preuve] ‘sed tamen verissimum’ (p. 51 du T. II). Peutêtre Huygens avait-il l'intention de faire suivre une démonstration de ce théorème. Ajoutons encore que, sous la date du 14 déc. 1653, on rencontre dans le Manuscrit K (p. 35) l'annotation suivante: ‘Theorema Guldini ipsius p. 147. Quantitas rotanda in viam rotationis ducta producit potestatem rotundam uno gradu altiorem potestate sive quantitate rotata. Hujus demonstrationem nullam habet sed inductione probat tantummodo, ostendens sua cum aliorum inventis convenire. Verum est utique quod proponit, et non difficile demonstratu. Lemma addit hunc habens sensum. Quod Potestas Rotunda quaevis ad aliam ejusdem generis, compositam habeat rationem, ex ratione potestatum rotandarum et ratione radiorum rotationis. quod ex theoremate consequitur. Radius autem rotationis est recta ex centro grav.^is potestatis rotandae ad axem rotationis perpendicularis. Via item rotationis est circumferentia à dicto gravitatis centro in conversione descripta’. Comparez le ‘Liber secundus’ de l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 153 du T. I; mais remarquons que les ‘Libri secundus, tertius et quartus’ parurent en 1640 et 1641, et non pas en 1650 et 1651 comme la note citée le donne. voetnoot6) Voir la ‘3^a Regula’. voetnoot7) Voir la ‘1.^a Regula’, p. 280. voetnoot1) C'est-à-dire pour laquelle a = 4, b = 3; voir la deuxième courbe de la p. 274. voetnoot2) La méthode que Huygens va suivre apprend donc à réduire la détermination du centre de gravité du solide de révolution, décrit par un segment de la courbe y = f(x) autour de l'axe des abscisses, à la détermination du centre de gravité du segment correspondant de la courbe y = [f(x)]². voetnoot3) Voir la ‘2.^a Regula’, p. 280. voetnoot4) Voir la p. 280.