Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 271]

VII²⁾.
1657.

Propositum à Pascalio. à Slusio missum³⁾.

Datis positione duobus circulis A, C et recta HG, invenire circulum BDS qui datos circulos tangat et relinquat super data recta arcum capacem anguli dati.

CD ∞ a; AB ∞ b; CG ∞ c; AH ∞ d; HG ∞ e; ratio data LB vel LS ad LK ut e ad f.

2) La Pièce est empruntée à la p. 35 du livret du frère Philips que nous avons mentionné dans la note 4, p. 217 du T. XII.

3) Voir la Pièce N^o. 418, p. 72 du T. II, qui accompagna la lettre de de Sluse à Huygens du 23 octobre 1657, p. 71 du T. II, et la réponse de Huygens du 2 novembre à la p. 80 du même Tome.

[p. 272]

¹⁾.

1) Probablement Pascal avait en vue une solution plus géométrique. En effet, il écrivit à Fermat, le 29 juillet 1654: ‘De même j'ai résolu le problème ... et celui-ci: De trois cercles, trois points, trois lignes, [trois] quelconques étant donnés, trouver un cercle qui, touchant les cercles et les points, laisse sur les lignes un arc capable d'un angle donné. J'ai résolu ces problèmes plainement, n'employant dans la construction que des cercles et des lignes droites; mais dans la démonstration, je me sers de lieux solides, de paraboles ou hyperboles: Je prétends néanmoins qu'attendu que la construction est plane, ma solution est plane et doit passer pour telle’ (voir la p. 298 du T. II de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 3 du présent Tome).
Quant à la solution de de Sluse, à laquelle il fait allusion dans la lettre mentionnée dans la note 3 de la p. 271, elle se basait probablement sur une analyse analogue à celle de Huygens. On en trouve l'application à un cas particulier numérique dans une Pièce qui accompagne une lettre de de Sluse à Brunetti; voir les p. 241-247 du T. VII des ‘OEuvres de Blaise Pascal’, eitées dans la note 4 de la p. 196.
D'ailleurs le problème est un cas particulier de celui-ci: Décrire une circonférence qui coupe trois cercles donnés sous des angles donnés. Ce dernier problème est également plan. On en trouve une solution moderne par M.G. Tarry à la p. 290 du ‘Traité de géometrie par Rouché et de Comberousse’, Paris, Gauthier-Villars, édition de 1891, première Partie. Fiedler en élabora une autre p. 169-172 de son ouvrage: ‘Cyklographie oder Construction der Aufgaben über Kreise und Kugel und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme’, Leipzig, 1882. Steiner annonça, en 1826, dans son traité ‘Einige geometrische Betrachtungen’, qu'il possédait une solution du problème qu'il n'a pas publiée (voir la p. 20 du T. I de l'ouvrage: ‘Jacob Steiner's gesammelte Werke’ Berlin, G. Reimer, 1881).