Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 210]

II¹⁾.
1656.

30 Nov. 1656.

1) Dans cette Pièce, écrite sur une feuille détachée, il s'agit de construire les asymptotes d'une hyperbole qui constitue une solution du problème de Pappus ‘proposé en quatre lignes’, dont Descartes s'est occupé dans le premier et le second Livre de sa Géométrie (voir les pp. 377-387 et 396-411 du T. VI de l'édition récente d'Adam et Tannery des OEuvres de Descartes). On y demande de trouver le lieu d'un point C (voir la grande figure) pour lequel le rectangle sur les lignes tirées dans des directions données jusqu'à leurs intersections avec les droites AO et BN est égal ou dans un rapport donné au rectangle sur d'autres lignes de directions données tirées vers les droites AB et NO.
Roberval avait fait remarquer à Huygens dans sa lettre du 6 juillet 1656 (voir la p. 450 de notre T. I) que ce lieu comprend deux sections coniques à la fois, comme ici le cercle et l'hyperbole qui passent par les points A, B, N et O. Cette remarque donna lieu à une correspondance entre Huygens et van Schooten, qu'on trouve aux pp. 460-462, 466-470 et 519-524 du T. I. C'est à cette occasion que Huygens composa la présente Pièce.
Outre cette construction on trouve sur la même feuille des calculs et des figures qui ont servi à préparer la lettre à van Schooten du 6 décembre 1656, p. 519-524 du T. I. Il n'a pas semblé nécessaire de les reproduire.

[p. 211]

ducantur positione datis lineis²⁾ parallelae 4, in uno et eodem puncto sese intersecantes³⁾. Et inveniatur locus puncti c⁴⁾, ex quo in eisdem angulis datis ductae faciant idem quod hic praescribitur. Erit locus puncti c in duabus rectis cZ, FG quibus sciendum est asymptotas hyperbolarum hic parallelas esse debere. Et constat puncta 4. A, B, N, O esse in ipsis hyperbolis. Oportet igitur sic ordinare asymptotas dictis lineis parallelas ut LN sit aequ. OK et RA aequ. BQ.

Sit PR ∞ x; PN ∞ a; PO ∞ b; PA ∞ c; PB ∞ d. Ratio RP ad PK data est. Sit ut a ad p. Similiter ratio LP ad PQ data est quae sit ut q ad a.

2) C'est-à-dire les quatre lignes AO, BN, AB et NO.

3) Voir la petite figure à gauche de la grande.

4) Voir la lettre c (difficilement lisible) de la petite figure.