Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 156]

Appendice VII¹⁾
Au traité ‘Van rekeningh in spelen van geluck’.
[1676]²⁾.

Elck heeft 1/2 a ingeset. die ten eersten een 6 met eene steen neemt te werpen

Traduction:

Chacun a mis 1/2 a. Celui qui accepte de jeter au premier coup un 6 avec un seul dé a 1 chance à a, b - 1 à zéro, ce qui vaut . Qui accepte de le faire en

1) Cet Appendice contient des solutions, à l'aide de logarithmes, de ‘problèmes des dés’ identiques ou analogues à ceux dont Huygens s'occupe dans les Prop X et XI de son Traité (voir les p. 79-83 du présent Tome). Il a servi évidemment d'avant-projet à la Pièce, destinée à Dierkens, qu'on trouve aux p. 16-18 du T. VIII. Il nous montre que Huygens n'a pas réussi au premier coup à donner à ses solutions la forme simple qu'elles ont obtenues dans la Pièce mentionnée.

2) La Pièce n'est pas datée, mais il est très probable qu'elle fut composée en 1676. Les feuilles détachées sur lesquelles elle est écrite ont le même aspect, quant à l'écriture, l'encre et le format, que la feuille dont nous avons emprunté l'Appendice VI, daté d'août 1676. Et ce format diffère de celui dont Huygens se servait ordinairement. Ce n'est que le Livre des Adversaria E qui le présente et ce Livre était employé de 1674 à 1680; plusieurs feuilles en ont été enlevées, parmi lesquelles se trouvaient peut-être celles sur lesquelles cet Appendice VII fut écrite.

[p. 157]

b - 1 ∞ c³⁾, a ∞ 1 hebbende elck 1/2 ingeset

Traduction:

deux coups a 1 chance à a, b - 1 à a/b, ce qui vaut 2a/b - a/bb, etc.....

Soit b - 1 ∞ c³⁾, a ∞ 1, en supposant que chacun a mis 1/2. [On trouve au cas d'un seul coup] 1 à a, c à zéro, ce qui vaut a/b, au cas de deux coups........., au cas de trois

3) La solution menaçant de devenir inutilement compliquée pour le cas d'un plus grand nombre de coups, Huygens la reprend avec une légère modification. À l'aide de cette modification il réussit en effet à la rendre plus maniable. Ce n'est que vers la fin de la Pièce (voir la note 5 de la p. 161) qu'il s'aperçoit combien la question se simplifie si l'on se met à calculer la chance de celui qui donne à jeter au lieu de celle de celui qui jette. Comparez les solutions des prop. X et XI (p. 79-83) du Traité de Huygens où l'on retrouve la même complication inutile.

3) La solution menaçant de devenir inutilement compliquée pour le cas d'un plus grand nombre de coups, Huygens la reprend avec une légère modification. À l'aide de cette modification il réussit en effet à la rendre plus maniable. Ce n'est que vers la fin de la Pièce (voir la note 5 de la p. 161) qu'il s'aperçoit combien la question se simplifie si l'on se met à calculer la chance de celui qui donne à jeter au lieu de celle de celui qui jette. Comparez les solutions des prop. X et XI (p. 79-83) du Traité de Huygens où l'on retrouve la même complication inutile.

[p. 158]

maer a is ∞ 1, ergo 1/b + c/bb + cc/b³ + c³/b⁴ [... ∞] 1/2, dat is men moet sien wanneer de somme van de progressie gelijck werdt aen 1/2, want dan is de kans gelijck van die het in soo veel reijsen genomen heeft.

prop. u ut summa prop.^um sit ∞ 1/2

¹⁾

Traduction:

coups......., au cas de 4 coups 1 à a, c à a/b + ca/bb + cca/b³, ce qui vaut a/b + ca/bb + cca/bbb + c³a/b⁴, mais a est ∞ 1, par conséquent, 1/b + c/bb + cc/b³ + c³/b⁴.... ∞1/2, c'est-à-dire on doit rechercher quand la somme de la progression devient égale à 1/2, car alors celui qui a accepté de le faire en ce nombre de coups a une chance égale.

Manière de trouver la somme des quantités proportionnelles. z ∞ summa proport., etc....

1) Cette phrase, écrite avec une encre différente, à commencer par z ∞ 1 - cu, fut sans doute ajoutée après que ce même résultat avait été obtenu dans le dernier alinéa de la p. 161, où il donna lieu alors à la remarque de la note 5 de cette p. 161.

[p. 159]

Quoto jactu duarum tesserarum duos senarios me daturum certare possum cum lucro? Sunt jactus 36. Ergo hic b est 36. et c ∞ 35. prima proportionalium 1/b ∞ 1/36. Quaerendum ergo quot proportionales statuendae sint in ratione 36 ad 35 ut ultima u sit minor quam 1/2c hoc est hic quam 1/70. tunc enim summa proportionalium (quae significat partem quam ex unitate seu (a) mihi arrogare possum) excedet 1/2. adeo ut illo jactuum numero potior esse incipiat conditio mea.

Quod si fiat ut 36 ad 35 ita 1/36 ad aliam ea erit secunda proportionalis et sic deinceps faciendum donec proportionalis inveniatur quae sit minor quam 1/70.

Hoc autem per logarithmos facile est²⁾, nam si ab log. 1/36 qui est - 1.5563025 auferatur differentia log. 35 et 36, quae est 0.0122345, habebitur log. dictae secundae proportionalis. Invenio autem 24^ter dictam differentiam auferendam a logarithmo 1/36 priusquam habeatur logarithm. minoris fractionis quam 1/70, quia dividendo differentiam logg. 1/70 et 1/36 quae est - 0.2887955 per dictam differ. logg. 36 et 35 quae est 0.0122345, fiunt plus quam 23, ideoque 24 sumendum ut perveniatur ad fractionem minorem quam 1/70. Itaque 24 proportionales statuendae praeter primam 1/36. adeo ut omnino sint 25. ac proinde 25^o jactu certare possum eventuros duos senarios, idque conditione potiori quam sit contra certantis.

2) De ce qui précède l'on déduit aisément:



où n désigne le nombre des quantités proportionnelles qu'il s'agit de déterminer.
C'est la règle que Huygens va appliquer dans ce qui suit.

[p. 160]

Quoto jactu 3^um tesserarum tres senarios jacturum me certare possum. Resp. 150.

¹⁾

Quoto jactu 4^or tesserarum quatuor senarios? Resp. 899²⁾.

²⁾

Brevius haec omnia peragi possunt³⁾. Exempli gratia cum queritur quoto jactu duarum tesserarum possint duo senarij haberi, ita ut certetur cum lucro.

Tantummodo quaerendum quoties ratio 36 ad 35 continentur in ratione 2 ad 1⁴⁾. dividendo nempe logarithmum binarij 0,30103 per differ. logarithmorum 36 et 35, qui est 0,01223. fit 24 et aliquid superest. Tum addenda 1. et fit 25 numerus proportionalium quarum summa superabit 1/2. Ideoque 25 jactibus cum lucro certatur obventuros duos senarios.

1) C'est le premier nombre entier qui excède le quotient de 0,2990148 par 0,0020152. Ajoutons que la division, que nous n'avons pas reproduite, fut faite à l'aide de l'algorithme expliqué dans la note 3 de la p. 152 du T. XIII.

2) Il est vrai que, plus tard, Huygens a diminué ce nombre d'une unité. Probablement il avait oublié l'addition d'une unité exigée par la formule de la note 2 de la p. 159.

2) Il est vrai que, plus tard, Huygens a diminué ce nombre d'une unité. Probablement il avait oublié l'addition d'une unité exigée par la formule de la note 2 de la p. 159.

3) De la relation u < 1/2c (voir la p. 159), ou bien c^n-1/bⁿ < 1/2c, on déduit (b/c)ⁿ > 2; c'est la relation dont Huygens va se servir dans ce qui suit sous la forme .

4) Voir la figure à côté par laquelle Huygens représente géométriquement le procédé qu'il va suivre.

[p. 161]

Simili ratione si quaeratur quot jactibus quatuor senarij quatuor tesseris possint obtineri ut certetur cum lucro: quia sunt jactus diversi quatuor tesserarum 1296; oportet dividere logarithmum binarij, (qui est logar. rationis 2 ad 1) per differentiam logarithmorum 1296 et 1295, quae differentia est 3352. Quotienti addenda unitas. 898 + 1 ∞ 899 vicibus cum lucro certatur.

Ut sciatur quantum valeat spes utriusque, sive quae pars ejus quod depositum est utrique debeatur, cum certo numero jactuum omnibus tesseris senarius eventurus certatur. tantummodo fractio constituenda est cujus denominator sit numerus diversorum jactuum qui dato tesserarum numero conveniunt, nominator vero numerus unitate minor illo jam dicto. Hujus fractionis potestas ea quae convenit numero jactuum, (veluti quadratoquadratum si quatuor jactibus senarij eventuri certantur) designabit partem quae contra certanti debetur ex eo quod depositum est.

Ex. gr. si duabus tesseris quarto jactu duos senarios mihi venturos certem, quia duarum tesserarum jactus diversi sunt 36 erit fractio constituenda 35/36. Porro quia numerus jactuum datorum est 4 hinc quarta potestas positae nempe 35.35.35.35/36.36.36.36 sive 1500625/1679616 a (si a vocetur quod depositum est) est pars debita contra certanti; ut proinde mihi restent 178991/1679616 a. Et valor meae spei ad illius ut 178991 ad 1500625.

Ratio horum haec est quod fol. praec. inventa fuit z summa proportionalium, (quae etiam est fractio designans partem certantis) aequalis 1 - cu. unde contra certanti relinqui apparet cu, Est autem cu productum ultimae proportionalium in c, unde si ultima proportionalis sit c³/b⁴, ut in hoc exemplo fit productum illud c⁴/b⁴⁵⁾.

5) Ici Huygens annota en marge: ‘Melius adhuc ratio hic queritur examinando in principio sortem contra certantis’. C'est la méthode qu'il va suivre dans la Pièce destinée à Dierkens, dont nous avons parlé dans la note 1 de la p. 156. Voici, en effet, la traduction du troisième alinéa de cette Pièce: ‘La meilleure manière de résoudre cette question consiste dans le calcul de la chance de celui qui donne à jeter, ou bien de la part de ce qui lui revient de l'enjeu. Alors on connaît aussi la part de celui qui entreprend de jeter, laquelle est égale à ce qui reste’.

[p. 162]

Est autem logarithmorum etiam hic usus, cum absque his longum futurum sit potestates istas fractionis formare, cum magnus numerus jactuum certanti conceditur. Sic in exemplo superiori, si datis jactibus 899 quatuor tesserarum, quibus quatuor senarios evenire oporteat, scire velim quantum valeant spes utriusque; fractio hic erit 1295/1296; cujus ut sciatur potestas 899.^ma

Qui vicibus continuis, quarum numerus sit a, eventurum certat ad quod ut eveniat sunt casus b, ut autem non eveniat sunt casus c; ejus sors (posito d ∞ b + c) ad sortem contra certantis ut b^a ad d^a - b^a. hoc est ut b toties in se ductum quot sunt unitates in a, ad summam b + c toties in se ductam minus b toties in se ducto.

Ex. gr.¹⁾ si quis, duabus tesseris, sese supra 5 puncta jacturum certet, idque

1) On retrouve cet exemple dans la Pièce destinée à Dierkens; voir la p. 18 du T. VIII.

[p. 163]

3 continuis vicibus. Hic 26 casus sunt punctorum supra quinque; 10 vero casus quinorum vel infra. Ergo hic a ∞ 3; b ∞ 26; c ∞ 10. b + c ∞ d ∞ 36. unde sors certantis erit ad sortem contra certantis ut cubus à 26, ad cubum a 36 - cubo a 26: hoc est ut 17576 ad 29180. Hujus facilis est demonstratio. Nam qui semel supra 5 se jacturum certat habet cas. 26 ad n, 10 ad 0. Ergo 26n/36. Qui bis habet cas. 26 ad 26/36n, 10 ad 0. Ergo 26.26.n/36.36. qui ter habet casus 26 ad 26.26.n/36.36 et 10 ad 0. Ergo 26.26.26n/36.36.36. atque ita porro.