Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 151]

Appendice VI¹⁾
Au traité ‘Van rekeningh in spelen van geluck.’
1676.

Aug. 1676.

Quaestio ultima mearum in iis quae de Ratiociniis in ludo aleae edidi; proposita olim a Pascalio²⁾.

Lusores A et B accepto numero calculorum aequali ludunt tribus tesseris hac conditione ut quoties eveniunt puncta 14, accipiat A calculum unum à B. Quoties vero 11 puncta eveniunt, contra accipiat B unum calculum ab A. Vincat autem qui prior omnes calculos collegerit. Quaeritur quantum valeat spes utriusque inter se comparatae; seu quae pars debeatur utrique ex eo quod depositum est. Hoc autem idem est ac si, evenientibus 14 punctis, A scribat punctum unum, et, evenientibus 11, B signet itidem punctum unum, et victoria cedat ei qui primus certo punctorum numero alterum superaverit³⁾.

1) Dans cette Pièce, qui fut écrite sur une feuille détachée, Huygens essaie de justifier et de généraliser la solution qu'il avait donnée (sans y ajouter l'analyse) du dernier des Exercices qu'on rencontre vers la fin de son Traité (voir la p. 91). Ajoutons qu'il ne réussit pas à démontrer à son entière satisfaction la solution généralisée qu'il trouve par induction.

2) Voir la note 1 de la p. 90.

3) En effet, si n représente le nombre des jetons que chaque joueur possède au commencement du jeu, il est évident que dans les deux suppositions mentionnées le jeu finira aussitôt que le nombre des coups favorables à l'un des joueurs surpasse de n unités celui des coups favorables à l'autre. Cependant on peut faire encore une troisième supposition, équivalente aux deux autres, d'après laquelle à chaque coup favorable le joueur efface un des points obtenus par son adversaire si celui-ci en possède, sauf à marquer un point pour lui-même si l'adversaire n'en possède plus ou pas encore. C'est la supposition choisie par Huygens dans les cas n = 4 et n = 3 qui suivent (voir encore la note 1 de la p. 152) et ce fut à l'aide de cette même supposition que Pascal formula primitivement le problème que Huygens lui emprunta (voir la p. 493 du T. I).

[p. 152]

Puncta 14 eveniunt modis 15, cum tribus tesseris luditur. Puncta 11 vero modis 27. suntque 15 ad 27 ut 5 ad 9.

Si vincere ponatur qui primus punctum unum signaverit, apparet spem lusoris A ad spem B esse ut 5 ad 9.

Si vincat qui primus duobus punctis alterum praecesserit calculus ita se habebit. sit x portio debita lusori B ex eo quod depositum est, quod vocetur n.

Cum B habeat , habebit A quia simul additae partes debent facere n. Ergo spes B ad spem A ut dd ad cc. Si vincat qui 4 punctis praecesserit facilè ex praecedenti calculo colligetur esse . Calculus enim sic se habebit¹⁾.

1) Le calcul qui suit s'explique le plus aisément lorsqu'on choisit la dernière des trois suppositions équivalentes mentionnées dans la note 3 de la p. 151. D'ailleurs Huygens lui-même a employé ici cette supposition, comme les notations ‘2 ad 0, 4 ad 0, 0 ad 0, etc.’ le prouvent.
Remarquons donc d'abord qu'avant d'arriver à une décision (représentée par (4,0) ou par (0,4)) le jeu doit nécessairement passer par l'une ou l'autre des phases (2,0) ou (0,2). Or, les probabilités que l'une de ces phases, (2,0) ou (0,2), se réalise pour la première fois avant que l'autre se soit présentée sont dans le rapport de dd à cc. Cela résulte du cas déjà traité, où 2 points suffisent pour gagner. Si nous partons maintenant de la phase (2,0), il est clair que B, pour gagner, doit pouvoir compter encore une fois deux coups favorables de plus que A. Si ce sera au contraire A qui gagne, le jeu doit passer premièrement par la phase (0,0). Or, les probabilités que l'un de ces évènements se réalise avant l'autre sont évidemment dans le même rapport que les probabilités correspondantes au commencement du jeu concernant l'arrivée des phases (2,0) et (0,2); c'est-à-dire elles sont dans le rapport de dd à cc, comme Huygens l'indique dans le calcul en question.

[p. 153]

Est autem hic dd et cc ubi prius d et c, ac de caetero operatio eadem quae prius. ergo necessario fiet . Et spes B ad spem A ut d⁴ ad c⁴. Hinc rursus si vincat qui 8 punctis praeverterit, concludetur . Atque ita porro si continuo dupletur punctorum numerus.

Verum si vincat qui 3 punctis praecesserit calculus instituendus est hoc modo²⁾

2) On peut comparer au calcul qui suit celui de Hudde (p. 470 du T. V.), qui se rapporte au même cas particulier, où n = 3. Remarquons que la méthode de Huygens s'applique à tous les cas où n est divisible par 3, c'est-à-dire en supposant connues les solutions des cas où le nombre des points à obtenir est 1/3n ou 2/3n. Les cas intermédiaires qu'on doit choisir sont alors (1/3n, 0) et (0, 1/3n).

[p. 154]

Ergo spes lusoris B ad spem A ut d³ ad c³.

Hinc autem rursus concluditur, si vincat qui 6 punctis praecesserit spem lusoris B ad A fore ut d⁶ ad c⁶¹⁾.

1) De cette manière on peut donc aussi prouver rigoureusement l'exactitude de la solution (244140625 : 282429536481, c'est-à-dire 5¹²:9¹²) ajoutée à l'Exercice V (p. 91 du présent Tome), où n = 12.

[p. 155]

Si numerus punctorum praecessionis sit 5 erit spes B ad A ut d⁵ at c⁵, sed hoc rursus calculo opus habet qui paulo longior quam in punctis 3. nec video adhuc qui concludi possit in universum, spes lusorum B ad A esse inter se semper ut potestates d et c numerorum, quae habeant exponentes aequales numero punctorum quibus alter alterum debet praecedere²⁾.

2) En effet, avec les ressources mathématiques dont on disposait à l'époque de Huygens, il paraît avoir été difficile d'obtenir une démonstration rigoureuse valable pour le cas où n est un nombre quelconque. Bernoulli n'y réussit pas, car on ne peut pas accepter comme telle le raisonnement vague qu'il présente à ses lecteurs à la p. 70 de son ‘Ars conjectandi’ pour le cas où ceux-ci n'accepteraient pas la conclusion par induction, qu'il fait précéder. De Monmort (voir les p. 222-223 de l'ouvrage cité dans la note 11 de la p. 9 du présent Tome) se contente de traiter le cas n = 12, qu'il résoud à l'aide de 22 équations linéaires où entrent comme inconnues les probabilités diverses qui peuvent se présenter durant le jeu. Il est vrai que de Moivre (voir les p. 227-228 de son Mémoire de 1711, ou les p. 44-46 de sa ‘Doctrine of chances’, cités dans la note 12 de la p. 9) arrive à une solution rigoureuse du problème général à l'aide d'une méthode extrêmement ingénieuse, mais bien artificielle. Afin d'exposer cette méthode, prenons le cas où A possède les trois jetons α, β, γ et B les trois autres δ, ε, ζ. On assigne alors à ces jetons respectivement les valeurs v, c/d v, c²/d² v, c³/d³ v, c⁴/d⁴ v, c⁵/d⁵ v, où nous supposons d > c, et l'on convient qu'à chaque partie en particulier A engagera parmi tous les jetons qu'il possède celui dont la valeur est la plus petite et B de tous ses jetons celui qui a la plus grande valeur. Ces valeurs alors seront toujours dans le rapport de dàc, mais comme les chances des joueurs A et B sont dans le rapport réciproque de c à d, chaque partie en particulier sera une partie équitable, c'est-à-dire où les espérances des joueurs sont égales. Il en doit donc être de même pour le jeu entier, qui finit lorsque l'un des joueurs obtient tous les jetons. Or, puisque les sommes que les joueurs peuvent gagner sont dans le rapport de d³ à c³, il faut que leurs chances soient dans le rapport réciproque de c³ à d³.
Enfin, Struyck (p. 108-110 de l'ouvrage cité dans la note 14 de la p. 9) donne une solution plus directe, que voici: Supposons que les 2n jetons soient des pièces de monnaie d'une valeur égale à l'unité, et soit e_p l'espérance mathématique du joueur A lorsqu'il possède p jetons. On a alors ; c'est-à-dire . On en déduit successivement ; ; ; . On trouve donc ; et il reste pour l'espérance de l'autre joueur , d'où il suit que leurs chances au début du jeu étaient dans le rapport de cⁿ à dⁿ.
Inutile de dire qu'à l'aide des méthodes modernes la solution générale du problème s'obtient sans aucune difficulté. En représentant par φ(p) la probabilité que A gagne le jeu quand le nombre des coups qui ont été favorables à A, diminué de celui des coups favorables à B, est devenu égal à p, il ne s'agit que de résoudre l'équation fonctionnelle sous les conditions φ(n) = 1, φ(- n) = 0. On trouve pour la solution générale de cette équation et, par conséquent, pour celle qui satisfait aux conditions mentionnées: . Il en résulte pour la chance de A au début du jeu: .