Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 102]

Appendice III¹⁾
Au traité ‘Van rekeningh in spelen van geluck’.
[1665.]

J[an] heeft 2 witte schijven en 1 swarte, maer P. heeft 1 witte en 2 swarte. En ieder uit sijn schijven met beurten een uytkiesende blindeling, die een swarte krijght moet een δ (ducaet) insetten, maar die een witte krijght, strijckt alles dat ingeset is, en J kiest eerst als noch niets ingeset is. de vraghe is hoe veel J van eersten aen hier door wint of verliest, antw. J wint 207/343 van een ducaet²⁾.

+ a is 't geen heeft P. als hij 0 tegen 0 heeft ingeset en J. moet werpen^3).

- b is 't geen heeft Jan als hij 1 tegen 0 heeft ingeset en P. moet werpen

- c is 't geen heeft P. als hij 1 tegen 1 heeft ingeset en J. moet werpen

- d is 't geen heeft Jan als hij 2 tegen 1 heeft ingeset en P. moet werpen

- e is 't geen heeft P. als hij 2 tegen 2 heeft ingeset en J. moet werpen

- f is 't geen heeft Jan als hij 3 tegen 2 heeft ingeset en P. moet werpen

- g is 't geen heeft P. als hij 3 tegen 3 heeft ingeset en J. moet werpen

- h is 't geen heeft J. als hij 4 tegen 3 heeft ingeset en P. moet werpen^4)

1) Cet Appendice est emprunté aux p. 45-47 du Manuscrit C; ces pages étaient numérotées 1-3 par Huygens. On y trouve la solution d'un problème posé par Huygens dans une lettre à Hudde du 10 mai 1665; voir les p. 352-353 du Tome V. Ajoutons que ce problème était une modification d'un autre problème proposé par Hudde à Huygens dans la lettre du 5 mai 1665; voir les p. 350-351 du même Tome. On peut encore consulter sur ces problèmes les p. 34-37 de l'Avertissement.

2) Traduction: ‘J[ean] a 2 jetons blancs et 1 noir, mais P. 1 blanc et 2 noirs. Et chacun à son tour choisit à l'aveuglette un de ses jetons. Celui qui obtient un jeton noir doit ajouter un δ (ducat) à l'enjeu, mais celui qui obtient un jeton blanc reçoit tout ce qui a été mis. Et J. choisit la première fois, quand il n'y a encore rien à l'enjeu. On demande combien est l'avantage ou le désavantage de J. au commencement du jeu. Rép. J. gagne 207/343 d'un ducat.’

3) Traduction: ‘+ a est l'avantage de P. quand il a mis 0 contre 0 et que J. doit choisir’. Remarquons que Huygens a donc supposé, en commençant ces calculs, que l'avantage se trouverait du côté de P, mais que les calculs lui ont appris le contraire.

4) Plus bas dans le manuscrit ces définitions préalables sont continuées encore en introduisant les lettres i, א, נ, ג, mais nous avons cru pouvoir supprimer ces dernières définitions.

[p. 103]

+ k is 't geen heeft J. als hij 0 tegen 0 heeft ingeset en P. moet werpen.

- l is 't geen heeft P. als hij 1 tegen 0 heeft ingeset en J. moet werpen.

- m is 't geen heeft J. als hij 1 tegen 1 heeft ingeset en P. moet werpen.

- n is 't geen heeft P. als hij 2 tegen 1 heeft ingeset en J. moet werpen.

- o is 't geen heeft J. als hij 2 tegen 2 heeft ingeset en P. moet werpen.

- p is 't geen heeft P. als hij 3 tegen 2 heeft ingeset en J. moet werpen.^5)

⁶⁾⁷⁾⁸⁾

5) Ces définitions aussi sont continuées plus bas en introduisant les lettres q, r, t et v.

6) Cette notation (1. - b et 2. + k) indique, comme Huygens l'expliquera expressément dans une autre Pièce que nous reproduirons plus bas (voir la p. 124 du présent Tome), que J[ean] a (au commencement du jeu) une chance d'obtenir - b et deux d'obtenir + k. On voit donc que Huygens suppose que le jeu se continuera si Jean prend un jeton blanc au premier coup. Or, cette supposition a donné lieu à un nouveau malentendu entre Hudde et lui, puisque Hudde considérait que le jeu était fini dans ce cas (voir les pp. 381 et 422 du T. V). D'après cette dernière interprétation on aurait donc k = 0.

7) En effet, il est évident que l'avantage de l'un des joueurs est toujours égal au désavantage de l'autre.

8) Nous supprimons, ici et dans la suite, quelques calculs tout-à-fait analogues à ceux qui précèdent.

[p. 104]

¹⁾

1) Voir la première équation obtenue à la p. 103. Dans ce qui suit Huygens désignera par A le premier terme 1/3 b, par B le deuxième terme - 2/3 k du second membre de cette équation.

[p. 105]

²⁾³⁾

2) Huygens veut indiquer ainsi qu'on peut remplacer - 2/9 c par - 4/27 δ + 2/27 d; voir les calculs qu'on trouve aux p. 103-104.

3) Comme on le verra, la solution de Huygens repose sur la supposition que ce dernier terme (et aussi celui de l'expression pour B) s'approche indéfiniment de zéro. Cela admis, il ne s'agit plus que de sommer les suites infinies formées par les termes qui contiennent δ. Comparez encore à propos de cette supposition la note 1 de la p. 112.

[p. 106]

Theorema.

Si sint magnitudines in ratione geometrica continue descendentes erit maxima cum omnibus reliquis in infinitum ad solam maximam sicut maxima ad excessum maximae supra sequentem. Ergo si sint ut 4 ad 1 erit maxima cum omnibus ad maximam ut 4 ad 3.

Si sint ut 9 ad 2, erit maxima cum omnibus ad maximam ut 9 ad 7. sive maxima cum omnibus erit 9/7 maximae.

¹⁾²⁾³⁾

les + de B aux - de B ut 1 ad 6

les - de B aux - de A ut 2 ad 1

les - de A aux + de A ut 4 ad 3

1) En effet, la somme de tous ces nombres est égale à celle des quatre premiers coefficients positifs de δ dans la suite B qui résulte du développement de - 2/3 k.

2) C'est-à-dire dans les suites qu'on trouve à côté.

3) Traduction: ‘9/7 × 4/81 ∞ 4/63 ∞ la première suite. 9/7 × 4/63 ∞ 4/49 ∞ [la somme] de toutes les suites, c'est-à-dire ∞ les termes positifs de B’.

[p. 107]

⁴⁾

4) C'est le résultat annoncé au début de cette Pièce; voir la p. 102.