Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 96]

Appendice II¹⁾
Au traité ‘Van rekeningh in spelen van geluck’.
[1665.]

§ 1²⁾.

³⁾⁴⁾⁵⁾

1) Cet Appendice, que nous avons divisé en paragraphes, contient les solutions de Huygens du deuxième et du quatrième des Exercices ajoutés par lui à son Traité (voir la p. 89 du présent Tome). D'après le lieu qu'il occupe aux p. 42-44 du Manuscrit C il doit dater de 1665. On retrouve les résultats des §§ 1 et 2 dans la lettre de Huygens à Hudde du 4 avril 1665, p. 304 du T. V. Consultez encore, à propos des §§ 2-4, la p. 20 de l'Avertissement.

2) Ce paragraphe traite du deuxième Exercice.

3) x, y et z représentent respectivement les espérances mathématiques des trois joueurs A, B, C au commencement du jeu.

4) Traduction: ‘A a 4 chances d'avoir a, 8 d'avoir z’. a représente l'enjeu.

5) D'après la Prop. III, p. 65 du présent Tome. ∞ est le signe d'égalité employé par Huygens.

[p. 97]

§ 2.

A wedt tegen B dat hij uit 12 schijven, daer van 4 witte en 8 swarte sijn, sal 7 schijven blindeling nemen waeronder 3 witte sullen sijn, en niet meer. Vraghe wat reden de kans van A heeft tegen die van B, facit als 35 tot 64⁶⁾.

Soo A genomen hebbende 6 schijven heeft 3 witte en 3 swarte. soo heeft 1 kans tot 0 en 5 kansen tot a (pot)⁷⁾. ⁸⁾ 6 [schijven] 2 [wit] 4 [zwart] 5 [schijven] 3 [wit] 2 [zwart] 5 [schijven] 2 [wit] 3 [zwart] 5 [schijven] 1 [wit] 4 [zwart] 4 [schijven] 3 [wit] 1 [zwart] 4 [schijven] 2 [wit] 2 [zwart]

6) Traduction: ‘A parie contre B que parmi 12 jetons, dont 4 blancs et 8 noirs, il prendra à l'aveuglette 7 jetons dont 3 seront blancs, et pas plus. On demande le rapport de la chance de A à celle de B; réponse: comme 35 est à 64’.
On voit que ce problème est identique au quatrième des Exercices qu'on trouve aux p. 89-91. Seulement, en conséquence d'un malentendu qui avait eu lieu entre lui et Hudde sur la conception du problème, Huygens a ajouté à l'énoncé les mots ‘en niet meer’, qui indiquent que, pour gagner, A doit prendre 3 jetons blancs ‘et pas plus’. Consultez sur le malentendu en question les pp. 304 et 307 du Tome V.

7) Traduction: ‘Si A, ayant pris 6 jetons, en a 3 de blanc et 3 de noir, il a une chance d'avoir zéro et 5 d'avoir a (l'enjeu)’.

8) Comme on le verra Huygens suppose que les jetons sont pris l'un après l'autre et il commence par calculer l'espérance mathématique de A après le sixième coup dans les deux seuls cas où celui-ci peut gagner au septième coup. Ensuite il considère la situation du jeu après le cinquième coup, et ainsi de suite, pour remonter enfin jusqu'au commencement du jeu.

[p. 98]

4 [schijven] 1 [wit] 3 [zwart] 4 [schijven] 0 [wit] 4 [zwart] 3 [schijven] 3 [wit] 0 [zwart] 3 [schijven] 2 [wit] 1 [zwart] 3 [schijven] 1 [wit] 2 [zwart] 3 [schijven] 0 [wit] 3 [zwart] 2 [schijven] 2 [wit] 0 [zwart] 2 [schijven] 1 [wit] 1 [zwart] 2 [schijven] 0 [wit] 2 [zwart] 1 [schijven] 1 [wit] 0 [zwart] 1 [schijven] 0 [wit] 1 [zwart] 0 [schijven] 0 [wit] 0 [zwart]

Ergo de kans van A tot die van B als 35 tot 64¹⁾.

1) Traduction: ‘Par conséquent la chance de A est à celle de B comme 35 est à 64’.

[p. 99]

§ 3²⁾.

De voorgaande kans van A is nootsakelijk even soo veel dan of hij uyt de voorsegde 12 schijven moeste nemen 5 waeronder 1 witte³⁾.

4 [schijven] 1 [wit] 3 [zwart] 4 [schijven] 0 [wit] 4 [zwart] 3 [schijven] 1 [wit] 2 [zwart] 3 [schijven] 0 [wit] 3 [zwart] 2 [schijven] 1 [wit] 1 [zwart] 2 [schijven] 0 [wit] 2 [zwart] 1 [schijven] 1 [wit] 0 [zwart] 1 [schijven] 0 [wit] 1 [zwart] 0 [schijven] 0 [wit] 0 [zwart] . bon.

2) Ce paragraphe contient une vérification de la solution obtenue au paragraphe précédent.

3) Traduction: ‘La chance précédente de A est nécessairement aussi grande que dans le cas où parmi les 12 jetons mentionnés il en devait prendre 5 dont un blanc’. Remarquons qu'il s'agit dans ce dernier cas des jetons qui, suivant la première supposition, n'ont pas été pris, dont 4 sont noirs et 1 blanc. Nous appellerons le problème qui s'y rattache: le problème complémentaire.

[p. 100]

§ 4¹⁾.

ijsdem positis, maer datter ten minste 3 witte onder de 7 getrocken schijven sullen sijn²⁾.

4 [schijven] 1 [wit] 3 [zwart] ³⁾ 3 [schijven] 1 [wit] 2 [zwart] 3 [schijven] 0 [wit] 3 [zwart] 2 [schijven] 1 [wit] 1 [zwart] 2 [schijven] 0 [wit] 2 [zwart] 1 [schijven] 1 [wit] 0 [zwart]

1) Ce paragraphe contient la solution du quatrième Exercice proposé par Huygens si l'on donne à ce problème l'interprétation que Hudde y avait attachée; comparez le deuxième alinéa de la note 6 qui commence à la p. 96.

2) Traduction: ‘[Solution du problème précédent] sous les mêmes suppositions, mais avec cette différence qu'il faut qu'il y ait au moins trois blancs parmi les 7 jetons qu'on a pris’.

3) Pour simplifier le calcul Huygens commence par remplacer le problème en question par le problème complémentaire (voir la note 3 de la p. 99) d'après lequel A prend 5 jetons dont quatre, au moins, doivent être noirs. Remarquons qu'il n'est pas nécessaire de discuter le cas de 4 jetons dont 0 blancs et 4 noirs, parce qu'alors le cinquième coup fera toujours gagner A.

[p. 101]

1 [schijven] 0 [wit] 1 [zwart] 0 [schijven] 0 [wit] 0 [zwart]

42 [tot] 57

14 [tot] 19. bon⁴⁾.

4) C'est, en effet, le résultat obtenu par Hudde; voir la p. 304 du T. V. Ajoutons qu'un peu plus haut dans le Manuscrit C, aux p. 36-37, on rencontre un autre calcul qui se rapporte au même problème et qui doit avoir précédé celui que nous avons reproduit. Ce calcul fut biffé plus tard et Huygens le signala comme ‘misrekent’ (mal calculé). En le parcourant, on s'aperçoit d'abord que Huygens y a suivi, comme dans ce § 4, l'interprétation de Hudde, puisqu'il considère le jeu comme gagné quand A, déja en possession de 2 jetons blancs et de 3 jetons noirs, prend ensuite 1 jeton blanc. De cette manière il trouve dans ce cas de 2 jetons blancs et 3 jetons noirs pour l'espérance mathématique de , au lieu de 10/21 a, comme au § 2 de la présente Pièce. Il aurait donc dû arriver au résultat obtenu par Hudde, mais au cas de 1 jeton blanc et 4 jetons noirs il commet une erreur de calcul en écrivant ‘’ au lieu de ; ce qui explique l'inexactitude du résultat final auquel il parvient.