Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

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Appendice I¹⁾
Au traité ‘Van rekeningh in spelen van geluck’.
[1656].

S'il reste 1 jeu à gaigner à A et 1 à B, et 2 jeux à C, combien vaudra la place de chascun posè qu'ils ayent mis chacun 2 escus au jeu.

Si C perd le premier jeu il perdra 2 escus, s'il le gaigne il sera quite, mais c'est deux contre un qu'il gaigne ce premier jeu, il a donc deux hazards pour perdre 2 escus, et 1 pour estre quite. Partant je dis que sa part des 6 escus est 2/3 escu²⁾. Car prenant ces 2/3 d'escu, il trouvera deux autres qui mettront 2/3 d'escu contre ses 2/3³⁾. Et [ils] joueront à qui aura le tout, sçavoir 2 escus, en quoy il aura mesme chance qu'auparavant, à scavoir 2 hazards pour perdre ses 2/3 d'escu, c'est a dire 2 escus, y adjoustant ce qu'il aura laisse à A et B: et un hazard pour

1) Cet Appendice, emprunté à une feuille séparée, contient la solution de la Prop. VIII (p. 73) du texte du Traité que nous venons de reproduire et de deux problèmes, traités (p. 77) dans la Prop. IX du même Traité. C'est probable qu'il fut composé à l'occasion de la correspondance, en 1656, avec Carcavy; voir les p. 6-8 de l'Avertissement.

2) Consultez la Prop. III, p. 65. D'ailleurs Huygens au lieu de se rapporter à cette Proposition fait suivre une démonstration qui en est indépendante.

3) De cette manière Huygens fait reposer la démonstration de sa solution sur l'axiome qu'il a énoncé au commencement du deuxième alinéa de la p. 61.

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estre quite, en gaignant aux deux autres chacun leur 2/3 d'escu. Car ainsi il aura 2 escus, comme auparavant qu'il avoit joué contre A et B. Il s'en suit que les places de A et de B valent chacune 2 2/3 escus. Et si l'on divise ce qui est au jeu en 9 parties, A en prendra 4. B. 4. C. 1⁴⁾.

S'il reste 1 jeu à gaigner à A. 2 à B. et 2 à C, 6 escus au jeu.

Si A gaigne le premier il gaigne 4 escus. si B ou C le gaigne, A gaigne 2/3 escus par la precedente, donques A a 2 hazards pour gaigner 2/3 escus et 1 hazard pour gagner 4 escus. Je dis que des 6 escus sa part est 3 7/9 escu. C'est à dire qu'il gaigne 1 7/9 escus, car prenant outre ses 2 escus qu'il avoit mis, encore 1 7/9 escus que je dis qu'il gaigne il mettra 10/9 escus contre deux autres qui en mettront 10/9 escus chacun, pour jouer qui aura tout. Et par ainsi il aura 1 hazard pour gaigner 30/9 escus qui avec les 6/9 escus qu'il aura mis a part, le feront gaigner 4 escus et deux hazards pour ne gaigner que 6/9 c'est 2/3 escus qu'il aura mis à part. donc B et C auront des 6 escus chacun 1 1/9 escus. Er si l'on divise ce qui est au jeu en 27 parties, A prendra 17. B et C chacun 5⁵⁾.

S'il reste 1 à A. 2 à B. 3 jeux à C. 6 escus au jeu. combien vaut la place de chacun.

Si A gaigne le premier jeu il gaigne 4 escus. s'il le perd il a un hazard pour gaigner 2/3 escus⁶⁾ et un pour gaigner 1 7/9 escus⁷⁾, qui vaut autant que s'il estoit

4) Comparez la solution de la Prop. VIII, p. 73.

5) Comparez le deuxième cas de la ‘Table pour trois joueurs’, p. 77.

6) Évidemment il s'agit ici du cas où c'est B qui gagne. Alors il reste à A 1 jeu, à B 1 et à C 3 jeux à gagner. Huygens aurait donc dû calculer les ‘hazards’ de ce cas et il aurait trouvé 8/9 au lieu de 2/3 écu. Ce n'est que par mégarde qu'il a pris ce dernier nombre qui se rapporte au cas, traité au début de cette Pièce, où il manque à A 1 jeu, à B 1 et à C 2 jeux.

7) On lit en marge ‘par précedente’; voir, en effet, la solution du cas où il reste à A 1 à B 2 et à C 2 jeux à gagner.

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asseurè de gaigner (en cas de perte du dit premier jeu) 11/9 escus, qui vaut la moitiè des dits 2/3 + 1 7/9. Or il a deux hazards pour perdre le premier jeu, et un hazard pour le gaigner. donques il a un hazard pour gaigner 4 escus et 2 pour gaigner 11/9 escus. Je dis qu'il gaigne 2 4/27 ou bien 58/27 escus. Car prenant cecy et mettant a part 11/9 escus il mettra le reste qui est 25/27 contre deux autres qui mettront chacun autant. Et ainsi il aura 1 hazard pour gagner 25/9 escus cest a dire (y adjoutant 11/9 qu'il s'est reservè) 36/9 ou 4 escus et 2 hazards pour ne gagner que les 11/9 escus qu'il s'est reservè. Sa part donc des 6 escus est 2 + 2 + 4/27 escus c'est 4 4/27 escus¹⁾.

Pour scavoir combien aura B. Je dis, si B gaigne le premier jeu il gaignera 2/3 escus²⁾ per primam. s'il le perd, il court fortune esgale de perdre 2 escus ou de perdre 8/9 escus per secundam. qui est autant que si en perdant ce premier jeu il perdoit 13/9 escus scavoir la moitie de 2 + 8/9. Or il a 2 hazards pour perdre le 1^er jeu et 1 hazard pour le gagner. Donq il a 2 hazards pour perdre 13/9 escus et 1 hazard pour gaigner 2/3 escus. Je dis qu'il aura des 6 escus 34/27 ou 1 7/27 escus³⁾. Car prenant 34/27 escus il en mettra 19/27 escus contre deux autres qui chacun en mettront autant et ainsi aura 1 hazard pour gagner 19/9 escus, qui avec 15/27 escus ou 5/9

1) En vérité 4 2/9.

2) Même confusion entre les cas 1, 1, 2 et 1, 1, 3. On doit remplacer, comme auparavant 2/3 par 8/9.

3) En vérité 1 1/3.

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qu'il a reservez apart font 24/9 ou 2 2/3, c'est à dire qu'il gaignera 2/3 escus. Et deux hazards pour n'avoir que les 5/9 escus reservez, c'est en perdre 13/9 escus parce qu'il avoit mis 2 escus au jeu.

Il s'en suit que C aura des 6 escus 16/27⁴⁾. Ergo si l'on divise le tout en 81 parties, A prendra 56, B 27, C 8⁵⁾.

4) En vérité 4/9.

5) Dans le ‘Tableau pour trois joueurs’ (p. 77 du présent Tome) cette solution erronée est remplacée par la véritable d'après laquelle de 27 parties A en prendra 19, B 6 et C 2.