Oeuvres complètes. Tome XIII. Dioptrique

[p. 629]

Appendice IX
À la troisième Partie de la Dioptrique ‘De Telescopiis et Microscopiis’.
[1692.]

[Recherches de 1692 sur les deux aberrations dans les lunettes et dans les microscopes.]¹⁾

1) Tous les paragraphes que nous réunissons sous cette suscription ont été empruntés au Manuscrit H et d'après le lieu qu'ils y occupent ils doivent tous être datés de l'année 1692, lorsque les recherches sur les deux aberrations, commencées en 1684 (voir l'Appendice VIII, p. 621-628) furent reprises avec plus d'assiduité.

§ 1²⁾.

[Fig. 1.]

[Fig. 2.]

Sicut in aberratione Newtoniana tenuis lux est aberrantium radiorum ad praecipuam comparata³⁾ ita et in aberratione quae propter figuram contingit.

2) Ce paragraphe est emprunté à la p. 56 du Manuscrit H.

3) Comparez le deuxième alinéa de la p. 487, où Huygens explique pourquoi l'aberration chromatique est moins nuisible dans les télescopes qu'on ne s'y attendrait en calculant sa valeur théorique. Maintenant il remarque que tout de même dans le cas de l'aberration sphérique la lumière sera bien plus concentrée près du centre du cercle d'aberration (voir la note 3 de la p. 315), que vers ses bords.

§ 2⁴⁾.

AE [Fig. 1 et 2] ∞ aa/2b; ⁵⁾

4) Dans ce paragraphe emprunté, comme le précédent, à la p. 56 du Manuscrit H, Huygens calcule, dans deux suppositions différentes sur la grandeur de l'aberration chromatique longitudinale (qu'elle soit égale à 1/50 ou à 1/200 de la distance focale), le rapport qui doit exister entre le demi-diamètre de l'ouverture et la distance focale d'une lentille planconvexe afin que les deux aberrations deviennent égales. Remarquons que, puisque le rayon HC du cercle d'aberration chromatique est proportionnel au diamètre de l'ouverture et celui, NG, de l'aberration sphérique à sa troisième puissance, il est évident que dans toute lentille où le rapport mentionné est supérieur au rapport cherché cette dernière aberration surpassera l'aberration chromatique.

5) Voir la p. 287.

[p. 630]

[Fig. 1.]

[Fig. 2.]

NA (2b) ad AB (a) ut FN (7/12aa/b) ad NG 7/24aaa/bb ¹⁾ secundum Newt. ∞ CH [Fig. 1] 350a³ ∞ 24abb circit.; a ∞ ¼b circ. ²⁾; 175aa ∞ 3bb; ; ; circiter; vel circiter.

Secundum tabulam nostram aperturarum correctam³⁾ lenti 3 pollicum conveniret apertura 27/100 poll. circiter. Et cavum⁴⁾ 3/10 poll. puncti dispersus dist. Et ampliatio ut 10 ad 1.

Pono aliud cavum 7/10 poll. quo fiet ut ampliet in ratione 4 2/7 ad 1, claritatis gratia. deberet jam apertura tolerari 77/100 poll. nihil diminuta distinctione⁵⁾ sed experientia dat tantum 3/10 poll. Cur hoc? Quia si fiat apertura 77/100 poll. jam aber-

1) D'après la supposition sur la grandeur de l'aberration chromatique employée ordinairement par Huygens; consultez la note 8 de la p. 485.

2) Consultez, plus loin, sur l'origine de cette supposition, la p. 777 du Complément I.

3) II s'agit d'un tableau analogue à celui de la p. 497, mais calculé, quant à la distance focale de l'oculaire, d'après les indications de la règle de la p. 495 (comparez la note 2 de la p. 496). D'après cette règle un objectif de 3 pouces, c'est-à-dire, de ¼ pied, admettrait, en effet, une ouverture d'un peu plus de 0,27 pouces de diamètre et un oculaire d'environ 0,30 pouces de distance focale.

4) Le tableau en question était considéré par Huygens comme valable également pour les oculaires concaves et pour les oculaires convexes; comparez l'alinéa qui commence au bas de la p. 493.

5) Afin que la vision reste également distincte il faut, si l'on néglige l'aberration due à l'oculaire, que l'angle BDF de la Fig. 25 de la p. 490 conserve la même valeur. Or, cet angle est proportionnel à QF, c'est-à-dire suivant les règles de l'aberration chromatique à l'ouverture de l'objectif, et inversement proportionnel à la distance focale de l'oculaire. On pourrait donc, d'après ce raisonnement, en augmentant cette distance dans le rapport de 3 à 7, augmenter dans le même rapport l'ouverture de 0,27 pouces, c'est-à-dire la porter à 0,63 pouces; ce qui ne s'accorde pas entièrement avec les 0,77 pouces du texte.

[p. 631]

ratio altera, quae est ex figura sphaerica, major est quam Newtoniana, unde plus quam dupla jam fit aberratio tota. Nam si AB sit ad AO rad. ut 1 ad 7 jam aequales sunt aberrationes duae⁶⁾. hic vero ut 1 ad 5⁷⁾. ergo major aberr. ex fig. Vide haec accuratius tractata p. 68⁸⁾.

In microscopio composito ex duabus lentibus, lenticulae infimae apertura fiet 1/12 poll. cum focus sit pollicis distantia. Ampliatio est quadruplo major quam sola lenticula ad oculum applicata, sed et aberratio Newtoni quadruplo quoque major⁹⁾, quae tamen toleratur. Ergo sola lenticula aperturam deberet ferre quadruplo latiorem, quam nunc fert cum altera lente composita quia aberrationes istae sunt ut diametri aperturarum. Sed et fert quadruplo majorem, etsi et hic videri posset aberratio altera, ex figura oriunda, plurimum nocere. Sed non nocet quantum ad distinctionem quia oculi pupilla definit hic aperturam¹⁰⁾; quae, cum propinqua inspicimus, vix lineae mensuram superat.

6) On remarquera que Huygens adopte ici le deuxième calcul qui précède, où l'aberration chromatique longitudinale est supposée égale à 1/200 de la distance focale, tandis que partout ailleurs il emploiera la valeur de 1/50 de cette distance.

7) Puisque CA, distance focale de l'objectif, égale 3 pouces, on aura OA = 1,5 pouces (Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p. 81); donc le rapport en question deviendra celui de 77/200 à 1,5, c'est-à-dire, de 1 à moins de 4; mais en prenant 0,63 pouce pour le diamètre de l'ouverture on obtient, en effet, à peu près celui de 1 à 5.

8) Voir le § 8, p. 638.

9) Comparez le § 3 de l'Appendice VIII, p. 626-627. D'après ce paragraphe l'angle d'aberration du microscope composé est à celui du microscope simple comme à 1. Or, en négligeant la plus petite de ces fractions, on trouve pour ce rapport celui de c/bà 1, lequel rapport représente celui des grossissements du microscope composé et du microscope simple pourvu que la différence entre la distance a de l'objet à la lentille insérieure et la distance focale de cette lentille soit négligeable; voir la p. 529.

10) Comparez la p. 531.

§ 3¹¹⁾.

lentem rationis sextuplae¹²⁾ adhibere in telescopiorum ocularibus. Item in microscopiorum tam ocularibus quam exteriori lenticula. quia aberratio ex figura hic quoque nocere posse invenitur.

11) On trouve ce qui suit à la p. 61 du Manuscrit H.

12) Voir les p. 291-293.

[p. 632]

[Fig. 3.]

[Fig. 4.]

[Fig. 5.]

dato inter puncta A, B [Fig. 3], loco lentis conv. C, invenire quae proportio semidiametrorum ad convexa DGF, DEF, ut radij ex A colligantur ad B cum minima aberratione quae ex figura¹⁾.

Sed non dubito quin duabus perfectis lentibus jungendis minor haberi possit aberratio quam una cujuscunque formae sphaericae²⁾.

[Fig. 6.]

[Fig. 7.]

ang. δζε quadruplus βαγ. Ergo amplificatio quadrupla ejus quae ex sola lenticula a³⁾.

1) Pour résoudre le problème indiqué ici il s'agirait en premier lieu de calculer l'aberration sphérique d'une lentille quelconque, pour des rayons partant d'un point qu'on donne arbitrairement sur l'axe. Or, ce calcul dont nous avons indiqué le résultat dans la note 2 de la p. 396, ne semble jamais avoir été mené à bonne fin par Huygens. Voir la note 3, p. 395 et la note 3, p. 424.

2) Cette idée est illustrée par les figures 4 et 5, où il est indiqué que, dans un cas particulier traité au § 6 de l'App. VII à la Deuxième Partie (p. 424-426), l'aberration, sphérique de la fig. 5 qui est égale à 4½ fois l'épaisseur de la lentille en question peut être réduite à 15/14 fois cette épaisseur si l'on remplace la lentille unique par les deux lentilles de proportion sextuple de la fig. 4 dont l'épaisseur totale est égale à celle de la lentille unique. Ajoutons que dans une lettre de Huygens du 11 mai 1668 il mentionne l'emploi de ‘deux oculaires, joints l'un contre l'autre’ (voir la p. 213 du T. VI).

3) La Fig. 7 semble représenter une combinaison de lentilles, toutes de la proportion sextuple, constituant un microscope composé.

[p. 633]

§ 4⁴⁾.

Quaeritur quantus sit angulus aberrationis quae ex figura oritur, in telescop. 30 ped.

[Fig. 6.]

⁵⁾⁶⁾⁷⁾

Tantulus ergo hic esset angulus aberrationis quae ex figura. At aberrationis Newtonianae esset 31⅓′ circiter, ut hic deinceps computatur, nempe in nocturnis telescopijs. In diurnis dimidia ob duplicatam ocularis foci dist.⁸⁾ nempe 15⅔′.

⁹⁾; CA = 1½ poll.; RF ∞ 3/100 poll.

DF (3) ad FR (3/100) ut 100000 ad 1000 tangens o^o.35′ ∠DKL.

vel si DF (3 3/10) ad FR (3/100) ut 100000 ad 909 tang. 0.31′20″ ∠BDF

angulus aberrationis Newtoni fit 31⅓′.

4) Ce § 4 et le suivant ont été empruntés à la p. 65 du Manuscrit H.

5) CB est égal au double du rayon de courbure de la surface sphérique de la lentille CA (voir la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p. 81); on a donc pour l'épaisseur VC la formule approximative VC = CA²:BC.

6) Voir la p. 287.

7) Voir la Prop. VI, p. 475.

8) Comparez la p. 505.

9) Voir la p. 485. Comparez d'ailleurs cette partie du paragraphe présent avec la p. 557 du texte de la ‘Dioptrique’.

[p. 634]

§ 5¹⁾.

[Calcul de l'ouverture qui serait admissible dans un microscope en ne tenant compte que de l'aberration Newtonienne.]

[Fig. 7.]

∠bdq ∞ 33′ tantum fert aberr.^is angulum aberratio Newt. supputatum ex telescopij 30 pedum constitutione et apertura²⁾. (Nota recte accipi ang.^m bdq seu kde pro ang.^o aberrationis³⁾.

⁴⁾; ∠dbp ∞ 50 ∠bdq ∞ 27½^o; ∠dbs ∞∞ 55^o. in hoc unius lentis microscopio definiret aperturam microscopicam lentis si tantum Newtonianam aberrationem attenderemus⁵⁾.

[pb] 20 ad [pt] 1 ut 100000 ad 5000 2^o52′ [∠pbt] ∠rbt 5^o44′ tantulam aperturam fert lenticula microscopij nostri compositi. cujus causa itaque non est Newtoni aberratio sed ea quae ex figura.

Simplex lenticula majorem videtur ferre aperturam. sed sciendum est eam arctari ad pupillae latitudinem, quam frustra excedit⁶⁾.

1) Voir la note 4 de la p. 633.

2) La valeur de 33′ est intermédiaire entre les deux valeurs 35′ et 31⅓′ qui ont été trouvées admissibles par l'expérience obtenue avec la lunette de 30 pieds; voir la p. 633 qui précède.

3) Comparez la p. 531.

4) Voir la p. 485.

5) Comparez le P.S. du § 2 de l'Appendice VIII, p. 625.

6) Comparez la p. 531.

§ 6⁷⁾.

Quaeritur hic angulus aberrationis quae ex figura, in microscopio meo⁸⁾.

Microscopium compositum ex lenticula DP [Fig. 9] et lente EM. qui ex B axi proximi feruntur conveniunt in N. N est focus lentis EM. BF ponitur aberratio eadem quae axi paralleli in D incidentis⁹⁾. Ergo si ND it per DF etiam FD ibit per DN. Ergo ibit BD per DC, ut fiat ∠NDC ∞∞ BDQ. NK ∞ 7BQ¹⁰⁾. Sed NM ∞ 2DB. Ergo ∠NMK ∞ 3½BDQ. cum

7) Ce paragraphe et celui qui suit ont été empruntés à la p. 67 du Manuscrit H.

8) Il s'agit bien du même microscope qu'on trouve décrit à la p. 549. Seulement la distance focale de la lentille inférieure, qui dans la description mentionnée est supposée égale à 7/9 pouce, est ici égale à 1 pouce.
Ajoutons que la même question est traitée au § 13 qui suit (p. 652) et à la Prop. XVII, p. 561.

9) On croirait que c'est l'aberration longitudinale qui est supposée égale à celle qui appartient aux rayons parallèles à l'axe, et c'est là, en effet, la supposition dont Huygens se servira au § 13, p. 652; mais ici, comme on le verra, les calculs qui suivent sont exécutés comme si l'égalité en question se rapportait aux angles BDF et BθF des Figures 8 et 9 où B représente dans l'une le lieu où se trouve l'objet, et dans l'autre le foyer; ce qui serait conforme à la supposition du Lemme 3, p. 561.

10) À cause de l'égalité des angles BDQ et NDK et puisque NP = 7BP; voir la p. 549.

[p. 635]

[Fig. 8.]
[Fig. 9.]

NM sit ∞ 2PB. Ergo ∠SMO¹¹⁾ ∞ 3½BDQ. minimam aberrationem GN quae esset quanta radij OM, axi paralleli, negligo¹²⁾. PB [Fig. 9] (poll. 1)¹³⁾ ad Pθ ∞ PD [Fig. 8] (1/20)ut



¹⁴

FP (1) ad Pθ ∞ PD(1/20)½ apertura mei microsc. ut FB (4/2400) ad BQ 7/48000

Bθ (1) ad BQ 7/48000 ut 10000 ad 14 tangens

11) SMO = NMK est l'angle d'aberration cherché; comparez la note 3 de la p. 538.

12) Comparez la note 4 de la p. 554.

13) Évidemment PB représente dans la Fig. 8 la distance de l'objet à la lentille inférieure; mais dans la Fig. 9 elle est identifiée avec la distance focale de cette lentille, c'est-à-dire, d'après la Prop. XIV, Part. I, Lib. I, p. 81, avec le diamètre de sa surface sphérique.

14 Voir la p. 287.

[p. 636]

[Fig. 8.]
[Fig. 9.]

29 est tang. 1′ in tabulis ad radium 100000. Si esset 29, esset ang. NMK seu OMS minuti 1′. nunc ergo 1′.40″¹⁾.

Quaere quanta sit haec aberratio in telescopio 30 ped. vide p. 65²⁾ initio, ubi angulus hujus aberrationis invenitur 2″ tantum.

Pθ ∞ 1/20 poll.³⁾; BQ ∞ 1/50 Pθ⁴⁾ ∞ 1/1000 poll.

Bθ(1) ad BQ(1/1000) ut 100000 ad 100 tang. ang.ⁱ BDQ, qui ad NMK, seu OMS, ut 1 ad 3½. 100×3½ ∞ 350 tang. ∞ 12′ ∠NMK vel OMS ex aberratione Newton. Sed haec aberratio ferre potest angulum 31′(15½) ut ostensum pag. 65⁵⁾. Ergo haec non prohibet majorem fieri aperturam PD. Ergo altera aberratio ex figura id prohibet, etsi tantummodo habeat angulum 1′ 40″⁶⁾.

12 ad 31(15½) ut 1/20⁷⁾ ad 31/240, ⅛ poll. fere.

Newtoni aberratio feret aperturam ¼ poll. fere.

1) Le § 13, p. 652, donne 4′ 10″, la Prop. XVII, p. 563, 5′ 8″. Cette grande différence est causée surtout par ce qu'ici la distance focale est supposée égale à 1 pouce et au § 13, comme dans la Prop. XVII, égale à 7/10 pouce. Or, l'angle d'aberration est, d'après la note 5, p. 562, inversement proportionnel à la troisième puissance de cette distance.

2) Voir le § 4, p. 633.

3) Calcul de l'aberration chromatique du même microscope.

4) Voir la p. 485.

5) Voir le § 4, p. 633. Le nombre 15′½ se rapporte aux observations diurnes.

6) Une remarque de la même portée reviendra au § 8, p. 639 et au § 13, p. 652.

7) 1/20 pouce représente le rayon de l'ouverture de la lentille inférieure, qui, puisque l'angle d'aberration, d'après le calcul qui précède, est proportionnel à ce rayon, pourrait être porté jusqu'à ⅛ pouce, c'est-à-dire que le diamètre de cette ouverture pourrait être pris égal à ¼ pouce.

[p. 637]

Posset dici, si aberratio ex figura hic sola consideranda est, doceatque experientia inversa etiam lente PθZ fere hanc ferri posse aperturae diam. ∞ 1/10 poll. cur non duplo major⁸⁾ potest ferri plana ad visibile conversa superficie. Resp. lucem tunc majorem effecturam ut aberrationis nebula magis sentiatur⁹⁾.

8) Parce que, d'après les pp. 285 et 287, les aberrations d'une telle lentille dans les deux positions sont dans le rapport de 9/2 à 7/6, c'est-à-dire, de 27 à 7, ce qui justifierait même une plus grande augmentation de l'ouverture, puisque l'angle d'aberration sphérique est proportionnel à ce rapport. Comparez sur l'effet de cette inversion de la lentille inférieure l'alinéa qui commence au bas de la p. 563.

9) Comparez la p. 503.

§ 7¹⁰⁾.

[Fig. 10.]

Microscopium inversum examinatur hac figura ad sinistram [Fig. 10], quare pejus sit non inverso. Nempe propter majorem aberrationem¹¹⁾.

NK ∞ 4BQ¹²⁾. sed NM ∞ ½BD¹³⁾. Ergo ∠NMK ∞ 8∠BDQ sive 8∠NDK. Ergo ∠OMS ∞ 8∠BDQ. Sed ang. BDQ hîc aequalis est ∠^oBDQ in recto microsopio quod superius cernitur [Fig. 8] quia PD hic dupla PD superius¹⁴⁾, et FB similiter dupla FB superioris¹⁵⁾.

10) Voir la note 7 de la p. 634.

11) La même question, à laquelle Huygens fait allusion à la p. 527 (voir la note 7 de cette page 527), sera traitée plus à fond au § 17 de l'Appendice présent, p. 656.

12) Pour la méthode de calcul de l'angle d'aberration NMK nous renvoyons au premier alinéa du § 6, p. 634.

13) Puisque les deux lentilles ont des distances focales qui sont dans le rapport de 2 à 1 et que Huygens identifie la distance de l'objet à la lentille inférieure avec la distance focale de cette lentille, ce qui n'est vrai qu'approximativement et si l'on suppose que la distance PN est suffisamment grande par rapport à ces distances focales.

14) C'est-à-dire, pour obtenir la même clarté dans les deux cas; ce qui exige la similitude des triangles PBD des deux figures. En supposant de plus la similitude des deux lentilles, on peut, en effet, conclure à l'égalité des angles BDQ, supposés égaux aux angles correspondants qu'on obtient avec des rayons parallèles à l'axe.

15) En comparant le résultat obtenu ici, NMK = 8BDQ, avec celui:OMS = NMK = 3½BDQ, auquel on est arrivé au paragraphe qui préc`ede, on voit qu'en effet l'aberration est bien plus grande dans le microscope inverti de la fig. 10, que dans celui de la Fig. 8. Et la grandeur de cette différence justifie les approximations assez grossières employées ici par Huygens.

[p. 638]

§ 8¹⁾.

Quaero quantus hic sit angulus aberrationis quae ex figura, in telescopio hoc [Fig. 11] secundum Tabulam ordinato cujusque ampliatio ut 10 ad 1.

[Fig. 11.]

CF 3 pol.; FD 3/10 poll.; AC 27/200 poll. ex Reg. apertur. um²⁾ Pono ocularem convexam esse, quia eadem fit aberratio atque in cava qua utor, quamque hic examino.

P.S. Imo non fit eadem aberr.^o in cava sed in ea minuitur lentis exterioris aberratio. Vide ergo verum calculum pag. 70³⁾.

FC (3) ad CA (27/200) ut CA (27/200) ad CV (243/40000) nam eadem est crassitdo utrimque convexae et planoconvexae⁴⁾.

5/3 CV⁵⁾ ∞ BF 1215/120000 aberratio, sive 1/100.

FC ∞ BC (3) ad CA (27/200) ut BF (1/100) ad FR (9/20000)

FP ∞ FD (3/10) ad FR (9/20000) ut rad. tab. 10000 ad 150, tg 5′ ∞ ∠FPR aberrationis⁶⁾.

1) Ce paragraphe est emprunté à la p. 68 du Manuscrit H.

2) Voir la p. 495.

3) Voir le § 10, p. 642.

4) Le calcul suppose que F, la distance focale, soit égale au diamètre de la surface sphérique supérieure de la lentille, ce qui est ainsi quand la lentille est planconvexe; voir la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p. 81.

5) Voir la p. 291; la lentille AVAC était donc dans le télescope en considération une lentille biconvexe symétrique.

6) C'est-à-dire, en négligeant l'aberration sphérique de l'oculaire. En effet, en appliquant au télescope la notion de Huygens de l'angle d'aberration, que nous avons exposée dans la note 1 de la p. 540, on voit facilement que cet angle est représenté par l'angle BPG en entier; toutefois la partie FPG pourra être négligée en général par rapport à la partie BPF pour la raison donnée par Huygens aux p. 341-343.

[p. 639]

quia hic angulus aberrationis esset 5′, ac tantum ferri potest angulus 1⅔′ ut in fin. pag. praec.⁷⁾. idcirco non recte se haberet hoc telescopium, propter nimium scilicet aberrationis angulum, ex figura ortae. quod monendum in expositione tabulae aperturarum⁸⁾.

In hoc telescopio ut in omnibus onstrae Tabulae sit ang. aberrationis [Newtoni] 31′ ut ostensum pag. 65⁹⁾.

Jam sit FD ∞ 7/10 poll. caeteris positis ut primo. Talem enim ocularem adhibeo claritatis gratia. unde ratio ampliationis quae 2/7 ad 1.

FP ∞ FD (7/10) ad FR (9/20000) ut 100000 rad. Tab at 64 tangens 2⅕ ang. aberrationis FPR.

Talis aberrationis angulus ferri potest., talisque fit adhibita oculari 7/10 poll. qua uti soleo in exiguo hujusmodi telescopio. Non licet itaque augere aperturam exterioris lentis ne fiat nimius hujus aberrationis angulus, etsi multum augeri posset quantum ad aberrationem Newtoni, posita nimirum oculari 7/10 poll. Posset enim esse 7/11 lin.¹⁰⁾ apertura AA¹¹⁾, cum nunc sit 27/100, quae sunt ut 7 at 3. Pagina praec.ⁱ¹²⁾ aberratio ex figura ferebat tantum angulum 1′40″. Hic fert 2′¹³⁾. Concludamus ergo non majorem ferre quam 2′. cum ex New-

7) Voir le § 6, qui précède, en haut de la p. 636; mais consultez aussi la note 6, p. 643.

8) On n'en trouve rien dans le texte de la ‘Dioptrique’, ni à propos du tableau de la p. 497, ni ailleurs.

9) Voir le dernier alinéa du § 4, p. 633. En effet, l'angle d'aberration chromatique doit être le même dans toutes les lunettes construites d'après les dounées de ce tableau, puisqu'il a été calculé en partant de cette supposition; voir les p. 487-495.

10) Lisez ‘poll.’

11) C'est-à-dire, selon la règle de la p. 495, d'après laquelle le diamètre de l'ouverture est à la distance focale comme 10 est à 11.

12) Voir le premier alinéa de la p. 636.

13) Comparez le post-scriptum qui suit.

[p. 640]

toniana aberratione ferri posset ang.^s 33′¹⁾. nempe sexdecupla major.

Proderit hic lentem exteriorem AA proportionis sextuplae facere²⁾, quippe quam paulo majorem feret aperturam.

P.S. Sic foret in convexa oculari, sed posita cava fert 1′40″, quem admodum pag. praec.ⁱ ex microscopio supputaveram. Vide ergo verum calculum hujus telescopij ex convexa et cava, p. 70³⁾. Ergo concludendum aberrationem ex figura non majorem angulum aberrationis ferre quam 1′40″.

1) Voir le § 5, p. 634.

2) Voir la p. 291, au bas.

3) Voir le § 10, p. 642, qui suit.

§ 9⁴⁾.

Quaeritur ang. aberrationis ex figura in pedali telescopio nocturno qui fit 57″. ergo in diurno 29″ tantum⁵⁾.

[Fig. 11.]

Sit FC [Fig. 11] ∞ 1 ped. seu 12 poll. fit CA ∞ 55/200 poll.⁶⁾. Ergo 6/10 p. ∞ FD⁷⁾. FC(12) ad CA(55/200) ut CA(55/200) ad VC(1/160 poll.) crassitud. quia eadem haec est ac planoconvexae eandem foci distantiam habentis⁸⁾, hoc est cujus convexae superficiei radius esset ½CF, et diameter totus CF⁹⁾.

5/3×1/160 poll. ∞ 1/96 poll. FB¹⁰⁾

FC (12) ad CA (55/200) ut FB (1/96) ad RF (55/230400) ∞ ∞ 1/4189 poll.

FD ∞ FP (6/10) ad RF (1/4189) ut 100000 ad 39. tang 1′21″ ∠FPR.

4) Ce paragraphe est emprunté à la p. 69 du Manuscrit H.

5) Voir la p. 505.

6) D'après le tableau de la p. 497.

7) D'après la règle de la p. 495.

8) Voir la Prop. III, Part. II, p. 277.

9) Voir la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p. 81.

10) Voir la note 5, p. 638.

[p. 641]

hic igitur nihil nocebit aberratio ex figura, quoniam ferre potest ang. 2′¹¹⁾.

5/3 ad 7/6¹²⁾ ut 1′21″ ad 57″

Si esset lens A planoconvexa, esset ang. FPR tantum 57″.

Sit FC ∞ 8 poll. fit CA 45/200¹²⁾. fit FD ½ poll.¹³⁾.

FC (8) ad CA 45/200 ut CA (45/200) ad CV (2025/320000) crassitudo ∞ 1/158 poll.

BF ∞ 5/3×1/158 ∞ 5/474.

FC (8) ad CA (45/200) ut BF (5/474) ad FR (245/759400) ∞ 1/3095 FR.

FD ∞ FP (½) ad FR (1/3095) ut 100000 at 64⅔ tang. 2′5″ ∠FPR.

Ergo in hoc telescopio 8 poll. incipit nocere aberratio ex figura, et deinceps in minoribus magis etiam. ut non possint scilicet perferre aut aperturam aut ocularia, quae in Tabula sed duplicato ocularis foco, poterunt aperturam, quae in tabula est ferre, usque dum lens exterior habeat circiter 4 poll. foci dist.^ae ut colligo ex supputatis pag. praec.¹⁴⁾.

P.S. fuisset angulus aberrationis 1′.57″, si cavum oculare pro convexo posuissem ut debueram, utque feci pag. seq.¹⁵⁾ nempe ang. aberr.^is fuisset BPG, 1′.57″. Ergo tamen jam noceret hic aberratio ex figura.

11) Voir le § 8, qui précède, au bas de la p. 639.

12) Voir à propos de ce nombre la règle de la p. 287.

12) Voir à propos de ce nombre la règle de la p. 287.

13) Toujours d'après la règle de la p. 495.

14) Il s'agit du § 8, p. 638.

15) Voir le § 10 qui suit.

[p. 642]

§ 10¹⁾.

Verus calculus anguli aberrationis ex figura, in nostro parvulo telescopio.

[Fig. 12.]

Ratio calculi. lentis VA focus est F, aberratio ponitur FB, quae hic multo major exhibetur quam esse debebat, quippe quae tantum 5/3 esset crassitudinis VC, nam pono lentem aequaliter utrinque convexam²⁾.

radius ergo ZA iret in AB. Jam inveniendum quis radius ex P veniens (GPX recta) et cum axe conveniens evadat refractione lentis DP axi parallelus. lens DP utrinque aequaliter est cava, cujus punctum dispersus radiorum axi parallelorum est F. Sed et haec lens habet aberrationem suam. Sit PE parallelus axi radius, ejus aberratio ex lente cava DP erit FG, quae sit ad FB sicut FD ad FC³⁾, quia etiam DP ad CA censenda est esse ut FD ad FC. Nam FD censetur aequalis BD propter minimam FB. Ergo radius XPG fuerit refractione lentis DP axi parallelus in PE. Quamobrem APB ibit per PK, ut sit angulus KPE ∞ ∞ BPG. Invenitur autem ang. BPG ex angulo FPB, quia sunt inter se ut GB ad BF.

CF 3 pol., AC 27/200 poll., FD 7/10 poll⁴⁾.

FC (3) ad FB (1/100) aberratio convexae AA⁵⁾ ut DF (7/10) ad FG (7/3000) aberratio cavae DP. quia sic quoq. pag. 68⁶⁾ invenienda fuisset aberr.^o FG cum lens PD est convexa quia crassitudines ut foci distantiae.

BC ∞ FC(3) ad CA (27/100) ut BF (1/100) ad FR (9/20000). censentur aequales BC, FC quia BF minima.

1) Ce paragraphe est emprunté à la p. 70 du Manuscrit H.

2) Comparez la p. 291.

3) L'aberration sphérique d'une lentille concave est égale à celle d'une lentille convexe de la même épaisseur et dont la courbure des surfaces est la même. Cela résulte de l'identité des expressions pour cette aberration qu'on trouve aux pp. 291 et 303. On peut donc, pour déterminer cette aberration, remplacer la lentille concave DP par une lentille convexe; mais alors il est clair, à cause de la similitude complète des figures, que les aberrations FB et FG doivent être dans le rapport des distances focales.

4) Il s'agit de la lunette mentionnée dans le § 8, p. 638, munie de l'oculaire de distance focale de 7/10 pouce dont il est question dans la dernière partie de ce § 8.

5) Voir le § 8, p. 638.

6) Voir le § 6 en haut de la p. 636. Mais comparez toujours la note 1 de la p. 636 et de même la p. 565, qui fait voir que Huygens a beaucoup modifié depuis ses conclusions sur la grandeur de l'angle d'aberration sphérique compatible avec la vision distincte.

[p. 643]

FD ∞ FP (7/10) ad FR (9/20000) ut rad. tab. (100000) ad 64 tang. 2′⅕ FPR. hic calculus idem hactenus qui p. 68⁵⁾, quae videnda.

FB (1/100) ad BG (23/3000) ut (2′⅕) ∠FPR ad (1′⅔sive 1′40″) ∠BPG sive KPE sive PKL.

Egregiè igitur convenit inter hanc inquisitionem anguli aberrationis, et eam quae ex microscopio constituta est p. 67⁶⁾.

NB. Cum per aberrationem Newtoni liceat vel triplo majorem facere aperturam⁷⁾; possit autem aberratio tota, quae ex figura nascitur, tolli remedio certae cavae lentis⁸⁾; poterimus hujusmodi exigua telescopia facere, magnis aperturis praedita, eoque clara etiam intra aedes nec non ad stellas: Quae tantum duplo augent, meliora essent longioribus lentibus adsumtis, si ratio habeatur aberrationis ex figura, quia pupillae dupla latitudo in convexa lente consideranda est &c. sed nunc vel pollicare perspicillum sufficiet, cum menisco pro convexa, quo minus rectae lineae appareant curvatae.

5) Voir le § 8, p. 638.

6) Voir le § 6 en haut de la p. 636. Mais comparez toujours la note 1 de la p. 636 et de même la p. 565, qui fait voir que Huygens a beaucoup modifié depuis ses conclusions sur la grandeur de l'angle d'aberration sphérique compatible avec la vision distincte.

7) Comparez la dernière partie du § 8, p. 639. Toutefois il n'y est question que d'un agrandissement de l'ouverture dans le rapport de 3 à 7.

8) Voici que Huygens revient de nouveau à l'invention ingénieuse de 1665 qu'il avait exposée dans les ‘Rejecta’ à la Prop. IX, Part. II, p. 319-331.

[p. 644]

§ 11¹⁾.

Aberratio, quae in Microscopijs compositis, calculo inquiritur.

1) Ce paragraphe est emprunté aux p. 74-76 du Manuscrit H. Nous l'avons divisé en deux parties dont la première se rapporte à l'aberration chromatique, la deuxième à l'aberration sphérique.

[Première Partie]²⁾.

[Fig. 13.]

[Fig. 14.]

^3)4)5)6)

Itaque positis utrobique ijsdem lentibus ocularibus EM, em quarum foci N, n diversis vero objectivis PD, pd, sed ita ordinatis ut sicut earum foci distantiae ita sint distantiae NP, np. (sunt aut[em] Net n puncta conjugata seu respondentia punctis B, b in quibus visibilia). Erunt magnitudines apparentes, quas definiunt anguli EVZ, evz in utroque microscopio aequales.

2) Dans cette partie Huygens commence à s'occuper de la question de construire, en utilisant les données fournies par un microscope étalon dont il avait éprouvé les bonnes qualités, d'autres microscopes plus grossissants. En effet, cette partie, où l'aberration chromatique est considérée comme la principale, peut être considérée comme constituant l'avant-projet qui a servi à la rédaction des Prop. XIV et XV (p. 535-553) du texte de la ‘Dioptrique’.

3) Les calculs qui suivent à cette page se rapportent à deux microscopes où les distances focales EN et en des oculaires sont égales; mais la distance focale de l'objectif est dans le microscope le plus court la moitié de ce qu'elle est dans le plus long; il en est de même des distances PB et pb de l'objectif à l'objet et, par conséquent, aussi de celles PN et pn de l'objectif au foyer de l'oculaire, lequel foyer est en même temps le point qui correspond par rapport à la lentille inférieure au point où se trouve l'objet. Or, Huygens va démontrer que dans ces conditions les grossissements sont égaux, ce qu'il fait en comparant l'un à l'autre les angles ZVE et zve sous lesquels un même objet de largeur BX = bx est vu à travers les deux microscopes.

4) Cette proportion qui se déduit aisément de la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99 doit servir à déterminer le point V correspondant au point N par rapport à l'oculaire, auquel point V Huygens suppose que l'oeil sera placé.

5) Soit δ la largeur BX = bx de l'objet, on aura alors, en tirant les droites XPZ et xpz, ZE = PE/PB. δ et ze = pe/pb.δ; mais puisque PB = 2pb on en déduit PE:ZE = pe:½ze.

6) C'est là évidemment la condition pour que le même objet soit vu sous un même angle dans les deux microscopes, c'est-à-dire pour que leur grossissement soit égal. Or, ce qui suit sert à vérifier que cette condition est satisfaite en effet. Inutile de rappeler que, d'après la Prop. XIII, Part. I, Liv. II, p. 233, le grossissement est indépendant de la position de l'oeil.

[p. 645]

Quod⁷⁾ si aperturarum latitudines 2PD, 2 pd sint ut lenticularum harum foci distantiae, erit claritas utrobique eadem.

Sed aberrationis angulus⁸⁾ major erit in longioir microscopio EMPD. Nam si ex. gratia, sit NP dupla np, eoque foci distantia lenticulae PD dupla foci distantiae lenticulae pd. fit ang. BDQ ∞ bdq. Et proinde NDK ∞ ndk, unde NK dupla nk, eoque ang. NMK duplus nmk.

Potest ergo apertura pd major fieri, eoque claritas brevioris microscopij augeri, ut major sit claritate longioris et aberrationem habeat aequalem et multiplicationem.

Potest ergo sic augeri ista apertura et simul lens ocularis em sumi minoris foci distantiae quam lens EM, ut magis amplificet brevius microscopium longiore, et claritatem habeat ipsi aequalem, itemque aequalem aberrationem.

Pone manere distantiam np, quae nempe sit ad NP sicut foci distantia lenticulae pd ad foci distantiam lenticulae PD. Jam si non augeretur apertura pd, sed maneret proportio bp ad pd quae BP ad PD, fierent latitudines ad pupillam de quibus pag. 55⁹⁾, HE, he sive SV, sv, aequales, ob aequalitatem angulorum DNP, dnp,

7) Comparez à propos de ce qui suit jusqu' aux mots ‘Duplicemus multiplicationem’, les p. 537 (au bas) -543 du texte de la ‘Dioptrique’ où toutes ces choses sont traitées plus amplement.

8) Il s'agit de l'aberration chromatique.

9) Cette page du Manuscrit H contient le § 12 de l'Appendice VI, p. 614 et la remarque suivante: ‘Si in duobus microscopijs eadem sit copia radiorum receptorum a singulis rei visae punctis, eademque latitudo ad oculum. erit eadem utriusque amplificatio.
Et posita radiorum aequali copia, si sit major amplificatio erit minor latitudo ad oculum.’
En effet, en employant les notations du paragraphe présent, où PD = a, BP = b, posant de plus g pour le grossissement, λ pour la ‘latitudo ad oculum’, ω pour la distance de la vision distincte, on aura λ = ad/c, g = ωc / bd (d'après la règle de la p. 529). On en déduit la relation λg = aω/b, qui fait voir que la remarque de Huygens est exacte.

[p. 646]

[Fig. 13.]

[Fig. 14.]

itemque foci distantiarum NE, ne. Itaque aucta apertura pd, major fit latitudo ad pupillam quam longiori microscopio, cum retinetur eadem lens ocularis.

Duplicemus multiplicationem sumta lente oculari quae habeat duplo minorem foci distantiam. Erit aberratio nihilo major sed lucis quartam partem habebis tantum¹⁾. Ergo haec aliunde roboretur.

Quaere datâ lenticulâ pd, et manente distantiae np ad pb ratione eadem quam NP ad PB et aberratione, et claritate quae in majori microscopio EMPD, quanta possit fieri apertura pd, et quanta simul foci distantia en²⁾.

Sit pb ∞ f, quae non fit foci distantia lentis pd sed ad eam se habeat sicut PB ad foci distantiam lentis PD. Sit semiapertura pd ∞ x sit angulus QDB³⁾ ∞ g.

BP (b) ad PD (a) ut bp (f) ad af/b, semiapertura lentis pd, si foret proportionalis aperturae PD secundum foci distantias. sed jam majorem pono ∞ x.

Semiapertura lentis p si foret proportionalis aperturae PD secundum foci distantias (af/b) ad x ut QDB (g) ad ∠ qdb (bgx/af) nam ut aperturae ita hic bq et ita anguli aberrationis Newtonianae⁴⁾.

∠QDB (g) ad ∠ qdb (bgx/af) ut IR (fn/b)⁵⁾ ad kn (nx/a)⁶⁾

1) En vérité l'aberration chromatique serait doublée; voir la note 4 de la p. 554.

2) C'est la question traitée et résolue dans la Prop. XV du texte de la ‘Dioptrique’; voir les p. 543-551 auxquelles ce qui suit a servi d'avant-projet.

3) DQ passe par le foyer F de la lentille DP.

4) Comparez la p. 545, où la même relation entre les angles QDB et qdb est déduite.

5) C'est-à-dire en posant NK = n; alors IR/n = PR/c = pn/c, mais pn:PN(c) = pb(f):PB(b), donc pn = cf/b, IR = nf/b.

6) On trouve à la p. 545 une autre déduction de la relation kn = nx/a.

[p. 647]

NK (n)⁷⁾ ad NM ∞ NE (d) ut nk (nx/a) ad nm ∞ ne (dx/a), jam aberratio aequalis erit. aberratiunculas GN, gn utrobique negligo, quibus augerentur non nihil anguli aberrationis. Sed exiles sunt eo quod EM, em, minores portiones sunt majorum multo lentium quam PD, pd suarum.

Jam porro debet esse ∠EVZ ad evz ut PBD ad pbd. ita enim lux hausta utrobique erit ut amplificatio.

⁸⁾⁹⁾

Sit BX ∞ h lineola visa.

[ut ang. EVZ ad ang. evz ita ang. PBD ad ang. pbd]

¹⁰⁾¹¹⁾

NP (c) ad PD (a) ut NE (d) ad EH (ad/c) latitudo ad pupillam

7) Comparez pour ce qui suit l'alinéa qui commence au bas de la p. 545.

8) Voir la note 5.

9) Comparez la note 4 de la p. 645.

10) C'est donc la condition de l'égalité de la clarté dans les deux microscopes.

11) Comparez la p. 547, où la même relation est déduite d'une manière plus simple.

[p. 648]

Ergo eadem utrobique fit latitudo ad pupillam¹⁾.

1) Comparez l'alinéa qui commence au bas de la p. 549.

[Deuxième Partie]²⁾.

[Fig. 15.]

Si x majorem ponis fit et fb major³⁾. Unde et bq major ex duplici causa. Ergo hic erat aliquid erroris in angulo qdb supputando⁴⁾.

[qu. Δp] [Fig. 15]⁵⁾ (aaff/bb) ad [qu. dp] (xx) ut [QDB] (g)

ad ∠bΔδ(bbgxx/aaff),

nam ut quadrata aperturarum ita sunt aberrationes; et si apertura pd fuisset proportionalis PD⁶⁾, fuisset ang. qdb ∞ QDB.

2) Dans cette partie les calculs qui précèdent sont repris, mais cette fois dans la supposition que l'aberration sphérique est plus importante que l'autre. Elle peut être considérée comme constituant un avant-projet des p. 569-575 du texte de la ‘Dioptrique’.

3) C'est-à-dire dans le cas de l'aberration sphérique.

4) Pour expliquer cette phrase il faut remarquer que la page d'où nous avons emprunté ce qui suit en recouvre une autre où des calculs, datés du 16 juillet 1692, ont été biffés depuis. Ces calculs étaient analogues à ceux qui suivent avec cette différence que Huygens y était parti de la supposition ∠qdb = b²gx²/a²f², ce qui amène . Or, vers la fin de ces calculs il avait annoté ‘omnia bene’, mais plus tard il avait biffé le mot ‘bene’ et l'avait remplacé par ‘male’; ce qui signifie qu'à cet instant Huygens s'était aperçu que la valeur de l'angle qdb était erronée, puisque l'expression b²gx²/a²f² ne représente pas l'angle qdb luimême (Fig. 15) mais l'angle δΔb. En effet, au lieu de la proportion:
‘[qu. Δp] aaff/bb ad [qu. dp] (xx ut [QDB](g) ad ∠bΔδ (bbgxx/aaff)’
on lisait primitivement:
‘[qu. Δp] aaff/bb ad [qu. dp] xx ut [QDB](g) ad ∠qdb(bbgxx/aaff)’;
mais depuis les lettres qdb furent biffées et remplacées par bΔδ et en même temps furent ajoutées les deux dernières lignes de la page présente et la proportion qui les suit et de laquelle la valeur corrigée de qdb est déduite.

5) Δp représente l'ouverture de la lentille inférieure dans le cas que, par rapport au grand microscope, cette ouverture aurait été diminuée dans la même proportion que la distance focale et la distance de l'objet, aquel cas il est clair que l'angle bΔf aurait été égal à l'angle BDF à cause de la similitude complète des figures. Or, en agrandissant ensuite l'ouverture jusqu'à la valeur dp = x, Huygens suppose que le rapport entre la nouvelle aberration bδ et l'aberration bf (et par conséquent aussi entre l'angle bΔδ et l'angle bΔf) est le même que le rapport de dp² à Δp²; supposition qui fut adoptée probablement par analogie avec la Prop. VII, Part. II, p. 309, qui s'occupe de l'aberration près du foyer; voir encore le § 15, p. 654.

6) C'est-à-dire: si ces ouvertures auraient été proportionnelles aux distances focales, et par conséquent à f et b.

[p. 649]

[Fig. 13.]

[Fig. 14.]

⁷⁾⁸⁾⁹⁾

NK (n) ad NM ∞ NE (d) ut nk (nb²x³ / a³ff) ad nm ∞ ne (db²x³ / a³ff) jam aberratio erit aequalis¹⁰⁾.

Jam porro ut ang. evz ad EVZ, ita debet esse ang. pbd ad PBD, ita enim erit lux hausta minori microscopio ad lucem majori haustam ut amplificatio illius ad hujus amplif. unde claritas eadem.

^8)11)12)

7) D'après la Prop. VI, p. 475.

8) Voir la note 5, p. 647.

9) On trouve une autre déduction de nk au deuxième alinéa de la p. 571.

10) Comparez toujours le deuxième alinéa de la p. 571.

8) Voir la note 5, p. 647.

11) Comparez la note 4 de la p. 645.

12) Condition de l'égalité de la clarté dans les deux microscopes.

[p. 650]

[Fig. 13.]

[Fig. 14.]

¹⁾

NP (c) ad PD (a) ut NE (d) ad EH(ad/c) latitudo ad pupillam.

²⁾³⁾⁴⁾

Campus duplo minor ferè⁵⁾, quia lens e dimidiam focidistantiam et ½ latitudinem habet lentis E. et ve ad VE ut 15 ad 18⁶⁾.

⁷⁸⁾⁹⁾

1) Comparez la p. 573, où la même relation est déduite d'une manière plus simple.

2) Comparez le premier alinéa de la p. 575.

3) Lisez ‘4dd/c’.

4) C'est-à-dire en posant c = 7, d = 2, comme dans le microscope étalon décrit à la p. 549; mais lisez ‘1 16/7’.

5) Il en est ainsi si l'on mesure le champ par l'angle sous lequel il est vu, mais le rapport dont il s'agit devient bien différent de 2 à 1, si l'on mesure le champ par la longueur de son diamètre dans le plan de l'objet. On l'obtient alors en divisant le premier rapport par celui des grossissements.

6) Lisez ‘23:18’, puisque ev = 23/7, EV = 18/7, de sorte que ce que Huygens appelle ici le champ se rétrécit d'un peu plus que de la moitié.

7 Lisez ‘4dd.’

8) Lisez ‘4d.’

9) Lisez ‘8.’

[p. 651]

§ 12¹⁰⁾.

[Fig. 16.]

Quaero angulum aberrationis Newton. in meo microscopio¹¹⁾.

BF [Fig. 16] (x) ad ut FP (7/10) ad PK (7)¹²⁾; hic F pro foco, B pro puncto rei visae.

x ∞ 7/90 ∞ FB; adde 7/10 ∞ PF; 7/9 ∞ PB

PD ∞ 1/20; ¹³⁾; hic sumo BO pro aberratione Newtoniana. cujus angulum quaero NMK.

PB (7/9) ad PN (7) ut BQ 1/1000 ad NK (9/1000).

NM (2) ad NK (9/1000) ut 100000 rad. tab. ad 450 tangens 15′½ ∠NMK aberrationis. proxime quantum fert telescopium diurnum. nam nocturnum fert 31′⅓, cujus dimid. 15′⅔. vid. pag. 65¹⁴⁾.

10) Ce § 12 et les deux suivants ont été empruntés aux p. 78 et 79 du Manuscrit H.

11) Comparez la dernière partie du § 6, p. 636 et la Prop. XVI, p. 553, où la même question est traitée. Il s'agit du microscope décrit à la p. 549.

12) La proportion se déduit aisément de la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

13) L'aberration chromatique longitudinale d'un rayon venant du point N est donc supposée égale à celle d'un rayon parallèle à l'axe. Cette supposition diffère de celle qui est employée à la Prop. XVI, p. 553, où les angles de dispersion sont regardés comme égaux dans les deux cas; ceci explique la différence des résultats des deux calculs.

14) Il s'agit du § 4, p. 631.

[p. 652]

§ 13¹⁾.

[Fig. 16.]

Quaero angulum aberrationis ex figura in meo microscopio²⁾.

βP [Fig. 16] ∞ ½FP (7/20) ad ZD (1/20) ut 100000 rad. tab. ad



³⁾⁴⁾

PF ∞ PB (7/9) ad PD (1/20) ut OB (1/238) ad BQ (1/3702) PB (7/9) ad PN(7) ut BQ (1/3702) ad KN (9/3702)

MN(2) ad KN (9/3702) ut 100000 rad. tab. ad 121 tang. 4′10″ ang. NMK aberrationis ex figura.

Si lenticulae convexa superf. deorsum spectet esset aberrationis angulus plus quam quadruplo major⁵⁾, sive 18′. Hinc forsan melius experior ut plana superf. deorsum convertatur.

Forsan aberratio ex figura majorem fert aberrationis angulum quam Newtoniana⁶⁾. an non magis nocebit aberratio ex figura cum amplius aperientur minores lenticulae quam secundum rationem foci distantiae.

1) Voir la note 10 de la p. 651.

2) Comparez la Prop. XVII, p. 561, où la même question est traitée. Il s'agit toujours du microscope décrit dans à la p. 549.

3) Voir la p. 287.

4) La formule dont Huygens se sert ici pour calculer OB représente, d'après la règle de la p. 287, l'aberration longitudinale d'un rayon parallèle à l'axe, tandis qu'en véritê OB est l'aberration du rayon ND. C'est là la cause de la différence entre le résultat obtenu ici et celui de la p. 563 du texte de la Dioptrique. Consultez encore la note 9 de la p. 635.

5) Comparez la Prop. XVII à l'alinéa qui commence à la p. 563.

6) Cette même question de la différence de grandeur, dans les deux aberrations, de l'angle admissible est traitée au § 6, p. 634 et au § 8, p. 638. Plus tard, pendant la rédaction du texte de la Dioptrique, Huygens a évalué les valeurs des deux angles à 20′ environ. Voir la p. 565.

[p. 653]

§ 14¹⁾.

Quaere porro quantus sit ang. aberrationis ex figura in microscopio quale fit pag. 76⁷⁾. Posito b ∞ 7/36 poll. c ∞ 7/4 poll. a ∞ 1/40 poll. d ∞ 1 poll.⁸⁾.

βP [Fig. 16] ∞ ½FP(7/80) ad PD ∞ ZD (1/40) ut rad. tab. 1000000 ad



100000 rad. t. ad 4168 ut βP (7/80) ad PZ (1/274)

NM (1) ad KN (9/1645) ut rad. tab. 100000 ad 547 tang. 18′50″. hic ang. aberrationis ex sigura jam nociturus videtur. quippe major Newtoniano⁹⁾.

Puto jam fore talem hunc angulum aberrationis ut nocere possit. Unde concludam non hoc modo in infinitum procedi posse augendo¹⁰⁾, at in telesco-

1) Voir la note 10 de la p. 651.

7) Voir la p. 647 du § 11.

8) On aura donc dans la fig. 16, BP = 7/36 pouce, PN = 7/4, NA = 1. D'ailleurs on retrouve les mêmes dimensions à la p. 549 du texte de la ‘Dioptrique’ à propos du microscope de 4½ pouce dont il s'agit aussi dans le deuxième alinéa de la p. 565.

9) Le microscope, traité ici, était construit de manière à obtenir pour l'angle d'aberration chromatique la même valeur que dans le microscope étalon où il fut trouvé égal à 15′½; voir le § 12, p. 651.

10) Comparez la p. 565.

[p. 654]

piolis non nocebit sic angulus aberrationis, cum in pedali tantum sit 57″(29″) vid. pag. 69¹⁾.

Sed alio modo procedendo, in quo aberratio ex figura tantum consideratur, ut pag. 75²⁾, dabitur tamen microscopijs processus in infinitum.

1) Il s'agit du § 9, p. 640 de l'Appendice présent.

2) Il s'agit de la deuxième partie du § 11, p. 648; mais consultez surtout la Prop. XVIII, p. 569, à laquelle cette partie du § 11 a servi d'avant-projet, et en particulier les p. 573-575.

§ 15³⁾.

[Fig. 17.]

[Fig. 18.]

Lens cl superficies ex eadem sphaera habet ac CL, et in easdem partes spectantes.

O est focus lentis CL. D punctum radians ulterius distans. OH est aberratio ex figura rad. VL axi paralleli. lens cl eandem habet foci distantiam, sed aperturam cl minorem quam CL. oh est aberratio radij vl axi paralleli. Scimus jam esse OH ad oh ut qu. CL ad qu. cl⁴⁾. P punctum conjugatum D. radius DL it in LQ.

3) Ce paragraphe est emprunté à la p. 80 du Manuscrit H. Le théorème qu'on y trouve démontré peut être considéré comme une extension de la Prop. VI, Part. II, p. 307. Il a d'ailleurs à peu près la même portée que le lemme 4, p. 565 qui en est une conséquence presqu'immédiate. Voir l'alinéa qui commence à la p. 567.

4) Par la proposition citée dans la note précédente.

Theorema demonstrandum

Quod ut NE ad ne⁵⁾, OH ad oh, qu. CL ad qu. cl ita QP ad qp⁶⁾.

⁴⁾⁷⁾

5) N est le foyer de la lentille pour les rayons parallèles à l'axe venant de la direction DC. NE l'aberration du rayon extrême passant par L.

6) Le théorème est exact en première approximation comme nous l'avons montré dans la note 3 de la p. 567. Mais la démonstration qui suit est entachée de l'erreur que nous avons signalée dans la note 7 de la p. 556.

4) Par la proposition citée dans la note précédente.

7) Voir la Prop. VI, p. 475; mais l'approximation avec laquelle il y a égalité des angles est insuffisante pour pouvoir servir au calcul de PQ; voir toujours la note 7 de la p. 556.

[p. 655]

⁸⁾⁹⁾ deberet esse bb ∞ aa ut perfecte quadrarent. Sed quia e est minima caeterarum linearum respectu, nam est tantum 7/6 crassitudinis lentis CL, in lente planoconvexa, ac caetera ubi non est e sunt utrimque eadem, eoque aequalia, constat verum esse theorema.

Nota quod ut qu. d-c ad dd ita e ad QP¹⁰⁾ nam de-ce in divisore negligenda.

Sed etiam in qp. Unde jam facilis demonstratio. ut sequenti calculo non sit opus. Sed considera lentes LC ut planoconvexas, utroque modo conversas, an nulla sit dissicultas. Resp. haec nihil obsunt nec hic expendi necesse est.

Nota quod in aberratione Newtoniana, aberrationes QP, qp non obstante diversitate aperturarum CL, cl erunt aequales, quia et OH, oh aequales. Erit autem OH ad QP ut qu. DO seu qu. d-c ad qu. DC seu dd, proximè¹¹⁾, aeque ac in altera aberratione.

8) Puisque P et D sont des points correspondants; voir la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

9) C'est la proportion qu'il s'agit de vérifier, ce qui est fait par le calcul qui suit.

10) Comparez le lemme 2 de la p. 559, qui ne diffère pas de cette conclusion puisque (d-c)::d = DO:DC = OC (ou NC):CP; voir la note 8.

11) Voir le lemme 1, p. 551; d'après ce lemme les angles PLQ et NLE, ou OLH, sont égaux. Or, en exprimant de deux manières différentes le rapport des aires des triangles PLQ et OLH on arrive facilement, en ayant égard à la remarque faite dans la note 10 qui précède, à la proportion mentionnée; comparez d'ailleurs les lemmes 2 et 3 (p. 559-561) qui se rapportent à l'aberration sphérique et que l'on trouve donc ici valables pour le cas de l'aberration chromatique.

[p. 656]

§ 16¹⁾.

Si dato microscopio, omnia proportionaliter minuantur atque ita alterum brevius constituatur sciendum est breviori hoc visibilia magis amplificari secundum eandem rationem. quia si et lineolae visae longitudo eadem proportione diminuta fuisset qua caetera, ea utrobique eodem angulo ad oculum venisset, adeoque eadem fuisset magnitudo apparens minoris ac majoris lineolae. Ergo si non fuisset

[Fig. 19.]

[Fig. 20.]

diminuta, tanto major spectaretur breviori microscopio. At vero obscurior quoque, quia eadem lucis quantitas utriusque microcopij lenticulam ingrederetur, quae in breviori illustraret majorem imaginem. prorsus ut in simplicis lenticulae microscopijs²⁾. utque ibi ita hic maneret eadem aberratio; sed latitudo ad pupillam diminueretur³⁾.

1) Les §§ 16 et 17 sont empruntés à la p. 81 du Manuscrit H.

2) Voir la Prop. XIII, p. 529-533.

3) Voir la p. 533.

§ 17¹⁾.

Si microscopio e duabus convexis lentibus composito quarum major sit ocularis visibile intuemur, deinde microscopium invertamus manente lentium distantia, poterunt oculus et visibile ita collocari ut denuo id distincte cernatur, eademque magnitudine et claritate qua prius. Sed posterior positus priore pejor erit ob majus aberrationis vitium⁴⁾.

Sit microscopium ordinatum uti propos. praecedenti⁵⁾ ex lentibus EZ, PD [Fig. 19] quarum illa major sit atque ad oculum obversa. Sintque omnia constructa sicut illic. Rursus idem invertatur, sive quod idem est manente lente utraque permutentur loca oculi ac visibilis, atque oculus quidem ponatur in S ut in figura altera [Fig. 20], ut posito L foco lentis PD, sint proportionales EL, EP, ES⁶⁾. Visibile vero ponatur in T ut sint proportionales LN, LE, LT. Constat ergo ex propos. [VI, Part. I, Lib. II]⁷⁾, si manente utraque lente transpositus fuisset oculus in B, et visibile in V, eadem magnitudine hoc visum iri atque cum oculus erat in V visibile in B. Item oculo in T visibile in B eadem adhuc magnitudine appariturum atque oculo in V, per prop. [XIII, Part. I, Lib. II]⁸⁾ scilicet quod radij paralleli utrobique ad oculum veniunt qui ex

1) Les §§ 16 et 17 sont empruntés à la p. 81 du Manuscrit H.

4) Comparez le § 7, p. 637, qui traite le même sujet.

5) Il s'agit de la Prop. XIV, p. 535. Il est donc évident que le théorème présent était destiné à faire partie du texte de la Dioptrique. Or, on trouve dans la dernière partie du § 19, p. 662 la raison qui depuis a fait abandonner ce projet. Voir encore la note 7 de la p. 527.

6) Voir la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99. De cette manière le point S est le point qui, par rapport à la lentille PZ, correspond au point E.

7) Voir la p. 199.

8) Voir la p. 233.

[p. 657]

uno visibilis puncto promanant. Sed oculo in B visibile in T eadem magni.^e apparet atque oculo in T visibile in B. Ergo oculo in B visibile in T eadem apparet magn.^e atque oculo in V visibile in B. Sed rursus oculo tam in S quam in B eadem magn.^e apparet visibile in T. Ergo oculo in S visibile in T eadem magnitudine cernitur atque oculo in V visibile in B⁹⁾.

Quod si jam sicut distantia BP ad aperturam dimid. PD ita sit dist. TE ad dimid. aperturam EK quae lenti huic tribuatur eadem quantitas radiorum a punctis singulis rei visae quae in T ipsam ingredietur quam lentem PD a punctis rei visae in B. Cumque eadem sit utrobique amplitudo picturae in fundo oculi, sequitur et claritatem ejus fore eandem.

¹⁰⁾ quae major ratio PO ∞ PL (p) ad an NE (d) ad ? an c ad c+p an c ad c+d? haec est minor¹¹⁾,

Ergo ET ad NE major quam PB ad PO ∞ PL. hinc in utraque aberratione ostendi potest per propos. pag. praeced.¹²⁾ majorem esse rationem aberrationis

9) Il est évident que ce théorème élégant et sa démonstration s'appliquent également à un système centré quelconque. Il faut seulement que l'objet soit placé chaque fois de manière à rendre parallèles à la sortie du système les rayons émanant d'un de ses points.

10) Puisque L et T sont des points correspondants par rapport à la lentille DE.

11) Puisqu'on suppose que la distance focale d de la lentille EZ est plus grande que celle p de la lentille DP.

12) Il s'agit du Théorème du § 15, p. 654.

[p. 658]

FT ad TE, quam FB (in prima fig.) ad BP¹⁾ unde ang. TDF major BDF²⁾.

Ergo ∠LDY major quam NDK³⁾. Sed DL (∞ EL) major quam DN [∞ PN]⁴⁾. Ergo omnino LY major quam NK. Sed PL seu LM minor quam NE seu NM. Ergo plane major ang. aberr.^is LMY quam NMK.

[Fig. 21.]

[Fig. 22.]

1) Dans le cas de l'aberration chromatique les aberrations longitudinales aux foyers seront proportionnelles aux distances focales. On pourra donc les représenter par η.PO [Fig. 19] et η·NE [Fig. 20], et, puisque, d'après la note 11 de la p. 655, le lemme 2, p. 559, est applicable, on aura pour les aberrations longitudinales, en B et en T, η· PB²/PO et η· TE²/NE, et pour les rapports en question η· PB/PO et η· TE/NE, d'où il suit qu'en effet le rapport qui concerne la fig. 19 est plus petit que celui qui appartient à la fig. 20.
La démonstration est un peu plus compliquée dans le cas de l'aberration sphérique. Alors les aberrations longitudinales aux foyers seraient proportionnelles, d'après le théorème principal du § 15, p. 654, aux carrés des rayons d'ouverture des lentilles DP et ZE; mais, pour obtenir la même clarté, ces rayons eux-mêmes sont supposés proportionnels aux distances BP et ET; on peut donc représenter les aberrations aux foyers par k.BP² et k.ET², et celles aux points B et T par k· BP⁴/BO² et k· ET⁴/EN². On trouve ainsi pour les rapports en question k· BP³/BO² et k· ET³/EN². Mais on a BP²/BO²2/EN² et de même BP < ET, puisque et p < d. Il en résulte donc de nouveau que le rapport FB/BP est plus petit que le rapport FT/TE.
D'ailleurs il semble que Huygens n'a pas jugé suffisante l'indication qu'il donne ici pour servir à la démonstration de l'inégalité FT/TE > FB/BP. Du moins il y est revenu dans le § 18 qui suit. En effet, l'inégalité en question est déduite en somme des relations ET/NE > PB/PO et DE/ET [Fig. 20] = DP/BP [Fig. 19]. Or, ces relations sont entièrement identiques aux suppositions dont Huygens va partir au § 18, et l'inégalité qu'il y cherche à prouver est identique, à son tour, à l'inégalité FT/TE > FB/BP du paragraphe présent.

2) En effet, en évaluant de deux manières différentes l'aire du triangle TDF on trouve facilement ∠TDF (Fig. 20) = DE.FT / ET². On a de même ∠BDF (Fig. 19) = DP.FB / PB². Mais, puisque DE/ET == DP/PB, le rapport des angles TDF et BDF ne dépend que de celui des quotients FT/ET et FB/PB.

3) Comparez la Prop. VI, p. 475.

4) C'est-à-dire .

§ 18⁵⁾.

Dico si PC [Fig. 22] ad CV⁶⁾ majorem habeat rationem, quam pc [Fig. 21] ad cu et sit ut PC ad CL ita pc ad c1 majorem fore rationem aberrationis⁷⁾ PQ, (hoc est radiorum qui ad P punctum concurrere deberent) ad PC, quam aberrationis pq ad pc. D et P puncta conjugata.

Nam quia PC ad CL ut pc ad cl, erit CL ad cl major quam VC ad uc. hinc OH⁸⁾ ad OC major quam oh ad oc⁹⁾ et OH ad oh major quam OC ad oc. Sed erit DO ad DC minor quam do ad dc¹⁰⁾, Ut autem qu. DO ad qu. DC ita OH ad QP¹¹⁾, et ut qu. do ad qu. dc ita oh ad qp. Ergo OH ad QP minor erit quam oh ad qp. Et QP ad OH major quam qp ad oh et QP ad qp major quam OH ad oh. Sed OH ad oh major erat quam OC ad oc. Ergo QP ad qp utique major quam OC ad oc. an jam OC ad oc [seu] CV ad cu major quam PC ad pc¹²⁾, non ita sed minor¹³⁾. calculo indiget.

5) Le paragraphe est emprunté à la p. 82 du Manuscrit H. Consultez sur sa portée le dernier alinéa de la note 1.

6) V et O sont les foyers de la lentille LC, u et o ceux de la lentille lc.

7) Il s'agit en premier lieu de l'aberration sphérique; mais on verra que plus loin Huygens appliquera la démonstration également à l'aberration chromatique.

8) OH est l'aberration au foyer.

9) Si l'on avait CL:cl = VC:uc, alors, à cause de la similitude complète des deux figures, on aurait OH:OC = oh:oc; mais si ensuite on élargit la lentille LC de manière que CL::cl > VC:uc, il est évident qu'on aura dans le cas de l'aberration sphérique OH:OC >> oh:oc.

10) Par la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99, on a DO:DC = DC:DP = OC:CP = CV:CP, et de même do:dc = cu:cp; mais puisque, par supposition, CV:CP < cu:cp, on aura DO:DC < do:dc.

11) D'après le dernier alinéa de la p. 655.

12) Il est clair que dans ce cas la proposition qui se trouve en tête de ce paragraphe serait démontrée; mais puisqu'il n'en est pas ainsi, Huygens a recours à un calcul algébrique.

13) Puisque de PC/CV > pc/cu on doit conclure évidemment à PC/pc > CV/cu.

[p. 659]

oc (∞ uc) (b) ad cp (a) ut OC (∞ VC) (c) ad ac/b; ¹⁴⁾ pu (a-b) ad pc (a) ut uc (b) ad ¹⁵⁾

14) En prenant CP = ac/b, on aurait CP:CV = pc:cu; mais puisque, par supposition, le premier rapport surpasse le second il s'ensuit que la valeur de CP surpassera ac/b d'une certaine quantité e.

15) Relation qu'on déduit aisément de la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

[p. 660]

[Fig. 21.]

[Fig. 22.]

etiamsi OH ad OC ut oh ad oc, (quod fit in aberratione Newton.)¹⁾ vellem tamen ostendere (caeteris positis ut ante) esse PQ ad PC majorem quam pq ad pc²⁾.



^{3)4)5)5)6)5)5)7)8)}

1) D'après le deuxième alinéa de ce paragraphe on aura dans le cas de l'aberration sphérique OH/OC > oh/oc; voir la note 9 de la p. 659.

2) Huygens veut dire qu'alors à plus forte raison on aura PQ/PC > pq/pc dans le cas de l'aberration sphérique où OH/OC > oh/oc; voir les notes 3, 5 et 7.

3) Dans le cas de l'aberration sphérique on pourrait poser .

4) Voir le dernier alinéa de la p. 655.

5) Dans le cas de l'aberration sphérique on doit remplacer n par .

5) Dans le cas de l'aberration sphérique on doit remplacer n par .

6) Il s'agit maintenant de comparer entre eux ces deux rapports.

5) Dans le cas de l'aberration sphérique on doit remplacer n par .

5) Dans le cas de l'aberration sphérique on doit remplacer n par .

7) Cette relation devrait être satissaite au cas de l'égalité des rapports; mais on voit par ce qui suit qu'elle ne l'est pas (et encore moins pour l'aberration sphérique que pour l'aberration chromatique). De plus on voit que le second membre est le plus grand; après quoi la conclusion est facile à tirer.

8) Signe équivalent au signe moderne <.

[p. 661]

Ergo QP major ad PC quam pq ad pc.

qu. cu ad qu. cp ut oh ad qp } hinc demonstratio forsan facilis⁹⁾.

sic quoque qu. CV ad qu. CP ut OH ad QP } hinc demonstratio forsan facilis⁹⁾.

9) Annotation faite après la découverte de la relation du § 19, qui suit.

9) Annotation faite après la découverte de la relation du § 19, qui suit.

§ 19¹⁰⁾.

Quae sit ratio aberrationis HV ad QP ex figura¹¹⁾.

[Fig. 23.]

^121314).

10) Ce paragraphe est emprunté à la p. 83 du Manuscrit H.

11) O et V sont les foyers de la lentille MC, D et P des points correspondants.

12 Relation qu'on déduit facilement de la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

13 À cause de l'égalité des angles MDC et HMQ par suite de la Prop. VI, p. 475.

14) Le théorème obtenu est identique au Lemme 2, p. 559, et la démonstration ne diffère pas essentiellement de celle reproduite à cette p. 559. Consultez d'ailleurs sur son défaut d'exactitude la note 7 de la p. 556 et la note 4 de la p. 559.

[p. 662]

[Fig. 24.]

Difficultas est quod theorema de aequalitate angulorum a radijs incidentibus et refractis, non satis accurate verum est ad definiendas aberrationes¹⁾, nam in lente planoconvexa exempli gr. si foci sint O et P, aberratio radij axi paralleli DL sit OH. aberratio axi paralleli GL fit PQ. erit ²⁾ crassitudinis quae sit ϑ. ³⁾. Unde si semidiam. convexitatis CL, vocetur r. CM sit ∞ 3r. sit KM ∞ 3r-ϑ et KO⁴⁾ ∞ ∞ ⅔KM, erit 2r-⅔ϑ. unde ablata , sit . Rursus CP est 2r et unde ablata , fit . quae ergo minor est quam KH seu . Atqui si theorema de aequalitate angulorum verum esset accurate, essent aequales anguli GLH, DLQ. nam si radius DL it in LH etiam HL ibit in LD. Sed GL it in LQ. Ergo anguli ad L essent aequales. Ac proinde et ang. H et Q, ideoque KQ ∞ KH. Sed KQ minorem invenimus quam KH.

quid si omittatur theorema pag. 81 de invertendo microscopio⁵⁾: Nam in problemate pag. 75 et 76 de meliori ac breviori inveniendo⁶⁾, non erit opus hujusmodi inaequalitem angulorum aberrationis considerare, in calculo verò nostri microscopij⁷⁾ ponitur tantum aberratio lenticulae quae in distantia visibilis contingit eandem rationem habere ad eam distantiam quam haberet aberratio in foci distantia ad foci distantiam quod vix quicquam differt⁸⁾.

Dele corollarium⁹⁾, quo dicitur sequi praestare ut minor lens inferior ponatur¹⁰⁾.

1) Comparez la note 4 de la p. 559 et voyez dans le dernier alinéa de la note 7 de la p. 556 pourquoi les raisonnements fondés sur l'égalité de ces angles n'amènent pas d'erreur dans le cas de l'aberration chromatique.

2) Voir la p. 287.

3) Voir la p. 285.

4) Consultez sur cette détermination de KO et de CP la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p. 81.

5) Il s'agit du § 17, p. 656.

6) Voir le § 11, p. 644-650.

7) Il s'agit des §§ 6, p. 634 et 13 p. 652. Seulement on doit remarquer que dans le calcul au § 13 les deux aberrations dont Huygens va parler étaient supposées égales et que dans celui du § 6 (p. 635), les angles BDF et BϑF (Fig. 8 et 9) étant considérés comme égaux, ces aberrations étaient supposées proportionnelles aux carrés des distances de l'objet et du foyer à la lentille; tandis qu'à présent Huygens les suppose proportionnelles à ces distances elles-mêmes.

8) Pour résumer le contenu de l'alinéa présent on peut donc dire que les considérations qu'on trouve dans l'alinéa qui le précède ont rendu suspectes à Huygens toutes les propositions sur l'aberration sphérique dont les démonstrations sont basées sur l'égalité des angles comme GLH et DLQ de la Fig. 24, c'est-à-dire en premier lieu la relation déduite au § 19 (p. 661) qui est identique au lemme 2, p. 559 du texte de la Dioptrique; d'après lequel les aberrations sphériques longitudinales aux différents points de l'axe sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points à la lentille. Par conséquent, il veut omettre de sa Dioptrique le § 17 (p. 656), dont il ne sait pas prouver le point principal, c'est-à-dire la plus grande aberration du microscope inverti, sans employer cette relation. Mais il croit pouvoir retenir le contenu du § 11 (p. 644-650) où dans la deuxième partie, qui traite l'aberration sphérique, il n'a pas besoin de cette relation. Il est vrai qu'il y fait usage au début, p. 648, de la proposition principale, le ‘theorema demonstrandum’ du § 15 (p. 654), et que la démonstration que Huygens a donnée de ce théorème au paragraphe cité (et de même celle qu'on rencontre dans le dernier alinéa de la p. 567) s'appuie sur la relation en question; mais en réalité la proposition en est indépendante comme nous l'avons montré dans la note 3 de la p. 567 et il est possible que Huygens en ait entrevu une démonstration qui n'en dépendrait pas.
Quoiqu'il en soit Huygens a fini par admettre cette relation dans sa Dioptrique au lemme 2, p. 559; sauf toutefois, à n'en faire usage que dans des cas, comme celui qu'il mentionne dans le présent alinéa, où le point de concours pour lequel il s'agit de calculer l'aberration n'est pas très éloigné du foyer; voir encore la note 7, p. 556.

9) Ce ‘Corollarium’ a disparu, en effet, du manuscrit de la Dioptrique dans son état présent.

10) Le paragraphe présent est suivi à la p. 84 du manuscrit H par le lemme 4 de la p. 565 et par sa démonstration sur lesquels on peut consulter la note 8 de la p. 565.
En outre on lit encore sur cette même p. 84 l'annotation: ‘Sequatur hoc lemma post disquisitionem. quod non utimur nisi in proximis foco’, dans laquelle il s'agit probablement du lemme 2, p. 559.

[p. 663]

§ 20¹¹⁾.

[bγ] (Fig. 25) (x-r) ad [bp] (x) ut [γp] (r) ad ¹²⁾ ad xy ut q ad r, data multiplicatio¹³⁾.

11) Dans ce paragraphe, emprunté aux p. 88 et 89 du Manuscrit H, Huygens se propose de déterminer les dimensions qu'il faut choisir pour un microscope dont la lentille objective est donnée afin d'obtenir un grossissement voulu et une clarté et netteté suffisantes des images, pour autant du moins que la netteté dépend de l'aberration chromatique.

12) Puisque b et n sont des points correspondants par rapport à la lentille dp. Comparez la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99, de laquelle la proportion du texte se déduit aisément.

13) Ici ω désigne la distance de la vision distincte, y la distance focale ne de l'oculaire, x la distance de l'objet à l'objectif, r la distance focale de cette lentille. Alors, en effet, représente, d'après la règle de la p. 529, le grossissement du microscope, qui est supposé égal à q:r, où q représente donc une longueur donnée.

[p. 664]

[Fig. 25.]

[dp ∞ ϑ]; [γp] r ad γβ(1/50 ϑ)¹⁾ ut ad ²⁾ ad ut r ad s data aberratio³⁾

pd ∞ ϑ ∞ 50ωsr/qx

ratio anguli euz ad pbd componitur⁴⁾ ex rat.^e ang. euz ad epz ∞ ∞ bpg et bpg ad pbd. hoc est ex. rat. pe ad eu, seu pn ad ne⁵⁾ et bg ad pd. bg ∞ h.

Manente lenticula [dp] eadem si velim eandem claritatem, eandem aberrationem manere quae est in meo microscopio⁶⁾, sed ampliationem esse duplam, erunt igitur s, f, r, ω eaedem. Sed q erit duplo major. unde x duplo minor quam in nostro. quod fieri nequit; quia debet esse x major quam r. nam x erat tantum paulo major quam r⁷⁾.

⁸⁾

1) D'après la p. 485.

2) À cause de l'égalité des angles βdγ et ndk, qui suit de la Prop VI, p. 475.

3) Il s'agit de l'angle nmk, dont dépend l'aberration chromatique; voir les p. 539-541.

4) C'est du rapport de ces angles que dépend la clarté, puisque la quantité des rayons qui partant d'un point donné de l'objet atteindront l'oeil est proportionnelle au carré de l'angle pbd et le grossissement linéaire à l'angle euz; bg = h étant considérée comme donnée.

5) Puisque p et u sont des points correspondants par rapport à la lentille ze.

6) Le microscope étalon décrit à la p. 549.

7) Le problème sera repris au § 22 avec des notations modifiées en partie.

8) Signe équivalent au signe moderne >. La relation exprime la condition nécessaire pour qu'on ait x > r.

[p. 665]

§ 21⁹⁾.

[Fig. 26.]

Data lente oculari EM, et claritate et amplificatione, et aberratione ex dissipatione, invenire lenticulae PD foci distantiam et positum et aperturam. Ubi invenitur amplicationem quantumlibet magnam posse statui¹⁰⁾.

d ∞ MN foci dist. lentis ocularis. y ∞ Pγ foci dist. lentis PD. x ∞ ∞ PB distantia rei visae. [h ∞] BX latitudo rei visae. DP ∞ ϑ. ω est distantia 8 pollicum¹¹⁾.

^12)13)14)

ang. γDβ est ang. dissipationis radij Dγ, qui venit ab axi parallelo.

ang. dissipationis radij DB est aequ. ang.^o dissip. radij. Dγ, per lemma¹⁵⁾. Sed ang. NDK est aequ.ang.^o dissip. radij DB¹⁶⁾.

9) Ce paragraphe est emprunté aux p. 90 et 91 du Manuscrit H.

10) Comparez la Prop. XIX, p. 577. En effet, le paragraphe présent constitue un avant-projet de la partie du texte de cette proposition (p. 577-581), qui se rapporte à l'aberration chromatique.

11) C'est-à-dire la distance de la vision distincte; comparez la p. 529.

12) Puisque B et N sont des points correspondants; comparez la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

13) Il s'agit du texte de la p. 529.

14) On remarquera la manière différente dont le grossissement est défini ici et au § 20 où il est représenté par q:r. En effet, ce changement, qui aurait toujours été une amélioration, devenait inévitable du moment où la distance focale de l'objectif fut considérée comme une des grandeurs à déterminer.

15) Il s'agit du lemme 1, p. 551.

16) En vertu de la Prop. VI, p. 475; comparez la p. 539.

[p. 666]

[Fig. 26.]

Ergo Pγ ∞ Dγ(y) ad ¹⁾ ut ad ; MN ∞ NE (d) ad ut ω ad s aberratio data²⁾.

Erit semper eadem claritas si fuerit eadem ratio anguli ZVE (quo percipitur BX) ad angulum DBP, quo lux hauritur a singulis rei visae punctis manans. Sed anguli ZVE ad DBP ratio componitur ex ratione ang.ⁱ ZVE ad ZPE seu BPX et BPX ad PBD, hoc est ex ratione PE ad EV seu PN ad NE (quia proportionales pono PN, PE, PV³⁾) et ratione BX ad PD.

²⁾

quo minor q, hoc est quo major amplificatio, eo major divisor, ac proinde eo minor fractio, hoc est eo minor erit y.

1) Voir la neuvième ligne de la p. 485. ϑ est le rayon de l'ouverture de l'objectif.

2) Nouvean changement de notation en comparaison avec le § 20 pour la raison indiquée dans la note 14 de la p. 665.

3) À cause de la correspondance des points N et V; comparez la Prop. XX, Part. I, Liv. I, p. 99.

2) Nouvean changement de notation en comparaison avec le § 20 pour la raison indiquée dans la note 14 de la p. 665.

[p. 667]

quo major d eo major y. manente scilicet q. quod si d infinite magna, fit y ∞ ∞ 50qqs/gh.

Definienda q, s, g in meo⁴⁾.

amplificatio (36) ad 1 ut ω (8) ad 2/9 ∞ q. 7/9 ∞ x; 7/10 ∞ y; ϑ ∞ 1/20; ∞ 1/100. EN ∞ d (2) ad NK (1/100) ut ω (8) ad s (8/200), sive s ∞ 1/25.

PN (7) ad NE (2)

BX ∞ h (1/20) ad DP ∞ϑ(1/20), pono hic BX ∞ PD in nostro, quod facere licet.

- [mult.]

7 ad 2 ut ω (8) ad g (16/7). hinc hg ∞ 84/35 qualiscunque sit h. fit enim hg ∞ dωPD/PN⁵⁾ seu dωϑ/PN.

Amplificatio dupla nostrae. d ∞ 2⁶⁾.

ampl. (72) ad 1 ut ω (8) ad 1/9 ∞ q; q (1/9) ad d (2) ut BP ad PN⁷⁾ ut

4) C'est-à-dire dans le microscope étalon dont les dimensions ont été données à la p. 549.

5) Puisqu'on a, par définition, h×PN:PD×NE = ω:g, où NE = d.

6) Comparez les lignes 11-14 de la p. 583.

7) Voir la ligne 4 d'en bas de la p. 665.

[p. 668]

1 ad 18; ; y ∞ 70/361; x ∞ 665/3249¹⁾; PN ∞ 19y²⁾.

y(70/361) ad y(7/40) in alia disquisitione ubi servabatur ratio BP ad PN³⁾, ut 10/36 ad ¼, ut 10 ad 9; fit igitur lenticulae foci distantia hic major paulo (nempe ut 10 ad 9) quam foci distantia alterius disquifitionis. Et longitudo microscopij inter binas lentes fere 6 poll.⁴⁾. Ab oculo vero ad rem visam circiter 9 poll.⁵⁾ cum ex altera disquifitione fuerit 4½ poll. circiter.

Sit d ∞ 4 poll. et amplificatio dupla nostrae. q ∞ 1/9; y ∞ 1120/5476⁶⁾.

50qqs ∞ 2/81; gh ∞ 4/35; 35/162 ∞ y. talis esset y si d infinite magna⁷⁾. Unde apparet duplicata ampliatione fere quadruplo minorem assumendam lenticulae foci distantiam, quantacunque fuerit foci dist. lentis ocularis⁸⁾. 7/10 ad 35/162 ut 81 ad 25⁹⁾.

1) Lisez plutôt: 35/171.

2) Puisqu'on a BP (x):PN = q:d; donc .

3) Il s'agit de la deuxième Partie du § 11, p. 648 et du microscope traité au § 14, p. 653, où, en effet, la distance focale de l'objectifest égale à 7/40 pouce; voir encore le deuxième alinéa de la p. 549.

4) Puisque PN = 3 13/19 et NE = 2.

5) En premier lieu on doit ajouter pouce et en second lieu la distance EV de l'oeil à l'oculaire. Or, on a PE:EV = PN:NE; donc EV = NE×PE:PN == 3 3/35 pouce; ce qui donne tout ensemble 8 5833/5985 pouce.

6) Lisez plutôt: 280/1369.

7) Voir plus haut la ligne 2 de la p. 667.

8) On a , où pour le microscope étalon q = 2/9, d = 2. Si maintenant on veut augmenter le grossissement on doit diminuer encore q; mais alors q/d sera une fraction relativement petite et on aura approximativement y = 50qqs/gh, c'est-à-dire y sera indépendante de la valeur de d et directement proportionnelle au carré de q ou inversement proportionnelle au carré du grossissement.

9) 7/10 est la distance focale du microscope étalon, 35/162 celle qui convient à un grossissement double, quand d = ∞. Par l'approximation indiquée on aurait donc 100 à 25 au lieu de 81 à 25.

§ 22¹⁰⁾.

Data lenticula inferiori, et claritate, et amplificatione et aberratione ex dissipatione, invenire foci distantiam lentis ocularis. Ubi invenitur non posse sic augeri amplificationem nisi parum tantum¹¹⁾.

10) Dans ce paragraphe, emprunté à la p. 91 du Manuscrit H, le calcul du § 20, p. 663, est repris avec les nouvelles notations introduites dans le paragraphe précédent.

11) Comparez le dernier alinéa de la p. 579.

[p. 669]

[Fig. 27.]

¹²⁾

12) Pour cette proportion et pour les autres calculs qui suivent nous renvoyons aux notes explicatives du § 20, p. 663-664, puisqu'il n'y a rien de changé que les notations.

[p. 670]

hx ad 50.qqrs/ωx ut ω ad g claritas data. xx ∞ 50.qqrs/hg, quanto minor q, hoc est quanto major ampliatio, eo minor fit x. Sed x debet major esse quam r. Ergo cum in dato microscopio nostro sit x tantum paulo major quam r, non potest q duplo minor sumi, sive duplicari ampliatio quia x fieret dimidia prioris eoque minor quam r.

50.qqsyy - hgryy ∞ 2hgqry + hgqqr;



50.qqs major quam hgr

§ 23¹⁾ In microscopio ex 2 convexis.

Data lente oculari, et Claritate, Amplificatione, et aberratione ex figura; invenire lenticulae inferioris foci distantiam et positum.

[Fig. 28.]

^2)3)4)5)6)7) NM [Fig. 26] ∞ EN (d) ad ut ω ad s aberratio ex figura data⁸⁾ quae non est eadem quam aberratio ex dissipatione. ideo s hic quaerenda.

1) Le paragraphe est emprunté aux p. 92 et 93 du Manuscrit H. On y trouve la déduction des formules qui ont été données sans démonstration à la p. 581 du texte de la Dioptrique et leur application aux exemples traités aux p. 581-585.

2) La figure ne reproduit que la partie inférieure du microscope; comparez la Fig. 26, p. 665.

3) Comparez, pour le calcul de l'épaisseur de la lentille, la p. 561.

4) Voir la p. 287.

5) En supposant égaux les angles βDγ et BDλ, Huygens applique le lemme 3 de la p. 561.

6) Le rayon ND se dirigera après la réfraction vers le point λ, par suite de l'aberration sphérique; réciproquement λD ira par DN. Si donc DK représente la route du rayon BD, on aura BDλ = NDK en vertu de la Prop. VI, p. 475.

7) Voir le § 21 à la p. 665. C'est donc la distance BP de l'objet à la lentille qui est représentée par x.

8) Puisque NMK est pris pour l'angle d'aberration; consultez les notes 1, p. 540, et 6, p. 562. ω est toujours la distance de la vision distincte évaluée à 8 pouces; voir la p. 529.

[p. 671]

⁷⁾; et . Ex amplificatione data, eodem calculo qui pag. 90⁷⁾. Unde PN seu .



^9)10)11) quo major ampliatio, eo minor siet y.



¹²⁾¹³⁾

7) Voir le § 21 à la p. 665. C'est donc la distance BP de l'objet à la lentille qui est représentée par x.

7) Voir le § 21 à la p. 665. C'est donc la distance BP de l'objet à la lentille qui est représentée par x.

9) En appliquant cette formule au microscope étalon (p. 549), on a ϑ = 1/20, x = 7/9, y = 7/10, q = 2/9 (p. 667); donc s = 1/84.

10) Comparez, quant au calcul présent qui se rapporte à la clarté, le § 21 à la p. 666.

11) Voir la ligne 12 d'en bas à la p. 581.

12) Voir la note 9.

13) Calcul qui se rapporte à la clarté et dans lequel il s'agit de trouver la valeur de g pour le microscope étalon; comparez la p. 583.

[p. 672]

Sit d ∞ 1. q ∞ 1/9 ut sit dupla ampliatio ejus quae in nostro. fit y ∞ 7/160 ut in disquisitione pag. 163 diopt.¹⁾.

d ∞ 2; q ∞ 1/9; y ∞ 29376/551124²⁾ proximè; y ∞ 1/19 aut pauxillo major. Sed in altera inquisitione siebat 1/23 circiter³⁾; ⁴⁾; NE ∞ 2; PE ∞ ∞ poll. 3 proximè⁵⁾.

1) Voir la p. 573, au bas.

2) En vérité on trouve 7000/130321 = 1/18,617.

3) C'est-à-dire dans celle qui précède immédiatement, où y = 7/160.

4) Plus précisément PN = 7000/6859.

5) C'est la longueur du microscope, entre les deux lentilles.

§ 24⁶⁾.

Erat . Sit ; y ∞ 6d⁴q⁴s/7gh³p⁴.

Si sit datum microscopium, dataque ejus amplificatio ad apparentiam quae nudo oculo ex distantia 8 pollicum, ut ω sive 8 ad q. Item data foci distantia lentis ocularis ∞ d; et foci distantia lentis inferioris ∞ y. Velim vero aliud componere microscopium aeque distinctae visionis, et aeque clarum; sed quod habeat lentis ocularis

6) Ce paragraphe est emprunté à la p. 94 du Manuscrit H.

[p. 673]

foci distantiam m, amplificet vero secundum rationem ω ad n. Invenitur in eo foci distantia lentis inferioris priori similis, quam distantiam vocabo z⁷⁾, ponendo et et faciendo ut sicut qu. qu. dq/p ad qu. qu. mn/u ita sit y foci dist. ad aliam; ea enim erit quaesita z, sive PO in invento microscopio. Sicut autem m ad u ita erit PO ∞ z ad PB ∞ uz/m distantiam rei visae debitam⁸⁾. Et ut n ad m ita PB ∞ uz/m ad PN uz/n. Ac proinde tota distantia inter utramque lentem . Harum ratio est quod uz/n ad [seu] m ad [seu] m ad . Erunt diversae⁹⁾.

7) On aura donc z = 6m⁴n⁴s/7gh³u⁴ et, par suite, (dq/p)⁴:(mn/u)⁴ = y:z.

8) En posant PO = y, PB = x on aura, d'après les calculs du § 21 (p. 665), = py/d; on aura donc dans le cas du second microscope PB = uz/m.

9) La phrase est inachevée.