Oeuvres complètes. Tome XIII. Dioptrique

[p. 418]

Appendice VII¹⁾
À la deuxième Partie de la Dioptrique ‘De Aberratione Radiorum a Foco’.
[1669.]

§ 1²⁾.

[Fig. 1.]

Aberratio superficiei planae radiorum ex puncto extrinsecus occurrentium.

MG ∞ d; M punctum radians. ; V punctum dispersus³⁾.

Quia LT ad TM⁴⁾ ut 3 ad 2 hoc est ut VG ad GM, vel ut VS ad SM, (divisa nempe VM in X ut sit VX ad XM ut 3 ad 2, factoque semicirculo XSG)⁵⁾ Estigitur VS parall. LT. Ergo ut TM ad ML ita TS ad aberrationem VL. Sed TM ad ML ut 2 ad 1 proxime. Ergo et LV ∞ ½ TS sive ∞ ½ GK.

1) La pièce est empruntée aux p. 149-156 du Manuscrit D. Elle suivait donc immédiatement le contenu de l'Appendice VI. Elle apprend, comme celui-ci, à construire une lentille composée sans aberration sensible; mais c'est ici la lentille concave auxiliaire qui reçoit les rayons parallèles.

2) Nous avons ajouté la division en paragraphes. Le résultat de ce premier paragraphe sera utilisé au § 4, p. 420, qui suit. On pourra remarquer que la manière dont ce cas est traité diffère entièrement de celle du cas analogue du § 5 de l'Appendice V, p. 401.

3) D'après la Prop. V, Part. I, Liv. I, p. 23 du Tome présent.

4) D'après la Prop. II, Part. I, Liv. I, p. 15. TL est le prolongement en sens inverse du rayon réfracté passant par T.

5) Voir le Lemme 5, p. 31.

[p. 419]

§ 2⁶⁾.

[Fig. 2.]

Aberratio axi parallelorum superficiei convexae BC.

Sit rad. AB ∞ a. BR ∞ 3a⁷⁾. Crassit. BG ∞ b. Sit CP radius refractus. Et sit centro P radio PC descriptus arcus CO. Quia ergo PC vel PO proxime aequalis RB sive 3a, hoc est triplae BA. Erit GO ∞ ⅓ BG⁸⁾. Sed CP ad PA ut 3 ad 2⁹⁾. Ergo et OP ad PA ut 3 ad 2. Ergo OA ad AP ut 1 ad 2. Sed OA ∞ AB - BO ∞ a-⅔b

6) Dans ce paragraphe et dans celui qui suit des résultats obtenus déjà en 1665 sont déduits de nouveau par un calcul moins compliqué; comparez la note 3, p. 355.

7) Prop. VIII, Part. I, Liv. I, p. 33.

8) Prop. II, p. 275.

9) Prop. II, Part. I, Liv. I, p. 15.

§ 3.

Aberratio axi parallelorum, lentis planoconvexae, convexo exteriore.

Sit CS refractio radij CP à superficie plana CG exeuntis. Et centro S sit descriptus arcus CN.

Quia ergo CS vel SN proxime aequalis 2a, erit GN ∞ ½ BG⁸⁾ ∞ ½b. Sed PC ad CS ut 3 ad 2¹⁰⁾. Ergo et PC ad SN ut 3 ad 2.

8) Prop. II, p. 275.

10) Prop. III, Part. I, Liv. I, p. 17.

[p. 420]

¹⁾

1) Puisque E représente le foyer de la lentille BCG, on a, d'après la Prop. XIV, Part. I, Liv. I (voir la p. 83), GE = ⅔GR, où .

§ 4.

[Fig. 3.]

Aberratio lentis planoconvexae radiorum a puncto venientium in superficiem planam.

AB ∞ a; BG ∞ b; MG ∞ d, M punctum radians; MV ∞ ½d²⁾, V punctum disp. superf.^ei planae CG; MX ∞ ⅖MV ∞ ⅕d²⁾; BO ∞ 3a³⁾.

½ XG (⅗d) ad AB (a) ut BG (b) ad GK (5/3 ab/d)⁴⁾

²⁾ LC ∞ LG + min. (3/2d + minima) ad AB (a) ut BGb



⁵⁾

2) Voir le §1, p. 418.

2) Voir le §1, p. 418.

3) O est le point de concours des rayons parallèles à l'axe venant du côté du point N après leur réfraction à la surface CBZ; voir la Prop. VIII, Part. I, Liv. I, p. 33.

4) Par la Prop. II, p. 275.

2) Voir le §1, p. 418.

5) Toujours à cause de la Prop. II, p. 275. LC prolongée représente le rayon MC après sa réfraction par la surface plane; LY = LC.

[p. 421]

qu. ad qu. sive ut qu. CG ad qu. AF⁶⁾ vel CH⁷⁾ ita BG (b) ad DH⁸⁾.

Hic minimum primi termini negligitur rectè, quia tertius terminus b minimus est. nam etsi non negligeretur, id in quarto termino DH inconsiderabile augmentum efficeret.

⁹⁾

6) À cause de la similitude des triangles LCG et LAF.

7) AP est une parallèle à LC.

8) Prop. I, p. 273.

9) d'après le § 2 (première Partie) de l'Appendice I, p. 359. R représente le foyer de la surface CB pour des rayons parallèles à LC; CP donne la direction du rayon MC après les deux réfractions par les surfaces plane et sphérique de la lentille.

[p. 422]

Hic nihil omittendum ex minimis primi et secundi et tertij termini, quia quartus est magnus.

^1)2)1)1) ut auferatur LN ex LE alternis multiplicantur numeratores et divisores, et differentia productorum dividitur per productum denominatorum, in quo minima negliguntur quia NE est minima. Sed et in illa productorum differentia negliguntur in quibus bb, quia hae quantitates respectu caeterarum, in quibus tantum b sunt minimae. Tollunt porro se mutuo omnes, in quibus nullum b, necessario. ³⁾. Regula aberr.^is

1) Nous supprimons quelques calculs.

2) Prop. XII, Part. I, Liv I, p. 41. E est donc le point correspondant au point M par rapport à la lentille, eu égard à son épaisseur.

1) Nous supprimons quelques calculs.

1) Nous supprimons quelques calculs.

3) On arrive au même résultat en substituant a = ∞, n = a, e = b, dans les dernières formules de la note 2, p. 396.

§ 5⁴⁾.

Ex aberratione cognita lentis planoconvexae radiorum a puncto venientium alia methodus suppetit lentem compositam perfectam construendi. Oportet enim tantum cavoconvexam adjungere STZ [Fig 3], quae radios parallelos excipiens inflectit quasi venirent a puncto E, habeatque aberrationem aequalem aberrationi lentis planoconvexae radiorum ex puncto M venientium quam invenimus. Ex. gr.

4) Calcul des dimensions de la lentille convexo-concave auxiliaire par laquelle on peut compenser, en la plaçant devant la lentille planconvexe, l'aberration sphérique causée par cette dernière.

[p. 423]

sit MB dupla foci dist.^ae lentis CGB. Erit BE ipsi MB aequalis⁵⁾. Debebitque crassitudo cavae lentis CST esse dimidia crassitudinis BG ut radios parallelos dispergat quasi ex E veniant, ut facile est probare⁶⁾. Atqui lentis CGB aberratio tunc invenitur noncupla proximè suae crassitudinis⁷⁾. Ergo aberratio cavae debet esse octodecupla suae crassitudinis. Unde per regulam aberrationis menisci cavi⁸⁾ invenitur proportio radiorum ad describendas superficies CT et ST, debere esse proximè ut 303 ad 155⁹⁾. foci distantia autem sive potius puncti dispersus datur BE ∞ 4a. Unde ipsi radij inveniuntur per regulam in dioptr. traditam¹⁰⁾, quia ut diff. radiorum ad alterutrum ita duplum reliqui ad distantiam puncti dispersus. hic fiunt 296/303a et 296/155a¹¹⁾.

[Fig. 4.]

¹²⁾

5) Puisque les points M et E se correspondent par rapport à la lentille CGB.

6) Voir la Prop. III, p. 277 et surtout la note 4 de la même page. Avec une légère modification dans la démonstration cette Prop. aurait pu être généralisée comme suit: que les épaisseurs de deux lentilles quelconques dont les largeurs sont égales seront inversement proportionnelles aux distances focales. Or, dans le cas présent la distance focale BE de la lentille concave est supposée égale au double de celle de la lentille convexe CBG; il faut donc que son épaisseur soit égale à la moitié de celle de cette dernière lentille.

7) D'après la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p 81 la distance focale de la lentille planconvexe égale 2a; on a donc d = 4a et la dernière formule du paragraphe précédent donne .

8) Voir la p. 305 du Tome présent.

9) Lisez ‘155 ad 303’ et comparez les calculs qui suivent, où, d'ailleurs, a n'indique plus le rayon de la lentille planconvexe mais bien celui de la surface convexe de la lentille auxiliaire.

10) Voir la Prop. XVII, Part. I, Liv. I, p. 89; toutefois la règle appliquée ici n'est pas formulée dans la démonstration de la Prop.; mais elle est analogue à celle qu'on trouve à la même page dans les dernières lignes de la Prop. XVI.

11) La fig. 4, dessinée soigneusement, représente probablement le cas traité jusqu'ici.

12) Il s'agit de l'application des formules à une autre supposition.

[p. 424]

¹⁾

Radij: plana; 10000 conv.; 7764 cav. auxil.^ae 9191 conv. auxil.^ae; 25000 foci dist. compositae²⁾. bon.

1) On a avec une approximation suffisante et ; donc et, dans le cas présent, BE = 10a; ce qui représente, par conséquent, la distance focale qu'on doit donner à la lentille auxiliaire, 2a étant celle de la lentille planconvexe; en appliquant ensuite la règle de la note 6, p. 423, on trouve pour l'épaisseur q de la lentille auxiliaire la valeur ⅕b. On en conclut ; ce qui amène l'équation qui suit dans le texte, dans laquelle a reprend la signification mentionnée dans la note 9 de la page précèdente.

2) En appliquant la règle citée dans la note 10, p. 423, on trouve pour les rayons des surfaces sphériques de la lentille auxiliaire les valeurs 250/272a et 250/322a, où a représente le rayon de courbure de la lentille planconvexe; de plus on a 2½a pour la distance focale de la lentille composée (2a pour celle de la planconvexe); ce qui conduit, en effet, aux nombres proportionnels du texte.
Consultez encore sur ce système de lentilles l'Appendice VIII qui suit, où Huygens s'est appliqué à calculer les aberrations exactes de deux lentilles de dimensions données d'un tel système pour vérifier si la compensation obtenue à l'aide des formules approximatives serait satisfaisante.

§ 6³⁾.

Aberratio in lente aequaliter convexa cum radius a puncto venit, distante duabus semidiametris convexi.

Fit aberratio 9/2 crassitudinis. ut debebat ex eo quod sint quasi duae planoconvexae,

3) Dans le manuscrit ce paragraphe est précédé d'un calcul par lequel Huygens a voulu déterminer l'aberration sphérique d'une lentille symétrique biconvexe pour un faisceau de rayons émanant d'un point quelconque de l'axe; mais il n'a pas achevé ce calcul, évidemment à cause de la complication croissante des formes algébriques.

[p. 425]

[Fig. 5.]

in quibus singulis aberratio parallelorum planam incidentium est9/2 crassitudinis⁴⁾.

AB ∞ IQ ∞ a; BG ∞ GQ ∞ b; MB ∞ 2a, M punctum radians. QY ∞ 2a.

⁵⁾

qu. MC (4aa+min) ad qu. MA (9aa) sive ut qu. CG ad qu. AF [sive CH] ita BG (b) ad DH (9/4b)⁶⁾

⁷⁾⁸⁾

4) La phrase en italiques a été ajoutée après coup. En effet, puisque M constitue le foyer de la surface convexe CBD pour des rayons ayant la direction NM, il est clair que les rayons qui émanent du point M seront par première approximation parallèles entre eux à l'intérieur de la lentille et que, par conséquent, on aura deux fois l'aberration 9/2BG (voir la p. 285).

5) Prop. II, p. 275.

6) Prop. I, p. 273.

7) Voir le § 2, p. 419. PC est donc le rayon extrême après la première réfraction.

8) AL est tirée parallèlement à PC.

[p. 426]

[Fig. 5.]

<sup>1)2)3)



4)5)6)</sup>

Ergo aberratio VY aequatur 4½ crassitudinis BQ.

1) C'est-à-dire, par approximation en négligeant un terme proportionnel à b; ce qui n'importe pas pour la proportion qui va suivre.

2) Pour b = o on trouve NI = ∞; ce qui est consorme à la circonstance que M est le foyer de la surface CBD et que, par conséquent, le faisceau de rayons issu de M formera à l'intérieur de la lentille par première approximation un faisceau de rayons parallèles.

3) Prop. I, p. 273.

4) γ est le foyer de la surface Cδ pour des rayons parallèles à IH à l'intérieur de la lentille, voir la Prop. IX, Part. I, Liv. I, p. 35. , d'après le § 2 (première partie) de l'Appendice I, p. 359. CO est donc le rayon extrême après les deux réfractions par les surfaces de la lentille.

5) À cause de la similitude des triangles IVO et NVC.

6) Y est l'image de M; c'est-à-dire le foyer des rayons qui sont parallèles à l'axe à l'intérieur de la lentille.

[p. 427]

§ 7⁷⁾.

[Fig. 6.]

Radij { 10000 convexi

Radij { idem convexi alterius

Radij { 6920 cavi auxiliariae

Radij { 23972 convexi auxil.

20000 longit.^o telesc.^ij seu foci distantia compositae lentis⁸⁾.

7) Dans ce paragraphe il s'agit de compenser l'aberration d'une lentille biconvexe symétrique par une lentille convexo-concave placée au-devant d'elle. En effet, il est clair que pour qu'on puisse obtenir la compensation désirée en se servant des calculs qui précèdent, il faut en premier lieu que la distance focale de la lentille auxiliaire soit égale à QY [Fig. 5], c'est-à-dire à 2a. Or, a est la distance focale de la lentille biconvexe symétrique; l'épaisseur q de la lentille auxiliaire devra donc égaler la moitié de BQ (voir la note 6, p. 423) et son aberration sphérique devra être .

8) Soit encore a le rayon AB = IQ; on trouvera alors, par la règle mentionnée à la p. 423, pour les rayons de la lentille auxiliaire 121/175 a et 121/54 a, ce qui donne, au lieu des nombres du texte, la proportion suivante 10000:6914:22407:20000.