Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 217]

Appendice I¹⁾
Aux ‘Illustrium quorundam problematum constructiones.’.
Septembre 1657.

[Fig. 1.]

Quomodo data qualibet Ellipsi duae mediaeinter duas datas inveniriqueant²⁾.

Et quomodo brevissimè per Ellipsin cujus latus transv. sit triplum lateris recti³⁾.

1) La pièce est empruntée aux pages 2 et 3 du manuscrit N^o. 13. Nous l'avons divisée en deux parties.

2) Voir la première partie qui contient la solution générale du problème de trouver les deux moyennes entre deux lignes données à l'aide d'une ellipse quelconque donnée d'avance.
Remarquons tout de suite que dans cette première partie la construction ne s'achève pas par l'ellipse donnée mais par une autre qui lui est semblable; mais il est clair que, par un artifice facile à deviner et qu'on trouve indiqué dans la seconde partie (p. 221), la construction peut être accommodée à l'ellipse même que l'on considère comme donnée.

3) Voir la seconde partie.

[Première partie.]

1657, Sept.⁴⁾

AFB est Ellipsis

AFR est circulus

4) La date précise de l'invention de la construction qui va suivre est le 8 septembre 1657, comme cela résulte des pages 14-17 d'un petit livret où Christiaan Huygens a annoté sur la première page: ‘Philippi Hugenij dum viveret’. C'est son frère Philippe qui mourut le 14 mai 1657.
Or, aux pages citées, on retrouve, sous cette date du 8 septembre 1657, dans une forme moins bien arrangée, tous les calculs et la construction même de la première partie de la pièce présente avec la conclusion: Possumus igitur inter datas duas rectas, invenire duas medias proportionales, cujuslibet ellipsis datae ope. Sed commodissime si latus transversum fuerit triplum lateris recti.
On trouve encore aux pages 16, 22 et 29 du même manuscrit des calculs qui se rapportent au problème analogue où l'ellipse est remplacée par une hyperbole.

[p. 218]

AB ∞ a; l. rect. ∞ b; AE ∞ c; ED ∞ d; AG ∞ x⁵⁾.

[Fig. 1.]

5) Partant de ces données, Huygens va déduire l'équation cubique qui détermine les abscisses des points d'intersection avec l'ellipse d'un cercle passant par le sommet A.

[p. 219]

⁶⁾.

rejicitur secundus terminus ponendo x - ⅔n ∞ y

ut eliminetur terminus sub y sit .

⁷⁾.

oportet inter ipsas invenire duas medias proportionales

6) L'équation cubique étant trouvée Huygens la réduit, dans ce qui suit, â la forme binomiale.

7) Ainsi est une des moyennes proportionelles entre v et s. Il ne s'agit donc plus que d'arranger la construction de manière qu'on puisse partir des valeurs de v et s comme données; mais, puisqu'on a: et que l'on connaît le rapport b: a, il est permis dès l'abord de traiter a et b et aussi comme données. On doit donc exprimer dans ces données a, b, q, v et s les valeurs de AE = c et ED = d; ce qui permettra de tracer le cercle et de trouver la moyenne proportionnelle y.

[p. 220]

Constructio universalis data qualibet Ellipsi [Fig. 2].

[Fig. 2.]

HQ ∞ s. HC ∞ v. CB ∞ ∞ ⅓ CQ. CA ∞ 3v ∞ 3 CH⁸⁾. AL ∞ ½ b. BK ∞ KA. Ergo KL ∞ ½ q. BA ad AC ut KL ad LE ∞ 3/2 qv/a. KP ∞ ∞ HC ∞ v. PN parall. ML. . ⁹⁾.

D est centr. circuli AF. FG perp. BA. HG est minor duarum mediarum ∞ y¹⁰⁾.

8) De cette manière .

9) On a, par construction, ; mais:
l. trans. ;
donc MK² = ¼ ab; KN² = ¼ v²q²: ¼ ab = v²q²: ab et enfin ED² = ¾ q²v²: ab = d².

10) On a, en effet, .

[Seconde partie].

Si ponatur b ∞ ⅓ a Erit q ∞ ⅔a. Quia ; ; v ∞ d. Et quia 3/2 qv/a + ½ b ∞ c erit v + ½ b ∞ c; v + ⅙ a ∞ c.

Ergo in Ellipsi cujus latus transversum triplum est lateris recti. Sumitur AL ∞ ∞ ⅙ AB¹¹⁾. LE ∞ v ∞ HC. (nam sic fit AE ∞ v + ⅙ a ∞ c). Et ED ∞ ∞ EL ∞ v¹²⁾.

11) Voir encore la Fig. 2. Les points A et B sont supposés construits d'après les indications qu'on trouve au début de la ‘Constructio universalis’.

12) On retrouve cette construction sous une forme plus achevée dans la lettre du 12 octobre 1657 à de Sluse (p. 67 du T. II), et sur une feuille détachée où elle est comme il suit:
‘mea Constructio.
HQ [voir toujours la figure 2 du texte] major, HC minor extremarum. CB ∞ ⅓ CQ HA ∞ 2 HC. BMA ellipsis axe BA, latere recto ∞ ⅓ BA. AL ∞ ⅙ AB sive ½ l. rect. LE ∞ HC. ED ∞ HC perpend. AB. AF est circulus centro D.
FG perpend. AB. HG est minor duarum mediarum.’

[p. 221]

Data autem certa primum Ellipsi et dein duabus quibusvis rectis RS, RT

[Fig. 3].

[Fig. 3], inter quas duae mediae sint reperiendae. Oportet sumere SV ∞ ⅓ differentiae ST. Et RX ∞ 2 SR. Tum BA diameter secunda [Fig. 2] est proportionaliter in C et H sicut VX [Fig. 3] in S et R secta est. unde etiam inventâ mediâ HG [Fig. 2] oportet facere sicut HC ad HG ita RS [Fig. 3] ad RY. Eritque RY minor mediarum inter RS, RT. Et hoc ad utramque constructionem pertinet¹³⁾.

13) C'est-à-dire: l'artifice employé ici (et dont nous avons déjà parlé dans la note 2) peut servir aussi pour la construction universelle de la première partie.