Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 113]

Christiani Hugenii, Const. F.

DE

CIRCULI

MAGNITUDINE

INVENTA.

ACCEDVNT EIVSDEM

Problematum quorundam illustrium Constructiones.

Lvgdvni Batavorvm, Apud Johannem & Danielem Elzevier.

Academ. Typograph.

cIɔ Iɔc liv.

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Préface.

Estimant nous avoir occupé récemment avec quelque succès de l'antique problème de la quadrature du cercle, le plus célèbre de tous aux yeux même de ceux qui n'entendent pas les Mathématiques, et ayant obtenu quelques choses meilleures, à ce que nous croyons, que ce qui a été trouvé jusqu' ici, nous les voulons communiquer aux Géomètres avec leurs démonstrations. Car nous jugeons que non seulement elles seront utiles à leurs études, mais aussi que, par leur nouveauté même, elles serviront d'aiguillon à la recherche de choses cachées pour ceux qui considéreront que même sur un champ, où tous ont travaillé depuis longtemps avec le plus grand effort, il restait encore à conquérir à la diligence des prix de quelque valeur. Plusieurs, il est vrai, ont tâché précédemment de s'attribuer la gloire de l'invention de la Quadrature et ont produit de temps en temps diverses réflexions où le vrai et le faux se trouvaient mélangés. Mais nous savons que toutes ces choses ont été ou renversées ou méprisées par de plus compétents et que jusqu' ici, de tout ce qui pourrait servir de base pour trouver la dimension du cercle, rien n'a été accepté que cette seule vérité, que le cercle est plus grand que le polygone qui lui est inscrit et plus petit que le polygone circonscrit. Mais nous, nous énonçons une détermination plus approchée et démontrons, que si l'on prend deux polygones, moyens proportionnels entre l'inscrit et le circonscrit et qui leur sont semblables, le périmètre du plus petit d'entr' eux est plus grand que la circonférence du cercle, et que l'autre polygone excède l'aire du cercle dans la même proportion¹⁾. Et quoique parmi les propositions que nous allons démontrer celle-ci paraisse la plus difficile et particulièrement digne de contemplation, il y en a cependant d'autres, qui non seulement sont plus précises²⁾, mais qui dans leur usage se montreront plus propres; lesquelles toutefois nous ne passerons pas en revue dans cette préface, parce que dans la suite elles pourront être mieux comprises. Mais il pourra être à propos d'exposer brièvement ce qu'elles contribuent à l'étude de la Géométrie, parce qu'elles se recommandent par leur utilité non négligeable. Ainsi donc, comme nous avons institué une doublé manière de traiter notre sujet, d'abord en donnant ce dont la démonstration est comprise dans les éléments ordinaires de la Géométrie, ensuite en employant aussi la considération

1) Voir le ‘Theor. XI. Prop. XIV’, p. 151 du Tome présent. Il est vrai que, dans l énoncé du théorème cité, on ne trouve pas indiqué l'égalité des deux proportions, c'est-à-dire, du rapport du périmétre du moindre des deux polygones à la circonférence du cercle et de celui de l'aire du plus grand à celle du cercle; toutefois cette égalité est exprimée plus loin, vers la fin de la démonstration (p. 155), par la phrase: ‘Ex aequali igitur, erit polygonum Y ad circulum BD sicut X ad circumferentiam BD’.

2) Comparez les notes 13 et 17 aux pp. 96 et 97 du Tome présent.

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Praefatio.

Circa antiquum Tetragonismi problema, quo vel apud Mathematum ignaros nihil est celebrius, recens operae pretium nos fecisse rati, & quaedam hactenus compertis meliora ut putamus consecuti, Geometris ea demonstrata impertiri volumus. Namque & studiis eorum profutura arbitramur, & novitate ipsâ ad rerum abditarum investigationem incitamento futura, reputantibus in eo quoque argumento, ubi omnes pridem summâ contentione versati sint, aliqua superfuisse haud indigna diligentiae praemia. Plurimi quidem antehac inventae Quadraturae gloriam sibi asserere conati sunt, variaque subinde commenta protulere, falsis vera miscentes. Verum à peritioribus omnia vel eversa fuisse vel contempta scimus, neque aliud adhuc receptum, quo omnis circuli dimensio niteretur, praeter unum illud, majorem esse eum inscripto sibi polygono, circumscripto minorem. Nos autem propiorem determinationem nunc exhibemus ostendimusque, quod duobus sumptis polygonis proportione mediis inter inscriptum circumscriptumque ipsis simile, minoris eorum perimeter circumferentià circuli major existit, reliquum vero polygonum eâdem proportione circuli aream exuperat¹⁾. Et hoc quidem ut inter ea quae demonstraturi sumus & difficillimum & contemplatione praecipuè dignum videatur, alia tamen sunt non accuratiore modò²⁾, sed quae & usu magis probentur; quae sanè hic in antecessum non recensebimus, quippe in sequentibus rectius percipienda. Breviter tamen quid studiis Geometriae conferant exposuisse proderit, cum non minimam habeant utilitatis commendationem. Cum igitur duplicem propositi tractationem instituerimus, primùm ea tradendo quorum demonstratio consuetis Geometriae elementis contenta est, deinde centrorum gravitatis quoque considerationem adhibendo:

1) Voir le ‘Theor. XI. Prop. XIV’, p. 151 du Tome présent. Il est vrai que, dans l énoncé du théorème cité, on ne trouve pas indiqué l'égalité des deux proportions, c'est-à-dire, du rapport du périmétre du moindre des deux polygones à la circonférence du cercle et de celui de l'aire du plus grand à celle du cercle; toutefois cette égalité est exprimée plus loin, vers la fin de la démonstration (p. 155), par la phrase: ‘Ex aequali igitur, erit polygonum Y ad circulum BD sicut X ad circumferentiam BD’.

2) Comparez les notes 13 et 17 aux pp. 96 et 97 du Tome présent.

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des centres de gravité: on trouvera dans la première partie expliqué comment on peut construire non seulement une droite égale à la circonférence entière³⁾ mais aussi celle qui est égale à un arc donné quelconque⁴⁾, en ramenant la solution à des constructions mécaniques, de manière qu'elle ne se trouve en défaut même dans les plus subtiles de ces constructions. Comment aussi le rapport de la périphérie au diamètre, qu' Archimède déduisit des polygones de 96 côtés, peut être vérifié par les calculateurs au moyen du dodécagone seulement⁵⁾. Mais tandis que ceux qui suivent l'ancienne voie trouveront par le polygone de 10800 côtés à peine les limites 62831852 et 62831855 parties dont le diamètre en contient 20000000, ils verront que par notre Mèthode il vient 6283185307179584, 6283185307179589⁶⁾; et que l'on obtient toujours le nombre double de chiffres vrais, quel que soit le nombre de côtés du polygone employé. Et nous avons reconnu que cela est ainsi pour une raison certaine⁷⁾ de même aussi que le carré d'un nombre quelconque se compose ordinairement d'un nombre de chiffres double de celui de la racine. Mais une propriété des centres de gravité rend le calcul encore plus compendieux, et par elle nous semblons en quelque sorte avoir approché plus près à la perfection de ce problème irrésoluble. En effet, pour établir les limites de la périphérie, obtenues par Archimède, nous n'avons besoin que de connaître le côté du triangle inscrit⁸⁾. Mais du polygone de soixante côtés nous démontrons⁹⁾ qu'elle est contenue entre 31415926538 et 31415926533, en attribuant au diamétre 10000000000 parties, tandis que la méthode usuelle produit à peine les nombres 3145 et 3140. De manière que le nombre de chiffres vrais est maintenant le triple et plus, de même que le double par la méthode précédente; et cela continue ainsi toujours, tout comme on remarque que dans les grands nombres le cube contient trois fois autant de chiffres que sa racine⁷⁾. De sorte que si dorénavant il y en a qui définissent faussement la grandeur de la circonférence du cercle, ils ne seront plus réfutés par des polygones à côtés nombreux, mais par un calcul bref et nullement compliqué, qu'ils ne pourront plus facilement accuser d'erreur, comme ils sont presque habitués jusqu' ici. De plus, si dans la Table des cordes, dont chacun sait combien il importe qu'elle soit corrigée, des erreurs ont été faites pendant sa composition ou se sont glissées venant d'ailleurs, il ne sera pas difficile de les corriger au moyen de notre méthode, puisque maintenant on peut trouver d'une autre manière au moyen des inscrites dans le cercle, la longueur des arcs soustendus. Et même à ceux qui manquent de tout aide des Tables nous montrons de quelle manière ils peuvent déduire des côtés donnés les angles des triangles¹⁰⁾, de façon que l'écart de la valeur vraie ne soit jamais de deux secondes, et souvent même pas d'une tierce. Et nous avons la confiance que cela sera considéré comme

3) Voir le ‘Problema II. Prop. XI’, p. 143 du Tome présent.

4) Voir le ‘Problema III. Prop. XII’, p. 147.

5) Comparez le ‘Problema I. Prop. X’, p. 139.

6) Comparez la dernière partie (p. 143) de la proposition citée dans la note précédente.

7) Voir la note 15, p. 142 du Tome présent.

8) Comparez les p. 173-177 du Tome présent.

9) Comparez la p. 179.

7) Voir la note 15, p. 142 du Tome présent.

10) Le sujet n'est pas traité expressément dans l'ouvrage présent; mais on peut le rattacher facilement au dernier alinéa de la page 179. En effet, par le calcul de la hauteur du triangle on trouve aisément la corde qui appartient au double de chacun de ses angles; ensuite cet alinéa apprend à determiner les arcs soustendus par ces cordes, d'où l'on peut déduire, en se servant du nombre π, les grandeurs des angles cherchés. Voir encore le dernier alinéa, p. 163 de la démonstration du ‘Theorema XIII’, où sont mentionnés les travaux de Snellius sur ce même sujet.

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in prioribus quidem illud explicatum reperietur, quomodo non tantum circumferentiae toti³⁾, sed & arcui cuilibet dato recta linea aequalis invenienda sit⁴⁾; expeditâ ratione ad Mechanicas constructiones, quaeque vel subtilissimas earum minimè frustretur. Quomodo item numeros excercentibus peripheriae ad diametrum ratio, quam Archimedes ex polygonis laterum 96 eruit, per dodecagona sola comprobari queat⁵⁾. Ex polygonis autem laterum 10800, cum iis qui veterem insistunt viam vix hi peripheriae termini existant 62831852 & 62831855, ad diametrum partium 20000000, nostrâ Methodo isti prodiisse cernentur, 6283185307179584, 6283185307179589⁶⁾; semperque duplicem obtineri verorum characterum numerum, quacunque laterum multitudine polygona adhibeantur. Quod quidem certâ ratione contingere⁷⁾ perspeximus sicuti & quadratum cujusque numeri bis totidem quot latus characteribus plerumque constituitur. At majora etiam compendia centrorum gravitatis proprietas subministrat, & propius quodammodo ad perfectionem insuperabilis problematis per haec accessisse videmur. Certè ad Archimedeos peripheriae limites constituendos, solo nunc inscripti trigoni cognito latere indigemus⁸⁾. E sexagintangulo autem inter hosce eam contineri probamus⁹⁾ 31415926538 & 31415926533, positâ diametro partium 10000000000, cum solitâ methodo vix isti producantur 3145, 3140. Adeo ut triplus jam & ultra sit verarum hic notarum numerus, sicut per praecedentia duplus; & perpetuo quidem successu, haud aliter quam in majoribus numeris cubum sui lateris triplum esse animadvertitur⁷⁾. Ergo posthac si qui falsò circumferentiae magnitudinem definient, per numerosa polygona non refutabuntur, sed calculo brevi miniméque intricato, quemque erroris insimulare, quod hactenus ferè soliti sunt, haud facile possint. Ad haec si quid in subtensarum Canone, quem emendatum haberi quantum referat omnes sciunt, in eo contexendo si quid erit admissum aut aliunde perversum irrepserit, non difficile erit horum ope restituere, cum aliâ nunc ratione ex inscriptis in circulo longitudinem arcuum quibus subtenduntur invenire liceat. Quinimo & omni Canonum auxilio destitutis ostendimus, quo pacto ex lateribus triangulorum datis angulos eorum investigare queant¹⁰⁾, ut nunquam duorum secundorum scrupulorum sit à vero dissensus, saepe ne unius quidem tertii. Et haec quidem non levia commoda visum iri confidimus. Comperimus autem & Renatum

3) Voir le ‘Problema II. Prop. XI’, p. 143 du Tome présent.

4) Voir le ‘Problema III. Prop. XII’, p. 147.

5) Comparez le ‘Problema I. Prop. X’, p. 139.

6) Comparez la dernière partie (p. 143) de la proposition citée dans la note précédente.

7) Voir la note 15, p. 142 du Tome présent.

8) Comparez les p. 173-177 du Tome présent.

9) Comparez la p. 179.

7) Voir la note 15, p. 142 du Tome présent.

10) Le sujet n'est pas traité expressément dans l'ouvrage présent; mais on peut le rattacher facilement au dernier alinéa de la page 179. En effet, par le calcul de la hauteur du triangle on trouve aisément la corde qui appartient au double de chacun de ses angles; ensuite cet alinéa apprend à determiner les arcs soustendus par ces cordes, d'où l'on peut déduire, en se servant du nombre π, les grandeurs des angles cherchés. Voir encore le dernier alinéa, p. 163 de la démonstration du ‘Theorema XIII’, où sont mentionnés les travaux de Snellius sur ce même sujet.

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un avantage non léger. Mais nous avons reconnu que René Descartes, dont les inventions ont illustré non seulement la Philosophie universelle mais surtout les Mathématiques, a mis par écrit quelques choses qui se rapportent à ce sujet¹¹⁾. On dit qu' après sa mort elles ont été trouvées dans ses notices, et jusqu' ici nous n'avons pu savoir par quelle méthode et avec quel succès il y a mis la main. Mais de Willebrord Snellius, le savant géomètre, nous avons le Cyclometricus¹²⁾, écrit laborieux et entièrement consacré à cette matière. Et il aurait paru mériter de grandes louanges, s'il eût pu démontrer les deux théorèmes principaux¹³⁾ sur lesquels, comme sur des fondements, tout cet ouvrage est construit. Mais ce qu'il y veut avoir admis comme démonstrations ne prouve nullement ce qui est proposé: toutefois ces deux théorèmes, comme nous le montrerons d'une manière évidente pour chacun d'eux, contiennent une vérité importante. Et nous avons jugé qu'ils devraient être insérés à bon droit dans ce qui suit, parce que leurs causes dépendent de nos inventions.

11) Sous la date du 31 déc. 1653, Constantijn Huygens, père, écrivit à la Princesse Élizabeth: ‘Monsieur Chanut, qui possede tous les papiers du defunct [M. Descartes], & prétend d'en faire imprimer quelques Lettres d'eslite, desire feuilleter le tout aueq mond^t Archimede pour veoir ce qu'il y a encor de Philosophique ou de Mathematique, dont on pourroit faire part au publiq, n'y ayant point de brouillon de ceste merueilleuse main, à mon aduis, qui ne le merite’.
Or, Chanut, qui avait recueilli ces papiers à Stockholm lors du décès de Descartes, était alors ambassadeur de France à la Haye. Mais il semble qu'il n'a pas donné suite à son intention de les montrer à Christiaan Huygens avant de les envoyer en France, où il les confia aux soins de Clerselier.
Toutefois Christiaan Huygens a pu prendre connaissance de l'inventaire, dressé à Stockholm, des manuscrits de Descartes, dont une copie était dans la possession de son père. On y lit sous la lettre B:
‘Un Registre relié, & couvert de parchemin,........ Le second feuillet porte en teste: Ex quantitate linearum, quae in dato circulo inscriptae sunt, quantitatem circumferentiae, cui datae lineae subtenduntur, cognoscere’.
La pièce qui avait ce titre fut publiée en 1701 dans l'ouvrage: ‘R. Des-Cartes Opuscula posthuma, physica & mathematica. Amstelodami, ex typographiâ P. & J. Blaeu, MDCCI’. On la trouve dans l'édition récente des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery aux pages 285-289 du T. X.
Elle contient un tableau des valeurs irrationnelles des cordes dérivant des côtés du carré, du triangle équilateral, du pentagone et du pentadécagone réguliers.
En outre, on trouve dans cette même publication de 1701 un article, qui donne, sous la suscription: ‘Circuli quadratio’, une construction ingénieuse par laquelle on peut approcher indéfiniment & la longueur du diamètre d'un cercle dont la circonférence est donnée; voir les p. 304-305 du T. X de l'édition d'Adam et Tannery.
Pour plus de détails on peut encore consulter de cette même édition les pp. 1-5, 279-284 du T. X.

12) Consultez, sur Snellius et sur l'ouvrage cité, les notes 5 et 6, p. 94 du Tome présent.

13) Voir, sur ces théorèmes, la note 8, p. 95 du Tome présent et les pp. 157 et 159 du même Tome.

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Cartesium, cujus viri inventis cum Philosophia universa tum Mathesis plurimum illustrata est, nonnulla quae huc spectent scriptis mandasse¹¹⁾. Ea verò defuncto ipso in commentariis reperta feruntur, neque adhuc rescire potuimus quâ industriâ aut eventu hisce manum admoverit. Willebrordi autem Snellii geometrae eruditi Cyclometricus¹²⁾ extat, multo labore conscriptus, quique omnis in his est. Atque ille non exiguam laudem promeritus videretur, si praecipua duo theoremata, quibus omne id opus velut fundamentis superstructum est, demonstrare potuisset¹³⁾. Sed quas ibi pro demonstrationibus haberi postulat, propositum minimè comprobant: ipsa verò theoremata, sicut in utroque evidenti ratione nos ostendimus, praeclaram continent veritatem. Et ea quidem sequentibus meritò inserenda putavimus, quod causae eorum à nostris pendeant inventis.

11) Sous la date du 31 déc. 1653, Constantijn Huygens, père, écrivit à la Princesse Élizabeth: ‘Monsieur Chanut, qui possede tous les papiers du defunct [M. Descartes], & prétend d'en faire imprimer quelques Lettres d'eslite, desire feuilleter le tout aueq mond^t Archimede pour veoir ce qu'il y a encor de Philosophique ou de Mathematique, dont on pourroit faire part au publiq, n'y ayant point de brouillon de ceste merueilleuse main, à mon aduis, qui ne le merite’.
Or, Chanut, qui avait recueilli ces papiers à Stockholm lors du décès de Descartes, était alors ambassadeur de France à la Haye. Mais il semble qu'il n'a pas donné suite à son intention de les montrer à Christiaan Huygens avant de les envoyer en France, où il les confia aux soins de Clerselier.
Toutefois Christiaan Huygens a pu prendre connaissance de l'inventaire, dressé à Stockholm, des manuscrits de Descartes, dont une copie était dans la possession de son père. On y lit sous la lettre B:
‘Un Registre relié, & couvert de parchemin,........ Le second feuillet porte en teste: Ex quantitate linearum, quae in dato circulo inscriptae sunt, quantitatem circumferentiae, cui datae lineae subtenduntur, cognoscere’.
La pièce qui avait ce titre fut publiée en 1701 dans l'ouvrage: ‘R. Des-Cartes Opuscula posthuma, physica & mathematica. Amstelodami, ex typographiâ P. & J. Blaeu, MDCCI’. On la trouve dans l'édition récente des ‘OEuvres de Descartes’ d'Adam et Tannery aux pages 285-289 du T. X.
Elle contient un tableau des valeurs irrationnelles des cordes dérivant des côtés du carré, du triangle équilateral, du pentagone et du pentadécagone réguliers.
En outre, on trouve dans cette même publication de 1701 un article, qui donne, sous la suscription: ‘Circuli quadratio’, une construction ingénieuse par laquelle on peut approcher indéfiniment & la longueur du diamètre d'un cercle dont la circonférence est donnée; voir les p. 304-305 du T. X de l'édition d'Adam et Tannery.
Pour plus de détails on peut encore consulter de cette même édition les pp. 1-5, 279-284 du T. X.

12) Consultez, sur Snellius et sur l'ouvrage cité, les notes 5 et 6, p. 94 du Tome présent.

13) Voir, sur ces théorèmes, la note 8, p. 95 du Tome présent et les pp. 157 et 159 du même Tome.